高中数学讲义：第30讲 平面与平面平行（教师版）

第30课平面与平面平行

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课程标准课标解读

1.平面与平面平行的判定与性质是研究空间线面关系的重要组成部分，平面与平面平

行和直线与平面平行研究的方法是类似的，都是以定义、判定、性质为主线，诵过

对平面与平面平行的判定定理与性质定理的探索过程，培养学生的几何直觉以及运

1.理解并掌握

平面与平面平用图形语言、符号语言进行交流的能力

行的判定定2.本节内容蕴含主富的教学思想，即“空间问题转化为平面问题”无限问题转化为有

理2理解并掌限问题”面面平行与线面平行互相转化”等数学思想过本节内容的学习，使学生进一

握平面与平面

步了解空间平面与平面平行关系的基本性质及判定方法，学会准确地使用数学语言

平行的性质定

表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。

理.

3.仅能进一步培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力，

而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为后面学习面面垂直打下基

础，所以本节内广识的发展，又是后续课程有关图形研究的前驱，在教材中起到一

个承上启下的作用。

啦’知识精讲

知识点01平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,

文字语言

那么这两个平面平行

aUa,bUa,

符号语言aC\b=A,>=>a///3

a〃B，b//p,

图形语言

【即学即练1】如图，在四棱锥P—ABC。中，E,F,G分别是PC,PD,8c的中点，DC//AB,求证:

平面出8〃平面EFG.

证明,：E,G分别是PC,BC的中点,

J.EG//PB,

又平面PBU平面B48,

；.EG〃平面PAB,

；E,1分别是尸C,PD的中点,

J.EF//CD,又•：ABHCD、

J.EF//AB,平面A8U平面E4B,

...EE〃平面以8,又EFCEG=E,EF,EGU平面EFG,

平面EFG〃平面PAB.

反思感悟

两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条

件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.

知识点02两个平面平行的性质定理

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，

文字语言

那么两条交线平行

符号语言夕，aC\y=a,6Cy=b=a〃b

图形语言

/

【即学即练2】如图，在三棱锥尸一ABC中，D,E,尸分别是以，PB,PC的中点，M是AB上一点，连接

MC,N是与。E的交点，连接NF,求证：NF//CM.

证明因为。，E分别是B4,尸8的中点,

所以DE//AB.

又£）砍平面ABC,A8U平面A3C,

所以OE〃平面ABC,

同理〃平面ABC,且。EC。尸=Q,DE,DFU平面DEF,

所以平面OEF〃平面ABC.

又平面PCMA平面DEF=NF,

平面PCMC平面ABC^CM,

所以NP〃。〃

反思感悟利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤

(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条.

(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).

(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上.

(4)由定理得出结论.

Q能力拓展

考法01平面与平面平行的判定定理的应用

【典例1】如图所示，四棱锥尸一A3CD的底面ABC。为矩形，E,F,H分别为AB,CD,PD的中点，求

证：平面AM〃平面PCE.

证明因为尸为的中点，H为尸。的中点，

所以FH//PC,

又平面PEC,PCU平面PEC,

所以〃平面PCE.

又AE〃C尸且AE=CF,

所以四边形AECF为平行四边形，

所以A尸〃CE,

又AFC平面PCE,CEU平面PCE,

所以AF〃平面PCE.

又切U平面AFW,AFU平面AM,FHHAF^F,

所以平面〃平面PCE.

【变式训练】如图，在三棱柱48C—中，E,F,G,X分别是AB,AC,小田，4G的中点.

求证：(1)8,C,H,G四点共面；

(2)平面£以1〃平面BCHG.

证明(1)：GH是△4BC1的中位线，：.GH//BiCi.

又BiCi〃BC,C.GH//BC,

：.B,C,H,G四点共面.

(2)VE,尸分别为AB,AC的中点，

：.EF//BC.

,/ERI平面BCHG,8CU平面BCHG,

.♦.EP〃平面BCHG.

〃即且4G=EB,

四边形AiEBG是平行四边形，：.AiE//GB.

平面8cHG,G8U平面BC”G,

〃平面BCHG.

'：AiEP\EF^E,AiE,EFU平面EfAi,

二平面E必i〃平面BCHG.

考法02平面与平面平行的性质定理的应用

如图，在正方体ABC。-4B1C1O1中，E为棱的中点，过点8,E,A的平面与棱CG交于点足

(1)求证：四边形BEDiE为平行四边形；

(2)试确定点F的位置.

⑴证明在正方体A8C£)—AJ31GA中，平面〃平面DCCQi,

且平面8FD1EC平面ABBiAi=BE,平面BFDiEC平面DCCD=FDi,

由面面平行的性质定理知BE//FDi,

同理2月〃AE,

四边形BFDiE为平行四边形.

⑵解取8修的中点M,

连接MG,ME,如图,

'.'M,E为棱的中点，

.♦.ME平行AiB,

又481平行CD,

.♦.ME平行Ci。，

四边形DiEMG为平行四边形，

：.DiE//MCi,

又DiE〃BF,

：.MCi//BF,又GF〃BM,

：.四边形MBFCi为平行四边形，

等于CiF,

二尸为棱CG的中点.

【变式训练】如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面a〃平面ABC,a分别交线段E4,尸8,PC于A',

2’，C',若阴'：A4,=2：3,则以⑷B，a：SAABC=.

4

宏安--

口木25

解析：平面a〃平面A8C,平面出8与它们的交线分别为A'B',AB,

：.AB//A'B',同理"C//BC,

易得B'C,

考法03线面平行、面面平行的应用

【典例3］如图，在正方体ABC。一AiBiGA中，侧面对角线AS,BQ上分别有两点E,F,且BE=GE

求证：EF〃平面43CD

5G

AB

证明过点E作EG〃AB交86于点G,连接GF如图，

■:BiE=GF,BiA=CiB,

•全=幽.Fr//Rr

又BC〃BC,C.FG//BC,

又PGI平面ABC。，BCU平面A8CD,

；.FG〃平面ABC。，

又EG//AB且EGC平面ABCD,ABCl平面ABCD,

；.EG〃平面ABC。，

VFGn£G=G,FG,EGU平面EFG,

平面EFG〃平面ABCD.

,?EFC平面EFG,r.EF〃平面ABCD.

反思感悟(1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推出线面平行.

(2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用.

【变式训练3】如图，已知平面a〃平面川，尸庄a且尸杂，过点尸的直线相与a,乃分别交于A,C,过点P

的直线n与a,0分别交于B,D,且以=6,AC=9,PD=8,求BO的长.

解•・•1〃△平面尸CDna=AB,平面PCDC忏CD,

pApR

•»AB//CD,可传AC—BD,

VB4=6,AC=9,PD=8,

68—BD24

・・9—BD，解传BD—5.

fii分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形瓦G"为截面，长方形438为底面，则四边形EFGH

的形状为（）

A.梯形B.平行四边形

C.可能是梯形也可能是平行四边形D.矩形

【答案】B

【解析】利用面面平行的性质判断所与GH的平行、EH与FG平行.

【详解】因为平面Afi正〃平面CG//D,且平面EFGH平面=平面EFGH1平面CG"D=G",根

据面面平行的性质可知EF〃G”,同理可证明〃丑G.

所以四边形EFGH为平行四边形.

故选：B.

【点睛】本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.

2.已知直线a与平面名反7,能使a〃力的充分条件是（）

（1）«±/,±/②a//y,分///③alia,all0@aLa,aL/3

A.①②B.②③C.①④D.②④

【答案】D

【解析】根据线面的平行关系，结合相关性质，逐个分析判断即可得解.

【详解】对①，若垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；

对②，若£//%£///,则M/尸，平面的平行具有传递性，故②正确；

对③，若R/a,a〃6，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；

对④，aLa,aL/3,垂直于同一直线的两平面平行，故④正确.

综上：②④正确,

故选：D.

3.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形

是（）

/4'''B/，

A.相似但不全等的三角形

B.全等三角形

C.面积相等的不全等三角形

D.以上结论都不对

【答案】B

【分析】根据面面平行的性质定理判断.

【详解】由题意知AAFBB'WCC,allp,

所以平面A4，CCce=AC,面=AC',

由面面平行的性质定理，得ACIIAC,

则四边形ACCA，为平行四边形，，AC=4C.

同理8C=8'C',AB=A'B',

△ABCmAA'B'C.

故选：B.

4.在棱长为2的正方体ABC。-AMGA中，E是棱3G的中点，则过8、E、。三点的平面截正方体所得

的截面图形的面积为（）

A.5B.屈C.2&D.4^/6

【答案】C

【分析】先作出截面图形，易知截面为菱形，再结合菱形面积公式求解即可

【详解】设平面BE2交棱于尸，

由正方体性质及平面与平面平行的性质定理得EQ//BF,D.F//BE,

由勾股定理可得四边形2阳E所有边长的长度为君，

所以2EBE是菱形，且厂为A。的中点，

取A2的中点连接则

221222

DXB=7W+BD=^DDI+AB+AB=72+2+2=273,

EF=ylFM2+ME2==V22+22=2A/2

故吟生*叵=2瓜

故选：C.

5.已知正方体ABC。-AAGA的棱长为2,点尸在棱AD上，过点?作该正方体的截面，当截面平行于平

面4RC且面积为代时，线段AP的长为（）

A.J2B.1C.出D.—

2

【答案】A

【分析】过点P作D3,4。的平行线，分别交棱AB,AA于点Q,R,连接QR,BD,即可得到二尸Q?为

截面，且为等边三角形，再根据截面面积求出PQ的长度，即可求出AP；

【详解】解：如图，过点P作DB,\D的平行线，分别交棱A3,然于点Q,R,连接0?,即，因为BDUBR,

所以尸。〃旦R,4Ru面4RC,尸。＜2面片。「，所以PQ〃面BQC

因为4。//第7,所以PR//B]C,4Cu面4RC,PRa面4RC,所以尸R〃面片。。

又PQcPR=P,PQ,P?u面PQR,所以面PQR〃面旦RC,则PQR为截面,

易知一设是等边三角形，呜尸质乐行解得文2,.

故选：A

6.已知正方体ABC。-4B|GA的棱长为2,尸为正方形ABC。内的一动点，E、E分别是棱AA1、棱耳。的

中点.若RP〃平面BEF,则的最小值为（）

A.yB.半C.V5D.2小

【答案】A

【分析】根据线面平行求得点P的轨迹，再结合几何关系，求2P的最小值即可.

【详解】取BC,CG中点分别为M,N,连接。A,AM,MN,N2，以及尸G，GB,〃阳如下所示：

显然BC"/£F,故平面BEF与平面BC］尸E是同一个平面，

又D\A"NM,故2,A,M,N都在平面2AMN中；

EF//D.A,防匚面^石忆已入0面台所，故可得RA〃面3£F,

AM〃尸G，_FC|u面加印,AMU面BEF,故可得AM〃面3EF,

又£)iAcAM=A,DtA,AMu面D、AMN,故面D、AMN〃面BEF,

又点尸在正方形ABCD,故点尸的轨迹是线段AM,

故当且仅当"尸，AM时，，尸取得最小值;

在4D}AM中，RA=2&,AM=6,RM=3,

回

故cosNRAM=则sinAD,AM=,

2DXAxAMlb-

则R几"=RAxsinN2AM=2^x^|^=?.

故选：A.

二、多选题

7.以下条件能够判断平面“与平面夕平行的是（）

A.平面口内有两条直线与平面月平行

B.两不同平面二，夕平行于同一个平面

C.平面。内的任意一条直线与平面厂无公共点

D.夹在平面。与平面力间的两条平行线段相等

【答案】BC

【分析】由面面平行的判定定理和面面的位置关系即可判断.

【详解】对于选项A,由面面平行的判定定理可知，若平面。内有两条相交直线与平面夕平行，则平面々与

平面月平行，则A不正确；

对于选项B,平行于同一个平面的两个平面平行，则B正确；

对于选项C,两个平面的位置关系有平行和相交两种，平面”内的任意一条直线与平面/无公共点，则平面

a与平面月无公共点，即平面。与平面月平行，则C正确；

对于选项D,相交平面也存在夹在两平面间的两条平行线段相等的情况，则D不正确.

故选：BC.

8.已知。表示两条直线，名,，7表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（）

A.若7力=b,且a//b,则a//6

B.若〃］相交，且都在a1外，alla,blla,al//3,bl1/3,则a//月

C.若a//a,Z?//月，且a//b,则。//尸

D.若aua,a///3,a\P=b,则a//8

【答案】BD

【分析】根据线线、线面、面面平行的判定与性质定理，结合平面的基本性质进行判断.

【详解】A：若"\y=a,/3y=b,宣allb,则a,尸可能相交、平行，错误；

B：若a,b相交，且都在a,尸外,alla,bIla,al//3,bI/P,由面面平行的判定可得a//6,正确;

C：若alia,"10,豆allb,则a,£可能相交、平行，错误；

D:若aua,a〃/3,a\/3=b,由线面平行的性质定理得a//Z?,正确.

故选：BD

三、填空题

9."平面0〃平面。"是"平面口内有无数条直线与平面用平行”的条件.

【答案】充分不必要

【分析】根据面面平行的性质定理和判定定理来判定.

【详解】根据面面平行的性质定理，两平面平行，一个平面内的任意直线与另一个平面平行.

反之，两平面平行的判定定理为：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行.

故平面C〃平面〃"是"平面"内有无数条直线与平面△平行的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

DE1

10.如图，四棱柱ABCDA/SGn中，ABCO为平行四边形，E,F分别在线段。8,DDil.,且）=彳

EB2

CG

【分析】先推导出，EF//BD1,平面ADRA〃平面BCG4，由G在CG上且平面平面BRG,可得

CGDF1

AF//BG,从而==a

【详解】1,平面AEF//平面BQG,且平面平面88/。/。=后凡平面BPGn平面8历。/。=86,

DFDE1

：.EF//BDi,^=£B=2

易得平面4）。/4//平面8。。8/,又BGc?p面二BG//平面AOQ4,

又・平面AEF〃平面BZ)/G,8G守面BD/G,二BG//平面AEF,

•••平面AEFn平面ADDiAi=AF,

二8G//AF,,BG、AR可确定平面A8GP,

又知平面//平面CDDiCi,

平面ABGFn平面A8B/A/=AB,平面ABGFn平面CDDQ尸FG,

：.AB//FG,CD//FG.

CGDF

一司一丽I

故答案为：—.

2

11.在正方体ABCD-4B】QQ中，M,N,Q分别是棱QG,AiDi,BC的中点，点P在BQ上且BP=§BQ.

则以下四个说法：

①MNII平面APC；

②GQII平面APC；

③A,P,M三点共线；

④平面MNQW平面APC.

其中说法正确的是（填序号）.

【答案】②③

【解析】连接MN,AC,则MA/IIAC,连接AM,CN,易得AM,CN交于点P,从而可知MNc5?面APC,所

以①错误；由M，N在平面APC上，由题易知ANIIQQ,从而可得GQII平面APC,所以②正确；由于前

的证明可知A,P,M三点共线是正确的，从而可知③正确；由于MNc平面APC,MA/c^F面MNQ,从而可

判断④

o>

【详解】

①连接MN,AC,则/WNIIAC,连接AM,CN,

易得AM,CN交于点P,即/WNc平面APC,所以/WNII平面APC是错误的；

②由①知M,N在平面4PC上，因为在正方体4BCD--4&QQ中，M,N,Q分别是棱QQ,4Q,BC的

中点，所以CCQ,所以因为NA1||QC,所以ANIIGQ,因为AN印面APC,

所以GQII平面APC是正确的；

③由①知A,P,M三点共线是正确的；

④由①知MNc?F面APC,

又MNc?F面MNQ,

所以平面MNQII平面APC是错误的.

故答案为：②③

【点睛】此题考查线面平行、面面平行的判断，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题

12.在棱长为4的正方体ABC。-ABIGA中，点P是棱A8的中点，过点A作与截面PBC平行的截面，则

所得截面的面积为.

【答案】8底

【分析】正方体中作过A的截面与平面PBQ平行，再根据题中的数据求出截面的面积.

【详解】解：取C。、42/的中点V、N,连结C/M、MA,AN、NCi

D.V

C1N//PC,BiPWAN,BiPnCP=P,QNcAN=N,

平面QMAN〃平面PCBi

.•・平面C/M4N就是过点A与界面PCq平行的截面

由图可知，平面C[MAN为菱形,且AM=AN=yjAlf+DM2=742+22=2亚

正方体中，Aq=V3X42=4A/3

根据余弦定理，cosZANg=,且//WG«0,兀）

.."4%=/（一口=当

所以截面的面积S=2iH；AN?NC125立脚16、=/x8&x^

故答案为：8A/6

四、解答题

13.如图，在四棱锥尸一ABC。中，E,F,G分别是PC,PD,BC的中点，DC//AB,求证：平面P48〃平

面EFG.

【答案】证明见解析

【分析】根据面面平行的判定定理进行证明.

【详解】由于E,尸分别是PC,的中点，

所以所是三角形PCD的中位线，

所以EF//DC,

由于。所以EF//AB,

由于EFZ平面尸AB,ABu平面尸AB,

所以所〃平面

由于E,G分别是PC8C的中点，

所以EG是三角形PBC的中位线，

所以EG//PB,

由于EG<Z平面R4B,P3u平面7^18,

所以EG//平面X4B.

由于EFEG=E,

所以平面平面EFG.

14.如图，已知正三棱锥S-ABC的高SO=〃，侧面上的斜高SA/=/,求经过SO的中点。1且平行于底面

的截面的面积（用/,〃表示）.

【答案】乎（尸-〃2）.

【分析】利用正三棱柱的性质可得SA"C=36（/2-/）,根据面面平行的性质可得4耳//48,进而可得

【详解】连接OM,OA,在RtASOM中，OW=jL一后,

s

•••棱锥S-ABC是正三棱锥，

。是一ABC的中心，

2

AB=2AM=2OM-tan60°=2^1-1^，,△ABC二乎Ag2=3同2_〃2）,

因为平面a^iG//平面ABC,。1为SO的中点，平面AAGC平面SA8=A4，平面ABCc平面$48=AB,

二//AB，A8J=；AB,同理可得，GBJ/CB,qBi=gcB,4G//AC，4C[=；AC,

所以4a与GsABC,

所以2J=；，

^△ABC%

截面瓦G的面积为SAARC=空/_*.

巧541

题组B能力提升练

一、单选题

1.六棱柱ABCDEP—A/B/GPE/B的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有（）

A.1对B.2对

C.3对D.4对

【答案】D

【分析】根据六棱柱的性质确定正确选项.

【详解】由于六棱柱ABCDEF-AiBiCiD^iFi的底面是正六边形，

所以上下底面平行，侧面有3对相互平行的面，

故有4对.

故选：D

2.在棱长为2的正方体ABC。-44CQi中，E是棱4G的中点，则过2、E、2三点的平面截正方体所得

的截面图形的面积为（）

A.5B.而C.2册D.4A/6

【答案】C

【分析】先作出截面图形，易知截面为菱形，再结合菱形面积公式求解即可

【详解】设平面BER交棱AD于品

由正方体性质及平面与平面平行的性质定理得EA//8F,DXFUBE,

由勾股定理可得四边形［FBE所有边长的长度为下,

所以是菱形，且产为AD的中点，

取4。的中点连接则

11222

DtB=JDD；+BD?=^DD-+AB+AB=72+2+2=2』,

EF=ylFM2+ME2==722+22=2后

欧SDI=里詈=巫平=2娓.

故选：C.

3.对于两个不同的平面。，用和三条不同的直线。，b,c.有以下几个命题：

①若a//〃，bile,则a〃c；

②若alia,blla,则a//b-

③若a//》,blla,则a//a；

④若a//（z,all13,则a//£；

⑤若a//。，all/3,则a//£.

则其中所有错误的命题是（）

A.③④⑤B.②④⑤C.②③④D.②③④⑤

【答案】D

【分析】根据空间中直线平行的传递性，可判断①；根据线线、线面、面面之间的位置关系即可判断

②③④⑤.

【详解】解：因为。〃），bile,根据空间中直线平行的传递性，得a//c,故①正确；

因为a//e,blla,所以直线a,b平行，异面，相交均有可能，故②错误；

若a//Z>,blla,则a//a或aua,故③错误；

若a//a,a1113,则平面a,6平行或相交，故④错误；

若alla,all13,贝i]a//尸或au/7,故⑤错误.

所以错误的命题是②③④⑤.

故选：D.

4.如图，在正方体ABCD-A4GR中，E,P分别为棱G2，CG的中点，。为正方形A3C。的对角线AC

与3。的交点，则下列结论不正确的是（）

DiE

AB

A.OE〃平面BBCCB.OR//平面ABC]，

C.DE〃平面AAgCD.EF//平面ABD

【答案】c

【分析】根据线面平行、面面平行的判定定理与性质定理证明A、B、E),延长。E、cq,DE与CG交于点

M,即可判断C；

【详解】解：对于A：取3C的中点G,连接。G、GG,

由正方体的性质可得OG//AB^.OG=^AB,QE//AB且QE=^AB,

所以C.E//OG且QE=OG,所以四边形OGC.E为平行四边形，

所以OE//QG,因为OEO平面BBC。，CQu平面

所以OE〃平面BBC。，故A正确；

a

/R

对于B：连接FG,则尸G//BC],FGO平面ABGR,26匚平面48^口，

所以bG〃平面ABCR,同理可证0G〃平面ABCR,

又OGcFG=G,OG,FGu平面OWG,

所以平面OFG//平面ABG，，所以0尸〃平面ABC.,故B正确;

对于C：延长DE、CC,,DE与CC、交于点、M,

因为CQu平面AAC。，所以Me平面MGC,

又MeDE,所以DE与平面A41c（不平行，故C错误;

对于D：取耳G的中点H,连接团、FH,

根据正方体的性质可得HEHBR、HF//B.C,

BD//BR、DAJ/Bg,所以HE//BD、HF//A.D,

又“EZ平面AB。，BDu平面48。，

所以平面AB。，同理可得〃平面A3。，HFHE=H,HF,HEu平面HEF,

所以平面MEF〃平面\BD,

所以E/〃平面AB。，故D正确;

5.在棱长为1的正方体ABCO-42/Gn中，点M,N分别是棱BC,C。的中点，动点P在正方形BCC/8/

（包括边界）内运动.若「4〃平面AMN,则B4/的最小值是（）

1B.@C.mD.迈

442

【答案】C

【分析】由尸4〃平面AMN,可以找到P点在右侧面的运动轨迹，从而求出尸4的最小值

如图所示，取与c,的中点的中点/，连接4瓦4P,所,

因为M,N分别是棱BC,CC]的中点，所以AE〃AW,EF//MN,

又因为AECEF=E,\E,EFu%EF,AM,MNuAMN,

所以平面产〃平面AAW,/弭〃平面AMN,且P点在右侧面,

所以尸点的轨迹是EF,S.AlE=AF=^~,EF=与,

所以当P点位于E尸中点O处时，尸4最小,

'51_3A/2

此时，PA=AO=AE2-

lli厂g一丁

故选：C

6.如图，在棱长为1的正方体ABC。-44GA中，尸为棱B片的中点，。为正方形B4C。内一动点（含

边界），若A。//平面APD,则线段RQ长度的取值范围是（）

3A/2A/5

C.4D.丁万

【答案】D

【分析】过2作平面与平面A/。平行，则Q在平面与平面BBGC的交线.上，即可求出.

【详解】如图，取CG中点£,耳£中点/，连接D[E,D[F,EF,

所以EP//BC，正方体中，易得BQ"，所以EF/M,。，

因为E/U平面4/。，平面APD,所以EF〃平面APD,

因为尸,E为8综CG中点，所以2E//AP,

因为平面A/D,APu平面4PO,所以QE〃平面A/。,

因为EFcRE=E,所以平面2历//平面4尸。，

因为BQ//平面A/D,所以2。u平面REP,

又。为正方形BBCC内一动点（含边界），所以。在线段E尸上,

可得*考*考所?

则当。在跳'中点时，DQ取得最小值为

当。在所两端时，小取得最大值为手,

所以口。长度的取值范围是［乎岑.

故选：D.

二、多选题

7.设。，夕为两个平面，则切勿的充分条件可以是（）

A.尸内的所有直线都与。平行B.尸内有三条直线与。平行

C.a和尸平行于同一条直线D.夕和万都平行于同一平面/

【答案】AD

【分析】利用面面平行的定义以及面面平行的判定定理逐一判断即可

【详解】对于A,当夕内的所有直线即有两条相交直线都与。平行时，则M/P，所以A正确;

对于B,a与尸相交时，尸内的和交线平行的直线都与平面。平行，所以B不正确；

对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；

对于D,如果。和尸都平行于同一平面7,则a〃Q.所以D正确.

故选：AD.

8.在棱长为1的正方体ABC。-中，M是线段82上的动点，则下列结论中正确的是()

A.存在点M,使得GM〃平面神。

B.存在点使得三棱锥2-GDW的体积是g

C.存在点M,使得平面CQM交正方体的截面为等腰梯形

D.若。阳=3MB,过点M作正方体的外接球的截面，则截面面积的最小值为咚

【答案】AC

【分析】对于A：先证明出平面OQA//平面A4c.令平面£(G4cBDyM，即可得到C}M〃平面做C.可以

判断A正确；对于B：判断出/一c.即可判断；

65

对于C：取的中点E,取88/的中点凡连接EF判断出四边形CQE尸为等腰梯形.记平面CQEF交直线

BR于则存在点M使截面为等腰梯形.可以判断c正确；对于D：求出最小截面的面积为5=万产=三.

16

即可判断.

【详解】对于A：连接DVGA,如图示：

由正方体的几何特征可得//AC.又因为AG(Z面ABtC,ACu面ASQ,所以AQ//面AB{C.

同理可证：4。〃面44c.

又AGCAD=A,所以平面r>GA//平面44c.令平面DC^CBJ=M，则QM〃平面MC,所以存在点

M使得GMII平面ABC.故A正确；

对于B：VDi_C]DMGO=：义：义1义1义1=：<:，所以不存在点M使得三棱锥A-CQM的体积是

g.故B错误;

对于C：因为C{D〃平面ABBtAt，所以平面QDM交平面4880的交线与QD平行.

如图示:取A8的中点E,取88/的中点E连接EE因为郎//A片且EF=gA8],所以Eb//DC1且所=：£)£•

又DE=—)

2

所以四边形C.DEF为等腰梯形.记平面C.DEF交直线BD】于M,则存在点M使截面为等腰梯形.故C正确;

对于D：当且仅当M为截面圆的圆心时，截面圆的面积最小.由正方体的几何特征可得该正方体的外接球球心

的中点，且半径为也=走

为BDi,所以最小截面的半径=2此时截面面积为

224

QJT

s=夕2=3.故D错误.

16

故选：AC

三、填空题

9.如图,已知在三棱锥P-ABC中R及尸分别是棱PA,PB,PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是

【答案】平行

【解析】由中点得到三角形的中位线，进而得到线线平行，然后再结合面面平行的判定定理证明面面平行.

【详解】在由中，因为RE分别是的中点，所以DE/MB.

又。平面ABC,ABu平面A3C,

所以DE//平面ABC.

同理,可证跖〃平面ABC.

又DEEb=E,OE,EFu平面。砂,

所以平面DE/〃平面ABC.

故答案为:平行

【点睛】本题考查了面面平行的判定证明,在证明面面平行时的方法:有中点找中点，构造三角形中位线或平行

四边形，得到线线平行，由线面平行的判定定理证明线面平行，再由面面平行判定定理证明面面平行.所以在解

题时找中点很重要.

DEI

10.如图，四棱柱A2CD48/GQ中，ABC。为平行四边形，E,尸分别在线段DD上,且；1=彳,

EB2

G在CCi上且平面AEF//平面BDiG,则-=

【分析】先推导出，EF//BD1,平面AD2A〃平面8CC4，由G在CG上且平面4£尸//平面BRG,可得

CGDF1

AF//BG,从而记丽一§

【详解】；平面AEF//平面BD/G,且平面AEFn平面28/。/=所，平面BQGc平面22/。/£>=瓦）/,

DFDE\

EF!IBDi,一可一百一5

易得平面AO54//平面BCGS,又BGc5?面BCGS,二BG〃平面4DQ4,

又；平面AEF/I平面BDiG,BG评面BDiG,：.BG//平面AEF,

■：平面AEFn平面ADDiAj=AF,

BG//AF,BG、AB可确定平面ABGF,

又知平面AB8/4//平面CDDC,

平面ABGFn平面ABBiArAB,平面ABGFn平面CDDiC尸FG,

：.AB//FG,：.CD//FG.

CGDF1

-CQ-DZ^-3,

故答案为：—.

11.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①〃平面AENZ）；②CN〃平面ABFE；③平面

BDM〃平面A/W；④平面BDE//平面NCR以上四个命题中，正确命题的序号是.

【答案】①②③④

【分析】将展开图还原成正方体，根据线面平行以及面面平行的判定逐一判定即可.

【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体ABC4-ERWN,如图所示:

对于①，因为〃⑷V,BMC平面AENZ）,ANu平面AEND,所以〃平面AEND,命题①正确;

对于②，CN//BE,QVN平面ABFE,3Eu平面A8FE,所以CN〃平面A8/E命题②正确;

对于③，BD//FN,BMIIAN,面A7W,面AFN,

所以80//面A7W,BM/1面AFN,

BDBM=B,BD、3Afu平面BAN,

所以平面8nM〃平面AFN,命题③正确；

对于④，BD//FN,BE//CN,BDz面NC尸，面NC尸

所以BD//面NCRBE”面NCF,BDcBE=B,BD、REu平面瓦）E,

所以平面平面NCR命题④正确.

故答案为：①②③④.

12.在正四棱柱4BCD-4&QQ中，。为底面ABC。的中心，P是。5的中点，设Q是CQ上的点，则点Q

满足条件时，有平面5BQ〃平面％0.

【答案】Q为CQ的中点

【解析】设Q为CQ的中点，推得QBII%,连接0B,证得D】BIIP0,证得。加11平面力。，QBII平面%0,

再结合面面平行的判定定理，即可求解.

【详解】如图所示，设Q为CG的中点，因为P为DQ的中点，所以QBII%,

连接DB,因为P,0分别是DQ,0B的中点，所以Q8IIP0,

又。记〃平面%0,QB//平面力。，且P0印面勿。，勿印面力。，

所以Q8II平面PAO,QBII平面PAO,

又D[BCQB=B,所以平面QBQII平面力。，

故Q为CG的中点时，有平面。记QII平面外0.

【点睛】解答空间中的平行关系及应用问题常见的误区：

1、对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误；

2、对面面平行判定定理的条件"面内两相交直线"认识不清导致错解；

3、对面面平行性质定理理解不深导致错解.

四、解答题

13.已知正方体的棱长为2,E,尸分别是B用，的中点.求证：/G〃平面AOE.

【答案】证明过程见解析

【分析】作出辅助线，由面面平行证明线面平行.

【详解】取AA的中点连接也，BtH,因为£,尸分别是8用，的中点，所以m7片G，所以

H、F、G、用四点共面，S.BtH||AE,又AEu平面AED,与“0平面AE。，所以用"II平面AED,又

ADWFH,45u平面AED,修必平面人即，所以FHII平面AED,又FHB,H=H,所以平面"他GII

平面ADE,因为尸Gu平面FHB£,所以〃平面ADE

14.如图，在四棱锥尸-ABCZ）中，底面四边形ABC。是平行四边形，AB=1,AD=2,2尸分别为棱PC,AB

的中点.

（1）证明：EF〃平面ADP；

⑵点G为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面GEF〃平面ADP,求尸G的最大值.

【答案】（1）证明见详解.

（2）2

【分析】（1）根据线面平行的判定定理，构造平行四边形即可证明.

（2）根据面面平行，找到点G的运动轨迹，然后再求最大值.

（1）

AFB

证明：取的中点0,连接AO,OE.

APCD中，。，E分别为PD,PC的中点，，OE〃CD,OE=；CD,

E、b分别为尸C、A3的中点

:.AF//CD,AF=-CD,

2

:.AFHOE,AF=OE,

故四边形AFEO为平行四边形，

.'.EF//OA,

EFZ平面PAD,OAu平面P/LD,

〃平面尸AD.

（2）

取CD中点为V,连接VF

在,PCD中，V,E分别为8,PC的中点，〃尸。

VEV平面PA。，PDu平面PA。，；.VE//平面PAO.

又:.VF11AD

平面尸AD,ADu平面PAD,VF//平面PA。.

又VFcVE=V,且VF,VEu平面VEF,故平面VEF〃平面aw.

因为点G为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面GEF〃平面ADP,

点GeVF,即点G在线段VF（包括端点）上移动，

当点G运动到V时，此时