2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题2.2 轴对称的性质+设计轴对称图案-重难点题型（举一反三）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题2.2轴对称的性质+设计轴对称图案-重难点题型【苏科版】【知识点1轴对称的性质】（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．【题型1利用轴对称的性质求角度】【例1】（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝°．【变式1-1】（2021春•汉台区期末）如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的轴对称点是G，点P关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON＝35°，则∠GOH＝．【变式1-2】（2021春•雁塔区校级期末）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（）A．90° B．100° C．120° D．140°【变式1-3】（2020•射阳县校级模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为（）A．40° B．45° C．60° D．80°【题型2利用轴对称的性质求线段】【例2】（2021•深圳模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（）A．9 B．10 C．11 D．12【变式2-1】（2021春•海口期末）如图所示，点P关于直线OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为8cm，则CD为cm．【变式2-2】（2021春•驿城区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为．【变式2-3】（2020春•双流区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2．则在点P的运动过程中，线段P1P2的长的最小值是．【题型3画轴对称图形】【例3】（2020春•荷塘区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（2）将△A1B1C1再向下平移5个单位，画出平移后得到的△A2B2C2，并计算△A2B2C2的面积．【变式3-1】（2021春•秦都区期末）请在网格中完成下列问题：（1）如图1，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形，请用所学轴对称的知识作出△ABC与△DEF的对称轴直线PQ；（2）如图2，请在图中作出△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'．【变式3-2】（2021秋•南昌期中）如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线：l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形．【变式3-3】（2020秋•江汉区期末）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形．（1）如图，图1，图2，图3都是6×6的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：①在图1中作△MNP，使它与△ABC全等；②在图2中作△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；③在图3中作△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称；（2）如图4，是一个4×4的正方形网格，图中与△ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有个．【题型4利用轴对称的性质解折叠问题】【例4】（2021春•锦江区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，连接BD，将△BDA沿BD对折得到△BDE，若BE恰好经过点C，则下列结论错误的是（）A．DA＝DE B．∠CDE＝2∠ABD C．∠BDE﹣∠ABD＝90° D．S△ABD：S△CDE＝BC：CE【变式4-1】（2021春•于洪区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（如图②）（1）在图①中画出折痕所在的直线l，问直线l是线段AC的线；（2）设直线l与AB、AC分别相交于点M、N，连接CM，若△CMB的周长是21cm，AB＝14cm，求BC的长．【变式4-2】（2021•启东市开学）如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=12∠DAB．试猜想DE，BF，【变式4-3】（2020秋•建邺区期末）ABCD是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别边AD、BC、AD上的三点，连接EF、FH．（1）将长方形纸片的ABCD按如图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D′，点B′在FC′上，则∠EFH的度数为；（2）将长方形纸片的ABCD按如图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D'（B′、C′的位置如图所示），若∠B'FC′＝16°，求∠EFH的度数；（3）将长方形纸片的ABCD按如图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′，D′（B′、C′的位置如图所示）．若∠EFH＝n°，则∠B′FC′的度数为．【题型5剪纸问题】【例5】（2021•门头沟区二模）有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是（）A． B． C． D．【变式5-1】（2020秋•恩施市期末）将一张正方形按图1，图2方式折叠，然后用剪刀沿图3中虚线剪掉一角，再将纸片展开铺平后得到的图形是（）A． B． C． D．【变式5-2】（2020秋•石景山区期末）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A． B． C． D．【变式5-3】（2021•邢台三模）一张正方形纸片按图1、图2箭头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到图4，把图4展开铺平的图案应是（）A． B． C． D．【题型6设计轴对称图案】【例6】（2021•石城县模拟）如图是由三个全等的菱形拼接而成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种【变式6-1】（2021•武汉模拟）如图，在5×5的小正方形网格中有4个涂阴影的小正方形，它们组成一个轴对称图形．现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的4个阴影的小正方形组成一个轴对称图形，不同的移法有（）A．8种 B．12种 C．16种 D．20种【变式6-2】（2021春•道县期末）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有3种．【变式6-3】（2021春•宛城区期末）如图，已知点A、B、C都在方格纸的格点上．（1）若把线段BC平移后，对应线段恰好为AM，请画出线段AM；（2）请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请分别在下图及备用图中尽可能多地设计出不同的图形，格点D分别用D1、D2、D3、…表示）．专题2.2轴对称的性质+设计轴对称图案-重难点题型【苏科版】【知识点1轴对称的性质】（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．【题型1利用轴对称的性质求角度】【例1】（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝°．【分析】根据∠ADC＝∠A+∠ABD，求出∠A，∠ABD即可．【解答】解：∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，∴△AOB≌△COB，∴∠A＝∠C＝20°，∠ABO＝∠CBO，∵∠BOD＝∠A+∠ABO，∴∠ABO＝∠BOD﹣∠ABO＝46°﹣20°＝26°，∴∠ABD＝2∠ABO＝52°，∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝20°+52°＝72°，故答案为：72．【变式1-1】（2021春•汉台区期末）如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的轴对称点是G，点P关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON＝35°，则∠GOH＝．【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入数据计算即可得解．【解答】解：如图，连接OP，∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，∵∠MON＝35°，∴∠GOH＝2×35°＝70°．故答案为：70°．【变式1-2】（2021春•雁塔区校级期末）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（）A．90° B．100° C．120° D．140°【分析】首先证明∠P1+∠P2＝40°，可得∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，推出∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，可得结论．【解答】解：∵P点关于OB的对称点是P1，P点关于OA的对称点是P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，∠P2＝∠P2PN，∠P1＝∠P1PM，∵∠AOB＝40°，∴∠P2PP1＝140°，∴∠P1+∠P2＝40°，∴∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，∴∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，∴∠MPN＝180°﹣（∠PMN+∠PNM）＝180°﹣80°＝100°，故选：B．【变式1-3】（2020•射阳县校级模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为（）A．40° B．45° C．60° D．80°【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE=12∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°-1【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE=12∠又∵∠AEC＝90°，∴∠ACB＝∠ACB'＝40°，故选：A．【题型2利用轴对称的性质求线段】【例2】（2021•深圳模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根据轴对称的性质得到：AD＝DE，AC＝CE，结合已知条件和三角形周长公式解答．【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故选：B．【变式2-1】（2021春•海口期末）如图所示，点P关于直线OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为8cm，则CD为cm．【分析】由轴对称的性质可知PM＝CM，PN＝DN，再由△PMN的周长为8cm，即可求得CD的长度．【解答】解：∵点P关于直线OA、OB的对称点分别为C、D，∴PM＝CM，PN＝DN，∴PN+PN+MN＝CM+DN+MN，∴△PMN的周长＝CD，∵△PMN的周长为8cm，∴CD＝8cm，故答案为：8．【变式2-2】（2021春•驿城区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为．【分析】根据轴对称的性质得到OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，则利用线段垂直平分线的性质得QM＝PM＝3cm，RN＝PN＝4cm，然后计算QN，再计算QN+RN即可．【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，∴OA垂直平分PQ，∴QM＝PM＝3cm，∴QN＝MN﹣QM＝4.5cm﹣3cm＝1.5cm，∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴OB垂直平分PR，∴RN＝PN＝4cm，∴QR＝QN+RN＝1.5cm+4cm＝5.5cm．故答案为5.5cm．【变式2-3】（2020春•双流区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2．则在点P的运动过程中，线段P1P2的长的最小值是．【分析】连接CP，依据轴对称的性质，即可得到线段P1P2的长等于2CP，依据CP的最小值即可得出线段P1P2的长的最小值．【解答】解：如图，连接CP，∵点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2，∴P1C＝PC＝P2C，∴线段P1P2的长等于2CP，如图所示，当CP⊥AB时，CP的长最小，此时线段P1P2的长最小，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴CP=AC×BC∴线段P1P2的长的最小值是9.6，故答案为：9.6．【题型3画轴对称图形】【例3】（2020春•荷塘区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（2）将△A1B1C1再向下平移5个单位，画出平移后得到的△A2B2C2，并计算△A2B2C2的面积．【分析】（1）分别作出A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1即可；（2）利用网格特点和平移的性质画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2得到△A2B2C2，然后利用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A2B2C2的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，△A2B2C2的面积＝3×2-12×3×1-【变式3-1】（2021春•秦都区期末）请在网格中完成下列问题：（1）如图1，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形，请用所学轴对称的知识作出△ABC与△DEF的对称轴直线PQ；（2）如图2，请在图中作出△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'．【分析】（1）利用网格特点作AD、CF的垂直平分线即可；（2）利用网格特点，分别作A、B、C关于直线MN的对称点即可．【解答】解：（1）如图，直线PQ为所作；（2）如图，△A'B'C'为所作．【变式3-2】（2021秋•南昌期中）如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线：l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形．【分析】根据轴对称图形的对应点被对称轴垂直平分的性质进行画图即可．【解答】解：【变式3-3】（2020秋•江汉区期末）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形．（1）如图，图1，图2，图3都是6×6的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：①在图1中作△MNP，使它与△ABC全等；②在图2中作△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；③在图3中作△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称；（2）如图4，是一个4×4的正方形网格，图中与△ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有个．【分析】（1）①根据全等三角形的判定画出图形即可．②根据平移的性质画出图形即可．③根据轴对称的性质画出图形即可．（2）根据轴对称的性质画出图形即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，△MNP即为所求作．②如图2中，△MDE即为所求作．③如图3中，△NFG即为所求作．～（2）如图4中，有6个三角形．故答案为：6．【题型4利用轴对称的性质解折叠问题】【例4】（2021春•锦江区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，连接BD，将△BDA沿BD对折得到△BDE，若BE恰好经过点C，则下列结论错误的是（）A．DA＝DE B．∠CDE＝2∠ABD C．∠BDE﹣∠ABD＝90° D．S△ABD：S△CDE＝BC：CE【分析】由折叠的性质直接判断A；由折叠的性质得到△ABC≌△EBF及△FBD≌△CBD，进而得出BC＝BF，∠DCB＝∠DFB＝90°，DF＝DC，根据直角三角形的两锐角互余即可判断B；根据角的和差判断C；再根据三角形的面积公式判断D．【解答】解：如图，延长ED交AB于点F，∵△BDA沿BD对折得到△BDE，∴△BDA≌△BDE，∴∠ABD＝∠DBE，DA＝DE，故A正确，不符合题意；由△BDA≌△BDE可知，∠A＝∠E，AB＝BE，在△ABC和△EBF中，∠A=∠EAB=EB∴△ABC≌△EBF（ASA），∴BC＝BF，在△FBD和△CBD中，BF=BC∠DBF=∠DBC∴△FBD≌△CBD（SAS），∴∠DCB＝∠DFB＝90°，DF＝DC，∴∠ABC＝∠CDE，∴∠CDE＝2∠ABD，故B正确，不符合题意；∵∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝∠BDC+2∠ABD，∴∠BDE﹣∠ABD＝∠BDC+2∠ABD﹣∠ABD＝∠BDC+∠ABD＝∠BDC+∠DBC＝90°，故C正确，不符合题意；S△ABD=12•AB•DF，S△CDE=12•∴S△ABD故D错误，符合题意；故选：D．【变式4-1】（2021春•于洪区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（如图②）（1）在图①中画出折痕所在的直线l，问直线l是线段AC的中垂线；（2）设直线l与AB、AC分别相交于点M、N，连接CM，若△CMB的周长是21cm，AB＝14cm，求BC的长．【分析】（1）由折叠的性质可得AN＝NC，∠ANM＝∠CNM＝90°，即直线l是线段AC的中垂线；（2）由折叠的性质可得AM＝CM，即可求BC的长．【解答】解：（1）如图①，∵将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合，∴AN＝NC，∠ANM＝∠CNM＝90°，∴直线l是线段AC的中垂线，故答案为：中垂；（2）∵将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合，∴AM＝CM，∵△CMB的周长是21cm，AB＝14cm，∴21＝CM+BM+BC＝AM+BM+CB＝AB+BC＝14+BC，∴BC＝7cm．【变式4-2】（2021•启东市开学）如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=12∠DAB．试猜想DE，BF，【分析】通过延长CF，将DE和BF放在一起，便于寻找等量关系，通过两次三角形全等证明，得出结论．【解答】猜想：DE+BF＝EF．证明：延长CF，作∠4＝∠1，如图：∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=12∠∴∠1+∠2＝∠3+∠5，∠2+∠3＝∠1+∠5，∵∠4＝∠1，∴∠2+∠3＝∠4+∠5，∴∠GAF＝∠FAE，在△AGB和△AED中，∠4=∠1AB=AD∴△AGB≌△AED（ASA），∴AG＝AE，BG＝DE，在△AGF和△AEF中，AG=AE∠GAF=∠EAF∴△AGF≌△AEF（SAS），∴GF＝EF，∴DE+BF＝EF．证毕．【变式4-3】（2020秋•建邺区期末）ABCD是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别边AD、BC、AD上的三点，连接EF、FH．（1）将长方形纸片的ABCD按如图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D′，点B′在FC′上，则∠EFH的度数为；（2）将长方形纸片的ABCD按如图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D'（B′、C′的位置如图所示），若∠B'FC′＝16°，求∠EFH的度数；（3）将长方形纸片的ABCD按如图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′，D′（B′、C′的位置如图所示）．若∠EFH＝n°，则∠B′FC′的度数为．【分析】（1）由折叠可得∠BFE＝∠B′FE，∠CFH＝∠C′FH，进而得出∴∠EFH=12（∠B′FB+∠C′（2）可设∠BFE＝∠B′FE＝x，∠CFH＝∠C′FH＝y，根据2x+16°+2y＝180°，得出x+y＝82°，进而得到∠EFH＝x+16°+y＝16°+82°＝98°；（3）可设∠BFE＝∠B′FE＝x，∠CFH＝∠C′FH＝y，即可得到x+y＝180°﹣n°，再根据∠EFH＝∠B′FE+∠C′FH﹣∠B′FC′＝x+y﹣∠B′FC′，即可得到∠B′FC′＝x+y﹣∠EFH＝180°﹣n°﹣n°＝180°﹣2n°．【解答】解：（1）∵沿EF、FH折叠，∴∠BFE＝∠B′FE，∠CFH＝∠C′FH，∵点B′在C′F上，∴∠EFH＝∠B′FE+∠C′FH=12（∠B′FB+∠C′FC）故答案为：90°；（2）∵沿EF、FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B′FE＝x，∠CFH＝∠C′FH＝y，∵∠B'FC′＝16°，∴2x+16°+2y＝180°，∴x+y＝82°，∴∠EFH＝x+16°+y＝16°+82°＝98°；（3）∵沿EF、FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B′FE＝x，∠CFH＝∠C′FH＝y，∴∠EFH＝180°﹣（∠BFE+∠CFH）＝180°﹣（x+y），∵∠EFH＝n°，∴x+y＝180°﹣n°，∵∠EFH＝∠B′FE+∠C′FH﹣∠B′FC′＝x+y﹣∠B′FC′，∴∠B′FC′＝x+y﹣∠EFH＝180°﹣n°﹣n°＝180°﹣2n°，故答案为：180°﹣2n°．【题型5剪纸问题】【例5】（2021•门头沟区二模）有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是（）A． B． C． D．【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．【解答】解：图①和图②中的虚线折痕是正方形卡纸的两条水平和铅直的对称轴，由图3可知，正方形卡纸被分成了4个大小相同的小正方形，沿虚线将一角剪掉，表面看是剪掉了一个直角三角形，实际是剪掉了一个菱形．故选：D．【变式5-1】（2020秋•恩施市期末）将一张正方形按图1，图2方式折叠，然后用剪刀沿图3中虚线剪掉一角，再将纸片展开铺平后得到的图形是（）A． B． C． D．【分析】可以动手具体操作一下看看，可以直观形象的得到答案．【解答】解：由于图3的虚线平行于底边，剪去的三角形后，展开的是矩形，故选：B．【变式5-2】（2020秋•石景山区期末）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A． B． C． D．【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个直角梯形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个六边形，可得：．故选：B．【变式5-3】（2021•邢台三模）一张正方形纸片按图1、图2箭头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到图4，把图4展开铺平的图案应是（）A． B． C． D．【分析】严格按照图中的顺序亲自动手操作一下即可．【解答】解：严格按照图中的顺序向右对折，向上对折，从下面中间剪去一个半圆，展开得到的图形是．故选：D．【题型6设计轴对称图案】【例6】（2021•石城县模拟）如图是由三个全等的菱形拼接而成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．【解答】解：如图，把菱形A平移到①或②或⑤或⑥的位置可得轴对称图形．把菱形B平移到③或④或⑤或⑦的位置可得轴对称图形．共有8种方法．故选：D．【变式6-1】（2021•武汉模拟）如图，在5×5的小正方形网格中有4个涂阴影的小正方形，它们组成一个轴对称图形．现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的4个阴影的小正方形组成一个轴对称图形，不同的移法有（）A．8种 B．12种 C．16种 D．20种【分析】根据对称性判断出（2，三）的运动方法，可得结论．【解答】解：移动（2，三）到（1，三），（3，三），（5，三），（5，二），（5，四）共5种不同的方法，故一共有4×5＝20（种）不同的方法，故选：D．【变式6-2】（2021春•道县期末）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有3种．【分析】根据轴对称图形的性质进行作图即可．【解答】解：如图所示，新图形是一个轴对称图形．故答案为：3．【变式6-3】（2021春•宛城区期末）如图，已知点A、B、C都在方格纸的格点上．（1）若把线段BC平移后，对应线段恰好为AM，请画出线段AM；（2）请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请分别在下图及备用图中尽可能多地设计出不同的图形，格点D分别用D1、D2、D3、…表示）．【分析】（1）利用平移变换的性质作出图形即可．（2）根据轴对称图形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）如图，线段AM即为所求．（2）如图，点D以及对称轴，如图所示．专题2.3线段垂直平分线的性质和判定-重难点题型【苏科版】【知识点1线段垂直平分线的性质】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【题型1利用线段垂直平分线的性质求线段】【例1】（2021春•莱阳市期末）如图，△ABC中，ED垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点F，交BC的延长线于点E，若BF＝6，CF＝2，则AC的长为．【变式1-1】（2020秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（）A．3 B．6 C．12 D．16【变式1-2】（2021春•高新区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（）A．2 B．3 C．4 D．无法确定【变式1-3】（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（）A．13 B．14 C．15 D．16【题型2利用线段垂直平分线的性质求角度】【例2】（2021•越秀区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（）A．70° B．75° C．80° D．85°【变式2-1】（2021春•建平县期末）如图，已知△ABC中，∠B＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（）A．100° B．105° C．115° D．120°【变式2-2】（2021•市南区一模）如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．80°【变式2-3】（2021春•安国市期末）如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（）A．160° B．140° C．130° D．125°【题型3线段垂直平分线的性质的应用】【例3】（2020秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处【变式3-1】（2020秋•偃师市期末）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点【变式3-2】（2021春•宁阳县期末）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点【变式3-3】（2021春•惠来县期末）《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（）A．三条边的垂直平分线的交点处 B．三个角的平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条中线的交点处【题型4线段垂直平分线的性质综合】【例4】（2021春•平顶山期中）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：（1）AE＝DE；（2）EM＝EC．【变式4-1】（2021春•高州市期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．求证：（1）AC平分∠EAF；（2）∠FAD＝∠E．【变式4-2】（2021春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．【变式4-3】（2020秋•渑池县期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．（1）AD与BD的数量关系为．（2）求BC的长．（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．【知识点2线段垂直平分线的判定】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）【题型5线段垂直平分线的判定】【例5】（2021秋•仪征市月考）如图．AB＝AC，MB＝MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．【变式5-1】（2021•沭阳县校级开学）如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．求证：点Q在PR的垂直平分线上．【变式5-2】（2021秋•博白县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【变式5-3】（2020秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．【题型6线段垂直平分线的作法】【例6】（2020秋•盘龙区期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADEA．5 B．4 C．3 D．2【变式6-1】（2021春•碑林区校级期中）在△ABC中，∠C＞∠B、请用尺规作图法，在AB上找一点P，使∠PCB＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法．）【变式6-2】（2021•碑林区校级模拟）尺规作图：如图，已知△ABC．请在AC边上找一点D，使△ABD的周长等于AB+AC．（保留作图痕迹，不写作法）【变式6-3】（2021春•长安区期末）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学，要在公路旁修建一个车站P，使车站到两所大学的距离相等．（1）请用尺规在图上找出点P；（2）请说明你作图的依据．专题2.3线段垂直平分线的性质和判定-重难点题型【苏科版】【知识点1线段垂直平分线的性质】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【题型1利用线段垂直平分线的性质求线段】【例1】（2021春•莱阳市期末）如图，△ABC中，ED垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点F，交BC的延长线于点E，若BF＝6，CF＝2，则AC的长为．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AF＝BF＝6，结合图形计算即可．【解答】解：∵ED垂直平分AB，BF＝6，∴AF＝BF＝6，∵CF＝2，∴AC＝AF+CF＝6+2＝8，故答案为：8．【变式1-1】（2020秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（）A．3 B．6 C．12 D．16【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，∴AE＝BE，∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，故选：B．【变式1-2】（2021春•高新区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（）A．2 B．3 C．4 D．无法确定【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式即可求出BC．【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，∴EA＝EB，∵AC的垂直平分线交BC于点F．∴FA＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+FC＝△AEF的周长＝2．故选：A．【变式1-3】（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（）A．13 B．14 C．15 D．16【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题．【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，∴EB＝EA，GB＝GC，∵△BEG周长为16，∴EB+GB+EG＝16，∴EA+GC+EG＝16，∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，∴AC+2EG＝16，∵EG＝1，∴AC＝14，故选：B．【题型2利用线段垂直平分线的性质求角度】【例2】（2021•越秀区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（）A．70° B．75° C．80° D．85°【分析】设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，根据线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，求出∠BAD＝∠B＝5x°，根据直角三角形的性质得出∠CAB+∠B＝90°，求出x，再求出∠B和∠BAD，根据三角形的外角性质求出答案即可．【解答】解：设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，∵AB的垂直平分线是DE，∴BD＝AD，∴∠BAD＝∠B，即∠B＝5x°，∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴2x+5x+5x＝90，解得：x=15即∠B＝∠BAD＝（752∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝（752）°+（75故选：B．【变式2-1】（2021春•建平县期末）如图，已知△ABC中，∠B＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（）A．100° B．105° C．115° D．120°【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ACB＝130°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM＝PM，PN＝CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，进而得出∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP=1【解答】解：∵∠ABC＝50°，∴∠BAC+∠ACB＝130°，∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，∴AM＝PM，PN＝CN，∴∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，∵∠APC＝180°﹣∠APM﹣∠CPN＝180°﹣∠PAC﹣∠ACP，∴∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP=1∴∠APC＝115°，故选：C．【变式2-2】（2021•市南区一模）如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．80°【分析】连接OA，根据线段垂直平分线的性质得出OA＝OB＝OC，根据等腰三角形的性质得出∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，求出∠BAC，再根据四边形的内角和等于360°求出答案即可．【解答】解：连接OA，∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，∴OA＝OB，OB＝OC，∴OA＝OB＝OC，∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，∵∠BOC＝100°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，即∠BAC＝50°，∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，∴∠ODA＝∠OEA＝90°，∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠α＝180°﹣130°＝50°，故选：C．【变式2-3】（2021春•安国市期末）如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（）A．160° B．140° C．130° D．125°【分析】连接CO，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OC，进而得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：连接CO，∵∠AOB＝140°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°，∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°，∵O是三边垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∴∠OCA+∠OCB＝70°，∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=1∴∠IAB+∠IBA=12（∠CAB+∠∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°，故选：D．【题型3线段垂直平分线的性质的应用】【例3】（2020秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处【分析】根据线段垂直平分线的性质得出即可．【解答】解：根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，所以EF上的点到M、N的距离相等，即发射塔应该建在C处，故选：C．【变式3-1】（2020秋•偃师市期末）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．故选：D．【变式3-2】（2021春•宁阳县期末）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．【解答】解：∵中转仓到A、B两地的距离相等，∴中转仓的位置应选在边AB的垂直平分线上，同理，中转仓的位置应选在边AC、BC的垂直平分线上，∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，故选：A．【变式3-3】（2021春•惠来县期末）《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（）A．三条边的垂直平分线的交点处 B．三个角的平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条中线的交点处【分析】根据性的垂直平分线的性质解答即可．【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，∴充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，故选：A．【题型4线段垂直平分线的性质综合】【例4】（2021春•平顶山期中）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：（1）AE＝DE；（2）EM＝EC．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝22.5°，根据三角形的外角性质得到∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，根据等腰三角形的性质证明；（2）证明△MDE≌△CAE，根据全等三角形的性质证明结论．【解答】证明：（1）∵DN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°，∴∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝45°，∴AE＝DE；（2）∵DF⊥AC，AE⊥BC，∴∠MDE＝∠CAE，在△MDE和△CAE中，∠MDE=∠CAEDE=AE∴△MDE≌△CAE（ASA），∴EM＝EC．【变式4-1】（2021春•高州市期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．求证：（1）AC平分∠EAF；（2）∠FAD＝∠E．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可．【解答】证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵BC∥AF，∴∠CAF＝∠BCA，∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠DCA是△ACE的一个外角，∴∠DCA＝∠E+∠EAC，∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，∵∠CAF＝∠EAC，∴∠FAD＝∠E．【变式4-2】（2021春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，AD＝DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，证明△BAD≌△BED，根据全等三角形的性质得到∠BED＝∠BAC＝105°，根据三角形的外角性质计算即可．【解答】解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，∴AB＝BE，AD＝DE，∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，∴AB+BE＝18﹣6＝12，∴AB＝6；（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，在△BAD和△BED中，BA=BEBD=BD∴△BAD≌△BED（SSS），∴∠BED＝∠BAC＝105°，∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．【变式4-3】（2020秋•渑池县期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．（1）AD与BD的数量关系为．（2）求BC的长．（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答；（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC