2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题1.5 角边角判定三角形全等-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题1.5角边角判定三角形全等-重难点题型【苏科版】【知识点1基本事实“角边角”（ASA）】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.【题型1角边角判定三角形全等的条件】【例1】（2020秋•宜兴市期中）如图，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根据“ASA”使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是．【变式1-1】（2020秋•覃塘区期中）如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠D【变式1-2】（2020秋•浦东新区期末）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°【变式1-3】（2020•路南区校级月考）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）A． B． C． D．【题型2角边角判定三角形全等（求角的度数）】【例2】（2020秋•简阳市期中）如图，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度数为（）A．50° B．30° C．45° D．25°【变式2-1】（2019秋•天心区校级月考）AD，BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO＝AC，则∠ABC＝．【变式2-2】（2021•苍南县一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求证：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度数．【变式2-3】（2020秋•丛台区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，连接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延长AF至点D，使AD＝AC，连接CD．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度数．【题型3角边角判定三角形全等（求线段的长度）】【例3】（2021春•德城区校级月考）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式3-1】（2020春•万州区期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上一点，延长ED至F，使得DF＝DE，若BF∥AC，AC＝4，BF＝3，则CE的长为（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【变式3-2】（2020春•铁西区期末）如图，点D是△ABC的边AB上一点，FC∥AB，连接DF交AC于点E，若CE＝AE，AB＝7，CF＝4，则BD的长是．【变式3-3】（2020秋•香洲区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．（1）求∠APC的度数；（2）若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长．【题型4角边角判定三角形全等（实际应用）】【例4】（2020秋•伊通县期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①去和带②去【变式4-1】（2020秋•丰南区期中）如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是．【变式4-2】（2020秋•齐河县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度．【变式4-3】（2020秋•孝义市期中）一位经历过战争的老战士讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如下，你能根据示意图解释其中的道理吗下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明．已知：如图，AB⊥CD，．求证：．证明：【题型5角边角判定三角形全等（证明题）】【例5】（2020秋•涟源市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的任意点，D为线段BE的中点，AB＝AE，EF⊥AE，AF∥BC．（1）求证：∠DAE＝∠C；（2）求证：AF＝BC．【变式5-1】（2020秋•汝南县期末）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD＝BD．试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH＝∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．【变式5-2】（2020秋•郯城县期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．（1）求证：BE＝CG；（2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．【变式5-3】（2020秋•岫岩县月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．求证：（1）△DAB≌△DGC；（2）CG＝FB+FG．【题型6角边角判定三角形全等（探究题）】【例6】（2020春•崂山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°点D在BC的延长线上，且BD＝AB．过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．（1）求证：△ABC≌△BDE；（2）请找出线段AB、DE、CD之间的数量关系，并说明理由．【变式6-1】（2021春•黄浦区期末）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．（1）说明△ADE≌△BFE的理由；（2）联结EG，那么EG与DF的位置关系是，请说明理由．【变式6-2】（2020春•文圣区期末）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于点F，BD＝CD，CE平分∠ACB．（1）如图1，试说明BE=12（2）如图2，若点M在边BC上（不与点B重合），MN⊥AB于点N，交BD于点G，请直接写出BN与MG的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．【变式6-3】（2020春•揭阳期末）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC＝180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED．专题1.5角边角判定三角形全等-重难点题型【苏科版】【知识点1基本事实“角边角”（ASA）】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.【题型1角边角判定三角形全等的条件】【例1】（2020秋•宜兴市期中）如图，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根据“ASA”使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是．【分析】利用ASA定理添加条件即可．【解答】解：还需添加的条件是∠B＝∠D，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中∠BAC=∠DAEAB=AD∴△ABC≌△ADE（ASA），故答案为：∠B＝∠D．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．【变式1-1】（2020秋•覃塘区期中）如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠D【分析】利用全等三角形的判定方法，“ASA”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．【解答】解：需要补充的条件是∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，∠A=∠DAC=DF∴△ABC≌△DEF（ASA）．故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【变式1-2】（2020秋•浦东新区期末）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，∴不能画出三角形，故本选项不合题意；B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；C．当∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性；D．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．【变式1-3】（2020•路南区校级月考）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）A． B． C． D．【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．【题型2角边角判定三角形全等（求角的度数）】【例2】（2020秋•简阳市期中）如图，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度数为（）A．50° B．30° C．45° D．25°【分析】由题中条件易证得△AOB≌△DOC，可得∠ACB＝∠DBC，由三角形外角的性质可得∠DOC＝∠ACB+∠DBC，即可得∠DBC的度数．【解答】解：∵∠A＝∠D，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC（ASA），∴∠ACB＝∠DBC，∵∠DOC＝∠ACB+∠DBC，∴∠DBC=12∠故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质等知识点，找到相应等量关系的角是解题的关键．【变式2-1】（2019秋•天心区校级月考）AD，BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO＝AC，则∠ABC＝．【分析】由AD、BE是锐角△ABC的高，可得∠DBA＝∠DAC，又BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图1，∵AD、BE是锐角△ABC的高，∴∠AEO＝∠BDO＝90°，∵∠AOE＝∠BOD，∴∠DBO＝∠DAC，∵BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90°∴△BDO≌△ADC（ASA），∴BD＝AD，∴∠ABC＝∠BAD＝45°，如图2，同理证得△BDO≌△ADC（ASA），∴BD＝AD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠ABC＝135°，故答案为：45°或135°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；结合已知条件发现并利用△BDO≌△ADC是正确解答本题的关键．【变式2-2】（2021•苍南县一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求证：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度数．【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△ECB；（2）由全等三角形的性质可得BD＝BC，由等腰三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，在△ABD和△ECB中，∠A=∠BECAD=BE∴△ABD≌△ECB（ASA）；（2）∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝70°，∴∠DBC＝40°，∴∠ADB＝∠CBD＝40°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．【变式2-3】（2020秋•丛台区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，连接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延长AF至点D，使AD＝AC，连接CD．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度数．【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAF＝∠CAE，∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，∠B=∠ACFAB=AC∴△ABE≌△ACF（ASA）；（2）解：∵∠B＝∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，∵△ABE≌△ACF，∴∠CAF＝∠BAE＝20°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠ADC=180°-20°答：∠ADC的度数为80°．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【题型3角边角判定三角形全等（求线段的长度）】【例3】（2021春•德城区校级月考）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】证明△MQP≌△NQH，由全等三角形的性质可得PQ＝QH＝5，根据MQ＝NQ＝9，即可解决问题．【解答】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，∵∠RHM＝∠QHN，∴∠PMH＝∠HNQ，在△MQP和△NQH中，∠PMQ=∠QNHMQ=NQ∴△MQP≌△NQH（ASA），∴PQ＝QH＝5，∵NQ＝MQ＝9，∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．【变式3-1】（2020春•万州区期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上一点，延长ED至F，使得DF＝DE，若BF∥AC，AC＝4，BF＝3，则CE的长为（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【分析】证明△BDF≌△ADE（ASA），由全等三角形的性质得出BF＝AE＝3，则可得出答案．【解答】解：∵BF∥AC，∴∠F＝∠AED，在△BDF和△ADE中，∠F=∠AEDDF=DE∴△BDF≌△ADE（ASA），∴BF＝AE＝3，∵AC＝4，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣3＝1．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-2】（2020春•铁西区期末）如图，点D是△ABC的边AB上一点，FC∥AB，连接DF交AC于点E，若CE＝AE，AB＝7，CF＝4，则BD的长是．【分析】先由全等三角形的判定定理ASA证明△AED≌△CEF，然后根据全等三角形的对应边相等知AD＝CF，从而求得BD的长度．【解答】解：∵FC∥AB，∴∠A＝∠ECF，在△AED和△CEF中，∠A=∠ECFAE=CE∴△AED≌△CEF（ASA），∴AD＝CF（全等三角形的对应边相等），又∵AB＝7，CF＝4，AB＝AD+BD，∴BD＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-3】（2020秋•香洲区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．（1）求∠APC的度数；（2）若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长．【分析】（1）利用∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，即可得出答案；（2）由题中条件可得△APE≌△APF，进而得出∠APE＝∠APF，通过角之间的转化可得出△CPF≌△CPD，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，∴∠BAC+∠BCA＝120°，∠PAC+∠PCA=12（∠BAC+∠∴∠APC＝120°．（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△APE和△APF中，AE=AF∠EAP=∠FAP∴△APE≌△APF（SAS），∴∠APE＝∠APF，∵∠APC＝120°，∴∠APE＝60°，∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，在△CPF和△CPD中，∠FPC=∠DPCCP=CP∴△CPF≌△CPD（ASA）∴CF＝CD，∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝4+4＝8．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据在AC上截取AF＝AE得出△APE≌△APF是解题关键．【题型4角边角判定三角形全等（实际应用）】【例4】（2020秋•伊通县期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①去和带②去【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故选：A．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．【变式4-1】（2020秋•丰南区期中）如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是．【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．【解答】解：小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．故答案为：ASA．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式4-2】（2020秋•齐河县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度．【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质可得结果．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABP＝∠CDP，∵PD⊥CD，∴∠CDP＝90°，∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴PD＝PB，在△ABP与△CDP中，∠ABP=∠CDPPB=PD∴△ABP≌△CDP（ASA），∴CD＝AB＝16米．【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．【变式4-3】（2020秋•孝义市期中）一位经历过战争的老战士讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如下，你能根据示意图解释其中的道理吗下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明．已知：如图，AB⊥CD，．求证：．证明：【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：已知：如图，AB⊥CD，∠ABC＝∠ABD．求证：AD＝AC．证明：∵AB⊥CD，∴∠BAD＝∠BAC，在△ABD与△ABC中，∠ABD=∠ABCAB=AB∴△ABD≌△ABC（ASA），∴AD＝AC，故答案为：∠ABC＝∠ABD，AD＝AC．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【题型5角边角判定三角形全等（证明题）】【例5】（2020秋•涟源市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的任意点，D为线段BE的中点，AB＝AE，EF⊥AE，AF∥BC．（1）求证：∠DAE＝∠C；（2）求证：AF＝BC．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C＝∠BAD，再证明∠BAD＝∠DAE即可解决问题．（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC＝EF．【解答】证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC，（三线合一没有学习到，可以用全等证明）∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD，∵AB＝AE，AD⊥BE，∴∠BAD＝∠DAE，∴∠DAE＝∠C（2）∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．【变式5-1】（2020秋•汝南县期末）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD＝BD．试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH＝∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．【分析】（1）因为∠BHD＝∠AHE，∠BDH＝∠AEH＝90°，所以∠DBH+∠BHD＝∠HAE+∠AHE＝90°，故∠DBH＝∠DAC；（2）因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC，又因为AD＝BD，∠DBH＝∠DAC，故可根据ASA判定两三角形全等．【解答】解：（1）∵∠BHD＝∠AHE，∠BDH＝∠AEH＝90°∴∠DBH+∠BHD＝∠HAE+∠AHE＝90°∴∠DBH＝∠HAE∵∠HAE＝∠DAC∴∠DBH＝∠DAC；（2）∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC在△BDH与△ADC中，∠ADB=∠ADCAD=BD∴△BDH≌△ADC．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式5-2】（2020秋•郯城县期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．（1）求证：BE＝CG；（2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．【分析】（1）先利用ASA判定△BED≌△CGD，从而得出BE＝CG；（2）先连接FG，再利用全等的性质可得DE＝DG，再根据DF⊥GE，从而得出FG＝EF，依据三角形两边之和大于第三边得出BE+CF＞EF．【解答】解：（1）∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵AB∥CG，∴∠B＝∠DCG，在△BDE和△CDG中，∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴BE＝CG；（2）BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG，∵△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，又∵FD⊥EG，∴FD垂直平分EG，∴EF＝GF，又∵△CFG中，CG+CF＞GF，∴BE+CF＞EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，本题中求证△BDE≌△CDG，得出BE＝CG是解题的关键．【变式5-3】（2020秋•岫岩县月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．求证：（1）△DAB≌△DGC；（2）CG＝FB+FG．【分析】（1）由“ASA”可证△DAB≌△DGC；（2）由全等三角形的性质可得AB＝CG，DA＝DG，由“SAS”可证△DFA≌△DFG，可得FA＝FG，可得结论．【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ABD+∠A＝90°，∠ACE+∠A＝90°，∴∠ABD＝∠ACE，在△DAB和△DGC中，∠ABD=∠ACEBD=CD∴△DAB≌△DGC（ASA）；（2）∵△DAB≌△DGC，∴AB＝CG，DA＝DG，∵BD＝CD．∠BDC＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DF∥BC，∴∠FDA＝∠FDG＝45°，在△DFA和△DFG中，AD=DG∠FDA=∠FDG∴△DFA≌△DFG（SAS），∴FA＝FG．∴CG＝AB＝FB+FA＝FB+FG．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，找到正确的全等三角形是本题的关键．【题型6角边角判定三角形全等（探究题）】【例6】（2020春•崂山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°点D在BC的延长线上，且BD＝AB．过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．（1）求证：△ABC≌△BDE；（2）请找出线段AB、DE、CD之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用已知得出∠A＝∠DBE，进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBE+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，∠A=∠DBEBD=AB∴△ABC≌△BDE（ASA）；（2）解：AB＝DE+CD，理由：由（1）证得，△ABC≌△BDE，∴AB＝BD，BC＝DE，∵BD＝CD+BC，∴AB＝CD+DE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式6-1】（2021春•黄浦区期末）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．（1）说明△ADE≌△BFE的理由；（2）联结EG，那么EG与DF的位置关系是，请说明理由．【分析】（1）由AD∥BC，得出∠1＝∠F，因为E是AB的中点，得AE＝BE，即可证明△ADE≌△BFE；【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠F，∵E是AB的中点，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，∠1=∠F∠AED=∠BEF∴△ADE≌△BFE（ASA），（2）如图，EG⊥DF，∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，∴∠2＝∠F，∴DG＝FG，由（1）知：△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∴EG⊥DF．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的三线合一等知识，找出全等所需的条件是解题的关键．【变式6-2】（2020春•文圣区期末）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于点F，BD＝CD，CE平分∠ACB．（1）如图1，试说明BE=12（2）如图2，若点M在边BC上（不与点B重合），MN⊥AB于点N，交BD于点G，请直接写出BN与MG的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△FCD，可得AB＝CF，由“ASA”可证△ACE≌△BCE，可得AE＝BE，可得结论；（2）如图，过点M作MH∥AC，交AB于H，交BD于P，由“ASA”可证BPH≌△MPG，可得GM＝BH，由“ASA”可证△BMN≌△HMN，可得BN＝NH，可得结论．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠BDC＝∠AEC＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠ACE＝90°，∴∠ABD＝∠ACE，在△ABD和△FCD中，∠ADB=∠FDCBD=CD∴△ABD≌△FCD（ASA），∴AB＝CF，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝22.5°，在△ACE和△BCE中，∠ACE=∠BCECE=CE∴△ACE≌△BCE（ASA），∴AE＝BE，∴BE=12AB=（2）BN=12理由如下：如图，过点M作MH∥AC，交AB于H，交BD于P，∵BD＝CD，BD⊥CD，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵MH∥AC，∴∠PMB＝∠DCB＝∠PBM＝45°，∠BPM＝∠BDC＝90°，∴BP＝PM，∵∠BHP+∠HBP＝90°，∠BHP+∠HMN＝90°，∴∠HBP＝∠HMN，在△BHP和△MGP中，∠HBP=∠GMPBP=PM∴△BPH≌△MPG（ASA），∴GM＝BH，∵MN⊥AB，CE⊥AB，∴MN∥CE，∴∠BMN＝∠BCE=12∠∴∠BMN＝∠HMN＝22.5°，在△BMN和△HMN中，∠BMN=∠HMNMN=MN∴△BMN≌△HMN（ASA）∴BN＝NH，∴BN=12BH=【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．【变式6-3】（2020春•揭阳期末）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC＝180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED．【分析】（1）根据余角的性质得到∠DEC＝∠BAC，由于∠DEC+∠BEC＝180°，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠EBC=12∠ABC，∠ECB（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC＝60°，得到∠BEC＝90°+12∠BAC＝120°，求得∠FEB＝∠DEC＝60°，根据角平分线的性质得到∠BEM＝60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形的性质得到EF＝EM，同理DE【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，∴∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠FAC＝90°，∴∠DEC＝∠BAC，∠DEC+∠BEC＝180°，∴∠BAC+∠BEC＝180°；（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，∵∠BAC＝60°，∴∠BEC＝90°+12∴∠FEB＝∠DEC＝60°，∵EM平分∠BEC，∴∠BEM＝60°，在△FBE与△EBM中，∠FBE=∠EBMBE=BE∴△FBE≌△EBM（ASA），∴EF＝EM，同理DE＝EM，∴EF＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．专题1.6角角边判定三角形全等-重难点题型【苏科版】【知识点1基本事实“角角边”（AAS）】两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.【题型1角角边判定三角形全等的条件】【例1】（2020秋•覃塘区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充一个条件：，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．【变式1-1】（2020秋•句容市月考）如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件，则可由AAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件，则可由ASA证明△ABC≌△DCB．【变式1-2】（2020秋•石狮市校级期中）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AB＝BE，∠ABC＝∠E，请添加一个条件，使△ABC≌△BED．【变式1-3】（2020秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8 C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【题型2角角边判定三角形全等（求角的度数）】【例2】（2019秋•南昌期中）如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是．【变式2-1】（2020秋•黄陂区期中）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC，若∠AEB＝50°，求∠EBC的度数是．【变式2-2】（2020秋•迁安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．（1）求证：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度数．【变式2-3】（2020秋•大武口区期末）如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AE∥BC，且∠E=13∠CAD，求∠【题型3角角边判定三角形全等（求线段的长度）】【例3】（2020秋•合浦县期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式3-1】（2020秋•南京期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延长线上的点，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于点F，若DC＝2.6，BF＝1，则AF的长为（）A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.6【变式3-2】（2020秋•陇县期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（）A．7 B．6 C．5 D．4【变式3-3】（2020秋•喀喇沁旗期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB＝DE．若BD＝8cm，则AC的长为．【题型4角角边判定三角形全等（实际应用）】【例4】（2020秋•柳州期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【变式4-1】（2021春•深圳期中）如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度．【变式4-2】（2020春•嘉定区期末）如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达A，B两地，两车行进的路线平行．那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？为什么？【变式4-3】（2020秋•南关区校级期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．（1）求A'到BD的距离；（2）求A'到地面的距离．【题型5角角边判定三角形全等（证明题）】【例5】（2020秋•西城区期末）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED．（1）求证：BC＝CD；（2）连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD．【变式5-1】（2020秋•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．【变式5-2】（2020秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，BE、CD交于点F，AE＝AD，∠1＝∠2．（1）求证：AB＝AC；（2）求证：BF＝CF．【变式5-3】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证：（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．【题型6角角边判定三角形全等（探究题）】【例6】（2020秋•呼兰区期中）如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F．（1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数；（2）请直接写出线段BF、EF、DE三者间的数量关系．【变式6-1】（2020春•雁塔区校级月考）如图，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD＝CE，连DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G，试判断FG、BF、CG之间的数量关系，并说明理由．【变式6-2】（2020秋•华容县期末）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求证：EF＝CF﹣BE．（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．【变式6-3】（2020秋•金东区期中）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．专题1.6角角边判定三角形全等-重难点题型【苏科版】【知识点1基本事实“角角边”（AAS）】两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.【题型1角角边判定三角形全等的条件】【例1】（2020秋•覃塘区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充一个条件：，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件，答案不唯一．【解答】解：∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝DB．在△ACE与△DBF中，∠AEC＝∠DFB、AC＝DB，所以添加∠A＝∠D可以使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．故答案是：∠A＝∠D．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【变式1-1】（2020秋•句容市月考）如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件，则可由AAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件，则可由ASA证明△ABC≌△DCB．【分析】由于∠ABC＝∠DCB，再加上公共边，当利用“AAS”进行判断时可加∠A＝∠D；当利用“SAS”进行判断时可加AB＝DC；当利用“ASA”进行判断时可加∠ACB＝∠DBC．【解答】解：当∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，当AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，当∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB；故答案为：∠A＝∠D，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式1-2】（2020秋•石狮市校级期中）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AB＝BE，∠ABC＝∠E，请添加一个条件，使△ABC≌△BED．【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件即可．【解答】解：添加的条件是：BC＝ED，在△ABC和△BED中，AB=BE∠ABC=∠E∴△ABC≌△BED（SAS）．添加的条件是：∠A＝∠EBD，在△ABC和△BED中，∠A=∠EBDAB=BE∴△ABC≌△BED（ASA）．添加的条件是：∠ACB＝∠D，在△ABC和△BED中，∠ACB=∠D∠ABC=∠E∴△ABC≌△BED（AAS）．故答案为：BC＝DE或∠A＝∠EBD或∠ACB＝∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【变式1-3】（2020秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8 C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．【解答】解：A、已知AB、BC和BC的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；B、已知两角和一边，能画出唯一△ABC，故本选项符合题意；C、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC，∴不能画出△ABC；故本选项不符合题意；D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【题型2角角边判定三角形全等（求角的度数）】【例2】（2019秋•南昌期中）如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是．【分析】证明△ABC≌△AED（AAS），得出∠BAC＝∠EAD，根据三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B＝∠E＝90°，在△ABC和△AED中，∠B=∠C∠ACB=∠ADE∴△ABC≌△AED（AAS），∴∠BAC＝∠EAD，∵∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+∠BAC＝80°；故答案为：80°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理；证明三角形全等是解题的关键．【变式2-1】（2020秋•黄陂区期中）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC，若∠AEB＝50°，求∠EBC的度数是．【分析】根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等，根据三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．【解答】解：∵在△ABE和△DCE中∠A=∠D∠AEB=∠DEC∴△ABE≌△DCE（AAS）；∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°，故答案为：25°【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据AAS推出△ABE和△DCE全等．【变式2-2】（2020秋•迁安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．（1）求证：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠A＝∠DBE，再根据AAS证出△ABC≌△BDE，即可得出AB＝BD；（2）根据已知条件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE＝62°，再根据∠DBC＝34°，求出∠FBE的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∵∠C＝∠E，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，∠A=∠DBE∠C=∠E∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AB＝BD；（2）∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠E＝28°，∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBE＝62°，∵∠DBC＝34°，∴∠FBE＝28°，∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的内角和定理，关键是根据AAS证出△ABC≌△BDE．【变式2-3】（2020秋•大武口区期末）如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AE∥BC，且∠E=13∠CAD，求∠【分析】（1）由∠1＝∠2＝∠3，可得∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，已知AC＝AE，即可证得：△ABC≌△ADE；（2）由题意可得，∠ADB＝∠ABD＝4x，在△ABD中，可得x+4x+4x＝180°，解答处即可；【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∵∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，在△ABC和△ADE中∠BAC=∠DAE∠B=∠ADE∴△ABC≌△ADE（AAS）；（2）∵AE∥BC，∴∠E＝∠3，∠DAE＝∠ADB，∠2＝∠C，又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E＝x，则有：∠DAE＝3x+x＝4x＝∠ADB，又∵由（1）得AD＝AB，∠E＝∠C，∴∠ABD＝4x，∴在△ABD中有：x+4x+4x＝180°，∴x＝20°，∴∠E＝∠C＝20°．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【题型3角角边判定三角形全等（求线段的长度）】【例3】（2020秋•合浦县期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】证△ABC≌△DEF（AAS），得出BC＝EF，则BF＝CE＝5m，由FC＝BE﹣BF﹣CE即可得出答案．【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E∠ACB=∠DFE∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC＝EF，∴BC﹣FC＝EF﹣FC，即BF＝CE＝5m，∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14﹣5﹣5＝4（m）；故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-1】（2020秋•南京期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延长线上的点，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于点F，若DC＝2.6，BF＝1，则AF的长为（）A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.6【分析】根据AAS证明△DBF与△ABC全等，利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE⊥AC于E，∴∠FDB+∠C＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠D+∠DFB＝90°，∴∠C＝∠BFD，在△DBF与△ABC中，∠C=∠BFD∠ABC=∠DBF=90°∴△DBF≌△ABC（AAS），∴BF＝BC，∵DC＝2.6，BF＝1，∴AF＝AB﹣BF＝BD﹣BF＝DC﹣BF﹣BF＝2.6﹣1﹣1＝0.6，故选：A．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．【变式3-2】（2020秋•陇县期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】由“AAS”可证明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，即可求AD的长．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∠CED＝∠AFB＝90°，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CDE中，∠A=∠C∠AFB=∠CED=90°∴△ABF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，∴AD＝AF﹣EF+DE＝6﹣2+3＝7．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABF≌△CDE是本题的关键．【变式3-3】（2020秋•喀喇沁旗期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB＝DE．若BD＝8cm，则AC的长为．【分析】由DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB＝90°，由∠ACB＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A＝90°，根据同角的余角相等，可得∠A＝∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝BC，AC＝BE，由E是BC的中点，得到BE=12BC=【解答】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，∴∠ABC+∠DEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝∠DEB，在△ABC和△EDB中，∠ACB=∠DBC∠A=∠DEB∴△ABC≌△EDB（AAS），∴BD＝BC，AC＝BE，∵E是BC的中点，BD＝8cm，∴BE=12BC=12故答案为：4cm【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．【题型4角角边判定三角形全等（实际应用）】【例4】（2020秋•柳州期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCE∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．【变式4-1】（2021春•深圳期中）如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度．【分析】由全等三角形的判定定理AAS得到△ABM≌△DCM，则其对应边相等：BM＝CM，AM＝DM，故AC＝DM﹣BM＝2m．【解答】解：∵在△ABM与△DCM中，∠AMB=∠DMC∠ABM=∠DCM∴△ABM≌△DCM（AAS），∴BM＝CM＝6m，AM＝DM＝8m，∴AC＝AM﹣CM＝2m．即梯子下滑的高度是2m．【点评】本题考查了全等三角形的应用．解题时，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．【变式4-2】（2020春•嘉定区期末）如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达A，B两地，两车行进的路线平行．那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？为什么？【分析】要判断A，B两地到路段MN的距离是否相等，可以由条件证明△AEM≌△BFN，再根据全等三角形的性质就可以的得出结论．【解答】解：A，B两地到路段MN的距离相等．理由：∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴∠AFN＝∠AEM＝90°．∵AM∥BN，∴∠M＝∠N．在△AEM和△BFN中，∠AEM=∠BFN∠M=∠N∴△AEM≌△BFN（AAS），∴AE＝BF．∴A，B两地到路段MN的距离相等．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，点到直线的距离的理解，在解答时弄清判断三角形全等的条件是关键．【变式4-3】（2020秋•南关区校级期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．（1）求A'到BD的距离；（2）求A'到地面的距离．【分析】（1）作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；在△ACB和△BFA'中，∠ACB=∠A'FB∠2=∠3∴△ACB≌△BFA'（AAS）；∴A'F＝BC∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，∴CD＝AE＝1.5；∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），∴A'F＝1（m），即A'到BD的距离是1m．（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'∴BF＝AC＝1.5m，作A'H⊥DE，垂足为H．∵A'F∥DE，∴A'H＝FD，∴A'H＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1（m），【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【题型5角角边判定三角形全等（证明题）】【例5】（2020秋•西城区期末）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED．（1）求证：BC＝CD；（2）连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD．【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△ECD，可得BC＝CD；（2）由等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠CDB，由平行线的性质和平角的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，在△ABC和△ECD中，∠A=∠E∠ABC=∠DCE∴△ABC≌△ECD（AAS），∴BC＝CD；（2）如图，连接BD，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，又∵∠CBD+∠EBD＝180°，∴∠ABD＝∠EBD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．【变式5-1】（2020秋•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DFE；（2）由“AAS”可证△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得结论．【解答】证明：（1）∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，AB=DF∠B=∠F∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，∠ACB=∠DEF∠AOC=∠DOE∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴点O为BF的中点．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．【变式5-2】（2020秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，BE、CD交于点F，AE＝AD，∠1＝∠2．（1）求证：AB＝AC；（2）求证：BF＝CF．【分析】（1）根据AAS即可证明△ABE≌△ACD，根据该全等三角形的对应边相等证得结论；（2）欲证明BF＝CF，只需推知∠FBC＝∠FCB即可．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵∠1=∠2∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC．（2）方法一：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠1＝∠2，∴∠ABC﹣∠1＝∠ACB﹣∠2，即∠FBC＝∠FCB．∴BF＝CF．方法二：可用全等证明【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【变式5-3】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证：（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，根据AAS可证明△ABD≌△CED；（2）证明△BDC≌△FDC（SAS），由全等三角形的性质得出∠BCD＝∠FCD．【解答】证明：（1）∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，∵BD是△ABC中AC边上的中线，∴AD＝CD，在△ABD和△CED中，∠ABD=∠CED∠BAD=∠DCE∴△ABD≌△CED（AAS）；（2）∵△ABD≌△CED，∴BD＝DE，又∵DE＝DF，∴BD＝DF，∵∠ADF＝∠CDE，∠CDE＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADF，∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠ADF，∴∠BDC＝∠FDC，在△BDC和△FDC中，BD=DF∠BDC=∠FD