1.1.2等腰三角形的特殊性质与等边三角形的性质教案-北师大版数学八年级下册

第2课时等腰三角形的特殊性质与等边三角形的性质●复习导入1.上节课我们已经证明了等腰三角形的性质，你能用几何符号语言表达出这些性质吗？2．等腰三角形中除了“三线合一”之外，还有一些中线、高线、角平分线．请你在图中画出它们，观察并比较它们的大小．【教学与建议】教学：学生画图再观察、比较得出结论：等腰三角形两底角平分线相等、两腰上的中线相等、两腰上的高线相等．建议：让学生利用合情推理的方式得出结论．●情景导入我们欣赏下列两个建筑物和交通标志，如图，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的？有什么性质？从图中我们可以看到等腰三角形及等边三角形，这一节我们继续学习等腰三角形的一些性质，并学习等边三角形的有关知识．【教学与建议】教学：通过观察发现等腰三角形和等边三角形，激发学生学习热情，对新课的导入作好铺垫．建议：先复习等腰三角形的“三线合一”的性质，再理解等腰三角形的特殊性质．◎命题角度1等边三角形性质的应用等边三角形是一种特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．【例1】如图，AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1cm，那么AB的长是(B)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cmeq\o(\s\up7(),\s\do5(（例1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例2题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例3题图）))【例2】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝__20°__．【例3】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，点G，F分别在AC，DG上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__15°__．◎命题角度2等边三角形与“手拉手”模型的综合由于等边三角形的边角特性，当出现“手拉手”模型时，要能联想到等角转换，进而借助全等三角形的判定与性质解决问题．【例4】如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ABC＝∠BCA＝∠DCE＝60°.∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.∴△DBC≌△EAC.∴∠DBC＝∠EAC.又∵∠DBC＝∠BCA＝60°，∴∠BCA＝∠EAC.∴AE∥BC.◎命题角度3等腰三角形的高线不明确需分类讨论当等腰三角形锐角与钝角不明确时，需要讨论高在三角形外部还是内部，一般画图解决．【例5】在等腰三角形中，一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__120°或60°__．【例6】已知△ABC的高AD，BE所在的直线交于点F，若BF＝AC，求∠ABC的度数．解：先证△BDF≌△ADC.当∠ABC为锐角时，如图①，∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如图②，∠ABC＝135°.故∠ABC的度数为45°或135°.高效课堂教学设计1．让学生借助等腰三角形的轴对称性探索等边三角形的性质定理．2．熟练应用全等、等边三角形的性质解决问题．▲重点熟练推导等腰三角形中的相等线段，理解等边三角形的性质．▲难点灵活利用等腰三角形的性质解决问题．◆活动1创设情境导入新课(课件)已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.完成下列各题：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝__∠C__．根据是__等边对等角__；(2)若AD是△ABC的角平分线，BC＝8，则CD＝__4__．根据是__三线合一__；(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝__20°__；(4)若BD＝CD，则AD__⊥__BC，∠BAD＝__∠CAD__.◆活动2实践探究交流新知【探究1】等腰三角形中的相等线段1．大胆猜想，探究方法．问题1：在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)．你能发现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE.方法一：证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角)．∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠1＝eq\f(1,2)∠ABC，∠2＝eq\f(1,2)∠ACB，∴∠1＝∠2.在△BDC和△CEB中，∵∠ACB＝∠ABC，BC＝CB，∠1＝∠2，∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等).方法二：证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角)．∵BD，CE是△ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠3，∠ACB＝2∠4(角平分线性质)，∴∠3＝∠4(等式性质)．在△ABD和△ACE中，∵∠3＝∠4，AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABD≌△ACE(ASA).∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．2．规范过程，巩固所学．问题2：等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？证明它们，并与同伴交流．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的中线．求证：BD＝CE.证明：∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的中线，∴AD＝eq\f(1,2)AC，AE＝eq\f(1,2)AB，∴AD＝AE.在△ABD和△ACE中，∵AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．结论：等腰三角形两腰上的中线相等、高线相等．3．思维发散，拓展延伸．在上图的等腰三角形ABC中．(1)如果∠ABD＝eq\f(1,3)∠ABC，∠ACE＝eq\f(1,3)∠ACB，那么BD＝CE吗？如果∠ABD＝eq\f(1,4)∠ABC，∠ACE＝eq\f(1,4)∠ACB呢？由此你能得到的一个结论是__BD＝CE__；(2)如果AD＝eq\f(1,3)AC，AE＝eq\f(1,3)AB，那么BD＝CE吗？如果AD＝eq\f(1,4)AC，AE＝eq\f(1,4)AB呢？由此你得到的结论是__BD＝CE__；(3)为什么等腰三角形有这样的特殊性质？因为__等腰三角形是轴对称图形__．【归纳】等腰三角形是轴对称图形，两底角的平分线相等，两腰上的中线、高线都相等．【探究2】等边三角形的性质等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么性质呢？已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC.求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角).又∵AC＝BC，∴∠A＝∠B(等边对等角)，∴∠A＝∠B＝∠C.在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.【归纳】定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.◆活动3开放训练应用举例【例1】如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.【方法指导】利用等边三角形的性质定理证明△ABE和△CBD全等得到AE＝CD.证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴∠ABC＝∠CBD＝60°，AB＝BC，BE＝BD.在△ABE和△CBD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABE＝∠CBD，,BE＝BD，))∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD.【例2】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________.【方法指导】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝120°.又∵CG＝GD，∴∠CDG＝30°，∴∠FDE＝150°.又∵DF＝DE，∴∠E＝15°.答案：15°◆活动4随堂练习1．求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数．解：60°.2．如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数．解：120°.3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE.(1)求∠ECD的度数；(2)若CE＝5，求BC的长．解：(1)∠ECD＝36°；(2)BC＝5.◆活动5课堂小结与作业【学生活动】1．你这节课的主要收获是什么？2．探索等腰三角形的性质时，我们运用了哪些方法？【教