2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题22.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题22.8二次函数中的存在性问题【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二次函数中直角三角形的存在性问题】 1【题型2二次函数中等腰三角形的存在性问题】 3【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 5【题型4二次函数中平行四边形的存在性问题】 7【题型5二次函数中矩形的存在性问题】 9【题型6二次函数中菱形的存在性问题】 11【题型7二次函数中正方形的存在性问题】 13【题型8二次函数中角度问题的存在性问题】 15【题型1二次函数中直角三角形的存在性问题】【例1】（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【变式1-1】（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-36x2+233x+23与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．【变式1-2】（2022秋•日喀则市月考）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．（1）求M点的坐标；（2）求△MBC的面积；（3）坐标轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-3】（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型2二次函数中等腰三角形的存在性问题】【例2】（2022•沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移32个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M【变式2-1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2-2】（2022秋•永嘉县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴正半轴，x轴正半轴上两动点，OA＝2k，OB＝2k+3，以AO，BO为邻边构造矩形AOBC，抛物线y=-34x2+3x+k交y轴于点D，P为顶点，PM（1）求OD，PM的长（结果均用含k的代数式表示）．（2）当PM＝BM时，求该抛物线的表达式．（3）在点A在整个运动过程中，若存在△ADP是等腰三角形，请求出所有满足条件的k的值．【变式2-3】（2022•杭州校级自主招生）如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴上，且AC＝BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）求A点坐标并求抛物线的解析式；（3）若点P在x轴下方且在抛物线对称轴上的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【例3】（2022•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-1】（2022•碑林区校级三模）已知抛物线C1：y=14x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为（1）求抛物线C1的表达式和点D的坐标；（2）将抛物线C1沿x轴平移m（m＞0）个单位长度，所得新的抛物线记作C2，C2的顶点为D′，与抛物线C1交于点E，在平移过程中，是否存在△DED′是等腰直角三角形？如果存在，请求出满足条件的抛物线C2的表达式，并写出平移过程；如果不存在，请说明理由．【变式3-2】（2022•琼海二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-3】（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型4二次函数中平行四边形的存在性问题】【例4】（2022•垦利区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，点D的坐标是；（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；【变式4-2】（2022•福山区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）若点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形．若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-3】（2022•青羊区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【题型5二次函数中矩形的存在性问题】【例5】（2022•齐齐哈尔三模）综合与实践如图，二次函数y＝﹣x2+c的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，2），过点A、C的直线交二次函数的图象于点D．（1）求二次函数和直线AC的函数表达式；（2）连接DB，则△DAB的面积为6；（3）在y轴上确定点Q，使得∠AQB＝135°，点Q的坐标为；（4）点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-1】（2022•博山区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y=12（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标．（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移25个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-2】（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．【变式5-3】（2022•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【题型6二次函数中菱形的存在性问题】【例6】（2022•烟台一模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C（4，﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-1】（2022•邵阳县模拟）如图，直线l：y＝﹣3x﹣6与x轴、y轴分别相交于点A、C；经过点A、C的抛物线C：y=12x2+bx+c与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D（1）求抛物线C的对称轴．（2）将直线l向右平移得到直线l1．①如图①，直线l1与抛物线C的对称轴DE相交于点P，要使PB+PC的值最小，求直线l1的解析式．②如图②，直线l1与直线BC相交于点F，直线l1上是否存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-2】（2022•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（4，1）两点，与y轴的交点为C点．（1）求抛物线的表达式；（2）求四边形OABC的面积；（3）设抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线l，点D与点B关于直线l对称，在线段BC上是否存在一点E，使四边形ADCE是菱形，如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式6-3】（2022•山西模拟）综合与探究如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（4，0），点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．（1）求二次函数的表达式．（2）当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段PF=12EF，求此时点（3）试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型7二次函数中正方形的存在性问题】【例7】（2022•铁锋区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且OA＝20C，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB．（1）求抛物线解析式；（2）当点F与抛物线的顶点重合时，△ABF的面积为；（3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标．（4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【变式7-1】（2022•陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B(1，-94（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．【变式7-2】（2022秋•南宁期中）如图，抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴于点A（﹣1，0）、B（3，0），点P是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线上第一象限除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标；（3）若M、N为抛物线上两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为D、E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【变式7-3】（2022•南充）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【题型8二次函数中角度问题的存在性问题】【例8】（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．（1）求抛物线解析式；（2）连接BE，求△BCE的面积；（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【变式8-1】（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（-12，0），B（3，72）两点，与y（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式8-2】（2022•运城二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于点A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线PE∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角△PDF．（1）求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式；（2）设点P的横坐标为m（0＜m＜3），在点P运动的过程中，当等腰直角△PDF的面积为9时，请求出m的值；（3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使∠ACO+∠BCM＝∠ABC，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．【变式8-3】（2022•罗湖区校级一模）如图，已知抛物线y=-13x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、（1）求抛物线的表达式；（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．专题22.8二次函数中的存在性问题【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二次函数中直角三角形的存在性问题】 1【题型2二次函数中等腰三角形的存在性问题】 10【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 21【题型4二次函数中平行四边形的存在性问题】 35【题型5二次函数中矩形的存在性问题】 42【题型6二次函数中菱形的存在性问题】 56【题型7二次函数中正方形的存在性问题】 68【题型8二次函数中角度问题的存在性问题】 78【题型1二次函数中直角三角形的存在性问题】【例1】（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，解二元一次方程组即可得b，c的值，令y＝0即可得m的值；（2）设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出四边形DEFG的周长，根据二次函数的最值即可求解；（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK，根据全等三角形的性质得NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，则N（﹣4，3），利用待定系数法可得直线BN的解析式为y=-13x+53，可得Q（0，53），设P（2，p），利用勾股定理表示出PQ2、BP2、BQ2【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，得-1-b+c=0c=5解得b=4c=5∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0），∴m＝5；（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），∵DE∥x轴，∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，∴四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，∴∠NKC＝∠MHC＝90°，由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，∵B（5，0），C（0，5）．∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥对称轴于H，∴CH∥x轴，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），设直线BN的解析式为y＝mx+n，∴-4m+n=35m+n=0，解得m=-∴直线BN的解析式为y=-13x∴Q（0，53设P（2，p），∴PQ2＝22+（p-53）2＝p2-10BP2＝（5﹣2）2p2＝9+p2，BQ2＝52+（53）2＝25+分两种情况：①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，∴9+p2＝p2-103p+619+25∴点P的坐标为（2，233②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，∴p2-103p+619=9+p2∴点P′的坐标为（2，﹣9）．综上，所有符合条件的点P的坐标为（2，233【变式1-1】（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-36x2+233x+23与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）令x＝0，y＝0，可分别求出A、B、C三点坐标，在求出函数的对称轴即可求D点坐标，利用待定系数法求直线解析式即可；（2）设E（t，-3t+23），分三种情况讨论：①当∠CAE＝90°时，AC2+AE2＝CE2，②当∠ACE＝90°时，AC2+CE2＝AE2，③当∠AEC＝90°时，AE2+CE2＝AC2【解答】解：（1）令y＝0，则-3解得x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），令x＝0，则y＝23，∴C（0，23），∵y=-36x2+2∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴D（2，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴b=23解得k=-3∴y=-3x+23（2）在点E，使△ACE为直角三角形，理由如下：设E（t，-3t+23∴AC2＝16，AE2＝4t2﹣8t+16，CE2＝4t2，①当∠CAE＝90°时，AC2+AE2＝CE2，∴16+4t2﹣8t+16＝4t2，∴t＝4，∴E（4，23）；②当∠ACE＝90°时，AC2+CE2＝AE2，∴16+4t2＝4t2﹣8t+16，∴t＝0（舍）；③当∠AEC＝90°时，AE2+CE2＝AC2，∴4t2﹣8t+16+4t2＝16，∴t＝0（舍）或t＝1，∴E（1，3）；综上所述：E点坐标为（4，23）或（1，3）．【变式1-2】（2022秋•日喀则市月考）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．（1）求M点的坐标；（2）求△MBC的面积；（3）坐标轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，即可求顶点M；（2）过点M作ME⊥y轴于点E，由S△MBC＝S四边形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC求解即可；（3）分三种情况讨论：①当C为直角顶点时，作CN1⊥BC交坐标轴为N1，OB＝ON1＝5，则N1（﹣5，0）；②当B为直角顶点时，作BN2⊥BC交坐标轴为N2，OC＝ON2＝5，则N1（0，﹣5）；③当N为直角顶点时，点O与N3重合，则N3（0，0）．【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴M（2，9）；（2）令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，解得x＝﹣1或x＝5，∴A（﹣1，0），B（5，0），令x＝0，得y＝﹣x2+4x+5＝5，∴C（0，5），过点M作ME⊥y轴于点E，∴S△MBC＝S四边形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC=1（3）存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：∵OB＝OC＝5，∠COB＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴△BOC是等腰直角三角形，①当C为直角顶点时，作CN1⊥BC交坐标轴为N1，∠CN1B＝∠CBN1＝45°，∴OB＝ON1＝5，∴N1（﹣5，0）；②当B为直角顶点时，作BN2⊥BC交坐标轴为N2，∠CN2B＝∠BCN2＝45°，∴OC＝ON2＝5，∴N1（0，﹣5）；③当N为直角顶点时，点O与N3重合，∴N3（0，0）．综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣5，0）或（0，﹣5）或（0，0）．【变式1-3】（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设y＝（x﹣2）2+k，用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，设P（m，m2﹣4m﹣5），根据∠PAB＝45°知AM＝PM，即|m2﹣4m﹣5|＝m+1，解得m的值，即可得P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）由y＝x2﹣4x﹣5求出B（5，0），C（0，﹣5），设Q（2，t），有BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，分三种情况：当BC为斜边时，9+t2+4+（t+5）2＝50，当BQ为斜边时，50+4+（t+5）2＝9+t2，当CQ为斜边时，50+9+t2＝4+（t+5）2，分别解得t的值，即可求出相应Q的坐标．【解答】解：（1）设y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：（﹣1﹣2）2+k＝0，解得：k＝﹣9，∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，答：抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，如图：设P（m，m2﹣4m﹣5），则PM＝|m2﹣4m﹣5|，∵A（﹣1，0），∴AM＝m+1∵∠PAB＝45°∴AM＝PM，∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），当m2﹣4m﹣5＝m+1时，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合题意，舍去），当m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合题意，舍去），∴P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，∴B（5，0），C（0，﹣5），由抛物线y＝x2﹣4x﹣5的对称轴为直线x＝2，设Q（2，t），∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，当BC为斜边时，BQ2+CQ2＝BC2，∴9+t2+4+（t+5）2＝50，解得t＝﹣6或t＝1，∴此时Q坐标为（2，﹣6）或（2，1）；当BQ为斜边时，BC2+CQ2＝BQ2，∴50+4+（t+5）2＝9+t2，解得t＝﹣7，∴此时Q坐标为（2，﹣7）；当CQ为斜边时，BC2+BQ2＝CQ2，∴50+9+t2＝4+（t+5）2，解得t＝3，∴此时Q坐标为（2，3）；综上所述，Q的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．【题型2二次函数中等腰三角形的存在性问题】【例2】（2022•沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移32个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M【分析】（1）用待定系数法直接可得抛物线的函数表达式；（2）过点G作GH⊥PE于H，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，则AC⊥BC，由EG⊥BC得AC＝BG，根据等角的余角相等得∠ACO＝∠GEH，证明△ACO≌△GEH，可得GH＝AO＝1，用待定系数法求出直线BC为y=-12x+2，根据AD∥BC得直线AD为y=-12x-12，设P（m，-12m2+32m+2），则E（m，-12m-12），从而得PE=-12m2+2（3）求出点D的坐标D（5，﹣3），设点M的坐标为（3，t），可得BD2＝（5﹣4）2+32＝10，BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，分两种情况：①当BD＝BM时，②当BD＝MD时，根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx+2得：16a+4b+2=0a-b+2=0，解得a=-∴抛物线的函数表达式为y=-12x2+（2）过点G作GH⊥PE于H，∵抛物线y=-12x2+32x+2交∴C（0，2），∵A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，AC=12+22=∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AD∥BC，EG⊥BC，∴AC＝BG=5∵PE∥y轴，∴∠OCG＝∠EFG，∵∠ACO+∠OCG＝90°，∠GEH+∠EFG＝90°，∴∠ACO＝∠GEH，∵∠AOC＝∠GHE＝90°，∴△ACO≌△GEH（AAS），∴GH＝AO＝1，设直线BC为y＝kx+n，将C（0，2），B（4，0）代入得：4k+n=0n=2，解得k=-∴直线BC为y=-12∵AD∥BC，A（﹣1，0），∴直线AD为y=-12x设P（m，-12m2+32m+2），则E（m，∴PE=-12m2+2m∴△PEG面积为12PE•GH=-14m2+m+54=-∵-1∴m＝2时，△PEG面积的最大值为94此时点P的坐标为（2，3）；（3）∵抛物线y=-12x2+32x+2=-12（x-32）2+258水平向右平移3∴y1的对称轴为x＝3，联立直线AD为y=-12x-12，抛物线y=-12x2+∴D（5，﹣3），设点M的坐标为（3，t），∴BD2＝（5﹣4）2+32＝10，BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，①当BD＝BM时，∴BD2＝BM2，∴1+t2＝10，∴t＝±3，∴点M的坐标为（3，3）或（3，﹣3），∵点（3，3）与B，D共线，∴点M的坐标为（3，﹣3）；②当BD＝MD时，∴BD2＝MD2，∴t2+6t+13＝10，∴t＝﹣3±6，∴点M的坐标为（3，﹣3+6）或（3，﹣3-综上所述，点M的坐标为（3，﹣3）或（3，﹣3+6）或（3，﹣3-【变式2-1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式；（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，13t2+23t﹣1），N（t，0），分别求出MN（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分来两种情况讨论：①当EG＝EF时，22=(x+2)2+1，可得F（7-2，0）或（-7-2，0）；②当【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴9a-6a+c=0c=-1解得a=1∴y=13x2+在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴G（0，﹣3）；（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，13t2+23t﹣1），N∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM=13t2+23t﹣1﹣（t2+2t﹣3）=-2∴MNDM（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，∴E（﹣2，﹣1），设F（x，0），①当EG＝EF时，∵G（0，﹣3），∴EG＝22，∴22=解得x=7-2或x∴F（7-2，0）或（-②当EG＝FG时，22=此时x无解；综上所述：F点坐标为（7-2，0）或（-【变式2-2】（2022秋•永嘉县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴正半轴，x轴正半轴上两动点，OA＝2k，OB＝2k+3，以AO，BO为邻边构造矩形AOBC，抛物线y=-34x2+3x+k交y轴于点D，P为顶点，PM（1）求OD，PM的长（结果均用含k的代数式表示）．（2）当PM＝BM时，求该抛物线的表达式．（3）在点A在整个运动过程中，若存在△ADP是等腰三角形，请求出所有满足条件的k的值．【分析】（1）点D在y=-34x2+3x+k上，且在y轴上，即y＝0求出点（2）先用k表示出相关的点的坐标，根据PM＝BM建立方程即可；（3）先用k表示出相关的点的坐标，根据△ADP是等腰三角形，分三种情况，AD＝AP，DA＝DP，PA＝PD计算；【解答】解：（1）把x＝0，代入y=-34x2+∴y＝k．∴OD＝k．∵4ac-b2∴PM＝k+3；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，∴OM＝2，BM＝OB﹣OM＝2k+3﹣2＝2k+1．又∵PM＝k+3，PM＝BM，∴k+3＝2k+1，解得k＝2．∴该抛物线的表达式为y=-34x（3）①当点P在矩形AOBC外部时，如图1，过P作PK⊥OA于点K，当AD＝AP时，∵AD＝AO﹣DO＝2k﹣k＝k，∴AD＝AP＝k，KA＝KO﹣AO＝PM﹣AO＝k+3﹣2k＝3﹣kKP＝OM＝2，在Rt△KAP中，KA2+KP2＝AP2∴（3﹣k）2+22＝k2，解得k=13②当点P在矩形AOBC内部时，当AP＝AD时，同法可得（k﹣3）2+22＝k2，解得k=13当PD＝AP时，过P作PH⊥OA于H，AD＝k，HD=12k，HO＝DO+HD又∵HO＝PM＝k+3，∴3k2=解得k＝6．当DP＝DA时，过D作PQ⊥PM于Q，PQ＝PM﹣QM＝PM﹣OD＝k+3﹣k＝3DQ＝OM＝2，DP＝DA＝k，在Rt△DQP中，DP=D∴k＝PD=13故k=136或6或【变式2-3】（2022•杭州校级自主招生）如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴上，且AC＝BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）求A点坐标并求抛物线的解析式；（3）若点P在x轴下方且在抛物线对称轴上的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．【分析】（1）本题须根据二次函数的对称轴公式即可求出结果．（2）本题须先求出C点的坐标，再根据BC两点关于对称轴x=52对称，求出B点的坐标，设A点坐标（m，0），求出m即可得出点（3）本题须先根据题意画出图形，再分别根据图形求出相应的点P的坐标即可．【解答】解：（1）y＝ax2﹣5ax+4，对称轴：x=--5a（2）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y上，且AC＝BC，令x＝0，y＝4，可知C点坐标（0，4），BC∥x轴，所以B点纵坐标也为4，又∵BC两点关于对称轴x=5即：xB+02xB＝5，∴B点坐标（5，4）．A点在x轴上，设A点坐标（m，0），AC＝BC，即AC2＝BC2，AC2＝42+m2，BC＝5，∴42+m2＝52，∴m＝±3，∴A点坐标（﹣3，0），将A点坐标之一（﹣3，0）代入y＝ax2﹣5ax+4，0＝9a+15a+4，a=-1y=-16x2+将A点坐标是（3，0），则与A在x轴的负半轴矛盾，故舍去．故函数关系式为：y=-16x2+（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．过点B作BQ⊥x轴于Q，易得BQ＝4，AQ＝8，AN＝5.5，BM=5①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P1AB．∴AB2＝AQ2+BQ2＝82+42＝80（8分）在Rt△ANP1中，P1N=A∴P1（52，-②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB．在Rt△BMP2中MP2==80-=295∴P2＝（52，8-③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，显然Rt△P3CK∽Rt△BAQ．∴P3∵P3K＝2.5∴CK＝5于是OK＝1，∴P3（2.5，﹣1）．④以B为顶点时，交于x轴上方，求得P（52，8+【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【例3】（2022•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法，将B，C的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，即可求得二次函数的解析式；（2）设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，xM=-b2a=2，可得△OBC是等腰直角三角形，求得点M′的坐标为（5，3），由﹣（3）设Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），分三种情况讨论，O，P，Q分别为等腰直角三角形的顶点，分别作出图形，构造全等三角形，利用全等的性质，建立方程，解方程求解即可．【解答】解：（1）∵点B（5，0），C（0，5）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴-52+5b+c=0∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，∵点E是点D关于直线BC的对称点，点E落在抛物线上，∴直线FM′与抛物线的交点E1，E2为D1，D2落在抛物线上的对称点，∵对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，∴xM∴点M的坐标为（2，0），∵点C的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0），∴OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∴△MBF是等腰直角三角形，∴MB＝MF，∴点F的坐标为F（2，3），∵点M关于直线BC的对称点为点M′，∴BM′＝BM，∠MBM′＝90°，∴△MBM′是等腰直角三角形，∴BM′＝BM＝3，∴点M′的坐标为（5，3），∴FM′∥x轴，∴﹣x2+4x+5＝3，解得，x1=2+6，x2=2-∴E1（2+6，3），E2（2-∴点E的坐标为（2+6，3）或（2-（3）存在，Q1（3+372，-1+372），Q2（3+352，-5+3设Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），①当OP＝PQ，∠OPQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴，交PL于K，∴∠LPO＝90°﹣∠LOP＝90°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝90°，∴∠LOP＝∠KPQ，∵OP＝PQ，∴△LOP≌△KPQ（AAS），∴LO＝PK，LP＝QK，∴p-(-m解得m1=3+352，m当m1=3+352时，﹣m2+4m∴Q（3+352，②当QO＝PQ，∠PQO＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，同理可得△PKQ≌△QTO（AAS），∴QT＝PK，TO＝QK，∴m-2=-m解得m1=3+372，m当m1=3+372时，﹣m2+4m∴Q（3+372，③当QO＝OP，∠POQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，同理可得△OLP≌△QSO（AAS），∴SQ＝OL，SO＝LP，∴-m解得m1＝2+7，m2＝2-当m1＝2+7时，﹣m2+4m∴Q（2+7综上，Q1（3+372，-1+372），Q2（3+352，-5+3【变式3-1】（2022•碑林区校级三模）已知抛物线C1：y=14x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为（1）求抛物线C1的表达式和点D的坐标；（2）将抛物线C1沿x轴平移m（m＞0）个单位长度，所得新的抛物线记作C2，C2的顶点为D′，与抛物线C1交于点E，在平移过程中，是否存在△DED′是等腰直角三角形？如果存在，请求出满足条件的抛物线C2的表达式，并写出平移过程；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可以把A（﹣2，0），C（0．﹣3）代入y=14x2+bx+c，可得C1的解析式，从而可以求的顶点（2）求出抛物线C2的顶点D′，两个抛物线交点为点E，且△DED′是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性质，用m分别表示出点E的横纵坐标，然后代入到C1的解析式中求出m．【解答】解：（1）由题意知：抛物线C1过点A（﹣2，0），点C（0，﹣3），将A、C的坐标代入y=14x2+bx+可得：14解得：b=-1c=-3∴抛物线C1的解析式为：y=14x2﹣∴抛物线C1的对称轴为直线x＝2，当x＝2时，y＝﹣4，∴顶点D的坐标为（2，﹣4）；（2）存在，将抛物线C1向左平移8个单位长度得到抛物线C2：y=14x2+3将抛物线C1向右平移8个单位长度得到抛物线C2：y=14x2﹣5理由如下：∵沿着x轴向右平移，D′坐标为（2+m，﹣4），过E作DD′的垂线，交DD′垂足为M，两个图象总关于EM对称，∴DE＝D′E，∴要使得△DED′是等腰直角三角形，只要再满足∠DED′＝90°即可，∵△DED′是等腰直角三角形，且EM⊥DD′，∴DD′＝2EM，M为DD′中点∵点M为DD′中点，所以M（2+12∴点E的横坐标为2+12设点E的坐标为（2+12m，则EM＝y﹣（﹣4）＝y+4，DD′＝m，∴m＝2（y+4），即y=12∴点E的坐标为（2+12m，1又点E在抛物线C1上，∴12m﹣4=14（2+12m）解得m＝0或8，又∵m＞0，∴m＝8，∴抛物线C2的解析式为：y=14（x﹣8）2﹣（x﹣8）﹣3=14x即将抛物线C1向右平移8个单位长度得到抛物线C2：y=14x2﹣5同法可得，将抛物线C1向左平移8个单位长度得到抛物线C2：y=14x2+3【变式3-2】（2022•琼海二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，运用待定系数法可得直线AF的解析式为y=43x﹣4，设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，43t﹣4），利用三角形面积公式可得S△AFP=12PQ•OA=12（﹣t2+23t（3）设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），分两种情况：①当AP＝AF，∠PAF＝90°时，②当AP＝PF，∠APF＝90°时，分别讨论计算即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），∴9a+3b+3=0a-b+3=0解得：a=-1b=2∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，设直线AF的解析式为y＝kx+d，∵A（3，0），F（0，﹣4），∴3k+d=0d=-4解得：k=4∴直线AF的解析式为y=43设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，43t∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（43t﹣4）＝﹣t2+2∴S△AFP=12PQ•OA=12（﹣t2+23t+7）×3=-3∵-32＜∴当t=13时，△AFP面积的最大值为（3）设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），∵A（3，0），∴OA＝3，OF＝|n|，①当AP＝AF，∠PAF＝90°时，如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，则∠ADP＝90°＝∠AOF，∴∠PAD+∠APD＝90°，∵∠PAD+∠FAO＝90°，∴∠APD＝∠FAO，在△APD和△FAO中，∠ADP=∠AOF∠APD=∠FAO∴△APD≌△FAO（AAS），∴PD＝OA，AD＝OF，∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，∴﹣m2+2m+3＝3，解得：m＝0或2，当m＝0时，P（0，3），AD＝3，∴OF＝3，即|n|＝3，∵点F在y的负半轴上，∴n＝﹣3，∴F（0，﹣3）；当m＝2时，P（2，3），AD＝1，∴OF＝1，即|n|＝1，∵点F在y的负半轴上，∴n＝﹣1，∴F（0，﹣1）；②当AP＝PF，∠APF＝90°时，如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，PG⊥y轴于点G，则∠PDA＝∠PDO＝∠PGF＝90°，∵∠PDO＝∠PGF＝∠DOG＝90°，∴四边形PDOG是矩形，∴∠FPG+∠FPD＝90°，∵∠APD+∠FPD＝∠APF＝90°，∴∠FPG＝∠APD，在△FPG和△APD中，∠PGF=∠PDA∠FPG=∠APD∴△FPG≌△APD（AAS），∴PG＝PD，FG＝AD，∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，PG＝m，∴﹣m2+2m+3＝m，解得：m=1-132（舍去）或当m=1+132时，P（1+∴FG＝AD＝3﹣m＝3-1+∴F（0，13-综上所述，点F的坐标为（0，﹣3）或（0，﹣1）或（0，13-【变式3-3】（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；（2）过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴1+b+c=0c=3，解得b=-4∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG=12PG=12×3×（﹣m2=-32（m2﹣5=-32（m-52∵-3∴当m=52时，△此时，P点坐标为（52，-（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点DM，交AE于点N，则E（2，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m=5+52∴P的坐标为（5-52，②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1=3+52（舍）或m∴P的坐标为（3-52，③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m=3+52或mP的坐标为（3+52，④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m=5+52P的坐标为：（5+52，综上所述，点P的坐标是：（5-52，1-52）或（3-52，5+12）或（【题型4二次函数中平行四边形的存在性问题】【例4】（2022•垦利区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，点D的坐标是（-32，3（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将B（1.0），A（﹣3.0）代入y＝ax2+bx+3，即可求解析式；（2）求出直线AC的解析式，即可知D（m．m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），再求S△ACE=12×3×（﹣m2﹣3m）=-32（m（3）设Q（n，t），分①当BC为平行四边形的对角线时，②当BE为平行四边形的对角线时，③当BQ为平行四边形的对角线时三种情况求解即可．【解答】解：（1）∵点B（1，0），，AB＝4，∴A（﹣3，0），将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，∴z+b+3=09a-3b+3=0解得：a=-1b=-2∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由（1）知，C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b′（k≠0），则-3k+b'=0b'=3解得：k=1b'=3∴直线AC的解析式为y＝x+3，∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），∴DE＝﹣m2﹣3m，∴S△ACE==12×3×（﹣m2﹣3m）=-32（m∴当x=-32时，S△∴D（-32，故答案为：（-32，（3）解：存在，理由如下：∵m＝﹣2，∴E（﹣2.3），设Q（n．t），如图：①当BC为平行四边形对角线时，1+0=-2+n0+3=3+t解得：n=3t=0∴Q1（3，0）；②当BE为平行四边形对角线时，则1-2=0+n0+3=3+t解得：n=-1t=0∴Q2（﹣1，0）；③当BQ为平行四边形对角线时，则1+n=0-20+t=3+3解得：n=-3t=6∴Q3（﹣3，6）．综上所述，当点Q为（3，0）或（﹣1，0）或（﹣3，6）时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形．【变式4-1】（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；【分析】（1）由待定系数法求函数的解析式即可；（2）①求出直线BO的解析式，过点P作PG⊥x轴交BO于点G，可得E（t，﹣t）再由S=-32（t+32②设E（﹣1，m），根据平行四边形对角线的情况，分三种情况讨论：当AO为平行四边形的对角线时，当AP为平行四边形的对角线时，当AE为平行四边形的对角线时；利用中点坐标公式求解即可；【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，将A（﹣2，0），B（﹣3，3）代入，∴4a-2b=09a-3b=3解得a=1b=2∴y＝x2+2x，∴C（﹣1，﹣1）；（2）①∵P的横坐标为t，∴P（t，t2+2t），设直线BO的解析式为y＝kx，∴﹣3k＝3，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x，过点P作PG⊥x轴交BO于点G，∴E（t，﹣t）∴PG＝﹣t﹣t2﹣2t＝﹣t2﹣3t，∴S=12×3×（﹣t2﹣3t）=-32（t∵﹣3＜t＜0，∴t=-32时，S有最大值②∵y＝x2+2x，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设E（﹣1，m），当AO为平行四边形的对角线时，-2=t-10=解得t=-1m=1∴P（﹣1，﹣1）；当AP为平行四边形的对角线时，t-2=-1t解得t=1m=3∴P（1，3）；当AE为平行四边形的对角线时，-2-1=tm=解得t=-3m=3∴P（﹣3，3）；综上所述：P点坐标为（﹣1，﹣1）或（1，3）或（﹣3，3）；【变式4-2】（2022•福山区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）若点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形．若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求得C（0，3），再利用待定系数法求解即可；（2）设出直线BC的函数表达式，再利用待定系数法求解即可；（3）设p（a，a2﹣2a﹣3），因为PQ⊥x轴交直线BC于点Q，所以Q（a，a﹣3），因为PQ∥ED，所以当PQ＝ED时，E、D、P、Q为平行四边形，据此即可解答．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），OC＝3OA，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），把点A（﹣1，0）、C（0，﹣3）和B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，a-b+c=09a+3b+c=0解得：a=1b=-2∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线BC解析式为：y＝kx+b，把B（3，0）、C（0，﹣3）代入得：3k+b=0b=-3解得：k=1b=-3∴y＝x﹣3；（3）存在，设p（a，a2﹣2a﹣3），∴Q（a，a﹣3），∵抛物线的顶点为D，∴D（1，﹣4），∵E（1，0），∴|PQ|＝|yQ﹣yP|＝|a2﹣3a|，PQ∥ED，若E、D、P、Q为平行四边形，∴PQ＝ED，∵D（1，﹣4），E（1，0），∴ED＝4，PQ＝4，∴|a2﹣3a|＝4，∴a2﹣3a＝4或a2﹣3a＝﹣4，当a2﹣3a＝4时，解得：a1＝4，a2＝﹣1；当a2﹣3a＝﹣4，时，Δ＜0，无解，∴P1（4，5），P2（﹣1，0），∴存在，点P坐标为（4，5）或（﹣1，0）．【变式4-3】（2022•青羊区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）由PD∥OC，可得∠PEF＝∠ACO＝45°，故△PEF是等腰直角三角形，如图1，过点F作FH⊥PE于点H，则FH=12PE，可得：S△PEF=12×PE×FH=14PE2，当PE最大时，S△PEF最大，利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（t，t+3），可得PE＝﹣（t（3）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（-32，32），设点P【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴设y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入，得：3＝a×（0+3）×（0﹣1），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，OC⊥AB，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，如图1，过点F作FH⊥PE于点H，则FH=12∴S△PEF=12×PE×FH=当PE最大时，S△PEF最大，设直线AC的解析式为y＝kx+d，则-3k+d=0d=3解得：k=1d=3∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（t，t+3），∴PE＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+32）2∵﹣1＜0，∴当t=-32时，PE取得最大值∴S△PEF=14PE2=14×（∴△PEF的面积的最大值为8164（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，∠PGQ=∠AOC∠PQG=∠ACO∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（-32，∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（-3∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．【题型5二次函数中矩形的存在性问题】【例5】（2022•齐齐哈尔三模）综合与实践如图，二次函数y＝﹣x2+c的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，2），过点A、C的直线交二次函数的图象于点D．（1）求二次函数和直线AC的函数表达式；（2）连接DB，则△DAB的面积为6；（3）在y轴上确定点Q，使得∠AQB＝135°，点Q的坐标为（0，22-2）或（0，2﹣22）（4）点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法可求出c的值，进而可得出二次函数的表达式，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，再由点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线AC的函数表达式；（2）联立直线AC和抛物线的函数表达式可求出点D的坐标，再结合点A，B的坐标，利用三角形的面积计算公式，即可求出△DAB的面积；（3）当点Q在y轴正半轴轴时，过点Q作QE⊥AC于点E，根据各角之间的关系可得出AQ平分∠OAC，利用角平分线的性质及面积法，可求出OQ的长，进而可得出点Q的坐标；当点Q在y轴负半轴时，利用对称性可得出点Q的坐标；（4）连接BC，则AD⊥BC，分四边形ADMN为矩形及四边形ADNM为矩形两种情况考虑：①当四边形ADMN为矩形时，利用平行线的性质及待定系数法可求出直线DM的函数表达式，联立后可求出点M的坐标，再利用矩形的性质可求出点N的坐标；②当四边形ADNM为矩形时，利用平行线的性质及待定系数法可求出直线AM的函数表达式，联立后可求出点M的坐标，再利用矩形的性质可求出点N的坐标．【解答】解：（1）将B（2，0）代入y＝﹣x2+c得：0＝﹣4+c，解得：c＝4，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+4．当y＝0时，﹣x2+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2，∴点A的坐标为（﹣2，0）．设直线AC的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣2，0），C（0，2）代入y＝kx+b得：-2k+b=00+b=2解得：k=1b=2∴直线AC的函数表达式为y＝x+2．（2）联立直线AC和抛物线的函数表达式得：y=x+2y=-解得：x1=-2y∴点D的坐标为（1，3），∴S△ABD=1故答案为：6．（3）当点Q在y轴正半轴轴时，过点Q作QE⊥AC于点E，如图1所示．∵点A，B关于y轴对称，∴AQ＝BQ，∵∠AQB＝135°，∴∠BAQ=1∵点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，2），∴OA＝OC＝2，∴∠OAC=12（180°﹣90°）＝45°，AC=2OA∴∠CAQ＝∠OAC﹣∠BAQ＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BAQ，∴AQ平分∠OAC，∴OQ＝EQ．∵S△ACQ=