2023年高考数学一轮复习习题：第九章平面解析集合

第九章DIJIUZHANG

9平面解析几何

第1节直线的方程

考纲要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线

的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要

素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.

、知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.直线的倾斜角

⑴定义：当直线/与X轴相交时，我们取X轴作为基准，尤轴正向与直线/向上方向之间所

成的角ɑ叫做直线/的倾斜角；

(2)规定：当直线/与X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为。；

(3)范围：直线的倾斜角ɑ的取值范围是［O,π).

2.直线的斜率

(1)定义：当直线/的倾斜角αW1时，其倾斜角α的正切值tana叫做这条直线的斜率，斜率

通常用小写字母女表示，即*=tanα.

(2)计算公式

①经过两点P(»,yι),P2(x2,刈)3#及)的直线的斜率Z=蓝三£.

②若直线的方向向量为α=(x,y)(x≠0),则直线的斜率《与

3.直线方程的五种形式

名称几何条件方程适用条件

斜截式纵截距、斜率y=kx+b

与X轴不垂直的直线

点斜式过一点、斜率y-yn=k(χ-χo)

VlX-X∖

两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线

yz-y∖Xz-χ∖

不过原点且与两坐标轴均不

截距式纵、横截距i+b=1

垂直的直线

1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:

Cπππ

a02<a<π

0<a<22

k0QO不存在k<0

2.截距和距离的不同之处

“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非

负数.

诊断自测

►■思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“或“X”)

(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()

(2)直线的斜率为tana,则其倾斜角为a.()

(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()

(4)经过任意两个不同的点Pι(χ∣,yι),P2(χ2,y2)的直线都可以用方程Cy-yι)(χ2—Xl)=(X-XI)Cy2

一%)表示•()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

解析(1)当直线的倾斜角内=135。，ct2=45。时，al>a2,但其对应斜率由=—1,依=1,h

Vk?.

⑵当直线斜率为tan(—45。)时，其倾斜角为135°.

(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.

〉教材衍化

2.若过两点&一风6),8(1,3M的直线的斜率为12,则直线的方程为.

答案⑵一y—18=0

377?—6

解析由题意得丁一=12,解得小=-2,.∙.4(2,6),

1-rm

直线AB的方程为y-6-12(χ-2),

整理得12X—y—18=0.

3.若方程Ar+gy+C=O表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条

件是.

答案AWO且8≠0

解析由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A≠0且B≠0.

>考题体验

4.（2020•衡水模拟）直线x+√5y+l=0的倾斜角是（）

πC兀—2兀C5兀

aBc

A∙6-3∙Td-~6

答案D

解析由直线的方程得直线的斜率为k=一坐，设倾斜角为α,贝Utana=一坐，又α∈[0,

π),所以ɑ=^.

5.（2021•西安模拟）已知两点A（T,2）,B（∕n,3）,且〃∈7[-号一1,√3~1J,则直线AB的倾

斜角α的取值范围是（）

A「四吟R但2π^

AL6,2）B-<2,3J

「兀πλ（R2π^l「兀2π^∣

c∙L6*2JulrτjD∙位,yj

答案D

解析①当，〃=-1时，a=]；

综合①②知直线AB的倾斜角α的取值范围是低，y.

6.（2021・合肥调研）过点（一3,4）,在X轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12

的直线方程为.

答案4χ-y+16=0

解析由题设知，横、纵截距均不为0,设直线的方程为\+石匕=1,又直线过点（一3,4）,

从而W—3+l⅛4Σ=l'解得”=-4或。=9（舍）.故所求直线的方程为4x—y+16=0.

考点分层突破，考点聚焦•题型剖析

考点一直线的倾斜角与斜率典例迁移

【例1】（经典母题）直线/过点P（LO）,且与以A（2,1）,B（0,√5）为端点的线段有公共点,

则直线I斜率的取值范围为.

答案（一8,-y∣3>∖U[1,÷∞）

解析法一设与P8的倾斜角分别为α,夕，直线山的斜率是心P=1,直线PB的斜率

是依户=一小，当直线/由BI变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90。，

斜率的取值范围为[1,+∞）.

当直线/由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90。增至夕，斜率的变化范围是(-8,

-

故斜率的取值范围是(一8,-√3]U[1,+∞).

法二设直线/的斜率为K则直线/的方程为

y=k(χ-1),即kχ-y-k=Q.

VA,8两点在直线/的两侧或其中一点在直线/上，

Λ(2⅛-1-Λ)(-√3-⅛)≤0,

即(/一1)伙+小)》0,解得火或Jl≤-√5.

即直线/的斜率左的取值范围是(一8,-√3]U[1,+∞).

【迁移】若将例1中P(l,0)改为尸(一1,0),其他条件不变，求直线/斜率的取值范围.

解设直线/的斜率为K则直线/的方程为

y=k(x+1),即kχ-y+k=O.

VA,B两点在直线/的两侧或其中一点在直线/上，

，(2k—1+⅛)(-*∖∕3+Λ)≤0,

≡P(3⅛-l)(⅛-√3)≤0,解得:WkW√l

一]一

即直线/的斜率的取值范围是E，√3.

感悟升华1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜

角的取值范围时，常借助正切函数y=tanx在[θ,f)u(j,π)上的单调性求解，这里特别要

注意，正切函数在0,号U停，Tt)上并不是单调的.

2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为冷TT时，直线斜

率不存在.

【训练I】过函数y(χ)=5j-f图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值

范围为()

A∙[θ,⅞]

B.0,,U

(TI3π^l

πd∙6Tj

答案B

解析•・/(X)=X2—2x=0—I)2-1≥-1,

J斜率女=tan心一1,解得倾斜角0,I)U竽，π),故选B.

考点二直线方程的求法师生共研

【例2】⑴已知C的三个顶点分别为A(-3,0),8(2,1),C(-2,3).求BC边上的中线

AD所在直线的方程.

(2)经过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等；

⑶经过两条直线・x+y=29∕2:2χ-y=l的交点，且直线的一个方向向量。=(一3,2).

解(1)由题意得线段BC的中点D(0,2),可得BC边上的中线AD所在直线的方程为M+]=

1,即2χ-3y+6=0.

(2)法一①当截距为0时，直线/过点(0,0),(2,3),

则直线/的斜率为仁F3—=0去3

2—0Z

3

因此，直线/的方程为y=∣r,即3χ-2y=0.

②当截距不为0时，可设直线/的方程为5+2=i∙

23

因为直线/过点P(2,3),所以[+%=1,所以〃=5.

所以直线/的方程为x+y-5=0.

综上可知，直线/的方程为3x—2y=0或x+y—5=0.

法二由题意可知所求直线斜率存在，

则可设y—3=Z(χ-2),且k≠0.

3

得%

令x=0,得y=-2k+3.令y=0,

33

于是一2Z+3=一兄+2,解得A=]或Z=-L

3

则直线/的方程为y—3=](χ-2)或ʃ-3=—(X—2),

即直线/的方程为3x一2y=0或χ-∖-y—5—0.

x+y=2,

(3)联立J得x=l,y=l,

,2χ-y=l,

・•・直线过点(IJ)

二直线的方向向量o=(—3,2),

2

・•・直线的斜率％=一3

2

则直线的方程为厂1=一余L1),

即2x+3y-5=0.

感悟升华(1)求直线方程一般有以下两种方法：

①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.

②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件

求出待定系数，即得所求直线方程.

(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜

率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).

【训练2】(1)已知点M是直线/：2χ-y-4=0与X轴的交点，将直线/绕点M按逆时针

方向旋转45。，得到的直线方程是()

A.x+y—3=0B.x~3y~2=0

C.3x-),+6=0D.3x+y—6=0

(2)过点(2,1)且在无轴上截距与在＞∙轴上截距之和为6的直线方程为.

答案(I)D(2)x+y-3=0或x+2y-4=0

解析⑴设直线/的倾斜角为α,则tanα=k=2,

2+1

直线/绕点M按逆时针方向旋转45。，所得直线的斜率A'=tan(α+450)=—-=-3,

1-Z^1

又点M(2,0),

所以y=—3(%—2),即3x+y-6=0.

⑵由题意可设直线方程为"A1.

a+b—6,

则“21解得”=∕>=3,或a=4,⅛=2.

~+τ=l,

lab

故所求直线方程为尤+y—3=0或x+2y-4=0.

考点三直线方程的综合应用师生共研

【例3】已知直线/：履一y+l+2A=0伙GR).

(1)证明：直线/过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求Z的取值范围；

(3)若直线/交X轴负半轴于点4交y轴正半轴于点8,ZVlOB的面积为S(O为坐标原点),

求S的最小值并求此时直线/的方程.

⑴证明直线/的方程可化为k(x+2)+(l-y)=0,

x一+2尸=0。,，解得IX=-2,

y=i∙

，无论我取何值，直线总经过定点(-2,1).

解由方程知，当左时，直线在轴上的截距为一r—,在轴上的截距为

(2)WoXKyl+2k,

•1+2忆

要使直线不经过第四象限，则必须有，―k'―2,解得40;

.1+2JI>1,

当Z=O时，直线为y=l,符合题意，故人的取值范围是［0,+∞).

(3)解由题意可知kW0,再由/的方程，

得A(一0),B(0,l+2fc).

rι+2⅛

——；—<0,

依题意得Jk解得《>0.

.l+2fc>0,

'：S=^∖OA∖∖OB∖^--∣1+2⅛∣

1(1+2无A∖(1,ɔ

=2∙^r^=≡tt+l⅛+4J

≥^×(2×2+4)=4,

“=”成立的条件是Qo且必=；,即k=；,

K乙

∙∙∙Smin=4,此时直线/的方程为χ-2y+4=0.

感悟升华1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，

能够看出“动中有定”.若直线的方程为),=k(χ-l)+2,则直线过定点(1,2).

2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求

得多边形面积.

3,求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性

或基本不等式求解.

【训练3】(1)已知ZGR,写出以下动直线所过的定点坐标：

①若直线方程为y=H+3,则直线过定点；

②若直线方程为y=fcc+3A,则直线过定点；

③若直线方程为x=6+3,则直线过定点.

(2)(2021・武威模拟)若直线0x+6y=α6(α>0,匕>0)过点(1,1),则该直线在X轴、)，轴上的截

距之和的最小值为()

A.IB.4C.2D.8

答案(1)①(0,3)②(一3,0)③(3,0)(2)B

解析(1)①当X=O时，y=3,所以直线过定点(0,3).

②直线方程可化为y=A(x+3),故直线过定点(-3,0).

③当y=0时，x=3,所以直线过定点(3,0).

(2)；直线ax+by=ab(a>0,(>0)过点(1,1),

所以α+Q",∣+∣-1,因为直线在X轴的截距为6,在y轴上的截距为“，所以直线在X

轴、y轴上的截距之和为a+b,α+b=(α+M∖+!)=2+2+注2+2'限=4,所以当a

vɑUJClU∖∣ClU

=匕=2时取最小值，最小值为4,故选B.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.如图中的直线∕∣,/2，/3的斜率分别为心，h，ki,则(

A.k∖<k2<k3B.k3<k↑<k2

C.k3<k2<k1D.k∖<k3<k2

答案D

解析直线∕∣的倾斜角Ctl是钝角,故⅛l<0,直线/2与&的倾斜角c<2与013均为锐角且Ct2>α3,

所以0<⅛3<⅛2,因此k—

2.(2021•安阳模拟)若平面内三点A(l,-a),B(2,a2),C(3,03)共线,则α=()

2—^∖∣5„

A.或OB.—或0

r2±√5

口.2

答案A

∩^∙∩∩∙,—∣-∩

解析由题意知心B=Mc,即2—]=3一]，即”(。2—2a—1)=0,解得α=0或a=l±√∑

3.如果A∙β>O,8∙C<0,那么直线Ar-By-C=O不经过的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析因为直线在X轴、y轴上的截距分别为彳<0,-f>0,所以直线Ar-B)LC=O不经过

的象限是第四象限.故选D.

4.（2020•成都诊断）过点（2,1）,且倾斜角比直线y=-x—l的倾斜角小:的直线方程是（）

A.x=2B.y=1C.x=lD.y=2

答案A

解析直线y=-x—1的倾斜角为芋，则所求直线的倾斜角为冬故所求直线斜率不存在，

又直线过点（2,1）,所以所求直线方程为x=2.

5.（2021•福建六校联考）在同一平面直角坐标系中，直线/1：cιx+y+b=0和直线h：bx+y

+α=0有可能是（）

答案B

解析当O>0时，一〃<0,-/X0,结合选项知B符合，其他均不符合.

6.已知直线/：M+），-2—。=0在X轴和y轴上的截距相等，则。的值是（）

A.1B.-1

C.一2或一1D.—2或1

答案D

解析令X=0,y=2+a,

.2+αLl-2+〃

令y=0,x=—~—,则2+。=~~一.

即（α+2）（α-1）=0,.9.a=-2或a=∖.

7.直线2%cosa-厂3=θ（α∈的倾斜角的取值范围是（）

「兀ππππππ2π

AI不

3B.4,3C.4,2D.4,3

答案B

解析直线2xcosa—y—3=0的斜率攵=2CoS

ππ

因为

因此¢=2CoSa∈[1,√3].

设直线的倾斜角为仇则有tan0∈[l,√3].

Γ71TT

又e∈[0,π）,所以J∈∣j,ɜj,

兀Tr

即倾斜角的取值范围是不5.

8.(2021•安阳模拟)已知点A(l,3),B(-2,-1).若直线/：y=k(,x-2)+1与线段4B恒相交,

则上的取值范围是()

A.吗B.⅛≤-2

C.A:2/或无W-2D.-2≤⅛≤∣

答案D

解析直线/：y=k(χ-2)+l经过定点P(2,l),

3-1-1-11

•kpΛ~γz^~~2,kpB—_2_2~2,

又直线/：y=-χ-2)+l与线段AB恒相交，

二-2≤⅛≤∣.

二、填空题

9.把直线χ-y+√5f=0绕点(1,小)逆时针旋转15。后，所得直线/的方程是.

答案y->βχ

解析已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45。，绕点逆时针旋转15。后，得到的直线/的倾

斜角。=45。+15。=60。，直线/的斜率为tanα=tan6(Γ=√5,直线/的方程为y-√5=√5

(X—1),即y=小乂

10.(2020.沈阳模拟)过点(1,且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为.

答案x+4y-2=0

解析因为两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零，

可设直线方程为5+即=1,

因为、+即=1过点°，")，

所以H=I,解得4=2,

所以，所求直线方程为5+2y=l,化为x+4y-2=0.

11.(2021・广州质检)若直线/与直线y=l,x=7分别交于点P,Q,且线段P。的中点坐标

为(1,-1),则直线/的斜率为.

套案―ɪ

口荥3

解析依题意，设点尸3,1),2(7,份，

。+7=2,ftz=-5,

则有一—、解得」ɔ

⅛+1=—2,[b=-3,

从而可知直线/的斜率为葺U=-/

12.在平面直角坐标系xθy中，经过点尸(1,1)的直线/与X轴交于点A,与y轴交于点8.若两

=—2而，则直线/的方程是.

答案x+2>-3=0

解析设A("0),8(0,b),由丽=一2而，可得α-1=-2X(0-l),0—1=-2S-1),则

α=3,6=点由截距式可得直线/的方程为5+1=1,即x+2y—3=0.

2

B级能力提升

13.(2020•东北三省三校调研)设尸为曲线C：y=Λ2+2r+3上的点，且曲线C在点P处的

切线倾斜角的取值范围为[o,牛则点P横坐标的取值范围为()

A[-1,B.[-1,0]

「1^l

C.[0,1]D.叵1

答案A

解析由题意知，y'=2x+2,

设P(M,州)，则在点尸处的切线的斜率k=2x⅛+2.

因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为[o,则OWZWl,即OW2xo+2Wl,

故一1WXoW一2.

14.己知A,B是X轴上的不同两点，点P的横坐标为2,且∣∕¾∣=∣PB∣,若直线心的方程

为X—y+l=O,则直线PB的方程是()

A.2x+y~7=0B.x+y-5=0

C.2y-χ~4=0D.2χ-y-1=O

答案B

解析因为点P的横坐标为2,且点P在直线χ-y+l=O上，所以点P的纵坐标为3,所

以尸(2,3).又因为∣∕¾∣=∣PB∣,所以直线∕¾,PB的斜率互为相反数，所以直线PB的斜率为

-1,则直线PB的方程是y-3=—(χ-2),即x+y-5=0.故选B.

15.已知直线∕∣:aχ-2y-2a~4,/2：2Λ÷α2γ=2cr÷4>当0<〃<2时，直线∕∣,/2与两坐标

轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则α=.

答案I

2

解析由题意知直线∕l,/2恒过定点P(2,2),直线∕∣的纵截距为2—a,直线/2的横截距为a

+*又0<α<2,

+2,

所以当时，面积最小.

16.在aABC中，NAC8=90。，BC=3,AC=4,P是线段AB上的点，则P至IJAC,BC的

距离的乘积的最大值为.

答案3

解析以C为坐标原点，CB所在直线为X轴建立直角坐标系(如图所示)，则A(0,4),B(3,0),

直线AB的方程为:+g=l.

设P(x,y)(0WxW3),所以P到AC,8C的距离的乘积为研因为科江2

当且仅当尹AT时取等号，所以孙≤3,

所以D的最大值为3.

第2节两直线的位置关系

考纲要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求

两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行

直线间的距离.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线/1，/2,其斜率分别为如法则有/|〃/2=也三拉特别地，当直线亿

Il的斜率都不存在时，∕l与/2平行.

(2)两条直线垂直

如果两条直线∕∣,/2斜率都存在，设为左，k2,则Koh座=-1,当一条直线斜率为零,

另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.

2.两直线相交

直线∕∣:A∣x+5y+G=O和/2：A2X+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组

AX+B∣y+G=0,

的解一一对应.

.A2x+B2y+C2=O

相交o方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解；

平行O方程组无解;

重合台方程组有无数个解.

3.距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点PI(X1，y∣)>P2(x2>竺)间的距离公式为IPIP2l=Λ∕(X2—汨)2+&2-

特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离IoPI=Vr2+与.

(2)点到直线的距离公式

IAro+gyp+C∣

平面上任意一点PO(X0,州)到直线/：Ar+出+C=O的距离d=

√Λ2+B2

(3)两条平行线间的距离公式

一般地，两条平行直线∕ι:AΛ+B}+C∣=O,/2：Ar+By+C2=O间的距离"=手"；L

4.对称问题

⑴点P(X0,州)关于点A(4,6)的对称点为P'(2a-xo.2Z>—y<1)∙

⑵设点P(X0,州)关于直线y=丘+b的对称点为P'(x'，y'),则有

yyo.,

-.........-k--∖,

X-XO

可求出x',y'.

y'+)'()x'+Λ⅛

2=k-∙2Vb,

•----常用结论与微点提醒

1.两直线平行的充要条件

直线∕ι:4x+Bιy+C∣=0与直线/2：42x+B2y+C2=O平行的充要条件是-AzBi=O且

SC2-&GW0(或A1C2-A2C∣≠O).

2.两直线垂直的充要条件

直线/1：AIx+8ιy+C∣=0与直线£：A2x+B2y+C2=O垂直的充要条件是A1A2+B∣82=O.

3.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件

(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.

(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且X,y的系数对应相等.

诊断自测

〉思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“或“X”)

(1)当直线/l和/2的斜率都存在时，一定有由=42今/|〃/2.()

(2)如果两条直线/1与/2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.()

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()

(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

解析(1)两直线/1,，2有可能重合.

(2)如果1JJ2,若/l的斜率h=0,则，2的斜率不存在.

〉教材衍化

2.两条平行直线3x+4y—12=0与4x+8y+11=0之间的距离为()

A.yB.γ∣C.7D.1

答案D

解析由题意知”=6,直线3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0,所以两平行直线之间的

111+24∣7

距离为

√36+64^2∙

3.若三条直线y=2x,x+y=3,∕wx+2y+5=0相交于同一点，则，*的值为

答案一9

y=2x,

解析由得

.χ+y=3,

/.点(1,2)满足方程mx+2y+5=0,

即％X1+2X2+5=O,；.〃1=-9.

►■考题体验

4.(2021・银川联考)若直线4x+4y-2=0与直线2x—5y+匕=O垂直，垂足为(1,c),则4+%

+c=()

A.一2B.—4C.-6D.-8

答案B

解析：直线0x+4y-2=0与直线2χ-5y+6=0垂直，：.一点X∣=-l,

.∙.4=10,直线Or+4y—2=0的方程即为5x+2y-1=0.

将点(1,C)的坐标代入上式可得5+2C-I=0,

解得c=-2.

将点(1,一2)的坐标代入方程2%—5)，+6=0得2—5乂(-2)+6=0,解得6=-12.

.•.n+〃+c=10-12-2=-4.故选B.

5.(2020•淮南二模)设2CR,则“2=—3”是“直线2Λx+(7—1))，=I与直线6x+(l-√)y=4

平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

答案A

解析当％=—3时，两条直线的方程分别为6x+4y+l=0,3x+2y-2=0,此时两条直线平

行；若两条直线平行，则22X(1一力=-6(1—力，所以2=-3或2=1,经检验，两者均符

合，综上，"a=—3"是"直线2λr+(7-l)y=l与直线6x+(l—2)y=4平行”的充分不必

要条件，故选A.

4

6.(2019•江苏卷)在平面直角坐标系XO)，中，P是曲线y=x+1(x>O)上的一个动点，则点P

到直线x+y=O的距离的最小值是.

答案4

解析法一由题意可设尸(xo,M)+(ɔ(XO>0),

44/4

xo+xo+72JC0+-2∖2X0--

则点P到直线x+y=O的距离d=-√2^°√2=41当且仅当2λ°=

r-

\4即XO=也时取等号.

-ʌo

故所求最小值是4.

法二设P(X0,(+Xo)(XO>0),则曲线在点尸处的切线的斜率为A=L去令一6=—1，结

合xo>O得XO=啦，."(啦，3√2),曲线y=x+:(x>O)上的点P到直线x+y=O的最短距离

故…吗普4

即为此时点P到直线x+y=O的距离,

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一两直线的平行与垂直师生共研

【例1】已知直线∕κ“x+2y+6=0和直线'x+(α-^Dy+序-1=0.

(1)试判断八与/2是否平行；

(2)当/I_L/2时，求α的值.

解(1)法一当a=l时，/1：x÷2y+6=0,/2：X=0,/1不平行于/2;

当α=0时，∕∣:y=-3,/2：χ-y-1=0,/1不平行于/2;

当α≠l且α≠0时，两直线方程可化为∕∣:y=-^χ-3,

/2：y=yτ~r-(«+1)>

a_1

5=^Γ7?

l∖∕∕l2^>∙

l-3≠-(α+l),

解得a=-1,综上可知，当a=-1时，I1//12.

法二由AIB2—AzBi=O,得a(a—1)一1×2=0,

a(a-l)-l×2=0,

由AiC-ΛC∣≠0,得a(a2-1)-l×6≠0,二/1〃/20《，0

22a(a2-l)-l×6≠0

a2—a—2=0,

可得a=一

a(a2-l)≠6,

故当。=一1时，l↑//I2.

(2)法一当a=l时，∕∣:x+2y+6=0,∕2：X=0,

/1与/2不垂直，故”=1不成立；

当a=0时，∕ι:y=-3,∕2:x—y—1=0,∕ι不垂直于自故a=0不成立;

当a≠i且a≠0时，

/ɪ:y-—^χ~3,/2：y=]_/_(〃+1),

由(一9∙±=f得

2

法二由A1A2+B山2=0,得a+2(a—1)=0,可得a=g.

感悟升华1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率

存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意X,)，的系数不能同时

为零这一隐含条件.

2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.

【训I练1](1)(2020•宁波期中)经过抛物线V=2χ的焦点且平行于直线3χ-2y+5=0的直

线/的方程是()

A.6χ-4γ-3=0B.3χ-2y—3=0

C.2x+3y—2=0D.2x+3y—1=0

(2)已知P(—2,m)，Q(m,4),且直线PQ垂直于直线x+y+1=0,则加=.

答案(I)A(2)1

解析⑴因为抛物线γ2=2x的焦点坐标为(},0),直线3χ-2y+5=0的斜率为点所以所

求直线/的方程为)=茅一号，化为一般式，得6Λ—4y-3=0.

m—4

(2)由题意知---=1,所以加一4=—2—m，所以机=1.

-λ~m

考点二两直线的交点与距离问题师生共研

【例2】(1)(2020・淮南模拟)已知直线入一y+2A+l=0与直线2x+y-2=0的交点在第一

象限，则实数%的取值范围为()

(2)(2021・广州模拟)已知点P(4,α)到直线4L3厂1=0的距离不大于3,则a的取值范围是

答案(I)D⑵[0,10]

fcv-y+2⅛+l=0,

解析(1)联立

2x+y-2=0,

I-2A2+6*

解得X=2+&'尸2+∕~2)∙

：直线kx~y+2k+1=0与直线2x+y-2=0的交点在第一象限,

.∖-2k-2+6A

∙∙2+k>°'且2+k>0∙

解得一铲k<,故选D.

(2)由题意得，点尸到直线的距离为.X4―；Xa_H=吟冽

又115,34^3,gp∣i5-3a∣≤15,解之得OWa≤10,

所以a的取值范围是［0,10］∙

感悟升华1.求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线

方程.

2.利用距离公式应注意：(I)点P(M),泗)到直线x=α的距离d=∣x<)-“I,到直线y=b的距

离d=∖y0-b∖-,(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中X,y的系数分别化为对应相

等.

√5

【训练2】(1)(2021・贵阳诊断)与直线2x+y—1=0的距离等于竽的直线方程为()

A.2x+y=0

B.Zr+y—2=0

C.2x+y=0或2x+y-2=0

D.2x+y=0或2x+y+2=0

(2)求经过直线∕∣:3x+2y-l=0和/2：5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线A：3x—5y+6

=0的直线/的方程为.

答案(I)C⑵5x+3厂1=0

解析(1)设与直线2x+y—1=0的距离等于坐的直线方程为2x+y+机=0(∕n≠—1),

.∙.¾==^,解得，"=O或加=-2.

√22+l25

√5.

与直线2x+y—1=0的距离等于§的直线方1程为2r+y=0或2x+y—2=0.

3x+2y-l=0,

(2)先解方程组

5x÷2y÷l=0,

得/1,/2的交点坐标为(一1,2),

再由/3的斜率］3求出/的斜率为一15,

于是由直线的点斜式方程求出h

y-2=-∣(x+l),即5x+3y-l=0.

考点三对称问题多维探究

角度1点关于点对称

【例3】过点P(O,1)作直线/,使它被直线62%+y—8=0和/2：X—3y+10=0截得的线

段被点P平分，则直线/的方程为.

答案x+4厂4=0

解析设/1与/的交点为A(a,8—2a),则由题意知，点A关于点P的对称点8(—α,2a—6)在

/2上，代入/2的方程得一。一3(2°—6)+10=0,解得。=4,即点A(4,0)在直线/上，所以直

线1的方程为x+4y-4=0.

感悟升华L点关于点的对称：点P(χ,y)关于M(a,力对称的点P'(x',y')满足

x'=2a-x,

y'=2b-y.

2.直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑

利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.

角度2点关于线对称

【例4】一束光线经过点P(2,3)射在直线/：x+y+l=0上，反射后经过点Q(l,l),则入

射光线所在直线的方程为.

答案5x—4y+2=0

解析设点关于直线I的对称点为Q1(x',y'),由已知得

即Q'(—2,-2),由光学知识可知，点Q'在入射光线所在的直线上，又依Q=2_；_2/

5

4,

入射光线所在直线的方程为y一3=永χ-2),即5χ-4y+2=0.

感悟升华1.若点44，b)与点、B(Jn,〃)关于直线Ar+By+C=0(AW0,BWo)对称，则直线

n-b(A∖

a+m,b+n,

{A∙-2-^+B∙^-+C=0.

2.几个常用结论

(l)Λ(x,y)关于无轴的对称点为(x,-y)9关于y轴的对称点为(—x,y).

(2)点α,y)关于直线y=x的对称点为(ʃ,x),关于直线y=-x的对称点为(一y,—x).

(3)点(尢，y)关于直线X=〃的对称点为(2〃一］，y)9关于直线y=Z?的对称点为(x,2〃-y).

角度3线关于线对称

【例5】(1)(2021•成都诊断)与直线3χ-4y+5=0关于X轴对称的直线的方程是()

A.3χ-4y+5=0B.3χ-4y—5=0

C.3%+4γ-5=0D.3x+4y+5=0

(2)直线2χ-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是.

答案(I)D(2)x—2y+3=0

解析(1)设所求直线上点的坐标(x,y),则关于X轴的对称点(X,—y)在已知的直线3尤一4y

+5=0上，所以所求对称直线方程为3x+4y+5=0,故选D.

(2)设所求直线上任意一点P{x,y),

则P关于Ly+2=0的对称点为P'(ɪo,州)，

空—守+2=0,

xo=y-2,

由得.

.yo=x+2,

Λ-A⅛--Cv-ʃo）.

由点P'(冲，泗)在直线2x—y+3=0上，

2(y—2)—(x+2)+3=0,即X—2y+3=0.

感悟升华求直线∣l关于直线/对称的直线/2有两种处理方法：

(1)在直线∕∣上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直线/

的对称点，再用两点式写出直线/2的方程.

(2)设点P(x,y)是直线C上任意一点,其关于直线/的对称点为PI(X1,yt)(P∣在直线/i上),

根据点关于直线对称建立方程组，用X,y表示出.，y∣,再代入直线∕∣的方程，即得直线

/2的方程.

【训练3】已知直线/：2χ-3y+l=0,点A(-l,-2).求:

(1)点A关于直线/的对称点A'的坐标；

(2)直线机：3x—2>-6=0关于直线/的对称直线机'的方程；

(3)直线/关于点A对称的直线/'的方程.

fv+22

x+∖3l,

解（1）设A'（x,>•）则〈