专题05-与数列相结合的概率综合问题-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点(解析版)

第四篇概率与统计专题05与数列相结合的概率综合问题常见考点考点一与数列相结合问题典例1．某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；②求活动参与者得到纪念品的概率．【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②．【解析】【分析】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，即可求出X的期望；（2）①根据累计得分为i的概率为，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式，再根据构造法即可证出数列是等比数列；②根据①可求出，再根据累加法即可求出，然后由从而解出．【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，而，即随机变量X可能取值为3，4，5，6，，，，．∴X的分布列为：X3456PE（X）＝＝5．（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，，则，累计得分为i分的情况有两种：（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为，（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为，∴，∴，（i＝2，3，•••，19），∴数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．②∵数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，∴，∴，，•••，，各式相加，得：，∴，（i＝1，2，•••，19），∴活动参与者得到纪念品的概率为：．【点睛】本题第一问解题关键是明确得1分的次数为服从二项分布，从而找到所求变量与的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到分的情况，进而得到，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出，分析可知，从而解出．变式1-1．某商场调研了一年来日销售额的情况，日销售额ξ（万元）服从正态分布．为了增加营业收入，该商场开展“游戏赢奖券”促销活动，购物满300元可以参加1次游戏，游戏规则如下：有一张共10格的方格子图，依次编号为第1格、第2格、第3格、……、第10格，游戏开始时“跳子”在第1格，顾客抛掷一枚均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”前进2格（从第k格到第k+2格），若出现反面，则“跳子”前进1格（从第k格到第k+1格），当“跳子”前进到第9格或者第10格时，游戏结束．“跳子”落在第9格可以得到20元奖券，“跳子”落在第10格可以得到50元奖券．（1）根据调研情况计算该商场日销售额在8万元到14万元之间的概率；（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）（2）记“跳子”前进到第n格（1≤n≤10）的概率为，证明：（2≤n≤9）是等比数列；（3）求某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额的期望．【答案】（1）0．8186；（2）证明见解析；（3）期望为元．【解析】（1）由服从正态分布可得；（2）计算出、，“跳子”前进到第格的情况得到，可得化简可得答案；（3）设某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额为Χ元，则Χ的值可取20和50，求出对应的概率可列出分布列求出期望.【详解】（1）由服从正态分布可得：∴．（2）“跳子”开始在第1格为必然事件，．第一次掷硬币出现反面，“跳子”移到第2格，其概率为，即，“跳子”前进到第格的情况是下面两种，而且只有两种：①“跳子”先到第格，又掷出正面，其概率为，②“跳子”先到第格，又掷出反面，其概率为，∴，∴，∵，∵，∴，∴当时，数列是等比数列，首项为，公比为．（3）设某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额为Χ元，则Χ的值可取20和50，由（2）可知，∴，也适合，∴，．Χ的分布列为：Χ2050P则Χ的期望为（元）.【点睛】本题考查了正态分布、随机变量的分布列，关键点是证明数列是等比数列、求出所有可能取值对应的概率，考查了学生分析问题、解决问题的能力，是一道综合题．变式1-2．2020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为．而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复．记某同学第天选择类套餐的概率为．（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择类套餐的人数为，求的分布列并求；（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，如何安排分发、套餐的同学的人数呢，说明理由．【答案】（1）证明见解析，；（2）分布列见解析，1；（3）套餐的8人，套餐的12人；理由见解析．【解析】【分析】（1）依题意得，根据递推关系即可证明是等比数列，利用等比数列通项公式求得的通项，即可求得的通项公式；（2）依题意求得第二天选择、类套餐的概率，列出的可能取值，结合二项分布求得分布列与数学期望；（3）由的通项公式得，根据总人数即可求得分发、套餐的同学的人数．【详解】（1）依题意，，则.当时，可得，∴数列是首项为公比为的等比数列..（2）第二天选择类套餐的概率；第二天选择类套餐的概率，∴3人在第二天的有个人选择套餐，的所有可能取值为0、1、2、3，有，∴的分布列为0123故.（3）由（1）知：，∴，即第30次以后购买套餐的概率约为.则，∴负责套餐的8人，负责套餐的12人.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）变式1-3．安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；（2）请写出与的递推关系；（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.【答案】（1）分布列答案见解析，；（2）；（3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析.【解析】【分析】（1）依题意可得，进而可得分布列和期望；（2）由可得结果；（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率，位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为，则.，的分布列为0123故.（2）依题意，，即.（3）由（2）知，则当时，可得，数列是首项为公比为的等比数列.，即.，所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键点是：探究得到；后两问的关键点是得到递推关系.典例2．为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．①求，，；②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．【答案】（1）；（2）①，，；②，.【解析】【分析】（1）的可能取值为，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与期望；（2）①，经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，二是2轮中有1轮甲得0分，有1轮甲得1分，由此能求出．经过3轮投球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分．由此能求出．②推导出，将，代入得，，推导出是首项与公比都是的等比数列，由此能求出结果．【详解】（1）记一轮踢球，甲命中为事件，乙命中为事件，，相互独立．由题意，，甲的得分的可能取值为，0，1．，．，∴的分布列为：01．（2）①由（1），．经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分．∴，②∵规定，且有，∴代入得：，∴，∴数列是等比数列，公比为，首项为，∴．∴．【点睛】关键点睛：利用待定系数法得到后，紧扣等比数列定义是解决问题的关键.变式2-1．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为，答错的概率为.（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为，求的分布列及数学期望；（2）若甲在回答过程中出现在第个等级的概率为，证明：为等比数列.【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先确定的所有可能取值，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；（2）根据已知的关系，求出与，的关系式，再通过化简和等比数列的定义求解即可.【详解】解：（1）依题意可得，，，，，，，，则的分布列如表所示.5678910.（2）处于第个等级有两种情况：由第等级到第等级，其概率为；由第等级到第等级，其概率为；所以，所以，即.所以数列为等比数列.【点睛】本题考查概率公式､随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力､数据处理能力，考查数学运算､逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找与，的关系式，即：，进而根据等比数列的定义证明.变式2-2．为抢占市场，特斯拉电动车近期进行了一系列优惠促销方案.要保证品质兼优，特斯拉上海工厂在车辆出厂前抽取100辆Model3型汽车作为样本进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).（2）根据大量的测试数据，可以认为Model3这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现从生产线下任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.（3）为迅速抢占市场举行促销活动，特斯拉销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据拋掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券6万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个.已知硬币出现正､反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格､第1格､第2格､……､第20格.车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次.若掷出正面，车模向前移动一格(从k到k+1)，若掷出反面，车模向前移动两格(从k到k+2)，直到移到第19格(幸运之神)或第20格(赠送车模)时游戏结束.设车模移到第格的概率为，试证明是等比数列；若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值(结果精确到1万元).参考数据：若随机变量服从正态分布，则【答案】（1）(千米)；（2）；（3）证明见解析，优惠券总金额的期望万元.【解析】（1）利用频率分布直方图能估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值．（2）服从正态分布，由此能求出它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．（3）遥控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即．遥控车移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种．①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为，②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，从而，进而能证明当时，数列是公比为的等比数列，由此能求出结果．【详解】（1）（千米）（2）因为服从正态分布所以（3）第一次掷硬币出现正面，车模从第0格移到第一格，其概率为即移动到第二格有两类情况.车模移到第()格的情况是下列两种，而且也只有两种.①车模先到第格，又掷出反面，其概率为②车模先到第格，又掷出正面，其概率为所以，，当时，数列是公比为的等比数列.，经验证也满足.是公比为的等比数列.以上各式相加，得即()，经检验时也符合.，获得优惠券的概率获得车模的概率设参与游戏的6人获得优惠券的有人，由题可知的期望设优惠卷总金额为万元，优惠券总金额的期望万元【点睛】关键点睛：由于频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1.变式2-3．某校园格局呈现四排八栋分布，学生从高一入学到高三毕业需踏着层层台阶登攀，这其中寓意着学校对学生的期盼与激励．现假设台阶标有第0，1，2，…，50级，有一位同学抛掷一枚均匀质地的骰子进行登攀台阶游戏，这位同学开始时位于第0级，若掷出偶数点，则向上一步登一级台阶，若掷出奇数点，则向上一步登两级台阶，直到登上第49级（成功）或第50级（失败），游戏结束．设为登攀至第n级的步数，这位同学登到第n级的概率为．（I）求的分布列与数学期望；（Ⅱ）证明：为等比数列．【答案】（Ⅰ）分布列见解析，；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，登至第3级的基本事件{3次偶数，1次奇数1次偶数}，即可能取值为2，3，每次掷奇数、偶数的概率都为，根据二项分布，并结合古典概型求概率，写出分布列并出求期望；（Ⅱ）从第级登至第级的概率为，从第级登至第级的概率为，由条件概率及概率加法公式得并整理，又即可证等比数列.【详解】（Ⅰ）由定义知，可能取值为2，3．根据条件概率计算公式得：，．的分布列为∴．（Ⅱ）证明：由题意，，则；又，∴数列是首项、公比均为的等比数列．【点睛】关键点点睛：（1）由登至第n级的各个基本事件都是独立试验，应用二项分布公式求概率，再由概率加法公式，结合古典概率求登至第n级概率；（2）理解登至第级可以从第级或第级一次性完成，结合概率加法公式确定的关系式.巩固练习练习一与数列相结合问题1．某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中，且.(1)若甲走3步时所得分数为X，求X的概率分布；(2)证明：数列是等比数列；(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率.【答案】(1)分布列见解析(2)证明见解析(3)【解析】【分析】（1）考虑甲走3步时,是一步上一个台阶还是一步上两个台阶,从而写出X的所有可能取值，求出每一个值对应的概率，即可得X的分布列；（2）由题意可得到递推式，构造数列，从而证明结论；（3）利用（2）的结论，采用累加求和，结合等比数列的前n项和公式，求得答案.(1)由题意可得X的所有可能取值为3，4，5，6，，，，，∴X的分布列为：X3456P(2)证明：由题可得，∴，∵，，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列.(3)由（2）可得.2．近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投人市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲､乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立.(1)若参加的车主有3人，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；(2)若有位车主，记总得分恰好为n分的概率为，求数列的通项公式；(3)在（2）的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：；(2)；(3)这方案不合理，分析答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有3，4，5，6.分别求得随机变量取每一值时的概率得其分布列，由数学期望公式可求得答案；（2）依题意，总得分恰好为n分时，得不到n分的情况是先得（）分，再得，概率为，即有，由此可求得答案；（3）由（2）求得，，比较可得结论.(1)解：由题意可知，随机变量X的可能取值有3，4，5，6.，，，.∴随机变量X的分布列如下表所示：X3456P∴.(2)解：依题意，总得分恰好为n分时，得不到n分的情况是先得（）分，再得2分，概率为，∴，即.又，，∴，即.(3)解：因为，，∴，∴选择乙机构的概率大于甲机构，这方案不合理.3．武汉又称江城，它不仅有深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，还有众多名胜古迹与旅游景点，其中黄鹤楼与东湖被称为武汉的两张名片.为合理配置旅游资源，现对某日已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不继续游玩东湖记1分，继续游玩东湖记2分，每位游客游玩东湖的概率均为，游客是否游玩东湖相互独立.（1）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为，求数列的前10项和；（2）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的游客的累计得分恰为n分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）由题意求出，利用等比数列求和即可；（2）根据概率关系可得，构造等比数列求通项公式即可.【详解】（1）总分恰为分的概率为，∴数列是首项为，公比为的等比数列，则其前10项和.（2）已调查过的游客的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2分，概率为，.∴，即，∴.∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴.4．某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和黄花的概率都是，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是，开黄花的概率是，若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是，开黄花的概率是，记第代开红花的概率是，第代开黄花的概率为，（1）求；（2）试求数列的通项公式；（3）第代开哪种颜色的花的概率更大.【答案】（1）；（2）；（3）第n代开黄花的概率更大.【解析】【分析】（1）由计算；（2）由关系式可得是等比数列，从而求得；（3）由的表达式可得，从而，从而可得结论．【详解】解（1）第二代开红花包含两个互斥事件，即第一代开红花后第二代也开红花，第一代开黄花而第二代开红花，故由，得：（2）由题意可知，第n代开红花的概率与第代的开花的情况相关，故有则有，由于，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，所以（3）由（2），故有当n时，，因此第代开黄花的概率更大.5．有一对夫妻打算购房，对本城市30个楼盘的均价进行了统计，得到如下频数分布表：均价（单位：千元）频数22111041（1）若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一个楼盘的均价，假定，求均价恰在8.12千元到9.24千元之间的概率；（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦台阶送忧惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球40个，黑球20个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙蹦上第5个台阶（每平方米优惠0.3千元）或第6个台阶（每平方米优惠3千元）时（活动开始时的位置记为第0个台阶），游戏结束.①设客户乙站到第个台阶的概率为，证明：当时，数列是等比数列；②若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠1.4千元，为了获得更大的优惠幅度，请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动.参考数据：取，.若，则，，.【答案】（1）；（2）①证明见解析；②应参与.【解析】【分析】（1）根据频数分布表计算均值与方差，得，然后由对称性和特定区间的概率得出结论；（2）①由已知，，而时，即客户到第人台阶分为两种情况：一是从第个台阶跳一级过来，另一个是从第个台阶跳2级过来，由此可得递推关系，变形后可证题设结论；②利用①求得，计算参加活动的期望值与比较可得．【详解】（1），.因为，，，所以.所以.（2）①证明：客户开始游戏时在第0个台阶为必然事件，故，客户甲第一次摸得黑球，客户乙迈上第一个台阶，其概率为，故.客户乙迈入第个台阶的情况为下列两种，而且也只有两种.一是客户乙先到第格，客户甲又摸出红球，其概率为；二是客户乙先到第格，客户甲又摸出黑球，其概率为，所以，则.所以当时，数列是首项为，公比为的等比数列.②由①知，当时，，所以，整理得，所以，且.设这对夫妻参与游戏获得优惠的期望为每平方米千元，则（千元）.因为，所以参与游戏比较划算.6．根据各方达成的共识，军运会于2019年10月18日至27日在武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项.其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞5个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目.现对国在射击比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：（1）估计国射击比赛预赛成绩得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求射击成绩得分恰在350到400的概率；（参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，）.（3）某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”，活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知骰子出现任意点数的概率都是，方格图上标有第0格，第1格，第2格，……第50格.遥控车开始在第0格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是1，2，3，4，5点，遥控车向前移动一格（从到），若抛掷出正面向上的点数是6点，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移动到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移动到第格的概率为，试证明是等比数列，并求，以及根据的值解释这种游戏方案对意向客户是否有吸引力.【答案】（1）300；（2）0.1359；（3）证明见解析，，对意向客户有吸引力.【解析】【分析】（1）利用组中值代入求平均值；（2）写出正态分布，代入即可；（3）根据题意确定，是首项为，公比为的等比数列，写出通项公式，利用差分求出，求出，通过比较，可得结论.【详解】（1）；（2）因为，所以；（3）摇控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷骰子，正面向上不出现6点，摇控车移动到第1格，其概率为，即；摇控车移到第格格的情况是下列两种，而且也只有两种；①摇控车先到第格，抛掷出正面向上的点数为6点，其概率为；②摇控车先到第格，抛掷骰子正面向上不出现6点，其概率为，故，，故时，是首项为，公比为的等比数列，故，，，，故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力.7．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校