第二章相互作用

第二章相互作用第1节重力弹力摩擦力一、力1.力的概念：力是物体对物体的作用。2.力的三要素：力的大小、方向、作用点。3.力的表示方法：力的图示或力的示意图。二、重力1.产生：由于地球的吸引而使物体受到的力。2.大小：与物体的质量成正比，即G＝mg。可用弹簧测力计测量重力。3.方向：总是竖直向下的。4.重心：其位置与物体的质量分布和形状有关。三、弹力1.弹力（1）定义：发生弹性形变的物体由于要恢复原状而对与它接触的物体产生的作用力。（2）产生的条件①物体间直接接触。②接触处发生弹性形变。（3）方向：总是与物体形变的方向相反。2.胡克定律（1）内容：弹簧发生弹性形变时，弹力的大小跟弹簧伸长（或缩短）的长度x成正比。（2）表达式：F＝kx。k是弹簧的劲度系数，由弹簧自身的性质决定，单位是N/m，x是弹簧长度的改变量，不是弹簧形变以后的长度。四、摩擦力1.静摩擦力（1）定义：两个物体之间只有相对运动趋势，而没有相对运动时的摩擦力。（2）产生条件①接触面粗糙。②接触处有弹力。③两物体间有相对运动趋势。（3）方向：沿两物体的接触面，与相对运动趋势的方向相反。（4）大小：0＜F≤Fmax。

2.滑动摩擦力（1）定义：一个物体在另一个物体表面滑动时，受到另一物体阻碍它们相对滑动的力。（2）产生条件：接触面粗糙；接触处有弹力；两物体间有相对运动。（3）方向：沿两物体的接触面，与相对运动的方向相反。（4）大小：F＝μFN，μ为动摩擦因数，其值与两个物体的材料和接触面的粗糙程度有关。“共享单车”的经营模式，正在快速地改变着我们的生活方式，也为经济发展新常态增添了新的内涵。判断下列说法的正误。（1）共享单车所受重力的方向一定指向地心。（×）（2）地面对共享单车的支持力是由于轮胎发生形变产生的。（×）（3）单车转弯时所受水平地面支持力的方向竖直向上。（√）（4）自行车后轮所受摩擦力总是阻碍自行车的运动。（×）考点一弹力的分析与计算[素养自修类]1.[弹力有无的判断]如图所示，固定斜面上有一小球，用一竖直轻弹簧与之相连，小球处于静止状态，不考虑小球的滚动。下列说法正确的是（）A.小球与斜面之间一定有弹力B.弹簧可能处于压缩状态C.弹簧一定处于伸长状态D.小球最多受到5个力解析：B小球受向下的重力，弹簧处于竖直状态，对小球有竖直方向的作用力，当弹簧向上的弹力等于重力时，斜面对小球无弹力，选项A错误；若弹簧处于压缩状态，则小球受弹簧的弹力和重力都是竖直向下，还受到垂直斜面向上的支持力以及沿斜面向上的摩擦力，在这4个力的作用下可能平衡，选项B正确，选项C错误；小球最多受重力、斜面的支持力和摩擦力、弹簧的弹力，共4个力的作用，选项D错误。2.[弹力方向的判断]如图所示，小车位于水平面上，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有质量为m的小球。下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是（）A.小车静止时，F＝mgsinθ，方向沿杆向上B.小车静止时，F＝mgcosθ，方向垂直于杆向上C.小车向右匀速运动时，一定有F＝mgsinθ，方向竖直向上D.小车向右匀加速运动时，一定有F＞mg，方向可能沿杆向上解析：D小车静止时，由物体的平衡条件可知此时杆对小球的作用力方向为竖直向上，大小等于小球的重力mg，故选项A、B错误；小车向右匀速运动时，小车和小球的加速度为零，杆对小球的作用力方向为竖直向上，大小为mg，故选项C错误；当小车向右匀加速运动时，Fy＝mg，Fx＝ma，F＝Fx2+Fy2＝(ma)2+(mg)2＞mg，只有当mamg＝tanθ，即a3.[胡克定律的应用]如图，在一粗糙水平面上，有两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一原长为L、劲度系数为k的轻弹簧连接起来，木块与地面间的动摩擦因数为μ。现用水平力向右拉木块2，当两木块一起匀速运动时，两木块间的距离为（）A.L＋μkm1g B.L＋C.L＋μkm2g D.L＋解析：A对木块1研究，木块1受到重力、弹簧的拉力、地面的支持力和摩擦力。根据平衡条件弹簧的弹力F＝μm1g，又由胡克定律得到弹簧伸长的长度x＝Fk＝μm1gk，所以两木块一起匀速运动时两木块之间的距离s＝L＋x＝L＋μkm11.弹力有无的判断2.弹力方向的判断（1）常见模型中弹力的方向。（2）根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律确定弹力的方向。3.“三法”计算弹力大小（1）根据胡克定律进行求解。注意弹簧长度的变化（2）根据力的平衡条件进行求解。（3）根据牛顿第二定律进行求解。考点二静摩擦力有无及方向的判断[素养自修类]1.[静摩擦力有无的判断]大型商场或者大型超市为了方便顾客上下楼，都会安装自动扶梯。小王同学经过调查研究发现，不同商场或超市中的自动扶梯是不一样的，可以分为两大类，一种无台阶，另一种有台阶，两种自动扶梯分别如图所示。此外，小王同学还发现，为了节约能源，在没有顾客乘行时，这两种自动扶梯都以较小的速度匀速运行，当有顾客乘行时自动扶梯经过先加速再匀速两个阶段运行。则电梯在运送顾客上楼的整个过程中（）A.在图甲所示的无台阶自动扶梯中，乘客始终受摩擦力作用B.在图乙所示的有台阶自动扶梯中，乘客始终受摩擦力作用C.在图甲所示的无台阶自动扶梯中，乘客对扶梯的作用力始终竖直向下D.在图乙所示的有台阶自动扶梯中，乘客对扶梯的作用力始终竖直向下解析：A乘客在无台阶的自动扶梯上运动时，在加速和匀速阶段，都受到重力、支持力和静摩擦力；匀速阶段乘客对扶梯的作用力竖直向下，在加速阶段乘客对扶梯的作用力偏离竖直方向。乘客在有台阶的自动扶梯上运动时，加速阶段受到重力、支持力和静摩擦力，乘客对扶梯的作用力偏离竖直方向；匀速阶段受到重力与支持力，乘客对扶梯的作用力竖直向下。综上分析，选项A正确。2.[静摩擦力方向的判断]小明将一辆后轮驱动的电动小汽车，按图示方法置于两个平板小车上，三者置于水平实验桌上。当小明用遥控器启动小车向前运动后，他看到两个平板小车也开始运动，下列标出平板小车的运动方向正确的是（）解析：C用遥控器启动小车向前运动，后轮是主动轮，顺时针转动，所以左侧平板小车对后轮的摩擦力向右，后轮对左侧平板小车的摩擦力向左；前轮是从动轮，所以右侧平板小车对前轮的摩擦力向左，前轮对右侧平板小车的摩擦力向右。因此左侧小车向左运动，右侧小车向右运动，故A、B、D错误，C正确。1.明晰“三个方向”名称释义运动方向一般指物体相对地面（以地面为参考系）的运动方向相对运动方向指以其中一个物体为参考系，另一个物体相对参考系的运动方向相对运动趋势方向能发生却没有发生的相对运动的方向，导致两物体间存在静摩擦力2.“三法”判断静摩擦力的方向假设法状态法根据平衡条件、牛顿第二定律，通过受力分析确定静摩擦力的方向转换对象法先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据“力的相互性”确定另一物体受到的静摩擦力方向考点三摩擦力大小的计算[互动共研类]1.滑动摩擦力大小的计算公式法若μ已知，则F＝μFN，FN是两物体间的正压力状态法若μ未知，可结合物体的运动状态和其他受力情况，利用平衡条件或牛顿第二定律列方程求解2.静摩擦力大小的计算（1）物体处于平衡状态（静止或匀速直线运动），利用力的平衡条件求解。（2）物体有加速度时，应用牛顿第二定律F合＝ma求解。（3）最大静摩擦力与接触面间的压力成正比，其值略大于滑动摩擦力，但通常认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。【典例】（2023·江苏扬州高三期中）如图所示，一质量m＝6kg的物体静止在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为0.4，原长为15cm的轻质弹簧一端固定于物体上，另一端施一水平拉力F。（设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，弹簧始终在弹性限度内，g＝10m/s2）求：（1）若当弹簧拉长至21cm时，物体恰好向右匀速运动，弹簧的劲度系数多大？（2）若将弹簧压缩至12cm，物体受到的摩擦力多大？（3）若将弹簧拉长至22cm，物体受到的摩擦力又为多大？解析（1）恰好拉动物体，根据平衡条件有k（x－x0）＝μmg代入数据解得k＝400N/m。（2）若将弹簧压缩至12cm，弹力F1＝k（x1－x0）＝12N最大静摩擦力f静max＝μmg＝24N弹力小于最大静摩擦力，物体保持静止，根据平衡条件有f1＝k（x1－x0）＝12N方向水平向右。（3）由题意可知，若当弹簧拉长至21cm时，物体恰好向右匀速运动，所以将弹簧拉长至22cm时，物块将加速运动，受到的摩擦力为滑动摩擦力，等于最大静摩擦力，即f2＝μmg＝24N方向水平向左。答案（1）400N/m（2）12N（3）24N1.[滑动摩擦力的分析与计算]如图，粗糙的水平地面上，质量为1kg的木块以一定的初速度向右滑行的同时还受到一个向左的水平推力的作用，已知木块与地面间的动摩擦因数为0.1。在木块停止运动之前，下列说法正确的是（g＝10m/s2）（）A.地面对木块的滑动摩擦力大小为1NB.木块受到水平向右的滑动摩擦力C.地面对木块的支持力为1ND.木块受到静摩擦力的作用解析：A木块向右滑动，受到滑动摩擦力作用，滑动摩擦力方向与相对运动方向相反，方向水平向左，大小Ff＝μFN＝μmg＝1N，故A正确，B、D错误。木块所受的重力和支持力平衡，则FN＝mg＝10N，故C错误。2.[静摩擦力的分析与计算]（2023·江苏海安曲塘中学检测）打印机在正常工作的情况下，进纸系统能做到每次只进一张纸。进纸系统的结构示意图如图所示，设图中刚好有20张相同的纸，每张纸的质量均为m，搓纸轮按图示方向转动并带动最上面的第1张纸向右运动，搓纸轮与纸张之间的动摩擦因数为μ1，纸张与纸张之间、纸张与底部摩擦片之间的动摩擦因数均为μ2，工作时搓纸轮给第1张纸压力大小为F。打印机正常工作时，下列说法错误的是（）A.第2张纸受到第3张纸的摩擦力方向向左B.第10张纸与第11张之间的摩擦力大小可能为μ2（F＋10mg）C.第20张纸与摩擦片之间的摩擦力为μ2（F＋mg）D.若μ1＝μ2，则进纸系统不能进纸解析：B第2张纸相对第3张纸向右运动，所以第2张纸受到第3张纸的摩擦力方向向左，故A正确；工作时搓纸轮给第1张纸压力大小为F，第1张纸对第2张纸的压力为F＋mg，所以第2张以下的纸没有运动，只有运动趋势，所以第2张以下的纸之间以及第20张纸与摩擦片之间的摩擦力均为静摩擦力，大小均为μ2（F＋mg），故B错误，C正确；若μ1＝μ2，搓纸轮与第1张纸之间的摩擦力为μ1F，第1张纸受到第2张纸的滑动摩擦力为μ2（F＋mg），则有μ1F＜μ2（F＋mg），搓纸轮与第1张纸之间会发生相对滑动，不会进纸，打印机不会正常工作，故D正确。“融会贯通”归纳好摩擦力的突变问题类型一“静→静”突变物体在摩擦力和其他力的作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发生变化时，如果物体仍然保持静止状态，则物体受到的静摩擦力的大小和方向可能发生突变。【典例1】如图甲所示，放在固定斜面上的物体，受到一个沿斜面向上的力F作用，始终处于静止状态，F的大小随时间变化的规律如图乙所示。则在0～t0时间内物体所受的摩擦力Ff随时间t的变化规律不可能是下图中的（取沿斜面向上为摩擦力Ff的正方向）（）解析物体在斜面上始终处于平衡状态，沿斜面方向受力平衡，则有F－mgsinθ＋Ff＝0，解得Ff＝mgsinθ－F，若初态mgsinθ＝F，则B项正确；若初态mgsinθ＞F，则C项正确；若初态mgsinθ＜F，则D项正确；由上述分析可知A项错误。答案A类型二“静→动”突变物体在摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力。【典例2】（2023·江苏扬州中学高三月考）如图所示，一箱子放在水平地面上，现对箱子施加一斜向上的拉力F，保持拉力的方向不变，在拉力F的大小由零逐渐增大的过程中。关于摩擦力Ff的大小随拉力F的变化关系，下列四副图可能正确的是（）解析设F与水平方向的夹角为θ，木箱处于静止状态时，根据平衡条件可知，木箱所受的静摩擦力为Ff＝Fcosθ，F增大，Ff增大；当拉力达到一定值，箱子运动瞬间，静摩擦力变为滑动摩擦力，由于最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，故摩擦力有个突然减小的过程；木箱运动时，所受的支持力FN＝G－Fsinθ，F增大，FN减小，此时木箱受到的是滑动摩擦力，大小为Ff＝μFN，则Ff减小，故B正确，A、C、D错误。答案B类型三“动→静”突变两物体相对滑动的过程中，若相对速度变为零，则滑动摩擦力突变为静摩擦力，突变点常常为两物体相对速度刚好为零时。【典例3】如图所示，把一重力为G的物体，用一水平方向的推力F＝kt（k为恒量，t为时间）压在竖直的足够高的平整墙上，从t＝0开始物体所受的摩擦力Ff随t的变化关系是下图中的（）解析物体在竖直方向上只受重力G和摩擦力Ff的作用，由于Ff从零开始均匀增大，开始一段时间Ff＜G，物体加速下滑；当Ff＝G时，物体的速度达到最大值；之后Ff＞G，物体向下做减速运动，直至减速为零。在整个运动过程中，摩擦力为滑动摩擦力，其大小为Ff＝μFN＝μF＝μkt，即Ff与t成正比，是一条过原点的倾斜直线。当物体速度减为零后，滑动摩擦力突变为静摩擦力，其大小Ff＝G，所以物体静止后的图线为平行于t轴的直线。故选B。答案B类型四“动→动”突变物体受到滑动摩擦力和其他力的共同作用，当两物体间的正压力发生变化时，滑动摩擦力的大小随之而变；或者两物体达到共同速度时相对滑动方向发生变化，滑动摩擦力的方向也随之而变。【典例4】如图所示，足够长的传送带与水平面夹角为θ，以速度v0逆时针匀速转动。在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数μ＜tanθ，则下列选项中能客观地反映小木块的所受摩擦力和运动情况的是（）解析开始小木块速度小于传送带速度，小木块相对于传送带向上滑动，小木块受到的滑动摩擦力沿传送带向下，加速度a＝gsinθ＋μgcosθ；当小木块速度达到传送带速度时，由于μ＜tanθ，即μmgcosθ＜mgsinθ，所以速度能够继续增加，此时滑动摩擦力的大小不变，而方向突变为沿传送带向上，则a＝gsinθ－μgcosθ，加速度变小，则v－t图像的斜率变小，所以B正确，A、C、D错误。答案B1.（2023·江苏省高邮市高三月考）下列说法正确的是（）A.物体的重心一定在物体上B.摩擦力的大小一定与正压力成正比C.运动的物体也可能受到静摩擦力D.不接触的两物体间也会有弹力解析：C物体的重心可能在物体上，也可能在物体外，A错误；只有滑动摩擦力的大小才与压力成正比，B错误；运动的物体可能受到静摩擦力作用，比如正在传送带上匀速上升的物体，物体在运动，但受到静摩擦作用，C正确；产生弹力的条件之一就是两物体必须接触，所以不接触的两物体间不会有弹力，D错误。2.（2023·苏锡常镇四市高三教学情况调研）如图所示为皮带传动装置的示意图，O1是主动轮，O2是从动轮，两轮水平放置。当主动轮顺时针匀速转动时，重力为10N的物体同皮带一起匀速运动。若物体与皮带间最大静摩擦力为5N，则物体所受皮带的摩擦力的大小和图中皮带上P、Q两处所受到的摩擦力的方向分别是 （）A.5N；向下、向下 B.0；向下、向上C.0；向上、向上 D.0；向下、向下解析：D在皮带传动装置中，先有主动轮的运动，后有从动轮的运动。主动轮上与皮带上的P点对应的位置相对皮带有向下运动的趋势，皮带给它的静摩擦力方向向上，则它给皮带上P点的静摩擦力方向向下；皮带上Q点相对从动轮有向上的运动趋势，则从动轮对皮带上Q点就有向下的摩擦力。另外，由于物体在皮带上做匀速运动，水平方向上不受外力，故其所受摩擦力为零。综上所述，选项D正确。3.如图所示，卡在绝壁间的“奇迹石”，距离谷底大约1000米。关于“奇迹石”受力说法正确的是（）A.受两侧绝壁的弹力一定是水平方向B.受左侧弹力和右侧弹力一定相等C.受两侧绝壁的摩擦力一定竖直向上D.受两侧绝壁的作用力的合力一定竖直向上解析：D两侧绝壁与“奇迹石”的接触面不一定是竖直的，则“奇迹石”受两侧绝壁的弹力不一定是水平方向，受两侧绝壁的摩擦力不一定竖直向上，选项A、C错误；因两侧弹力不一定是水平的，则“奇迹石”受左侧弹力和右侧弹力不一定相等，选项B错误；两侧绝壁对“奇迹石”的作用力的合力与重力等大反向，则“奇迹石”受两侧绝壁的作用力的合力一定竖直向上，选项D正确。4.如图所示，在桌面上放置一张纸和一瓶矿泉水，矿泉水瓶静止在纸面上，如果突然迅速向右拉动纸的一边，将纸片拉出，而矿泉水瓶相对桌面的位置几乎没变。下列说法正确的是（）A.纸片对矿泉水瓶摩擦力的方向向左B.矿泉水瓶相对纸片向左运动C.拉动纸片越快，矿泉水瓶受到的摩擦力越大D.拉动纸片越快，矿泉水瓶受到的摩擦力越小解析：B纸片相对矿泉水瓶向右运动，故矿泉水瓶相对纸片向左运动，则纸片对矿泉水瓶的摩擦力方向向右，选项A错误，B正确；将纸片拉出过程中，纸片与矿泉水瓶间的摩擦力是滑动摩擦力，根据滑动摩擦力公式Ff＝μFN，可知滑动摩擦力的大小只与动摩擦因数、正压力有关，与纸片运动的快慢无关，选项C、D错误。5.如图所示，质量为M的长木板放在水平地面上，放在长木板上的质量为m的木块在水平向右的拉力F的作用下向右滑行，长木板保持静止。已知木块与长木板间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面间的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是（）A.地面对长木板的摩擦力的大小一定为μ1mgB.地面对长木板的摩擦力的大小一定为μ2MgC.地面对长木板的摩擦力的大小一定为μ2（m＋M）gD.只要拉力F增大到足够大，长木板一定会与地面发生相对滑动解析：A木块所受木板的滑动摩擦力大小Ff1＝μ1mg，方向水平向左，根据牛顿第三定律知，木板受到木块的摩擦力方向水平向右，大小等于μ1mg；木板处于静止状态，水平方向受到木块的滑动摩擦力和地面的静摩擦力，根据平衡条件知，木板受到地面的摩擦力的大小是μ1mg，木板相对于地面处于静止状态，不能使用滑动摩擦力的公式计算木板受到的地面的摩擦力，所以木板与地面之间的摩擦力不一定是μ2（m＋M）g，故A正确，B、C错误。开始时木板处于静止状态，说明木块与木板之间的摩擦力小于木板与地面之间的最大静摩擦力，与拉力F的大小无关，所以不管拉力F增大到多大，木板仍静止，故D错误。6.如图所示，一轻质弹簧两端分别与竖直墙壁和物块连接，弹簧、地面水平。A、B两点离墙壁的距离分别为x1、x2，物块在A、B两点恰好均能静止，物块与地面间的最大静摩擦力为F1，则弹簧的劲度系数为（）A.F1x2C.2F1x解析：C设弹簧原长为l0，由平衡条件可得F1＝k（l0－x1），F1＝k（x2－l0），解得k＝2F1x2-7.将力传感器A固定在光滑水平桌面上，测力端通过轻质水平细绳与滑块相连，滑块放在较长的小车上，如图甲所示。传感器与计算机相连接，可获得力随时间变化的规律。一水平轻质细绳跨过光滑的定滑轮，一端连接小车，另一端系沙桶，整个装置开始处于静止状态。在滑块与小车分离前缓慢向沙桶里倒入细沙，力传感器采集的F－t图像如图乙所示。则（）A.2.5s前小车做变加速运动B.2.5s后小车匀速运动（假设细沙仍在加注中）C.2.5s前小车所受摩擦力不变D.2.5s后小车所受摩擦力不变解析：D由题图乙可知，在F的变化阶段，沙桶质量在由小变大，如果小车是运动的，小车与滑块间应是滑动摩擦力。由Ff＝μFN可得Ff应恒定不变，假设错误，则小车是静止的。滑块与小车之间没有相对滑动，二者之间的摩擦力为静摩擦力，所以2.5s前，小车、滑块均静止；2.5s后小车受恒定摩擦力，但是外力增加，因此做变加速直线运动。根据上述分析，2.5s前滑块受静摩擦力，且静摩擦力在变化，2.5s后受滑动摩擦力，且大小不变。故D正确。8.（2023·江苏南京模拟）如图所示，物体A和B处于静止状态，重力分别为9N和4N，不计弹簧测力计和细线的重力，不考虑摩擦，弹簧测力计的读数是（）A.9N B.4NC.5N D.13N解析：B由题图可知细线中拉力大小等于B的重力，而弹簧两侧受力相等，弹簧测力计的读数等于弹簧测力计一端受到的拉力，所以读数为4N，故选B。9.如图所示，长为3L的木板从光滑水平面滑上长为5L的粗糙桌面，停止运动时木板右端离开桌面边缘距离为L，则该过程中，木板所受摩擦力Ff与位移x的关系图线是（）解析：D由Ff＝μFN可知，随着长为3L的木板逐渐进入粗糙桌面，木板所受摩擦力Ff均匀增大，全部进入粗糙桌面后，木板所受支持力不变，则木板所受摩擦力Ff也不再变化，故D正确。10.如图所示，自卸货车静止在水平地面上，车厢在液压机的作用下倾角α缓慢增大，则车上的货物在卸下的过程中受到的摩擦力Ff随转过的角度α变化的图像（）解析：C分析知，当角度α较小时，货物不会滑动，有Ff＝mgsinα，此时Ff随着α增大而增大，但不是均匀变化的；角度α增大到一定值后，货物会沿车厢下滑，有Ff＝μmgcosα，此时Ff随着α增大而减小，也不是均匀变化的。所以在α从0增大到90°的过程中Ff先增大后减小，但每段都不是均匀变化的，故C正确。11.某同学用如图所示的装置开展探究实验，固定在墙壁上的一个力传感器通过一根水平绳与小木块B相连，A、B都放在质量可以忽略的长薄板C上，地面光滑。已知A的质量为0.8kg，B的质量为0.4kg，A、C间与B、C间的动摩擦因数都为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度g＝10m/s2，当施加一个力F作用在A上，下列说法正确的是（）A.F＝1N时，力传感器示数为0B.F＝3N时，力传感器示数为3NC.F＝4N时，力传感器示数为4ND.F＝5N时，力传感器示数为2N解析：DA、C间的最大静摩擦力为4N，B、C间的最大静摩擦力为2N。当F＝1N时，C与A、B都保持相对静止，由平衡条件知道力传感器示数为1N，A项错误；当F＝3N，A、C间的摩擦力超过B、C间的最大静摩擦力，发生相对滑动，B、C间的摩擦力为2N，由平衡条件知力传感器示数为2N，B项错误；同理分析知道，拉力F超过2N，力传感器示数总是2N，C项错误，D项正确。12.如图所示，完全相同的三条轮胎整齐叠放在墙角，所有接触面间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现将水平向右的恒力F作用在中间轮胎上，一小段时间后三条轮胎的位置可能是（）解析：A第三条轮胎与地面之间的最大静摩擦力f3＝3μmg，第二条轮胎与第三条轮胎之间的最大静摩擦力f2＝2μmg，由此可发现，第三条轮胎不可能对地发生位移，当拉力足够大时，第二条轮胎可以带动第一条轮胎运动，同时与第一条轮胎发生相对位移，故选A。13.固定水平板的两端分别装有定滑轮A、B，物块P放在平板上，两段细线分别绕过定滑轮连接在物块P上，两细线的另一端连接在质量为m的小球Q上，P、Q均处于静止，BQ段的细线竖直，重力加速度为g，则物块P受到平板的摩擦力（）A.为0 B.等于mgC.小于mg D.大于mg解析：BBQ段的细线竖直，所以AQ段细线没有拉力，即BQ段的细线的拉力等于mg，根据平衡条件，物块P受到平板的摩擦力等于mg，故选B。14.如图所示，固定的四分之一粗糙圆弧轨道AB的圆心在竖直墙上的O点，A点与O点在同一高度，轻弹簧一端固定在O点，另一端连接质量为m的小物块，物块静止在轨道上，弹簧与竖直方向的夹角θ＝30°，重力加速度为g，则（）A.轨道对物块一定有支持力B.弹簧一定处于伸长状态C.弹簧一定处于压缩状态D.轨道对物块的摩擦力大小等于mg解析：A对小物块进行受力分析有Ff＝mgsinθ＝12mg，D错误；沿轨道方向，根据平衡条件滑块此时受到的摩擦力大小等于重力沿轨道向下的分力等于12mg，不为零，有摩擦力必有弹力，所以轨道对滑块的支持力不可能为零，A正确；假设滑块受重力、支持力、摩擦力，三个力的合力可以为0，即物体可以不受弹簧的弹力，则弹簧可以处于原长，不一定处于压缩或伸长状态，B15.读书支架可以简化为如图所示模型，AC水平放置，OD杆绕定点O转动，斜面AB与水平杆AC的夹角发生改变，以达到调节书架的目的。现有一本书放在书架AB面上，当OD与AB垂直时，书本恰好静止，现将OD逆时针转动，书本始终保持静止，则（）A.斜面AB对书本支持力变大B.斜面AB对书本支持力变小C.斜面对书本摩擦力先减小后增大D.斜面对书本摩擦力变大解析：A设书本的质量为m，斜面的倾角为θ，OD逆时针转动，倾角θ变小，斜面AB对书本的支持力FN＝mgcosθ变大，故A正确，B错误；斜面对书本的摩擦力Ff＝mgsinθ一直减小，故C、D错误。第2节力的合成与分解一、力的合成与分解1.合力与分力（1）定义：如果一个力产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫作那几个力的合力，原来那几个力叫作分力。（2）关系：合力和分力是等效替代的关系。2.共点力作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。图甲、乙、丙均是共点力。3.力的合成（1）定义：求几个力的合力的过程。（2）运算法则①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向，如图甲所示。②三角形定则：把两个矢量首尾相连，从而求出合矢量的方法，如图乙所示。4.力的分解（1）定义：求一个已知力的分力的过程。（2）运算法则：平行四边形定则或三角形定则。（3）分解方法①按力产生的效果分解；②正交分解。二、矢量和标量1.矢量：既有大小又有方向的量，运算时遵从平行四边形定则。2.标量：只有大小没有方向的量，运算时按代数法则相加减。如图所示为剪式千斤顶，是用来顶起汽车的装置。当摇动把手时，螺纹轴就迫使千斤顶的左右两臂靠拢，同时抬起重物。判断下列说法的正误。（1）力的合成与分解均满足平行四边形定则。（√）（2）汽车对千斤顶的压力可分解为沿两臂的两个分力，根据对称性可知，两臂受到的压力大小相等。（√）（3）汽车对千斤顶的压力既有大小又有方向，一定是矢量。（√）（4）千斤顶对汽车的支持力和沿两臂的分力同时作用于汽车上。（×）考点一力的合成[素养自修类]1.[三个力的合力范围]一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2N、2N、3N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是（）A.物体所受静摩擦力一定为5NB.物体所受静摩擦力一定为0C.物体可能仍保持静止D.物体一定被拉动解析：C两个2N的力的合力范围为0～4N，然后与3N的力合成，则三力的合力范围为0～7N，由于最大静摩擦力为5N，因此可判定选项C正确，A、B、D错误。2.[平行四边形定则的应用]射箭是奥运会上一个观赏性很强的运动项目，中国队有较强的实力。如图甲所示，射箭时，刚释放的瞬间若弓弦的拉力为100N，对箭产生的作用力为120N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹角α应为（cos53°＝0.6）（）A.53° B.127°C.143° D.106°解析：D弓弦拉力的合成如图所示，根据题意知F1＝F2，由几何知识得2F1cosα2＝F合，cosα2＝F合2F1＝1202×100解得α2＝53即α＝106°，故D正确。1.合力与分力的关系（1）两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小。（2）合力一定，两等大分力的夹角越大，两分力越大。（3）合力可以大于分力，可以等于分力，也可以小于分力。2.几种特殊情况的共点力的合成#类型#作图#合力的计算两力互相垂直F＝Ftanθ＝F两力等大，夹角为θF＝2F1cosθF与F1夹角为θ两力等大且夹角为120°合力与分力等大考点二力的分解[互动共研类]1.按照力的实际作用效果分解2.正交分解法（1）选取坐标轴及正方向，正交的两个方向可以任意选取，选取的一般原则是：①使尽量多的力落在坐标轴上；②平行和垂直于接触面；③平行和垂直于运动方向。（2）分别将各力沿正交的两个方向（x轴和y轴）分解，如图所示。（3）求各力在x轴和y轴上的分力的合力Fx和Fy，则有Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…，Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…【典例1】如图所示，电灯的重力G＝10N，AO绳与水平顶板间的夹角为45°，BO绳水平，AO绳的拉力为FA，BO绳的拉力为FB，则（）A.FA＝102N B.FA＝10NC.FB＝52N D.FB＝5N解析方法一力的作用效果分解法在结点O，电灯的重力产生了两个效果，一是沿AO向下的拉紧AO绳的分力F1，二是沿BO向左的拉紧BO绳的分力F2，分解示意图如图所示。则FA＝F1＝Gsin45°＝102FB＝F2＝Gtan45°＝10N，故选项A方法二正交分解法结点O受力如图所示，考虑到电灯的重力与OB垂直，正交分解OA绳的拉力更为方便。F＝G＝10NFAsin45°＝FFAcos45°＝FB代入数值得FA＝102N，FB＝10N，故选项A正确。答案A【典例1】中改为如图所示的情况，用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细绳AO、BO（AO＞BO）悬挂—个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则（）A.绳AO先被拉断B.绳BO先被拉断C.绳AO、BO同时被拉断D.条件不足，无法判断解析依据力的作用效果将铁球对结点O的拉力分解如图所示。据图可知，FB＞FA。又因为两绳承受的最大拉力相等，故当在球内不断注入铁砂时，BO绳先断，选项B正确。答案B1.[力的作用效果分解法]明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则（）A.若F一定，θ大时FN大B.若F一定，FN的大小与θ无关C.若θ一定，F大时FN大D.若θ一定，F小时FN大解析：C根据力F的作用效果将力F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示。则F2FN＝sinθ2，即FN＝F2sinθ2，所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，2.[力的正交分解法]如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比F1F2A.cosθ＋μsinθ B.cosθ－μsinθC.1＋μtanθ D.1－μtanθ解析：B物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力分析如图1、图2所示。将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得，F1＝mgsinθ＋Ff1，FN1＝mgcosθ，Ff1＝μFN1F2cosθ＝mgsinθ＋Ff2FN2＝mgcosθ＋F2sinθFf2＝μFN2解得F1＝mgsinθ＋μmgcosθF2＝mg故F1F2＝cosθ－μsinθ，3.[正交分解法的应用]在建筑装修中，工人用质量为m的磨石对斜壁进行打磨，当对磨石加竖直向上推力F时，磨石恰好能沿斜壁向上匀速运动，已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ，则磨石受到的摩擦力大小为（）A.Fsinθ B.FcosθC.μ（F－mg）sinθ D.μ（F－mg）cosθ解析：C磨石受重力、推力、斜壁的弹力及摩擦力而处于平衡状态。由题意可知，F一定大于重力，先将重力和向上的推力合成，再将二者的合力向垂直于斜面方向及沿斜面方向分解可得，平行斜面方向Ff＝（F－mg）·cosθ，垂直斜面方向FN＝（F－mg）·sinθ，则由滑动摩擦力公式可得Ff＝μ（F－mg）sinθ，故C正确，A、B、D错误。考点三“死结”与“活结”及“动杆”与“定杆”模型[方法模型类]类型一“活结”和“死结”的比较1.“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因“结”而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。2.“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上“活结”两侧的绳子是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上的弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。【典例2】如图所示，细绳一端固定在A点，另一端跨过与A等高的光滑定滑轮B后悬挂一个砂桶Q（含砂子）。现有另一个砂桶P（含砂子）通过光滑挂钩挂在A、B之间的细绳上，稳定后挂钩下降至C点，∠ACB＝120°，下列说法正确的是（）A.若只增加Q桶中的砂子，再次平衡后P桶位置不变B.若只增加P桶中的砂子，再次平衡后P桶位置不变C.若在两桶内增加相同质量的砂子，再次平衡后P桶位置不变D.若在两桶内增加相同质量的砂子，再次平衡后Q桶位置上升解析对砂桶Q分析有，Q受到细绳的拉力大小FT＝GQ，设AC、BC之间的夹角为θ，对C点分析可知C点受三个力而平衡，由题意知，C点两侧细绳张力相等，故有2FTcosθ2＝GP，联立可得2GQcosθ2＝GP，故只增加Q桶中的砂子，即只增加GQ，夹角θ变大，P桶上升，只增加P桶中的砂子，即只增加GP，夹角θ变小，P桶下降，选项A、B错误；由2GQcosθ2＝GP可知，当θ＝120°时有GQ＝GP，此时若在两砂桶内增加相同质量的砂子，上式依然成立，则P桶的位置不变，选项C正确，选项答案C类型二“动杆”与“定杆”的比较1.动杆：轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡时杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，两绳对BC杆合力的方向始终沿BC杆的方向。2.定杆：轻杆被固定且不能发生转动。如图乙所示，轻杆是插入墙中的，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向，即定滑轮两侧绳子对AB杆合力的方向不一定沿AB杆的方向。【典例3】如图1所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；如图2所示，轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：（1）细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；（2）轻杆BC对C端的支持力；（3）轻杆HG对G端的支持力。解析题图1和图2中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析，如图甲和乙所示，根据平衡规律可求解。（1）图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g图乙中细绳GF段的拉力FTGF＝M2g由FTEGsin30°＝FTGF，得FTEG＝2M2g。所以FTACF（2）图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有FNC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方。（3）图乙中，根据平衡规律有FTEGsin30°＝M2g，FTEGcos30°＝FNG，所以FNG＝M2gcot30°＝3M2g，方向水平向右。答案（1）M1∶2M2（2）M1g，方向与水平方向成30°角指向右上方（3）3M2g，方向水平向右1.[“活结”和“死结”]如图所示，水平直杆OP右端固定于竖直墙上的O点，长为L＝2m的轻绳一端固定于直杆P点，另一端固定于墙上O点正下方的Q点，OP长为d＝1.2m，重力为16N的钩码由光滑挂钩挂在轻绳上处于静止状态，则轻绳的弹力大小为（）A.10N B.12NC.16N D.20N解析：A设挂钩所在位置为N点，延长PN交墙于M点，如图所示。同一条绳子拉力相等，根据对称性可知两边的绳子与竖直方向的夹角相等，根据几何关系可知NM＝NQ，即PM等于绳长，由几何关系得sinα＝POPM＝1.22＝35，根据平衡条件有2FTcosα＝mg，解得FT＝102.[“动杆”与“定杆”]如图，为细绳拉某重物M的装置简化图，轻杆OA为可绕O点且垂直于纸面的轴转动的杆，AB为轻绳，重物M平衡时角度关系如图所示，轻杆OA在图（a）、（b）、（c）中受力分别为F1、F2、F3，则F1、F2、F3的大小关系正确的是（）A.F1＞F2＝F3 B.F1＝F2＞F3C.F1＞F2＞F3 D.F1＝F2＜F3解析：B轻杆OA为可绕O点且垂直于纸面的轴转动的杆，所以杆的弹力沿杆，对图（a）有F1＝2Mgcos30°＝3Mg，对图（b）有F2＝Mgtan30°＝3Mg，对图（c）有F3＝Mgcos30°＝32Mg，故选项B正确，A、C、“STSE问题”巧迁移——力的合成与分解在现实生活中的应用现实生活中利用力的合成与分解知识的实例相当多，如用斧子劈木桩、斜拉索公路桥、汽车换轮胎用的剪式千斤顶等。在利用力的分解知识求解该类问题时，通常利用力的效果分解法进行分析。1.射箭是奥运会比赛项目之一，图甲为运动员射箭的场景。已知弓的顶部跨度为l，弦均匀且弹性良好，其自由长度为l。发射时弦和箭可等效为图乙，假设弓的跨度保持不变，即箭在弦的正中间，弦夹在类似动滑轮的附加装置上，将箭发射出去。已知弦的劲度系数为k，发射箭时弦的最大长度为53l（弹性限度内），则箭被发射瞬间所受的最大弹力为（设弦的弹力满足胡克定律）（A.kl B.1615C.3kl D.2kl解析：B弦的最大张力F＝k53l-l＝23kl，由力的合成得弦对箭的作用力F'＝2Fcosθ，又sinθ＝l256l＝35（θ为箭与弦的夹角2.（2022·广东高考）如图是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时，连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点，F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小，F1＝F2且∠AOB＝60°。下列关系式正确的是（）A.F＝F1 B.F＝2F1C.F＝3F1 D.F＝3F1解析：D以结点O为研究对象，进行受力分析，由平衡条件可得F＝2F1cos30°＝3F1，选项D正确。1.（2023·江苏徐州高三月考）如图所示为翻斗式储物柜的示意图，翻斗的a、b两面垂直，足球与两面均接触，两表面对足球的作用力分别为Fa、Fb。若a、b面均光滑，把翻斗缓慢向内关闭的过程中（）A.Fa不变 B.Fa增大C.Fb不变 D.Fb增大解析：B设某时刻b面与水平面的夹角为θ，则Fb＝mgcosθ，Fa＝mgsinθ，把翻斗缓慢向内关闭的过程中，θ角变大，则Fa增大，Fb变小。2.现代人经常低头玩，这会使颈椎长期受压，可能引发颈椎病。某同学低头看时，可粗略认为头受到重力G、肌肉拉力F和颈椎支持力FN，如图所示，若头颈弯曲与竖直方向成30°，此时肌肉对头的拉力F约为头重的1倍，由此估算颈椎受到的压力大小为（）A.2G B.3GC.G D.32解析：B根据平行四边形定则，合成重力G、肌肉拉力F，由平衡条件知，合力与颈椎支持力FN平衡，根据几何关系得FN＝2Gcos30°＝3G，由牛顿第三定律知，颈椎受到的压力大小为3G，故B正确。3.如图所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰好构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，已知F1＝10N，则这5个力的合力大小为（）A.50N B.30NC.20N D.10N解析：B利用三角形定则可知，F2和F4的合力等于F1，F5和F3的合力也等于F1，所以这5个力的合力大小为3F1＝30N，故选B。4.生活和工作中，人们经常需要登高，如图所示的“人字梯”移动方便，高度可根据两边支撑腿之间的角度变化调节，所以人们经常使用。现有一人站在两支撑腿等长的“人字梯”的最高处，以下说法正确的是（）A.两边支撑腿之间的角度增大，“人字梯”对地面的压力增大B.两边支撑腿之间的角度增大，“人字梯”对地面的压力不变C.两边支撑腿之间的角度增大，“人字梯”支撑腿受到的压力减小D.两边支撑腿之间的角度增大，“人字梯”支撑腿受到的压力不变解析：B当人站在“人字梯”上时，人与梯子的总重力不变，故无论梯子两边支撑腿之间的角度如何变化，梯子对地面的压力始终等于总重力，A项错误，B项正确；由于人对梯子的压力大小不随梯子两边支撑腿之间的角度变化，根据力的分解可知，两边支撑腿上受到的压力随着夹角的增大而增大，C项错误，D项错误。5.（2023·江苏扬州检测）如图所示为汽车内常备的“菱形千斤顶”，摇动手柄使螺旋杆转动，A、B间距离发生改变，从而实现重物的升降。若物重为G，螺旋杆保持水平，AB与AC之间的夹角为θ＝30°，不计杆件自重，则螺旋杆的拉力大小为（）A.32G B.C.3G D.23G解析：C根据题意，“菱形千斤顶”C点受到的压力G分解为沿两臂的两个分力F1，根据对称性可知，两臂受到的压力大小相等，如图1所示。根据几何关系可得2F1sinθ＝G，解得AC杆受到的压力F1'＝F1＝G2sinθ，对“菱形千斤顶”A点受力分析如图2由平衡条件得F＝2F1'cosθ，联立解得F＝Gtanθ＝3G，故选6.（2023·江苏南京模拟）缓慢关门时（图中箭头方向）门锁的示意图如图所示，锁舌尖角为37°，此时弹簧弹力为24N，锁舌表面较光滑，摩擦不计（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），下列说法正确的是（）A.此时锁壳碰锁舌的弹力为50NB.此时锁壳碰锁舌的弹力为30NC.关门时锁壳碰锁舌的弹力逐渐增大D.关门时锁壳碰锁舌的弹力保持不变解析：C锁壳碰锁舌的弹力分解如图所示，其中F1＝FNsin37°，且F1大小等于弹簧的弹力24N，解得锁壳碰锁舌的弹力为40N，选项A、B错误；关门时，弹簧的压缩量增大，弹簧的弹力增大，故锁壳碰锁舌的弹力逐渐增大，选项C正确，D错误。7.如图，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点（b点高于a点），悬挂衣服的衣架钩是光滑的，将衣服从靠近b端挂上晾衣绳，衣服最终静止时（未与地面接触），绳对a点和b点的拉力大小分别为Fa和Fb，已知衣服（含衣架）所受重力为G，绳长L与两杆间距d的关系式为dL＝32，则（A.Fa＜Fb＜G B.Fa＝Fb＝GC.Fa＞Fb＞G D.Fa＝Fb＜G解析：B由于悬挂衣服的衣架钩是光滑的，则两边绳子是同一根绳子，两边拉力处处相等有Fa＝Fb＝F，由对称性可知，静止时，两边绳子与竖直方向的夹角θ相同，由平衡条件可得2Fcosθ＝G，由几何关系可得sinθ＝dL，由题意知dL＝32，联立解得F＝G，故8.如图所示，在粗糙水平面上放置A、B、C三个物块，物块之间由两根完全相同的轻弹簧相连接，两弹簧的伸长量相同，且它们之间的夹角∠ABC＝120°，整个系统处于静止状态。已知A物块所受的摩擦力大小为Ff，则B物块所受的摩擦力大小为（）A.32Ff B.FC.3Ff D.2Ff解析：B对物块A受力分析可知，A水平方向只受拉力及摩擦力而处于平衡状态，则弹簧的弹力F＝Ff；因两弹簧伸长量相同，则两弹簧对B的弹力均为Ff；两弹力的夹角为120°，则合力大小为Ff，方向沿两弹力夹角的角平分线，即向右；对B由平衡条件可知，B受到的摩擦力大小一定为Ff，故B正确。9.港珠澳大桥的人工岛创新围岛填土在世界范围内首次提出深插式钢圆筒快速成岛技术，1600t起重船“振浮8号”吊起巨型钢筒直接固定在海床上插入到海底，然后在中间填土形成人工岛。每个圆钢筒的直径为22.5m，高度为55m，质量为550t，由8根特制起吊绳通过液压机械抓手连接钢筒。某次试吊将其吊在空中，每根绳与竖直方向的夹角为30°，如图所示，则每根绳承受的拉力约为（）A.6.9×105N B.8.0×105NC.2.3×106N D.8.0×106N解析：B根据8根绳拉力在竖直方向的分矢量和与重力大小相等、方向相反知G＝8Fcos30°，解得F＝mg8cos30°＝550×103×108×32N≈8.0×10.如图所示，小球A、B通过一条细绳跨过定滑轮连接，它们都穿在一根竖直杆上。当两球平衡时，连接两球的细绳与水平方向的夹角分别为θ和2θ。假设装置中的各处摩擦均不计，则A、B球的质量之比为（）A.2cosθ∶1 B.1∶2cosθC.tanθ∶1 D.1∶2sinθ解析：B分别对A、B两球进行受力分析，运用合成法，如图所示。由几何知识得FTsinθ＝mAg，FTsin2θ＝mBg，所以mA∶mB＝sinθ∶sin2θ＝1∶2cosθ，故选B。11.（2023·眉山市彭山区第一中学高三月考）如图为一小型起重机，A、B为光滑轻质滑轮，C为电动机。物体P和A、B、C之间用不可伸长的轻质细绳连接，滑轮A的轴固定在水平伸缩杆上并可以水平移动，滑轮B固定在竖直伸缩杆上并可以竖直移动。当物体P静止时（）A.滑轮A的轴所受压力可能沿水平方向B.滑轮A的轴所受压力一定大于物体P的重力C.当只将滑轮A向外移动时，A的轴所受压力变大D.当只将滑轮B向上移动时，A的轴所受压力变大解析：C滑轮A的轴所受压力为AB方向细绳的拉力与AP方向细绳的拉力的合力，这两个力大小相等，设两力方向的夹角为θ，其变化范围为90°＜θ＜180°，根据力的合成法则可知，滑轮A的轴所受压力不可能沿水平方向，θ的大小不确定，滑轮A的轴所受压力可能大于物体P的重力，也可能小于或等于物体P的重力，故A、B错误；当只将滑轮A向外移动时，θ变小，合力变大，A的轴所受压力变大，故C正确；当只将滑轮B向上移动时，θ变大，合力变小，A的轴所受压力变小，故D错误。12.如图所示，一质量均匀的实心圆球被直径AB所在的平面一分为二，先后以AB沿水平和竖直两种不同方向放置在光滑支架上，处于静止状态，两半球间的作用力分别为F和F'，已知支架间的距离为AB长度的一半，则FF'等于（A.3 B.3C.233 D解析：A设两半球的总质量为m，当球以AB沿水平方向放置，可知F＝12mg，当球以AB沿竖直方向放置，隔离右半球进行受力分析，如图所示，可得F'＝mg2tanθ，根据支架间的距离为AB的一半，可得θ＝30°，则FF'＝1tanθ＝13.如图所示，在两竖直墙面间的同一竖直面内有两根等长细绳AO和BO连接于O点，O点的下方用绳子CO悬挂一重物，D点在B点正下方，且A、O、D在等高处，物体处于静止状态，绳BO与竖直墙面的夹角θ＝37°，此时绳AO的拉力为FT1。现在把绳子端点B移到D点，静止时绳子AO的拉力为FT2，则下列结论正确的是（）A.FT1＝43mg B.FT1＝4C.FT2＝56mg D.FT2＝解析：C绳子端点B在最初位置时，根据平衡条件可得FT1＝mgtanθ＝34mg，设细绳AO长度为L，据几何关系可知两竖直墙面间的距离为d＝L＋Lsinθ＝1.6L，绳子端点B移到位置D点时，绳子AO与竖直墙面间的夹角为α，由几何知识得sinα＝12dL＝0.8，此时有2FT2cosα＝mg，解得FT2＝56mg，所以A、B、D14.如图所示，在竖直平面内固定一直杆，将轻环套在杆上。不计质量的滑轮用轻质绳OP悬挂在天花板上，另一轻绳通过滑轮系在环上，不计所有摩擦。现向左缓慢拉绳，当环静止时，与手相连的绳子水平，若杆与地面间夹角为θ，则绳OP与天花板之间的夹角为（）A.π2 B.C.π4＋θ2 D.π解析：C当轻环静止不动时，PQ绳对轻环的拉力与杆对轻环的弹力等大、反向、共线，所以PQ绳垂直于杆，由几何关系可知，绳PQ与竖直方向之间的夹角是θ；对滑轮进行受力分析如图，由于滑轮的质量不计，则OP绳对滑轮的拉力与两个绳子上拉力的合力大小相等、方向相反，又因滑轮两侧绳子拉力相同，所以OP绳的方向一定在两根绳子之间的夹角的角平分线上，由几何关系得OP绳与天花板之间的夹角α＝12β＝12×π2+θ＝π415.如图所示，左侧是半径为R的四分之一圆弧，右侧是半径为2R的一段圆弧。二者圆心在一条竖直线上，小球a、b通过一轻绳相连，二者恰好位于等高处平衡。已知θ＝37°，不计所有摩擦，则小球a、b的质量之比为（）A.3∶4 B.3∶5C.4∶5 D.1∶2解析：A对a和b两个小球进行受力分析，受力分析如图所示，因一根绳上的拉力相等，故拉力都为FT；由力的平衡可知a小球的拉力FT＝magcos37°，b小球的拉力FT＝mbgsin37°，联立可解得mamb＝34习题课二受力分析共点力的平衡考点一物体的受力分析[互动共研类]1.受力分析的方法状态法受力分析时，若一时不能确定某力是否存在，可先分析物体的运动状态和除此力外物体所受的其他力，根据其他力与物体的运动状态是否相符判断该力是否存在转换法在受力分析时，若不能确定某力是否存在，则（1）可以转换为分析该力的反作用力，根据其反作用力是否存在，判断该力是否存在（2）可以转换为分析与该力相关的其他研究对象，通过对其他研究对象进行受力分析，判断该力是否存在2.受力分析的步骤【典例1】如图所示，在水平力F作用下，A、B保持静止。若A与B的接触面是水平的，且F≠0，则B的受力个数可能为（）A.3个 B.2个C.5个 D.6个解析先对A、B整体进行受力分析，受重力、推力、支持力。当推力平行斜面向上的分力大于重力的下滑分力时，整体有上滑趋势；当推力平行斜面向上的分力小于重力的下滑分力时，整体有下滑趋势；当推力平行斜面向上的分力等于重力的下滑分力时，整体无滑动趋势。再对A进行受力分析，受推力、重力、支持力和向左的静摩擦力，共4个力。最后对B进行受力分析，受重力、A对B的压力和向右的静摩擦力，斜面对B的支持力，若B相对斜面有滑动趋势，则还要受到斜面的静摩擦力，若相对斜面无滑动趋势，则不受斜面的静摩擦力，即物体B可能受4个力，也可能受5个力，故选项C正确。答案C1.在【典例1】中，若力F作用在B上，则B的受力个数可能为（）A.3个 B.4个C.2个 D.6个解析物体一定受重力、斜面的支持力、A的压力和力F，斜面对B可能有摩擦力，也可能没有，故B可能受4个力或5个力，选项B正确。答案B2.在拓展1中，水平推力改为水平拉力（水平向左），斜面改为物块C，如图所示，整个系统处于静止状态，则以下说法正确的是（）A.A的受力个数为4个B.B的受力个数为4个C.地面对物块C的支持力小于三者重力之和D.地面对物块C的摩擦力大小等于F，方向水平向右解析对A进行受力分析，根据平衡条件知A只受重力和支持力2个力的作用，选项A错误；对B进行受力分析，有重力、A对B的压力、C施加的垂直斜面斜向上的支持力、拉力F，根据平衡条件可知还有C施加的平行斜面斜向上的摩擦力，共5个力的作用，选项B错误；以A、B、C整体为研究对象进行受力分析，根据平衡条件知地面对物块C的支持力等于三者重力之和，选项C错误；对A、B、C整体进行受力分析，根据平衡条件知地面对物块C的摩擦力大小等于F，方向水平向右，选项D正确。答案D1.[单个物体的受力分析]（2023·江苏省昆山中学高三模拟预测）水上飞伞是一项锻炼勇气和毅力的水上娱乐活动。快艇开动后，拖在快艇后面的空中飞伞，在风力和绳子牵引力的作用下升起，游客乘伞体验在空中飞翔的感觉。下列各图中的O点均表示游客，能正确反映飞伞载着游客在空中匀速飞行的是（）解析：A乘客在空中受重力mg，绳子牵引力F1，飞伞的拉力F2，受力分析如图所示，游客在空中匀速飞行，能正确反映游客受力处于平衡状态的是A图，故A正确，B、C、D错误。2.[多个物体的受力分析]如图所示，物体B与竖直墙面接触，在竖直向上的力F的作用下，A、B均保持静止，则物体B的受力个数为（）A.2个 B.3个C.4个 D.5个解析：C物体A处于静止状态，其受到的合外力为零，受力分析如图甲所示；对物体A、B整体受力分析如图乙所示，竖直墙面对物体B没有弹力作用，则墙面也不会提供静摩擦力；对物体B进行受力分析，如图丙所示，则物体B受到4个力的作用。选项C正确。考点二静态平衡问题[互动共研类]1.平衡条件：F合＝0或F2.平衡条件的推论二力平衡如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反三力平衡如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则其中任何一个力与其余两个力的合力大小相等，方向相反，并且这三个力的矢量可以形成一个矢量三角形多力平衡如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，则其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反3.解决静态平衡问题的常用方法适用条件注意事项优点合成法物体受三个力作用而平衡（1）表示三个力大小的线段长度不可随意画；（2）两力的合力与第三个力等大反向对于物体所受的三个力，有两个力相互垂直或两个力大小相等的平衡问题求解较简单适用条件注意事项优点分解法物体受三个力作用而平衡合力为物体所受的力，而两个分力分别与物体受到的另两个力等大反向正交分解法物体受三个或三个以上的力作用而平衡选坐标轴时应使尽量多的力与坐标轴重合对于物体受三个以上的力处于平衡状态的问题求解较方便【典例2】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。重力加速度为g，下列关系正确的是（）A.F＝mgcosθ B.F＝mgC.FN＝mgsinθ D.FN＝mg解析方法一合成法滑块受力如图甲所示，由平衡条件知mgF＝tan所以F＝mgtanθ，FN＝方法二正交分解法将滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图乙所示，mg＝FNsinθ，F＝FNcosθ联立解得F＝mgtanθ，FN＝答案C｜一题悟通｜处理平衡问题的三个技巧（1）物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单。（2）物体受四个以上的力作用时，一般要采用正交分解法。（3）正交分解法建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少。1.[合成法]（2023·海安中学检测）如图所示，一件质量为M的衣服挂在等腰三角形的衣架上，衣架通过轻绳OA悬挂在天花板下。衣架质量为m，衣架顶角θ＝120°，此时衣架底边水平。不计衣服与衣架摩擦，重力加速度为g，则竖直轻绳OA受到的拉力FT和衣架左侧对衣服的作用力F大小分别为（）A.FT＝（M＋m）g，F＝33B.FT＝（M＋m）g，F＝12C.FT＝Mg，F＝32D.FT＝Mg，F＝12解析：A以衣服和衣架为整体受力分析可知，整体受总重力和轻绳OA的拉力作用，根据平衡条件得FT'＝（M＋m）g，根据牛顿第三定律可知，OA受到的拉力FT＝FT'＝（M＋m）g；以衣服为研究对象，根据几何关系可知F与竖直方向的夹角为30°，由平衡条件得2Fcos30°＝Mg，解得F＝33Mg，故选A2.[合成法、正交分解法的应用]如图所示，粗细均匀的直杆水平固定放置，滑块A套在杆上，用轻弹簧与小球B相连，给小球B施加一个水平向右的、大小为F的拉力，弹簧与水平方向的夹角为30°，A、B均处于静止状态，弹簧伸长量为x，则下列判断正确的是（）A.球B的重力大于FB.杆对A的摩擦力大于FC.杆对A的支持力大于FD.弹簧的劲度系数为F解析：D对小球B进行受力分析，受到重力mBg、弹簧弹力F弹、水平外力F，根据三力平衡，由矢量三角形可得，球B的重力mBg＝Ftan30°＜F，弹簧的弹力F弹＝kx＝Fcos30°，弹簧的劲度系数k＝Fxcos30°，故A错误，D正确；对A进行受力分析，受到重力mAg、弹簧弹力F弹、支持力FN，杆对A水平向左的静摩擦力Ff，由平衡条件得FN＝mAg＋Ftan30°，Ff＝F弹·cos30°＝F，故B错误；由于A、B的质量未知，因此不能确定FN与F的大小关系考点三动态平衡问题[多维探究类]方法一解析法如果物体受到多个力的作用，可进行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，找函数关系，根据自变量的变化确定因变量的变化，还可由数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。【典例3】（2023·江苏扬州中学高三阶段练习）如图所示，半球P始终保持静止，球Q光滑，用外力使MN保持竖直并且缓慢地向右移动。在Q落到地面之前，下列说法正确的是（）A.MN对Q的弹力逐渐减小B.地面对P的摩擦力逐渐增大C.地面对P的弹力变小D.P、Q之间的弹力逐渐减小解析对Q受力分析，其受重力、P对Q的支持力和MN对Q的支持力，如图所示。根据平衡条件有F合＝0，N1＝mgcosθ，N2＝mgtanθ，对P、Q整体分析，受重力、地面的支持力、MN挡板对其向左的支持力和地面对其向右的摩擦力，根据平衡条件得f＝N2＝mgtanθ，N＝（M＋m）g，MN保持竖直且缓慢向右移动过程中，角θ不断变大，则f变大，N不变，故B正确，C错误；MN保持竖直且缓慢向右移动过程中，角θ不断变大，根据N1＝mgcosθ，N2＝mgtanθ，可知N1变大，N2变大，故A、D答案B方法二图解法物体受三个力作用并处于平衡：一个力恒定，另一个力的方向恒定时可用此法。由三角形中边长的变化知力的大小的变化，还可判断出极值。一般按照以下流程解题。受力分析化“动”为“静”画不同状态下的平衡图“静”中求“动”确定力的变化【典例4】一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA偏离竖直方向的夹角为β＝30°，如图所示。现保持β角不变，缓慢调整OB方向至虚线位置，则下列说法正确的是（）A.OA中的张力先减小后增大B.OB中的张力先增大后减小C.OA中的张力不断增大D.OB中的张力不断减小解析对O点受力分析，重力为恒力，OA绳的拉力方向不变，OB绳的拉力大小和方向均变化，则构成三力平衡的动态平衡，由图解法作图如图所示，当FTB⊥FTA时，FTB最小，整个转动过程，FTB先减小后增大，FTB与重力的合力不断增大，即OA绳的张力不断增大。答案C方法三相似三角形法物体受三个力平衡，一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时，利用三角形的变化判断力的变化。【典例5】如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是（）A.F不变，FN增大 B.F不变，FN减小C.F减小，FN不变 D.F增大，FN减小解析小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终受力平衡，对小球进行受力分析，受力示意图如图所示，由图可知△OAB∽△G'FA，即GR＝FAB＝FNR，当A点上移时，半径不变，AB长度减小，则F减小，FN不变，答案C方法四辅助圆法（1）适用情况物体所受的三个力中，一个力的大小、方向不变，另两个力的大小、方向都在改变，但变化的两个力的夹角不变。（2）方法画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。作闭合三角形的外接圆为辅助圆，在辅助圆中可轻易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。【典例6】如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为αα>π2。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OMA.MN上的张力逐渐增大B.MN上的张力先增大后减小C.OM上的张力逐渐增大D.OM上的张力先减小后增大解析以重物为研究对象，它受三个力，即重力mg、轻绳OM段的拉力FO、NM段的拉力FN的作用，处于平衡状态。考虑到力mg不变，FO与FN间的夹角不变，当FO由竖直向上变为水平向左时，作出如图所示的力的矢量图，由图可知FN一直变大，FO先增大后减小。故A正确。答案A方法五“活结”的动态分析如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Fsinθ1＝Fsinθ2，故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系可知，sinθ＝dL1+L2＝dL，若两杆间距离d不变，则上下移动悬线结点，θ不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2FTcosθ＝mg【典例7】如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G。现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近（C点与A点等高）。则在此过程中绳中拉力大小（）A.先变大后不变 B.先变大后变小C.先变小后不变 D.先变小后变大解析对滑轮和重物整体受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F1＝F2，由几何关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为θ，则F1＝F2＝mg2cos如图乙所示，设绳长为L，由几何关系有sinθ＝dL其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此θ先变大后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确。答案A“融会贯通”归纳好平衡中的临界和极值问题1.临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。2.极值问题：平衡物体的极值问题，一般指在力的变化过程中出现的最大值和最小值问题。类型一极限分析法正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小。【典例1】课堂上，老师准备了“”形光滑木板和三个完全相同、外表面光滑的匀质圆柱形积木，要将三个积木按如图所示（截面图）方式堆放在木板上，则木板与水平面夹角θ的最大值为（）A.30° B.45°C.60° D.90°解析θ取0°时，下面两圆柱之间将会分开，无法稳定，应适当增大θ以保持系统稳定，此时下面两圆柱之间有弹力；当下面两圆柱之间的弹力恰好为0时，对应的θ为最小值；继续增大θ，右圆柱和上圆柱之间弹力减小，若θ太大，此两圆柱将分开，当上圆柱和右圆柱之间的弹力恰好为0，对应的θ为最大值。临界情况为θmax时，左边两圆柱的圆心连线在竖直方向上，保证上圆柱只受到两个力的作用恰好处于平衡状态，此时上圆柱与右圆柱间相互接触且无弹力，可得θ＝30°，故A正确，B、C、D错误。答案A类型二数学分析法通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。【典例2】如图所示，质量为m＝5kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝13，g取10m/s2，当物体做匀速直线运动时，下列说法正确的是（A.牵引力F的最小值为253NB.牵引力F的最小值为253C.牵引力F与水平面的夹角为45°D.牵引力F与水平面的夹角为30°解析物体受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和拉力F的共同作用，将拉力沿水平方向和竖直方向分解，如图所示，由共点力的平衡条件可知，在水平方向上有Fcosθ－μFN＝0，在竖直方向上有Fsinθ＋FN－G＝0，联立解得F＝μGcosθ+μsinθ，设tanφ＝μ，则cosφ＝11+μ2，所以F＝μGcos(θ-φ)·11+μ2，当cos（θ－φ）＝1，即θ－φ＝0时，F取到最小值，Fmin＝μG1+μ2＝25N，而答案D类型三图解法根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值。【典例3】如图所示，重力都为G且可视为质点的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是2l，A、B间的绳子长度是l。将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直，同时O、A间和A、B间的两段轻绳分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为（）A.12G B.3C.G D.23解析对小球A受力分析可知，因O、A间轻绳竖直，则A、B间轻绳上的拉力为0。对小球B受力分析如图所示，则可知当F与O、B间轻绳垂直时F最小，Fmin＝Gsinθ，其中sinθ＝l2l＝12，则Fmin＝12G，答案A1.唐代《耒耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力，设牛用大小相等的拉力F通过耕索分别拉两种犁，F与竖直方向的夹角分别为α和β，α＜β，如图所示，忽略耕索质量