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文档简介
1.5平方差公式第2课时平方差公式的应用七年级下
北师版1.掌握平方差公式,会进行平方差公式的变形计算.2.应用平方差公式解决实际问题,培养数学感知能力.学习目标难点重点新课引入如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.ab图1(1)请表示图1中的阴影部分的面积.a2-b2(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(图2),这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积吗?长=a+b;宽=a-b;面积=(a+b)(a-b)(3)比较(1)(2)的结果,你能验证平方差公式吗?ab图2aabba+ba-
bbb方法一:新知学习aabba2-b2abbb(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2a-ba-b方法二:方法三:如图①,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形.设图①中阴影部分面积为S1,图②中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1,S2;解:
S1=a2-b2,S2=(2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b).所以S1=S2=(a+b)(a-b)=a2-b2.想一想(1)计算下列各组算式,并观察它们的共同特点:(2)从以上的过程中,你发现了什么规律?(3)请用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗?7×9=8×8=11×13=12×12=79×81=80×80=63
64143
1446399
6400两个连续奇数的积等于中间所夹偶数平方减1.(a+1)(a-1)=a2-1.例1计算:(1)103×97.(2)704×696.
解:(1)103×97=(100+3)(100-3)=10000-9=9991.=100²-3²解:(2)704×696=(700+4)(700-4)=490000-16=489984.=700²-4²例2计算:(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2.(2)(2x+5)(2x-5)-2x(2x-3)
解:(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2=a2(a2-b2)+a2b2=a4=a4-a2b2+a2b2解:(2)(2x+5)(2x-5)-2x(2x-3)=(2x)2-25-(4x2-6x)=6x-25=4x2-25-4x2+6x归纳应用平方差公式计算时,只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式;对于不能直接应用公式的,可能要经过变形才可以应用.例3对于任意的正整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗?即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数.解:原式=9n2-1-(9-n2)=10n2-10.因为(10n2-10)÷10=n2-1.n为正整数,所以n2-1为整数方法总结:在探究整除性或倍数问题时,一般先将代数式化为最简,然后根据结果的特征,判断其是否具有整除性或倍数关系.1.如图①,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,小明将图①的阴影部分拼成了一个长方形,如图②,这一过程可以验证(
)A.a2+b2-2ab=(a-b)2B.a2+b2+2ab=(a+b)2C.2a2+b2-3ab=(2a-b)(a-b)D.a2-b2=(a+b)(a-b)D随堂练习2.如图①是由一个方鉴和一个方尊缶组成的青铜冰鉴.其从上面看到的图形如图②所示,已知大正方形与小正方形的边长和为1.1m,差为0.5m,则阴影部分的面积为________m2.第2题图0.553.计算:(1)51×49;
(2)102×98.
解:原式=(50+1)(50-1)=502-12=2500–1=2499解:102×98=1002-22=10000–4=(100+2)(100-2)=9996(3)1998×2002.(4)992-1
解:(3)1998×2002=(2000-2)(2000+2)=4000000-4=3999996.=2000²-2²解:
(4)992-1=(99+1)(99-1)=9800=100×984.计算:(1)(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2.(2)(x+y)2-(x-y)2
解:(1)(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2=(3mn)2-1-8m2n2=m2n2-1=9m2n2-1-8m2n2解:(2)(x+y)2-(x-y)2
=(x+y+x-y)(x+y-x+y)=4xy=2x·2y5.先化简,再求值:(x+1)(x-1)+x2(1-x)+x3,其中x=2.解:原式=x2-1+x2-x3+x3=2x2-1.将x=2代入,得原式=2×22-1=7.6.如图,有一个狡猾的地主,把一块边长为a
m的正方形土地租给马老汉栽种.过了一年,他对马老汉说:“我把你这块地的一边减少5m,另一边增加5m,继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”马老汉一听,觉得好像没吃亏,就答应了.同学们,你们觉得马老汉有没有吃亏?请说明理由.解∶马老汉吃亏了.理由如下:∵a²-(a+5)(a-5)=a²-(a²-25)=25,∴与原来相比,马老汉的土地面积减少了25m²,即马老汉吃亏了.7.小红家有一块L型的菜地,如图所示,要把L型的菜地,按图那样分成面积相等的梯形,种上不同的蔬菜,这两个梯形的上底都是am,下底都是bm,高都是(b-a)m,请你帮小红家算一算这块菜地的面积共有多少?并求出当a=10,b=30时,L型菜地的总面积.解:由题意,得这块菜地的面积为2×(a+b)(b-a)=b2-a2(m2).当a=
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