第21章一元二次方程根与系数的关系的十一种应用课件人教版数学九年级上册提分法

第6招根与系数的关系的十一种应用九年级数学（上）极速提分法已知关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0，(1)若方程有实数根，求a的取值范围．(2)是否存在这样的实数a，使方程的两根x1，x2满足

x1＋x2＋x1x2＝3？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

例解题方法：1.对于二次项系数含有字母的方程，当方程未指明是一元二次方程或有两个根时，必须将方程按二次项系数为0和不为0两种情况进行分类讨论；2.解答与一元二次方程有关的存在性问题，一般先假设存在，根据根与系数的关系列出关于字母系数的方程，求出字母系数的值，再看它是否满足根的判别式大于或等于零，最后确定字母值的存在性．解：(1)当a＝5时，方程为－4x－1＝0，方程有实数根；当a≠5时，方程为一元二次方程，Δ＝16＋4(a－5)＝4a－4≥0，解得a≥1.∴a的取值范围为a≥1.应用1已知方程一根，求另一根及待定系数1.已知关于x的方程x2＋kx－6＝0的一根为2，求方程的另一根及k的值．

【点拨】利用根与系数的关系联立方程组求解即可．2.【2023·武汉】已知a，b是方程x2－3x－5＝0的两根，则代数式2a3－6a2＋b2＋7b＋1的值是(

)A．－25

B．－24C．35D．36D应用2已知方程，求有关两根的代数式的值【点拨】∵a，b是方程x2－3x－5＝0的两根，∴a2－3a－5＝0，b2－3b－5＝0，a＋b＝3，∴a2－3a＝5，b2＝3b＋5，∴2a3－6a2＋b2＋7b＋1＝2a(a2－3a)＋3b＋5＋7b＋1＝10a＋10b＋6＝10(a＋b)＋6＝10×3＋6＝36.3.应用3已知两方程，求含两未知数的代数式的值【点拨】应用4已知方程，求字母系数的取值范围4.已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0的两根的平方和小于5，求k的取值范围．

【点方法】本题容易忽略Δ≥0这个条件，做题时要注意方程有根的条件．5.已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且两个根的平方和比两个根的积大21，求m的值．应用5已知方程，求字母系数的值解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝[2(m－2)]2－4×1×(m2＋4)≥0.解这个不等式，得m≤0.设方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝－2(m－2)，x1x2＝m2＋4.∵x12＋x22－x1x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝21.∴[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21.整理得m2－16m－17＝0.解得m1＝－1，m2＝17.又∵m≤0，∴m＝－1.【点拨】利用根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入(x1＋x2)2－3x1x2＝21得到关于m的一元二次方程，再解方程即可．本题易忽略Δ≥0这一条件．6.不解方程，判断方程2x2＋3x－7＝0两个根的符号．应用6已知方程，判断根的符号【点拨】7.已知－1和3是某个关于x的一元二次方程的两个根，且方程中二次项系数为1，请写出这个方程．解：设这个方程为x2＋ax＋b＝0.由已知得－1＋3＝－a，－1×3＝b，∴a＝－2，b＝－3.∴这个方程为x2－2x－3＝0.应用7已知两根，求一元二次方程8.已知实数x，y，z满足x＝6－y，z2＝xy－9.求证：x＝y.应用8结合根的判别式证明等式证明：由题意知x＋y＝6，xy＝z2＋9，∴x，y是关于t的一元二次方程t2－6t＋z2＋9＝0①的两个实数根，∴Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0，于是z＝0，从而Δ＝0.故方程①有两个相等的实数根，∴x＝y.9.应用9结合根的判别式证明不等式证明：由题知bc＝a2－a＋1，b＋c＝2a2－2bc＋2＝2a.于是b，c是关于t的一元二次方程t2－2at＋a2－a＋1＝0的两个实数根．∴Δ＝4a2－4(a2－a＋1)≥0，解得a≥1.【点方法】本题关键是构造以b，c为两个实数根的一元二次方程，利用判别式Δ≥0即可证得a≥1.10.已知关于x的二次函数y＝x2－(2k－1)x＋k2＋1的图象与x轴有两个交点．(1)求k的取值范围；应用10结合抛物线求字母的值【点方法】本题利用数形结合思想将抛物线与一元二次方程结合，利用根的判别式和根与系数的关系进行求解．11.已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；解：∵关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4m≥0，解得m≤4.应用11结合一元二次方程求抛物线与x轴两交点间的距离(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求二次函数y＝x2－4x＋m的图象与x轴的两个交点间的距离．解：∵方程的两实