2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题16.2 期中期末专项复习之全等三角形十六大必考点（举一反三）（人教版）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题16.2全等三角形十六大必考点【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1利用全等图形求网格中的角度和】 1【考点2将已知图形分割成几个全等的图形】 2【考点3添加条件使三角形全等】 3【考点4灵活选用判定方法证明全等】 4【考点5尺规作图与全等的综合运用】 5【考点6证明全等的常见辅助线的作法】 7【考点7证一条线段等于两条线段的和（差）】 8【考点8全等中的倍长中线模型】 10【考点9全等中的旋转模型】 12【考点10全等中的垂线模型】 13【考点11全等中的其他模型】 15【考点12全等三角形的动点问题】 16【考点13尺规作图作角平分线】 18【考点14角平分线的判定与性质的综合求值】 19【考点15角平分线的判定与性质的综合证明】 21【考点16角平分线的实际应用】 22【考点1利用全等图形求网格中的角度和】【例1】（2022·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【变式1-1】（2022·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【变式1-2】（2022·江苏·八年级单元测试）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P＋∠Q＝__________度．【变式1-3】（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在4×4的正方形网格中，求α+β=______度．【考点2将已知图形分割成几个全等的图形】【例2】（2022·全国·八年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．【变式2-1】（2022·江苏·八年级专题练习）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线．【变式2-2】（2022·江苏·八年级课时练习）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影．【变式2-3】（2022·全国·八年级专题练习）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．”理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形．范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法．请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来．【考点3添加条件使三角形全等】【例3】（2022·全国·八年级专题练习）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式3-1】（2022·重庆·中考真题）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD【变式3-2】（2022·安徽淮南·八年级期末）如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是(

)A．BC=BD； B．AC=AD；C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有(

)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点4灵活选用判定方法证明全等】【例4】（2022·湖南·八年级单元测试）具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形的是（

）．A．有两个角对应相等的两个三角形B．两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形C．两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形D．有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形【变式4-1】（2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校七年级阶段练习）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF，GE=GF，则△AEG≌△AFG的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【变式4-2】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有（

）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对【变式4-3】（2022·浙江·八年级单元测试）根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（

）A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°【考点5尺规作图与全等的综合运用】【例5】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC外找一个点A'（与点A不重合），并以BC为一边作△A'BC，使之与△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，则符合条件的点A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：△ABC≅△CDA的根据是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【变式5-2】（2022·广东·普宁市红领巾实验学校八年级阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B=90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______；_______【变式5-3】（2022·北京·101中学九年级开学考试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ其中所有正确结论的序号是______________．【考点6证明全等的常见辅助线的作法】【例6】（2022·江苏·宿迁青华中学七年级阶段练习）（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是．（2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由（3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．【变式6-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，则∠B=（

）A．50∘ B．40∘ C．40∘或70【变式6-2】（2022·全国·七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若AB=AC,∠ADB=∠ADC，求证：AD平分∠BAC.【变式6-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上，DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．【考点7证一条线段等于两条线段的和（差）】【例7】（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD【变式7-1】（2022·安徽淮北·八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AE是∠BAC的平分线，且AE⊥CE．若AC=a,BD=b，则四边形ABDC的周长为（

）A．1.5(a+b) B．2a+b C．3a-b D．a+2b【变式7-2】（2022·山东烟台·七年级期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．(1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；(2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．(3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AE，CD为△ABC的角平分线，AE，CD交于点F．（1）如图1，若∠B=60°．①直接写出∠AFC的大小；②求证：AC=AD+CE．（2）若图2，若∠B=90°，求证：S△ACF【考点8全等中的倍长中线模型】【例8】（2022·江西吉安·七年级期末）（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝12∠BAD，试问线段EF、BE、FD【变式8-1】（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，【变式8-2】（2022·山东·高唐县赵寨子中学八年级期中）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM、DM．

（1）当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），求证：DM=CM，DM⊥CM；

（2）当点D在CA延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）；

（3）当ED∥AB时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明．【变式8-3】（2022·全国·八年级）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．【考点9全等中的旋转模型】【例9】（2022·全国·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD【变式9-1】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，则△ABD与△AEC的面积之和为（A．36 B．21 C．30 D．22【变式9-2】（2022·江苏·南京民办求真中学七年级阶段练习）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，DB长______厘米．【变式9-3】（2022·全国·八年级课时练习）综合与实践（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为．（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝12∠ABC，试探索线段MN、AM、CN（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝12∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为【考点10全等中的垂线模型】【例10】（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，∠EAB+∠DAC=度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【变式10-1】（2022·陕西省西安爱知中学七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【变式10-2】（2022·安徽·九年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则AGCG=【变式10-3】（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．【考点11全等中的其他模型】【例11】（2022·重庆八中七年级期中）如图：AD⊥AB，AE⊥AC，AD=AB，AE=AC，连接BE与DC交于M，则：①∠DAC=∠BAE；②ΔDAC≌ΔBAE；③DC⊥BE；正确的有（

）个A．0 B．1 C．2 D．3【变式11-1】（2022·全国·八年级单元测试）如图，已知ΔABC中，∠A=60°，D为AB上一点，且AC=2AD+BD,∠B=4∠ACD，则∠DCB的度数是_________．【变式11-2】（2022·山西阳泉·八年级期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为___________cm2．【变式11-3】（2022·江苏南通·八年级期中）如图，等边△ABC的边长为6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.【考点12全等三角形的动点问题】【例12】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，则相应的x、t的值为（

）A．x＝2，t＝74 B．x＝2，t＝74或x＝207C．x＝2，t＝1 D．x＝2，t＝1或x＝207，t＝【变式12-1】（2022·江苏·九华中学八年级阶段练习）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．(1)AB与DE有什么关系？请说明理由．(2)线段AP的长为________（用含t的式子表示）．(3)连接PQ，当线段PQ经过点C时，t的值为_______．【变式12-2】（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）长方形ABCD中，AB=6，AD=m，点P以每秒1个单位的速度从A向B运动，点Q同时以每秒2个单位的速度从A向D运动，点E为边CD上任意一点．(1)当m=8时，设P，Q两点运动时间为t，①若Q为AD中点，求t的值；②连接QE，若△APQ与△EDQ全等，求DE的长．(2)若在边AD上总存在点Q使得△APQ≌△DQE，求m的取值范围．【变式12-3】（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图①，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线CD∥AB．点M从点B出发，以4cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为______s；(2)当△ABM与△MCN全等时，①若点M、N的移动速度相同，求t的值；②若点M、N的移动速度不同，求a的值；(3)如图②，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以3cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△PBM与△MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【考点13尺规作图作角平分线】【例13】（2022·四川广元·中考真题）观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是（

）A． B．C． D．【变式13-1】（2022·江苏·八年级专题练习）利用作角平分线的方法，可以把一个已知角（

）A．三等分 B．四等分 C．五等分 D．六等分【变式13-2】（2022·四川天府新区教育科学研究院附属中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG=4，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（A．2 B．4 C．8 D．无法确定【变式13-3】（2022·广西北海·八年级期中）如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AB的延长线上．(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）；①作∠CBD的平分线BM；②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F；(2)在（1）的前提下，猜测BF与边AC的位置关系，并写出证明过程．【考点14角平分线的判定与性质的综合求值】【例14】（2022·广东汕头·八年级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAOA．1：1：1 B．1：2：3C．2：3：4 D．3：4：5【变式14-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②点M为BC的中点；③AB+CD＝AD；④△ADM的面积是梯形ABCD面积的一半．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式14-2】（2022·重庆江北·八年级期末）如图，已知ΔABC和ΔADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE=CD；②BE⊥CD；③OA平分【变式14-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋12∠ABC(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【考点15角平分线的判定与性质的综合证明】【例15】（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．【思考说理】（1）求证：FE=FD．【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“∠ACB=90°”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即FE=FD）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．【变式15-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P．（1）求∠APB的度数．（2）求证：点P在∠C的平分线上．（3）求证：①PD=PE；②AB=AD＋BE．【变式15-2】（2022·四川成都·七年级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，AB≠AE，∠BAC=∠DAE=38°．连接BD，CE交于点O．(1)求证：BD=CE；(2)求∠BOC的度数：(3)小明同学对该题进行了进一步研究，他连接了AO，并提出了下面结论：OA平分∠BOE．请给予证明．【变式15-3】（2022·山东·北辛中学八年级阶段练习）（1）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；并证明．（3）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【考点16角平分线的实际应用】【例16】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（

）的交点．A．三条角平分线 B．三条中线C．三条高的交点 D．三条垂直平分线【变式16-1】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由__________________________________________________．【变式16-2】（2022·全国·八年级）如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【变式16-3】（2022·黑龙江黑河·八年级期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站PA．一处 B．二处 C．三处 D．四处专题16.2全等三角形十六大必考点【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1利用全等图形求网格中的角度和】 1【考点2将已知图形分割成几个全等的图形】 5【考点3添加条件使三角形全等】 7【考点4灵活选用判定方法证明全等】 11【考点5尺规作图与全等的综合运用】 16【考点6证明全等的常见辅助线的作法】 20【考点7证一条线段等于两条线段的和（差）】 28【考点8全等中的倍长中线模型】 39【考点9全等中的旋转模型】 49【考点10全等中的垂线模型】 56【考点11全等中的其他模型】 65【考点12全等三角形的动点问题】 71【考点13尺规作图作角平分线】 77【考点14角平分线的判定与性质的综合求值】 80【考点15角平分线的判定与性质的综合证明】 86【考点16角平分线的实际应用】 95【考点1利用全等图形求网格中的角度和】【例1】（2022·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【详解】∵在△ABC和△DBE中AB＝BD∠A＝∠D∴△ABC≌△DBE（SAS），∴∠3=∠ACB，∵∠ACB+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故选B．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．【变式1-1】（2022·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【答案】135【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出∠1+∠3的值，即可得出答案；【详解】如图所示，在△ACB和△DCE中，{AB=DE∴△ACB≅△DCE(SAS)，∴∠ABE=∠3，∴∠1+∠2+∠3=(∠1+∠3)+45°=90°+45°=135°；故答案是：135°．【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．【变式1-2】（2022·江苏·八年级单元测试）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P＋∠Q＝__________度．【答案】45【分析】如图，直接利用网格得出对应角∠P=∠AQC，进而得出答案．【详解】如图，易知△ABP≌△ACQ，∴∠P=∠AQC，∵BQ是正方形的对角线，∴∠BQC=∠BQA+∠AQC=∠P+∠Q=45°，故答案为：45．【点睛】本题考查了全等三角形，正确借助网格分析是解题关键．【变式1-3】（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在4×4的正方形网格中，求α+β=______度．【答案】45【分析】连接AB，根据正方形网格的特征即可求解．【详解】解：如图所示，连接AB

∵图中是4×4的正方形网格∴AD=CE，∠ADB=∠AEC，DB=AE∴△ADB≌△CEA(SAS)∴∠EAC=∠ABD=α，AB=AC∵∠ABD+∠BAD=90°∴∠EAC+∠BAD=90°，即∠CAB=90°∴∠ACB=∠ABC=45°∵BD∴∠BCE=∠DBC=β∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=α+β∴α+β=45°故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．【考点2将已知图形分割成几个全等的图形】【例2】（2022·全国·八年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．【答案】见解析【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．【详解】∵共有3×4=12个小正方形，∴被分成四个全等的图形后每个图形有12÷4=3，∴如图所示：，【点睛】本题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键．【变式2-1】（2022·江苏·八年级专题练习）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线．【答案】见解析【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同．【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键．【变式2-2】（2022·江苏·八年级课时练习）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影．【答案】见解析（第一个图答案不唯一）【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．【详解】解：第一个图形分割有如下几种：第二个图形的分割如下：【点睛】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点．【变式2-3】（2022·全国·八年级专题练习）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．”理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形．范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法．请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来．【答案】见解析【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可．【详解】依题意，如图【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键．【考点3添加条件使三角形全等】【例3】（2022·全国·八年级专题练习）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解．【详解】解：∵∠C＝∠D＝90°，AB=AB，∴①AC＝AD，可用HL判定Rt△ABC与Rt△ABD全等；②∠ABC＝∠ABD，可用AAS判定Rt△ABC与Rt△ABD全等；③BC＝BD，可用HL判定Rt△ABC与Rt△ABD全等；故选：D．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．【变式3-1】（2022·重庆·中考真题）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】解：∵BF=EC，∴BC=EFA.添加一个条件AB=DE，又∵BC=EF,∠B=∠E∴△ABC≌△DEF(SAS)故A不符合题意；B.添加一个条件∠A=∠D又∵BC=EF,∠B=∠E∴△ABC≌△DEF(AAS)故B不符合题意；C.添加一个条件AC=DF，不能判断△ABC≌△DEF，故C符合题意；D.添加一个条件AC∥FD∴∠ACB=∠EFD又∵BC=EF,∠B=∠E∴△ABC≌△DEF(ASA)故D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式3-2】（2022·安徽淮南·八年级期末）如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是(

)A．BC=BD； B．AC=AD；C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB【答案】B【分析】根据题意，∠ABC=∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出．【详解】解：A、补充BC=BD，先证出△BPC≌△BPD，后能推出△APC≌△APD，故正确，不符合题意；B、补充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故错误，符合题意；C、补充∠ACB=∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确，不符合题意；D、补充∠CAB=∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确，不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了三角形全等判定，解题的关键是知道有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有(

)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】延长DA、BC使它们相较于点F，首先根据AAS证明△FAB≌△FCD，然后根据全等三角形的性质即可得到AF=FC，FD=FB，进而得到AD=BC，即可证明△ADE≌△CBE，可判断①、②的正误；根据SAS证明△ADE≌△CBE，即判断③、④的正误；连接BD，根据SSS证明△ADB≌△CBD，根据全等三角形的性质得到∠A=∠C，结合①即可证明⑤．【详解】延长DA、BC使它们相较于点F∵∠DAB=∠DCB，∠AED=∠BEC∴∠B=∠D又∵∠F=∠F，AB=CD∴△FAB≌△FCD∴AF=FC，FD=FB∴AD=BC∴△ADE≌△CBE，即①正确；同理即可证明②正确；∵AE=CE，AB=CD∴DE=BE又∵∠AED=∠BEC∴△ADE≌△CBE，③正确；同理即可证明④正确；连接BD，∵AD=CB，AB=CD，BD=BD∴△ADB≌△CBD∴∠DAB=∠BCD∴△ADE≌△CBE，⑤正确；故选D．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，主要包括：SSS、SAS、AAS、ASA，难点在于添加辅助线来构造三角形全等，关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．【考点4灵活选用判定方法证明全等】【例4】（2022·湖南·八年级单元测试）具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形的是（

）．A．有两个角对应相等的两个三角形B．两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形C．两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形D．有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形【答案】C【分析】选项A，选项B和选项D分别举出反例的图形即可；选项C根据题意画出图形，延长AD至E，使DE=AD，延长A'D'至E'，使D'E'=A'D'，连接BE和B'E'，根据全等三角形的判定，可证得△BDE≌△CDA，根据全等三角形性质得BE=AC，∠E=∠CAD【详解】A．如图1所示，在△ADE和△ABC中，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，但△ADE和△ABC不全等，故本选项不符合题意；B．如图2所示，在△ABC和△EFG中，BC=FG，AC=EG，AD⊥BC，EH⊥FG，AD=FG，但△ABC和△EFG不全等，故本选项不符合题意；C．如图3所示，在△ABC和△A'B'C'中，点D和点D'分别平分线段BC和B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，∵点D平分线段BC，∴BD=CD，∵DE=AD，∠BDE=∠CDA∴△BDE≌△CDA∴BE=AC，∠E=∠CAD同理B'E∵AC=∴BE=∵AD=∴AE=∵AB=∴△ABE≌△∴∠E=∠E'∴∠CAD=∠∵∠BAE+∠CAD=∠∴∠BAC=∠∵AB=∴△ABC≌△故本选项符合题意；D．如图4所示，在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，熟记全等三角形的性质定理与判定定理是解本题的关键．【变式4-1】（2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校七年级阶段练习）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF，GE=GF，则△AEG≌△AFG的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可．【详解】解：在△AEG和△AFG中，EG=FGAE=AF∴△AEG≌△AFG（SSS），故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．【变式4-2】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有（

）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对【答案】C【分析】根据平行四边形的性质，以及全等三角形的判定即可求出答案．【详解】解：①△ABE≌

∵AB∥∴AB=CD，

∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于E，

∴∠AEB=∠CFD，∴△ABE≌

②△AOE≌∵AB∥CD，AD∥∴OA=OC，∵∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌③△ABO≌

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴OD=OB，

∴△ABO≌

④△BOC≌∵AB∥CD，AD∥BC，∴OD=OB，∴△BOC≌

⑤△ABC≌

∵AB∥∴BC=AD，

∴△ABC≌⑥△ABD≌∵AB∥∴∠BAD=∠BCD，

∴△ABD≌

⑦△ADE≌

∵AD=BC，

∴△ADE≌

故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题关键找出对应相等的边、角，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、【变式4-3】（2022·浙江·八年级单元测试）根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（

）A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°【答案】D【分析】根据三角形的三边关系和全等三角形的判定定理逐项分析即可解答．【详解】解：A．∵AC与BC两边之和大于第三边，故能作出三角形，且三边知道能唯一画出△ABC，不符合题意；B．∠B是AB、BC的夹角，故能唯一画出△ABC，不符合题意；C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°，得出BC＝3，可唯一画出△ABC，不符合题意；D．由于是SSA，所以AB＝3，AC＝4，∠C＝45°，不能唯一画出三角形ABC，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定等知识点，掌握SSA不能判定三角形全等是解答本题的关键．【考点5尺规作图与全等的综合运用】【例5】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC外找一个点A'（与点A不重合），并以BC为一边作△A'BC，使之与△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，则符合条件的点A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题是开放题，要想使△A′BC与△ABC全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解．【详解】解：如图：以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点A'、A1'；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA故选：C．【点睛】本题考查了全等的判定综合．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法去求证．【变式5-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：△ABC≅△CDA的根据是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【分析】根据题意和全等三角形判定的方法可以得到ABC≌△CDA的根据，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，AD=BC，AB=CD，在△ADC和△CBA中，AD=CBDC=BA∴△ADC≌△CBA（SSS），故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．【变式5-2】（2022·广东·普宁市红领巾实验学校八年级阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B=90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______；_______【答案】

SAS

HL【分析】由图可知小刘同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为SAS．由图可知小赵同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为HL．【详解】小刘同学画了∠MBN=90°后，再截取AB,BC两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是SAS定理；小赵同学画了∠MBN=90°后，再截取BC,AC一直角边和一个斜边，所以确定的依据是HL定理．故答案为：①SAS；②HL．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键．【变式5-3】（2022·北京·101中学九年级开学考试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ其中所有正确结论的序号是______________．【答案】②③##③②【分析】分别在以上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出ΔPAQ【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出ΔPAQ，发现两个位置的Q都符合题意，所以Δ如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出ΔPAQ，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以Δ如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出ΔPAQ，发现左边位置的Q不符合题意，所以Δ综上：②③正确．故答案为：②③【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键．【考点6证明全等的常见辅助线的作法】【例6】（2022·江苏·宿迁青华中学七年级阶段练习）（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是．（2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由（3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．【答案】（1）∠EAF=12【分析】（1）根据小明同学的探究方法不难得到∠EAF=12（2）延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠OAC+∠OBC=180°，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．【详解】解：(1)如图①，延长FD到G，使DG=BE，连结AG．在△ABE和△ADG中，AB=AD，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，在△AEF和△AGF中，AE=AG，AF=AF，EF=BE+FD=DG+FD=GF，∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF=∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠EAB+∠DAF∴∠BAD=∠EAF+∠EAB+∠DAF=2∠EAF∴∠EAF=12(2)∠EAF=12证明：如图②，延长FD到G，使DG=BE，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．又∵EF=BE+DF，DG=BE，∴EF=DG+DF=GF．∴△AEF≌△AGF（SSS）．∴∠EAF=∠GAF．

又∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，∴∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．而∠EAF+∠BAE+∠DAF=∠BAD，∴∠EAF=12(3)如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C．∵2小时后，舰艇甲行驶了120海里，舰艇乙行驶了160海里，即AE=120，BF=160．而EF=280，∴在四边形AOBC中，有EF=AE+BF，又∵OA=OB，且∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合(2)中的条件．

又∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∴∠EOF=12答：此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小为70°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．【变式6-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，则∠B=（

）A．50∘ B．40∘ C．40∘或70【答案】B【分析】连接AD，可证△ABD≌△ACD，根据全等三角形对应角相等可以得到∠BAD=∠CAD=12∠BAC，∠ADB=∠ADC，代入角度即可求出∠BAD【详解】连接AD，如图，在△ABD与△ACD中AB=ACBD=CD∴△ABD≌△ACDSSS，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC∵∠A=60∴∠BAD=∠CAD=30∵∠D=140∴∠ADB=∠ADC=1∵∠BAD+∠ADB+∠B=180∴∠B=40故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键．【变式6-2】（2022·全国·七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若AB=AC,∠ADB=∠ADC，求证：AD平分∠BAC.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）已知点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P分别作三边的垂线，分别交三边于点D、点E、点F.求证PD+PE+PF为定长,即可完成证明；（2）（面积法）过点A作AE⊥BD交BD延长线于点E，再过点A作AF⊥CD交CD延长线于点F.因为∠ADB=∠ADC，所以∠ADE=∠ADF，因此△ADF≅ADE(AAS)，得到AF=AE.进而△AFC≅△AEB，得到∠ABD=∠ACD，因此∠BAD=∠CAD，即AD平分【详解】（1）

已知：等边如图三角形ABC，P为三角形ABC内任意一点，PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,求证：PD+PE+PF为定值.证明：如图：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，分别连接AP、BP、CP.∵S△ABC∴12又∵BC=AB=AC∴AG=PE+PF+PD,即PD+PE+PF=AG定长.∴等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（2）过点A作AE⊥BD交BD延长线于点E，再过点A作AF⊥CD交CD延长线于点F.∵∠ADB=∠ADC，∴∠ADE=∠ADF，又∵AD=AD∴△ADF≅ADE(AAS∴AF=AE∴△AFC≅△AEB，∴∠ABD=∠ACD，∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，其中做出辅助线是解答本题的关键．【变式6-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上，DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．【答案】（1）见详解；（2）图2：DH=BH-DE【分析】（1）在线段AH上截取HM=BH，连接CM，CD，证明△DMC≌△DEC，可得到DE=DM，即可求解．（2）当点D在线段BA延长线上时，在BA的延长线上截取MH=BH，连接CM，DC，由题意可证△BHC≌△CHM，可得∠B=∠CMB，由题意可得∠B=∠AED，即可证△DMC≌△DEC，可得DE=DM，则可得DH=BH-DE；当点D在线段AB延长线上时，在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CD，由题意可证△BHC≌△CHM，可得∠B=∠CMB，由题意可得∠B=∠AED，即可证△DMC≌△DEC，可得DE=DM，则可得【详解】解：（1）证明：在线段AH上截取HM=BH，连接CM，CD∵CH⊥AB，HM=BH∴CM=BC∴∠B=∠CMB∵AB=AC∴∠B=∠ACB∵DE∴∠ADE=∠B=∠AED=∠ACB，∠CDE=∠BCD∴∠AED=∠BMC∴∠DEC=∠DMC∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD=∠EDC∵CD=CD∴△CDM≌△CDE∴DM∴BH（2）当点D在线段BA延长线上时，DH=BH-DE如图2：在BA的延长线上截取MH=BH，连接CM，DC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD=BC∴∠BDC=∠DCB∵DE∴∠E=∠ACB=∠B=∠EDB∵CH=CH，BH=MH∴△BHC≌△CHM∴∠B∴∠E=∠M∵∠MDC=∠B+∠DCB∴∠MDC=∠EDC又∵∠E=∠M，DC=CD∴△DEC≌△DMC∴DE=DM∵DH∴DH=BH-DE当点D在线段AB延长线上时，DE=DH+BH如图3：当点D在线段AB延长线上时，在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CD∵BH=HM，CH=CH，∠CHB=∠MHC=90°∴△MHC≌△BHC∴∠ABC=∠BMC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD∵BC∴∠BCD=∠CDE，∠ACB=∠AED∴∠BDC=∠CDE，∠BMC=∠AED，且CD=CD∴△CDM≌△CDE∴DE=DM∵DM=DH+HM∴DE=DH+BH【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键．【考点7证一条线段等于两条线段的和（差）】【例7】（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD【答案】见解析【分析】遇到这种CD＝AB＋AD线段和差问题一般都是截长补短；方法1：补短AB，构造BE＝AB＋AD，证明CD=BE即可；方法2：补短AD，构造DF＝AB＋AD，证明CD=DF即可；方法3：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，构造等腰直角三角形ABF，证明AF=EC即可；方法4：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延长上取点H使得AH＝AC,证明AB=EC即可；【详解】方法1：补短，构造全等证明：延长BA至点E，使得AD＝AE，连接CE∵AD⊥CD∴∠D＝90°∵∠B＝45°，∠ACB＝30°∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC在△ADC和△AEC中∵AD＝AE∠EAC＝∠DACAC＝AC∴△ADC≌△AEC(SAS)∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15°∴∠ECB＝∠B＝45°∴EC＝BE∴EC＝BE＝CD∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD方法2：补短，构造全等证明：延长DA至点F，使得AF＝AB∵∠B＝45°，∠ACB＝30°∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105°∵CD是∠ACB的角平分线∴∠ACD＝15°∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105°∴∠EAC＝∠BAC在△ABC和△AEC中AB＝AE∠EAC＝∠BACAC＝AC∴△ABC≌△AEC（SAS）∴∠E＝∠B＝45°,∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45°∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB方法3：截长，构造全等证明：在CD上截取DE使得DE＝AD∵AD⊥CD∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°过点A作AF⊥AB交BC于点F∵∠B=45°，∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135°∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°∴∠EAC＝∠ACF在△AEC和△CFA中∠EAC＝∠ACFAC＝AC∠AEC＝∠AFC∴△AEC≌△CFA(ASA)∴CE＝AF＝AB∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB方法4：截长，构造全等证明：在CD上截取DE使得DE＝AD∵AD⊥CD∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°在CB延长上取点H，使得AH＝AC∵∠ABC＝45°∴∠ABH＝135°∴∠ABH＝∠AEC∵AH＝AC∴∠H＝∠ACB＝30°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°∴∠H＝∠EAC在△ABH和△CEA中∠H＝∠EACAH＝AC∠ABH＝∠AEC∴△ABH≌△CEA(ASA)∴AB＝CE∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB【变式7-1】（2022·安徽淮北·八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AE是∠BAC的平分线，且AE⊥CE．若AC=a,BD=b，则四边形ABDC的周长为（

）A．1.5(a+b) B．2a+b C．3a-b D．a+2b【答案】B【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形ABDC的周长．【详解】解：在线段AC上作AF=AB，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=∠BAE，又∵AE=AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，∵AB∥CD，∴∠D+∠B=180°，∵∠AFE+∠CFE=180°，∴∠D=∠CFE，∵AE⊥CE，∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，∴∠CEF=∠CED，在△CEF和△CED中∵∠D=∠CFE∠CEF=∠CED∴△CEF≌△CED（AAS）∴CE=CF，∴四边形ABDC的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a+b，故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．【变式7-2】（2022·山东烟台·七年级期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．(1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；(2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．(3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．【答案】(1)AC＝EF+FC，证明见解析(2)补全图形见解析，AC＝EF-CF，证明见解析(3)AC＝CF-EF【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得结论．（3）过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得结论．(1)结论：AC＝EF+FC，理由如下：过D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝90°∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠EFC=∠DHC=90∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠ACB＝90°，AC=BC，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CB+HB∴AC＝FC+EF；(2)依题意补全图形，结论：AC＝EF-CF，理由如下：过D作DH⊥CB交BC的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠FCE=∠DCH∠EFC=∠DHC=∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°∴DH＝HB＝EF，∵BC=HB-CH∴AC＝EF-CF．(3)AC=CF-EF．如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，同理可证△FEC≌△HDC（AAS），∴CH=FC，DH=EF，∵∠DHB=90°，∴∠B=∠HDB=45°，∴DH=HB=EF，∵BC=CH-BH，∴AC=CF-EF．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AE，CD为△ABC的角平分线，AE，CD交于点F．（1）如图1，若∠B=60°．①直接写出∠AFC的大小；②求证：AC=AD+CE．（2）若图2，若∠B=90°，求证：S△ACF【答案】（1）①120°；②见解析；（2）见解析【分析】（1）①综合三角形的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；②利用“截长补短”思想，在AC上取点H，使得AD=AH，从而通过全等证得∠AFD=∠AFH，再结合①的结论进一步证明∠CFH=∠CFE，从而通过全等证得CE=CH，即可得出结论；（2）同样利用“截长补短”思想，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对△ADF和△CEF的面积进行转换，然后结合（1）中的结论，证明SF∥ET，即可对△DEF的面积进行转换，从而得出结论．【详解】（1）①解：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA，∴∠FAC=12∠BAC，∠FCA=12∠∴∠FAC+∠FCA=12(∠BAC+∠BCA)=1∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°；②证：如图所示，在AC上取点H，使得AD=AH，在△ADF和△AHF中，AD=AH∴△ADF≌△AHF(SAS)，∴∠AFD=∠AFH，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFH=∠CFE，由①可知，∠AFC=120°，∴∠CFE=180°-120°=60°，∴AFH=∠CFE=60°，∴∠CFH=60°，即：∠CFH=∠CFE，在△CFH和△CFE中，∠CFH=∠CFE∴△CFH≌△CFE(ASA)，∴CE=CH，∵AC=AH+CH，∴AC=AD+CE；（2）证：如图所示，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，∵AE平分∠BAC，∴∠DAF=∠SAF，在△ADF和△ASF中，AD=AS∴△ADF≌△ASF(SAS)，同理可证△AED≌△AES，△CEF≌△CTF，∴DF=SF，DE=SE，FT=FE，∴△DEF≌△SEF，∴S△ADF=S△ASF，且∠AFD=∠AFS，∠CFE=∠CFT，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT，由（1）可得：∠AFC=90°+12∠B∴∠CFE=180°-135°=45°，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°，∴∠CFS=135°-∠AFS=90°，∴CF⊥SF，又∵FT=FE，CT=CE，∴CF垂直平分EF，即：CF⊥ET，∴SF∥ET，∴S△SFT∴S∵S△ACF∴S△ACF【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．【考点8全等中的倍长中线模型】【例8】（2022·江西吉安·七年级期末）（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问