2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题16.1 二次根式【九大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题16.1二次根式【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1根据二次根式概念判断二次根式】 1【题型2根据二次根式的定义求字母的值】 1【题型3根据二次根式有意义条件求范围】 2【题型4根据二次根式有意义条件求值】 2【题型5利用二次根式的性质化简（数字型）】 3【题型6利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】 3【题型7根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 4【题型8含隐含条件的参数范围化简二次根式】 4【题型9复杂的复合型二次根式化简】 5【知识点1二次根式的定义】形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，a【题型1根据二次根式概念判断二次根式】【例1】（2022春•宁津县期末）下列各式中，一定是二次根式的个数为（）3，m，x2+1，34，−m2−1，a3（A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式1-1】（2022春•顺平县期末）下列各式是二次根式的是（）A．−2 B．−2 C．32 【变式1-2】（2022春•宜城市期末）在式子2，33，x2+1，xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（2022春•凤庆县期末）下列各式：5、a2，−3，38，x−1(x⩾1)A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【题型2根据二次根式的定义求字母的值】【例2】（2022春•莱州市期末）若12n是整数，则正整数n的最小值是（）A．1 B．3 C．6 D．12【变式2-1】（2022春•昭阳区校级月考）若80n是整数，则正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2-2】（2022春•信州区校级月考）当x＝−12时，代数式3−2x+1【变式2-3】（2022•金牛区校级自主招生）已知a为实数，则代数式27−12a+2aA．0 B．3 C．33 【知识点2二次根式有意义的条件】（1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：a≥【知识点3判断二次根式有意义的条件】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【题型3根据二次根式有意义条件求范围】【例3】（2022春•来凤县期末）若代数式15x−1在实数范围内有意义，则A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．x＜5【变式3-1】（2022春•泰山区期末）若式子a+1a−2有意义，则aA．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞﹣1【变式3-2】（2022春•泰山区期末）若(3x−4)2=4−3x，则x的取值范围是【变式3-3】（2022春•睢县期中）若4x6−|x|有意义，则x的取值范围为【题型4根据二次根式有意义条件求值】【例4】（2022春•海淀区校级期末）已知a，b都是实数，b=1−2a+4a−2−2，则ab的值为【变式4-1】（2022春•西湖区校级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式a2A．在a＞1的条件下化简代数式a+a2−2a+1的结果为2B．a+a2−2a+1的值随a变化而变化，当C．当a+a2−2a+1的值恒为定值时，字母a的取值范围是D．若a2−2a+1=(a−1)【变式4-2】（2022春•海安市校级月考）若x，y是实数，且y＜x−1+1−x+12，求【变式4-3】（2022•勃利县期末）已知a满足|2017﹣a|+a−2018=a，则a﹣20172的值是【知识点4二次根式的性质】性质1：a2=a（a性质2：a2=a=a（【题型5利用二次根式的性质化简（数字型）】【例5】（2022春•平山县期末）二次根式(−2)A．﹣2 B．2或﹣2 C．4 D．2【变式5-1】（2022春•金东区期中）下列计算正确的是（）A．9=±3 B．22+32=5 C．【变式5-2】（2022春•乐清市期末）当a＝5时，二次根式4+a的值是（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【变式5-3】（2022春•辛集市期末）下列各式中，正确的是（）A．25=±5 B．−(5)2=【题型6利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】【例6】（2022•泗水县二模）已知y=(x−3)2−x+4，当xA．2026 B．2027 C．2028 D．2029【变式6-1】（2022秋•南昌期末）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．已知m为实数，化简：−解：原式=−m=(−m−1)−m【变式6-2】（2022春•凤凰县月考）若式子4−4a+a2与a2−8a+16的和为2，则a的取值范围是【变式6-3】（2022•绵阳模拟）等式x2(x+1)=−xA． B． C． D．【题型7根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】【例7】（2022春•黄骅市期中）已知a，b，c在数轴上的位置如下图：化简代数式a2−|a+b|+(c−a)2+|b+【变式7-1】（2022•宁波）已知：a＜0，化简4−(a+1【变式7-2】（2022•广饶县期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值a2−(c−a+b)2+|b+c|【变式7-3】（2022春•禹州市校级月考）已知1＜x＜3，求1−2x+x【题型8含隐含条件的参数范围化简二次根式】【例8】（2022•建湖县一模）2、6、m是某三角形三边的长，则(m−4)2A．2m﹣12 B．12﹣2m C．12 D．﹣4【变式8-1】（2022春•辛集市期末）已知xy＜0，化简：x−yx2【变式8-2】（2022•徐汇区校级月考）如果a，b，c为三角形ABC的三边长，请化简：(a−b+c)2+(b−c−a【变式8-3】（2022春•靖江市期末）已知：m是5的小数部分，求m2【题型9复杂的复合型二次根式化简】【例9】（2022•思明区校级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c=20192+2020+2021，则a，A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【变式9-1】（2022•兴平市期中）像4−23，96−63（1）化简：11+230=，24−615=（2）若a+65=（m+5n）2，且a，m，n为正整数，求【变式9-2】（2022•阜阳校级自主招生）已知x=a2−6a+23，其中实数﹣4≤a≤10，则x+5−4x+1+【变式9-3】（2022春•郧西县期末）像4−23，48−45⋯这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：4−23（1）化简：10+221（2）化简：14−83（3）若a+65=（m+5n）2，且a，m，n为正整数，求专题16.1二次根式【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1根据二次根式概念判断二次根式】 1【题型2根据二次根式的定义求字母的值】 2【题型3根据二次根式有意义条件求范围】 4【题型4根据二次根式有意义条件求值】 4【题型5利用二次根式的性质化简（数字型）】 6【题型6利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】 7【题型7根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 9【题型8含隐含条件的参数范围化简二次根式】 10【题型9复杂的复合型二次根式化简】 12【知识点1二次根式的定义】形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，a【题型1根据二次根式概念判断二次根式】【例1】（2022春•宁津县期末）下列各式中，一定是二次根式的个数为（）3，m，x2+1，34，−m2−1，a3（A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．【解答】解：3一定是二次根式；当m＜0时，m不是二次根式；对于任意的数x，x2+1＞0，则x234﹣m2﹣1＜0，则−ma3当a＜12时，2故选：A．【变式1-1】（2022春•顺平县期末）下列各式是二次根式的是（）A．−2 B．−2 C．32 【分析】根据二次根式的定义，形如a（a≥0）的式子是二次根式，即可解答．【解答】解：A、−2无意义，故A不符合题意；B、−2是二次根式，故BC、32不是二次根式，故CD、x（x≥0）是二次根式，故D不符合题意；故选：B．【变式1-2】（2022春•宜城市期末）在式子2，33，x2+1，xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次根式的定义，形如a（a≥0）的式子是二次根式，即可解答．【解答】解：在式子2，33，x2+1，x+y中，二次根式有2共有2个，故选：B．【变式1-3】（2022春•凤庆县期末）下列各式：5、a2，−3，38，x−1(x⩾1)A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】利用二次根式的定义对每个式子进行判断即可．【解答】解：∵式子a（a≥0）是二次根式，∴5，a2，x−1（x≥1），x2+2x+1是二次根式，−3∴一定是二次根式的有：5，a2，x−1（x≥1），x故选：B．【题型2根据二次根式的定义求字母的值】【例2】（2022春•莱州市期末）若12n是整数，则正整数n的最小值是（）A．1 B．3 C．6 D．12【分析】根据12＝22×3，若12n是整数，则12n一定是一个完全平方数，据此即可求得n的值．【解答】解：∵12＝22×3，∴12n是整数的正整数n的最小值是3．故选：B．【变式2-1】（2022春•昭阳区校级月考）若80n是整数，则正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先化简80，然后根据二次根式的定义判断即可．【解答】解：∵80=45∴正整数n的最小值是：5．故选：D．【变式2-2】（2022春•信州区校级月考）当x＝−12时，代数式3−2x+1【分析】根据二次根式的非负性分析求值．【解答】解：∵2x+1≥∴−2x+1∴3−2x+1∴当2x+1＝0时，即x=−13−2x+1故答案为：−1【变式2-3】（2022•金牛区校级自主招生）已知a为实数，则代数式27−12a+2aA．0 B．3 C．33 【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．【解答】解：∵原式==2(=2∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时代数式27−12a+2a2的值最小，为故选：B．【知识点2二次根式有意义的条件】（1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：a≥【知识点3判断二次根式有意义的条件】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【题型3根据二次根式有意义条件求范围】【例3】（2022春•来凤县期末）若代数式15x−1在实数范围内有意义，则A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．x＜5【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵15x∴x≥5．故选：B．【变式3-1】（2022春•泰山区期末）若式子a+1a−2有意义，则aA．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞﹣1【分析】既要使二次根式a+1有意义，即a+1≥0，又要使分式有意义，即a﹣2≠0即可．【解答】解：由题意得，a+1≥0且a﹣2≠0，即a≥﹣1且a≠2，故选：C．【变式3-2】（2022春•泰山区期末）若(3x−4)2=4−3x，则x的取值范围是x≤【分析】根据二次根式的性质列出不等式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：4﹣3x≥0，∴x≤4故答案为：x≤4【变式3-3】（2022春•睢县期中）若4x6−|x|有意义，则x的取值范围为x≥0且x≠6【分析】应从两方面考虑x的取值范围：分母不为0和二次根式有意义．【解答】解：由4x6−|x|有意义，则6﹣|x|≠0且4x解得x≥0且x≠6．【题型4根据二次根式有意义条件求值】【例4】（2022春•海淀区校级期末）已知a，b都是实数，b=1−2a+4a−2−2，则a【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：由题意可得，1−2a≥04a−2≥0解得：a=1则b＝﹣2，故ab的值为（12）﹣2故答案为：4．【变式4-1】（2022春•西湖区校级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式a2A．在a＞1的条件下化简代数式a+a2−2a+1的结果为2B．a+a2−2a+1的值随a变化而变化，当C．当a+a2−2a+1的值恒为定值时，字母a的取值范围是D．若a2−2a+1=(a−1)【分析】根据二次根式的性质，得到a2−2a+1=|a【解答】解：a2−2a+1=|a当a＞1时，a+a2−2a+1=a+当a＝1时，a+a2−2a+1=a+当a＜1时，a+a2−2a+1=因此A选项、C选项、D选项均正确，只有B选项不正确，故选：B．【变式4-2】（2022春•海安市校级月考）若x，y是实数，且y＜x−1+1−x+1【分析】根据二次根式有意义的条件可得x−1≥01−x≥0，解不等式组可得x＝1，进而可得y＜12【解答】解：由题意得：x−1≥01−x≥0解得：x＝1，则y＜1|1−y|y−1故答案为：﹣1．【变式4-3】（2022•勃利县期末）已知a满足|2017﹣a|+a−2018【分析】先依据二次根式有意义得到a≥2018，进而化简原式求出答案．【解答】解：∵|2017﹣a|+a−2018=∴a﹣2018≥0，故a≥2018，则原式可变为：a﹣2017+a−2018=故a﹣2018＝20172，则a﹣20172＝2018．故答案为：2018．【知识点4二次根式的性质】性质1：a2=a（a性质2：a2=a=a（【题型5利用二次根式的性质化简（数字型）】【例5】（2022春•平山县期末）二次根式(−2)A．﹣2 B．2或﹣2 C．4 D．2【分析】根据算术平方根的意义，可得答案．【解答】解：(−2)2=故选：D．【变式5-1】（2022春•金东区期中）下列计算正确的是（）A．9=±3 B．22+32=5 C．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式=4+9=13C、原式＝2，故C符合题意．D、原式＝3，故D不符合题意．故选：C．【变式5-2】（2022春•乐清市期末）当a＝5时，二次根式4+a的值是（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【分析】把a＝5代入式子中，进行计算即可解答．【解答】解：当a＝5时，二次根式4+a=故选：A．【变式5-3】（2022春•辛集市期末）下列各式中，正确的是（）A．25=±5 B．−(5)2=【分析】根据算术平方根的定义，二次根式有意义的条件，立方根的定义可进行判断．【解答】解：A．∵52＝25，∴25=5，AB．∵−(5∴−(5)2C.1614=D.3(18故选：D．【题型6利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】【例6】（2022•泗水县二模）已知y=(x−3)2−x+4，当xA．2026 B．2027 C．2028 D．2029【分析】根据二次根式的性质得出当x﹣3≥0时，y＝1；当x﹣3＜0时，y＝7﹣2x，分别求出x＝1，x＝2时，y的值，再求出答案即可．【解答】解：y=(x−3)2−x+4＝|当x﹣3≥0，即x≥3时，y＝x﹣3﹣x+4＝1；当x﹣3＜0，即x＜3时，y＝3﹣x﹣x+4＝7﹣2x，当x＝1时，y＝5，当x＝2时，y＝3，所以当x分别取正整数1，2，3，4，5，…，2022时，所对应y值的总和5+3+1+1+1+1+•••+1＝9+2019×1＝9+2019＝2028，故选：C．【变式6-1】（2022秋•南昌期末）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．已知m为实数，化简：−解：原式=−m=(−m−1)−m【分析】根据二次根式的性质，m−1m成立，则【解答】解：不正确，根据题意，m−1m成立，则−−＝m−m＝m−m＝（m+1）−m．【变式6-2】（2022春•凤凰县月考）若式子4−4a+a2与a2−8a+16的和为2，则a的取值范围是【分析】根据二次根式的性质，得出a﹣2≥0且a﹣4≤0，进而确定a的取值范围．【解答】解：∵4−4a+=(a−2＝|a﹣2|+|a﹣4|，当a＞4时，原式＝a﹣2+a﹣4＝2a﹣6，因此不符合题意；当2≤a≤4时，原式＝a﹣2+4﹣a＝2，因此符合题意；当a＜2时，原式＝2﹣a+4﹣a＝6﹣2a，因此不符合题意；∴2≤a≤4，故答案为：2≤a≤4．【变式6-3】（2022•绵阳模拟）等式x2(x+1)=−xA． B． C． D．【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．【解答】解：由题意可知：x≤0x+1≥0解得：﹣1≤x≤0，故选：A．【题型7根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】【例7】（2022春•黄骅市期中）已知a，b，c在数轴上的位置如下图：化简代数式a2−|a+b|+(c−a)2+|b+【分析】首先根据数轴确定a、b、c的符号，再由二次根式的性质及有理数的加减法法则确定各个绝对值里面的式子的符号，然后去掉绝对值符号，从而对所求代数式进行化简．【解答】解：根据数轴可以得到：b＜a＜0＜c，且|b|＞|c|，∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，∴a2−|a+b|+(c−a)2+＝|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|，＝﹣a+（a+b）+（c﹣a）﹣（b+c），＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c，＝﹣a．故答案为：﹣a．【变式7-1】（2022•宁波）已知：a＜0，化简4−(a+1【分析】根据二次根式的性质化简．【解答】解：∵原式=又∵二次根式内的数为非负数∴a−1∴a＝1或﹣1∵a＜0∴a＝﹣1∴原式＝0﹣2＝﹣2．【变式7-2】（2022•广饶县期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值a2−(c−a+b)2+|b+c|【分析】根据数轴得出＜b＜0＜c，|c|＞|a|＞|b|，根据二次根式的性质得出|a|﹣|c﹣a+b|+|b+c|﹣b，去掉绝对值符号后合并即可．【解答】解：∵从数轴可知：a＜b＜0＜c，|c|＞|a|＞|b|，∴原式＝|a|﹣|c﹣a+b|+|b+c|﹣b＝﹣a﹣c+a﹣b+b+c﹣b＝﹣b，故答案为：﹣b．【变式7-3】（2022春•禹州市校级月考）已知1＜x＜3，求1−2x+x【分析】利用x的取值范围，结合完全平方公式将原式开平方求出答案．【解答】解：∵1＜x＜3，∴1−2x+=(x−1＝x﹣1+4﹣x＝3．【题型8含隐含条件的参数范围化简二次根式】【例8】（2022•建湖县一模）2、6、m是某三角形三边的长，则(m−4)2A．2m﹣12 B．12﹣2m C．12 D．﹣4【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，进而化简二次根式得出答案．【解答】解：∵2、6、m是某三角形三边的长，∴4＜m＜8，∴m﹣4＞0，m﹣8＜0，∴(m−4)＝m﹣4﹣（8﹣m）＝m﹣4﹣8+m＝2m﹣12．故选：A．【变式8-1】（2022春•辛集市期末）已知xy＜0，化简：x−yx2=【分析】根据题意可知，y＜0，然后对二次根式进行化简，根据xy＜0，去绝对值号．【解答】解：∵二次根式x−∴y＜0，∵xy＜0，∴x＞0，∴x−故答案为：−y．【变式8-2】（2022•徐汇区校级月考）如果a，b，c为三角形ABC的三边长，请化简：(a−b+c)2+(b−c−a)2=2【分析】直接利用三角形三边关系得出a﹣b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，进而利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵a，b，c为三角形ABC的三边长，∴a﹣b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，∴原式＝a﹣b+c﹣（b﹣c﹣a）＝a﹣b+c﹣b+c+a＝2a﹣2b+2c．故答案为：2a﹣2b+2c．【变式8-3】（2022春•靖江市期末）已知：m是5的小数部分，求m2【分析】先估算得到m=5−2，则1m=15−2=5+2，即1m＞m，利用完全平方公式得到原式【解答】解：∵m是5的小数部分，∴m=5原式=(m−1m∵m=5∴1m=15∴原式＝﹣（m−1＝﹣m+＝﹣（5−2）+＝4．【题型9复杂的复合型二次根式化简】【例9】（2022•思明区校级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c=20192+2020+2021，则a，A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】先化简各式，然后再进行比较即可．【解答】解：a＝2021×2022﹣20212＝2021×（2022﹣2021）＝2021×1＝2021；b＝1013×1008﹣1012×1007＝（1012+1）（1007+1）﹣1012×1007＝1012×1007+1012+1007+1﹣1012×1007＝1012+1007+1＝2020；c==(2020−1=202=202∴2020＜202∴b＜c＜a，故选：D．【变式9-1】（2022•兴平市期中）像4−23，96−63（1）化简：11+230=5+6，24−6（2）若a+65=（m+5n）2，且a，m，n为正整数，求【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简．（2）变形已知等式，建立a，m，n的方程组求解．【解答】解（1）11+23024−615（2）∵(m+5n)2=m2+5n2+2∴m2∵m，n，a均为正整数．∴m=1n=3或m=3∴a＝1+45＝46或a＝9+5＝14．a＝46或14．【变式9-2】（2022•阜阳校级自主招生）已知x=a2−6a+23，其中实数﹣4≤a≤10，则x+5−4【分析】先把x+1当成一个整体，利用完全平方公式开方出来，再根据x的值判断x+1的取值范围，去绝对值计算．【解答】解：x+5−4=(=(＝|x+1−2|+|x+1∵x=a2−6a+23∴14≤x≤37，2＜∴原式=x+1−2+3【变式9-3】（2022春•郧西县期末）像4−23，48−45⋯这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：（1）化简：10+221（2）化简：14−83（3）若a+65=（m+5n）2，且a，m，n为正整数，求【分析】（1）利用题中新方法，结合完全平方公式求解；（2）利用题中新方法，结合完全平方公式求解；（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．【解答】解：（1）10+221（2）14−83=(2（3）∵a+65=（m+5n）2＝m2+5n2+25∴a＝m2+5n2且25mn＝65，∴a＝m2+5n2且mn＝3，∵a，m，n为正整数，∴当m＝1，n＝3时a＝46；当m＝3，n＝1时，a＝14．所以a的值为：14或46．专题16.2二次根式的乘除【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1求字母的取值范围】 1【题型2二次根式乘除的运算】 1【题型3二次根式的符号化简】 2【题型4最简二次根式的判断】 3【题型5化为最简二次根式】 3【题型6已知最简二次根式求参数】 4【题型7分母有理化】 4【题型8比较二次根式的大小】 5【题型9分母有理化的应用】 5【知识点1二次根式的乘除法则】①二次根式的乘法法则：a∙②积的算术平方根：a∙③二次根式的除法法则：ab④商的算术平方根：ab【题型1求字母的取值范围】【例1】（2022春•赵县校级月考）若要使等式xx−8=xx−8成立，则【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(x−3)⋅(−x−2)=3−x⋅x+2，使等式成立的x的取值范围是【变式1-2】（2022秋•南岗区期末）能使等式x−2x=x−2A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足2x2−x3=x•2−x，则【题型2二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）5827•827•3（2）2112÷【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：223m÷1【变式2-2】（2022•青浦区校级月考）计算：35xy【变式2-3】（2022•浦东新区校级月考）化简：2bab【题型3二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x−yx2A．y B．−y C．−y D．【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式a−A．−1a B．1a C．−【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x）1x−2A．x−2 B．2−x C．﹣22−x D．−【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b）−1a−b根号外的因式移到根号内结果为【知识点2最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【题型4最简二次根式的判断】【例4】（2022秋•浦东新区校级月考）在25、aba、18x、x2−1、0.6【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．48 B．14 C．ab D．【变式4-2】（2022秋•玉田县期末）下列各式：①25②2n+1③2b4④0.1y是最简二次根式的是【变式4-3】（2022春•建昌县期末）在二次根式12、12、30、x+2，40x2，x【题型5化为最简二次根式】【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）A．2 B．58 C．28 D．1【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1）3（2）32（3）4【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1）275（2）−abc【变式5-3】（2022秋•安岳县期末）x2−1xy−y化成最简二次根式是【题型6已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若a是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣4 B．32 C．2 【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2m+n−2和33m−2n+2都是最简二次根式，则m＝，n＝【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4a+b与a−b23的被开方数相同，则a+b＝【知识点3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7分母有理化】【例7】（2022秋•曲阳县期末）把3a12abA．4b B．2b C．12b【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：（1）132=；（2）112=；（3）【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（）A．a+b和a−b B．−a和aC．5−2和−5+2【变式7-3】（2022•宝山区校级月考）分母有理化：2【题型8比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22−3，b=1a，则A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=15−2，b＝2+5，则A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式【变式8-2】（2022春•长兴县期中）二次根式25，25，A．25＜25＜25 B．【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小比较a+1a+2【题型9分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−解决问题：（1）4+7的有理化因式可以是，232分母有理化得（2）计算：①11+②已知：x=3−13+1，y=3+13【变式9-1】（2022•潮南区模拟）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：2+32−3=(2+3)(2+3)(2+3)(2−3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7−4−7，可以先设x=4+7−4−7，再两边平方得A．3﹣22 B．3+22 C．42 D．3【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：12（1）将12+1分母有理化可得（2）关于x的方程3x−12=【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将a±2b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=b，则将a±2b将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如53，23，23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：5323+1还可以用以下方法化简：请根据材料解答下列问题：（1）3−22=；4+23=（2）化简：23专题16.2二次根式的乘除【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1求字母的取值范围】 1【题型2二次根式乘除的运算】 2【题型3二次根式的符号化简】 3【题型4最简二次根式的判断】 5【题型5化为最简二次根式】 6【题型6已知最简二次根式求参数】 7【题型7分母有理化】 8【题型8比较二次根式的大小】 10【题型9分母有理化的应用】 11【知识点1二次根式的乘除法则】①二次根式的乘法法则：a∙②积的算术平方根：a∙③二次根式的除法法则：ab④商的算术平方根：ab【题型1求字母的取值范围】【例1】（2022春•赵县校级月考）若要使等式xx−8=xx−8成立，则x的取值范围是【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x的不等式组求出答案．【解答】解：∵等式xx−8∴x≥0x−8＞0则x的取值范围是：x＞8．故答案为：x＞8．【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(x−3)⋅(−x−2)=3−x⋅x+2，使等式成立的x的取值范围是【分析】根据二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出答案．【解答】解：∵(x−3)⋅(−x−2)=∴3−x≥0x+2≥0解得：﹣2≤x≤3．故答案为：﹣2≤x≤3．【变式1-2】（2022秋•南岗区期末）能使等式x−2x=x−2A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：x−2≥0x＞0解得：x≥2，故选：D．【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足2x2−x3=x•2−x，则【分析】依据二次根式被开方数大于等于0和a2=a（【解答】解：∵原式=(2−x)x2=∴x≥0且2﹣x≥0．解得：0≤x≤2．故答案为：0≤x≤2．【题型2二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）5827•827•3（2）2112÷【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可．（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝5×8（2）原式＝2×1【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：223m÷1【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：原式＝2×62＝128m＝82m．【变式2-2】（2022•青浦区校级月考）计算：35xy【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，∴y≥0，∴原式=35xy3•（=−94x=−94xy•（−5=15【变式2-3】（2022•浦东新区校级月考）化简：2bab【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式=2b•（﹣b）ab•（32a＝﹣3a2b÷3ab＝﹣3a2b×（−b＝a2b2×＝abab．【题型3二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x−yx2A．y B．−y C．−y D．【分析】根据被开方数大于等于0求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0，【解答】解：∵−y∴y＜0，∵xy＞0，∴x＜0，∴x−y故选：D．【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式a−A．−1a B．1a C．−【分析】根据二次根式的性质先判断a的符号，然后再进行计算．【解答】解：由题意可知−1∴a＜0，∴a−1a3故选：D．【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x）1x−2A．x−2 B．2−x C．﹣22−x D．−【分析】根据二次根式的性质得出x﹣2的符号，进而化简二次根式得出即可．【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，则原式=−(x−2故选：D．【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b）−1a−b根号外的因式移到根号内结果为−【分析】先根据二次根式成立的条件得到−1a−b＞0，则a﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b﹣a）−1a−b，然后利用二次根式的性质得到−【解答】解：∵−1∵a﹣b＜0，∴原式＝﹣（b﹣a）−1a−b=−故答案为−b−a【知识点2最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【题型4最简二次根式的判断】【例4】（2022秋•浦东新区校级月考）在25、aba、18x、x2−1、0.6中，最简二次根式是ab【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：aba、x故答案为：aba、x【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．48 B．14 C．ab D．【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A、48=43，故AB、14是最简二次根式，故B符合题意；C、ab=abD、4a+4=2a+1，故D故选：B．【变式4-2】（2022秋•玉田县期末）下列各式：①25②2n+1③2b4④0.1y是最简二次根式的是【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【解答】解：②2n+1③2b4故答案为：②③．【变式4-3】（2022春•建昌县期末）在二次根式12、12、30、x+2，40x2，x【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可．【解答】解：二次根式12、12、30、x+2，40x2，x2+y2故答案为：3【题型5化为最简二次根式】【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）A．2 B．58 C．28 D．1【分析】先把B、C、D化成最简二次根式，再找被开方数不同的项．【解答】解：∵2是最简二次根式，58=102，28=27，∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D．故选：C．【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1）3（2）32（3）4【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．【解答】解：（1）3100（2）32=42（3）4x【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1）275（2）−abc【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．【解答】解：（1）原式=27（2）当b，c同为正数时，原式=−abc当b，c同为负数时，原式=−abc2×（−当c＝0时，原式＝0．【变式5-3】（2022秋•安岳县期末）x2−1xy−y化成最简二次根式是±【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简求解．【解答】解：原式=(x−1)(x+1)①当y＞0时，上式=②当y＜0时，上式=−y(x+1)故答案是：±y(x+1)y【题型6已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，故答案为：2．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若a是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣4 B．32 C．2 【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；B选项，32C选项，2是最简二次根式，故该选项符合题意；D选项，8=22故选：C．【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2m+n−2和33m−2n+2都是最简二次根式，则m＝1，n＝【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：∵若2m+n−2和3∴m+n−2=13m−2n+2=1解得：m＝1，n＝2，故答案为：1；2．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4a+b与a−b23的被开方数相同，则a+b＝8【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．【解答】解：由题意，得：a−b=24a+b=23解得：a=5∴a+b＝8．【知识点3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7分母有理化】【例7】（2022秋•曲阳县期末）把3a12abA．4b B．2b C．12b【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；∴3a12ab故选：D．【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：（1）132=26；（2）112=36【分析】根据分母有理化的一般步骤计算即可．【解答】解：（1）13（2）112（3）102故答案为：26；36；【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（）A．a+b和a−b B．−a和aC．5−2和−5+2【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．【解答】解：A.a+b•a−b=(a+b)(a−b)，因此a+b和a−