高中数学选修2-3单元教学设计

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称两个基本原理IF

学问

正确理解和驾驭加法原理和乘法原理

与

技能

维过程

能精确地应用它们分析和解决一些简洁的问题

与

目方法

情感看

发展学生的思维实力，培育学生分析问题和解决问题的实力

标法与价

值观

一

重

难1重.点：加法原理，乘法原理。

点2难.点：加法原理，乘法原理的区分。

.

单

元

课

时

安排

教学过程设计报：注

1.新课导入

随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，

使得商品生产工序困难化，解决一件事经常有多种方法完成，或几个过程才能

完成。

排列组合这一章都是探讨简洁的计数问题，而排列、组合的基础就是基本

原理，用好基本原理是排列组合的关键.

2.新课

我们先看下面两个问题.

(1)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车

有4班，汽车有2班，轮船有3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地

共有多少种不同的走法？

板书：图

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，

每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到

乙地共有4十2十3=9种不同的走法.

一般地，有如下原理：

加法原理：做一件事，完成它可以有n类方法，在第一类方法中有m种不

同的方法，在其次类方法中有nt种不同的方法，……，在第n类方法中有％种

不同的方法.那么完成这件事共有N=m∣十m十…十m.种不同的方法.

(2)我们再看下面的问题：

由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条.从A村经B村

去C村，共有多少种不同的走法？

板书：图

这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到

达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法.因此，从A村经B村去C村

共有3X2=6种不同的走法._________________________________________________

一般地，有如下原理：

乘法原理：做一件事，完成它须要分成n个步骤，做第一步有m种不同的

方法，做其次步有叱种不同的方法，……，做第n步有m“种不同的方法.那么

完成这件事共有N=IThnt…m”种不同的方法.

例1书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.

1)从中任取一本，有多少种不同的取法？

2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

解：(1)从书架上任取一本书，有两类方法：第一类方法是从上层取数学书，

可以从6本书中任取一本，有6种方法；其次类方法是从下层取语文书，可以

从5本书中任取一本，有5种方法.依据加法原理，得到不同的取法的种数是6

十5=11.

答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法.

(2)从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一

步取一本数学书，有6种方法；其次步取一本语文书，有5种方法.依据乘法

原理，得到不同的取法的种数是N=6X5=30.

答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法.

练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币

1)从中任取一枚，有多少种不同取法？2)从中任取明清古币各一枚，有多

少种不同取法？

例2(1)由数字1,2,3,4,5可以组成多少个数字允许重复三位数？

(2)由数字1,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

(3)由数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，

从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；其次步确定十位上的数字，由于

数字允许重复，

这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法.依据乘

法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125.

答：可以组成125个三位数.

练习：

1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不

经过乙地到内地有2条水路可走.

(1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？

(2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

2.一名儿童做加法嬉戏.在一个红口袋中装着20张分别标有数1、2、…、19、

20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着

10张分别标有数1、2、…、9、10的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为

加数.这名儿童一共可以列出多少个加法式子？

3.题2的变形

4.由0—9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？

小结：要解决某个此类问题，首先要推断是分类，还是分步？分类时用加法，

分步时用乘法

其次要留意怎样分类和分步，以后会进一步学习

练习

L(口答)一件工作可以用两种方法完成.有5人会用第一种方法完成，另有

4人会用其次种方法完成.选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？

2.在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任

选一本，共有多少种不同的选法？

3.乘积(al+a2+a3)(bl+b2+b3+b4)(cl+c2+c3+c4+c5)绽开后共有多少项?

4.从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有

4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通.从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

5.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，全部这些小球的颜

色互不相同.

(1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？

(2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

作业：

教

学

反

思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称排列课型新

学问理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的W隹导

三与

技能

维过程

能精确地应用它们分析和解决一些简洁的问题

与

目方法

情感看

发展学生的思维实力，培育学生分析问题和解决问题的实力

标法与价

值观

重

难L重点:排列、排列数

点2.难点：排列的理解应用

.

单元

课时

安排

教学过程设计批注

一、复习引入：

1、分类计数原理：(1)加法原理：假如完成一件工作有k种途径，由第1

种途径有m种方法可以完成，由第2种途径有m种方法可以完成，……由第

k种途径有m种方法可以完成。那么，完成这件工作共有m+m+……+他种不

同的方法。

2,乘法原理：假如完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有m种不同

的方法，完成第2步有m种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。

那么，完成这件工作共有mXnzXXnk种不同方法

二、讲解新课：

1.排列的概念：

从〃个不同元素中，任取加(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)

依据肯定的依次排成一列，叫做从“个不同元素中取出m个元素的一个排列.

说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按肯定的依次排列；

(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列依次也相同.

2.排列数的定义：

从"个不同元素中，任取相(相＜〃)个元素的全部排列的个数叫做从“个

元素中取出，"元素的排列数，用符号A：表示.

留意区分排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从“个不同元素中，任

取加个元素依据肯定的依次排成一列，不是数；“排列数”是指从〃个不同元素

中，任取〃？(m≤")个元素的全部排列的个数，是一个数.所以符号只表

示排列数，而不表示具体的排列.

3.排列数公式及其推导：

求A：以按依次填m个空位来考虑A：=n(n-l)(n-2)(n-m+l),

排列数公式:第1位第2位第3位第e位

rr-∏H∙l

图10-5

HJ

A'^'-n(π-l)(n-2)(π-∕π+l)=----:——Cm,neN*,ιn≤n)

l(n-m)↑

说明：(1)公式特征：第一个因数是"，后面每一个因数比它前面一个

少1,最终一个因数是“一加+1,共有加个因数；

(2)全排列：当〃=加时即〃个不同元素全部取出的一个排列.

全排列数：=〃5-1)("-2)2∙1=”!(叫做n的阶乘).

4.例子：

例L计算：⑴7；⑵暧；(3)A^.

解：(1)Af6=16×15×14=3360；

(2)£=6!=720；

(3)4=6x5x4x3=360.

例2.(1)⅛Λι7=17×16×15×--×5×4,则“=,m=___.

(2)若〃∈N,则(55—〃)(56—〃)(68—”)(69—〃)用排列数符号表示—.

解：(1)〃=17,m=14.

(2)若〃eN,则(55-〃)(56—〃)(68-n)(69-n)=.

例3.ɑ)从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数

共有多少个？

(2)5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？

(3)某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参与，每队都要与其余各队在主

客场分别竞赛1次，共进行多少场竞赛？

解：⑴6=5x4=20；

(2)£=5x4x3x2x1=120；

(3)•=14x13=182.

例4、求不同的排法种数：

(1)6男2女排成一排，2女相邻；

(2)6男2女排成一排，2女不能相邻；

(3)4男4女排成一排，同性者相邻；

(4)4男4女排成一排，同性者不能相邻

例5、在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？

分析符合条件的奇数有两类.一类是以1、9为尾数的，共有PJ种选法，首

数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P/种选法，中间两位数从其余的8个数

字中选取2个有P/种选法，依据乘法原理知共有PzRT/个；一类是以3、5、7

为尾数的共有PsPRZ个.

l2l2

解符合条件的奇数共有P2P5'P8+P3'P4P8=1232个.

答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个.

例6、某小组6个人排队照相留念.

(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必需在前排，乙必需在后

排，有多少种排法？

(3)若排成一排照相，甲、乙两人必需在一起，有多少种不同的排法？

(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？

(5)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻有多少种排法？

(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？

分析(1)分两排照相事实上与排成一排照相一样，只不过把第3〜6个位子看

成是其次排而已，所以事实上是6个元素的全排列问题.

(2)先确定甲的排法，有Pj种；再确定乙的排法，有P1种；最终确定其他人的

排法，有法种.因为这是分步问题,所以用乘法原理，有PJ∙P/∙P∣'种不同排

法.

(3)采纳“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P/种不同排法.然

后甲、乙两人之间再排队，有P?,种排法.因为是分步问题，应当用乘法原理，

5

所以有P5∙P/种排法.

(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P/种排法.

(5)采纳“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子,

如「女__女__女一，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两

个男生都不会相邻了.这样男生有P；种排法，女生有P：种排法.因为是分步问

题,应当用乘法原理，所以共有P,3pJ种排法.

(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人随意排有M种排法；

一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人

中任选1人有PJ种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有Pj种排法，中间4

个位置无限制有P；种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P/P”；

种排法.

解(1)P∕=72O(种)

1

(2)P2'∙P4∙P,=2X4X24=192(种)

5

(3)P5∙Pz2=120X2=240(种)

(4)P∕=360(种)

(5)P?∙P3=24X6=144(#)

14

(6)Ps⅛'p4P4=120+4×4×24=504(种)

或法二：(淘汰法)P6J2P5⅛√=720-240+24=504(种)

解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，依据加法原理，可用分类法;

当问题考虑先后次序时，依据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作干脆

法.当问题的反面简洁明白时，可通过求差解除采纳间接法求解；另外，排列

中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分别”问题可能用“插空法”等.

解排列问题和组合问题，肯定要防止“重复”与“遗漏”.

互斥分类一一分类法

先后有序---位置法

反而明白---解除法

相邻排列一一捆绑法

分别排列一一插空法

课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的应用

课堂练习：

课后作业：

教

学

反

思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称组合课型新

学问1、理解组合、组合数的概念，了解排列数公式的推导

与2、能正确相识组合与排列的联系与区分

技能

维

过程能精确地应用它们分析和解决一些简洁的问题

与

目方法

情感看

标发展学生的思维实力，培育学生分析问题和解决问题的实力

法与价

值观

一

重

合数

合、组

点：组

难1.重

点

应用、

的理解

：组合

2.难点

单元

课时

安排

批注

计

程设

过

教学

入：

复习引

一、

念：

列的概

1.排

相同)

素各不

被取元

这里的

元素(

n)个

Cm≤

取m

中，任

同元素

个不

从W

.

排列

一个

素的

个元

取出m

元素中

个不同

从〃

叫做

一列，

次排成

定的依

依据肯

；

次排列

定的依

②按肯

元素，

①取出

方面：

括两个

定义包

排列的

(1)

说明：

同.

也相

依次

排列

素的

，②元

全相同

元素完

件：①

同的条

列相

个排

(2)两

定义：

列数的

2.排

〃个

叫做从

的个数

部排列

素的全

)个元

2≤"

加(”

，任取

元素中

个不同

从W

.

；”表示

符号A

数，用

的排列

元素

取出m

元素中

，任

素中

同元

"个不

：从

”是指

排列

“一个

同：

数的不

和排列

分排列

留意区

元素

不同

〃个

指从

数”是

“排列

是数；

列，不

排成一

的依次

据肯定

元素依

取加个

表

,：只

符号A

.所以