2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题22.10 二次函数解析式的确定【六大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题22.10二次函数解析式的确定【六大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用一般式确定二次函数解析式】 1【题型2利用顶点式确定二次函数解析式】 2【题型3利用两根式确定二次函数解析式】 3【题型4利用平移变换确定二次函数解析式】 4【题型5利用对称变换确定二次函数解析式】 6【题型6二次函数解析式的确定（条件开放性）】 7【知识点1】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值.【题型1利用一般式确定二次函数解析式】【例1】（2022秋•闽侯县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足下表：x…﹣1012345…y…3.51﹣0.5﹣1﹣0.513.5…（1）求这个二次函数的解析式；（2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线；（3）直接写出，当x取什么值时，y＞0？【变式1-1】（2022秋•淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式．【变式1-2】（2022秋•大连期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（2，0），（4，2）两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．【变式1-3】（2022秋•上城区期中）已知二次函数y1＝ax2+bx+c，过（1，﹣32），在x＝﹣2时取到最大值，且二次函数的图象与直线y2＝x+1交于点P（m，0）．（1）求m的值；（2）求这个二次函数解析式；（3）求y1大于y2时，x的取值范围．【知识点2】若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x=h，最值为当x=h时，y最值=k来求出相应的系数.【题型2利用顶点式确定二次函数解析式】【例2】（2022秋•长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该图象的顶点坐标；（3）观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．【变式2-1】（2022秋•西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x轴两交点间的距离是6．求抛物线解析式．【变式2-2】（2022秋•凉州区校级月考）已知某二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为.（直接写出答案）【变式2-3】（2022秋•汉滨区校级月考）已知抛物线顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线的解析式．（2）求△ABC的面积．【知识点3】已知图像与x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．【题型3利用两根式确定二次函数解析式】【例3】（2022•包头）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且图象经过点C（0，﹣3），求这个二次函数的解析式．【变式3-1】（2022秋•温州校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点为D．（1）求此二次函数的解析式．（2）求点D的坐标及△ABD的面积．【变式3-2】（2022春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．【知识点4】将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．【题型4利用平移变换确定二次函数解析式】【例4】（2022秋•宜春期末）在平面直角坐标系中，抛物线N过A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三点（1）求该抛物线和直线AB的解析式；（2）平移抛物线N，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：①平移后抛物线的顶点在直线AB上；②设平移后抛物线与y轴交于点C，如果S△ABC＝3S△ABO．【变式4-1】（（2022秋•河东区校级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+3．（1）求抛物线的顶点坐标，对称轴；（2）当x＝时，y随x的增大而减小；（3）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在x轴上截取的线段长为4，求平移后的抛物线解析式．【变式4-2】（2022秋•长葛市校级月考）已知直线y＝x+1与x轴交于点A，抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合．（1）求平移后的抛物线C的解析式；（2）若点B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线C上，且-12＜x1＜x2，试比较y1，【变式4-3】（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．【知识点5】根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【题型5利用对称变换确定二次函数解析式】【例5】（2022•莲湖区二模）已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．【变式5-1】（2022秋•淮南月考）已知抛物线y＝x2+2x﹣1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式．【变式5-2】（2022秋•南京期末）已知二次函数的图象如图所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为；（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为．【变式5-3】（2022•雁塔区校级模拟）已知抛物线L：y＝ax2﹣2x﹣3a与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，点D为抛物线L的顶点，抛物线L′与L关于y轴对称．（1）求抛物线L的表达式；（2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PBC的面积等于四边形OCDB的面积？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【知识点6】此类题目只给出一些条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．【题型6二次函数解析式的确定（条件开放性）】【例6】（2022•林州市一模）已知二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，且图象不经过原点，请写出一个符合条件的二次函数解析式．【变式6-1】（2022•虹口区二模）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是．【变式6-2】（2022秋•二道江区校级月考）老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限；乙：当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大；丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点；已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数．【变式6-3】（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式：．专题22.10二次函数解析式的确定【六大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用一般式确定二次函数解析式】 1【题型2利用顶点式确定二次函数解析式】 4【题型3利用两根式确定二次函数解析式】 8【题型4利用平移变换确定二次函数解析式】 10【题型5利用对称变换确定二次函数解析式】 14【题型6二次函数解析式的确定（条件开放性）】 18【知识点1】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值.【题型1利用一般式确定二次函数解析式】【例1】（2022秋•闽侯县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足下表：x…﹣1012345…y…3.51﹣0.5﹣1﹣0.513.5…（1）求这个二次函数的解析式；（2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线；（3）直接写出，当x取什么值时，y＞0？【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式．（2）描点、连线画出图象即可；（3）令y＝0，解方程求得抛物线与x轴交点的横坐标，根据图象即可求得．【解答】解：（1）由已知可得，二次函数y＝ax2+bx+c经过点（2，﹣1），（0，1），（4，1）则4a+2b+c=-1c=1解得：a=1∴二次函数解析式为y=12x2﹣2（2）用描点法画出函数图象，如图所示：（3）令y＝0，则12x2﹣2x解得：x1＝2-2，x2＝2+由图象知，当x＞2+2或x＜2-2时，【变式1-1】（2022秋•淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式．【分析】先设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（﹣1，10）、（1，4）、（0，3）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，进而可得函数解析式．【解答】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据题意，得a-b+c=10a+b+c=4解得a=4b=-3∴所求二次函数解析式为y＝4x2﹣3x+3．【变式1-2】（2022秋•大连期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（2，0），（4，2）两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．【分析】把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，可得二元一次方程组4+2b+c=0①16+4b+c=2②，解二元一次方程组可得b=-5c=6，即可求出二次函数解析式，再根据二次函数对称轴的公式x=-b2a，顶点坐标公式(-b2a，【解答】解：把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，得4+2b+c=0①16+4b+c=2②②﹣①，得2b＝﹣10，解得：b＝﹣5，把b＝5代入①中，得4+2×（﹣5）+c＝0，解得：c＝6，∴b=-5c=6∴这个二次函数的解析式y＝x2﹣5x+6，∴二次函数y＝x2﹣5x+6对称轴是直线x=-b由二次函数的顶点坐标公式（-b2a，二次函数y＝x2﹣5x+6顶点坐标：x=-b2a=5即（52【变式1-3】（2022秋•上城区期中）已知二次函数y1＝ax2+bx+c，过（1，﹣32），在x＝﹣2时取到最大值，且二次函数的图象与直线y2＝x+1交于点P（m，0）．（1）求m的值；（2）求这个二次函数解析式；（3）求y1大于y2时，x的取值范围．【分析】（1）将（m，0）代入直线解析式求解．（2）根据抛物线对称轴为直线x＝﹣2可得a与b的关系，再将（﹣1，0），（1，﹣32）代入抛物线解析式求解．（3）联立两方程，根据图象交点横坐标求解．【解答】解：（1）将（m，0）代入y2＝x+1得0＝m+1，解得m＝﹣1．（2）由题意可得抛物线对称轴为直线x=-b∴b＝4a，y＝ax2+4ax+c，把（1，﹣32），（﹣1，0）代入y＝ax2+4ax+c得-32=a解得a=-4∴y＝﹣4x2﹣16x﹣12．（3）令﹣4x2﹣16x﹣12＝x+1，解得x＝﹣1或x=-13∴抛物线与直线交点横纵标为﹣1和-13如图，∴-134＜x＜﹣1时，y1【知识点2】若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x=h，最值为当x=h时，y最值=k来求出相应的系数.【题型2利用顶点式确定二次函数解析式】【例2】（2022秋•长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该图象的顶点坐标；（3）观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣1，可设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，再通过待定系数法求解．（2）由抛物线顶点式求解．（3）根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0），（0，3）代入y＝a（x+1）2+k得0=4a+k3=a+k解得a=-1k=4∴y＝﹣（x+1）2+4．（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，4）．（3）∵抛物线经过（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线经过（1，0），∴﹣3＜x＜1时，y＞0．【变式2-1】（2022秋•西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x轴两交点间的距离是6．求抛物线解析式．【分析】由题意设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+9，抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣4，0）或（2，0），利用待定系数法即可解决问题．【解答】解：由抛物线顶点知，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，又与x轴交点间的距离为6，∴交点横坐标为﹣4与2，∴两个交点坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+9，把点（2，0）代入0＝9a+9，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+9．【变式2-2】（2022秋•凉州区校级月考）已知某二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为﹣4≤y≤0.（直接写出答案）【分析】（1）根据顶点坐标设y＝a（x+1）2﹣4，直接把点（1，0）代入即可得到二次函数的解析式；（2）把x＝﹣2和x＝1分别代入解析式，再根据顶点可得y的取值范围．【解答】解：（1）∵顶点为（﹣1，﹣4），∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入可得0＝a（1+1）2﹣4，解得a＝1，∴y＝（x+1）2﹣4；（2）当x＝﹣2时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝0，∵y的最小值是﹣4，∴y的取值范围是﹣4≤y≤0．故答案为：﹣4≤y≤0．【变式2-3】（2022秋•汉滨区校级月考）已知抛物线顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线的解析式．（2）求△ABC的面积．【分析】（1）已知了顶点C坐标，可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数，然后根据A点的坐标可求出二次函数的解析式；（2）先根据（1）中求出的二次函数的解析式，求出B点的坐标，然后可用待定系数法用B、A的坐标求出AB所在直线的解析式，求出对称轴与直线AB的交点D的坐标，求三角形CAB的面积转化为三角形BCD和三角形ACD面积之和即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，所以y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B点的坐标为（0，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得3k+b=0b=3解得：k=-1b=3∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设对称轴直线x＝1与直线AB相交与点D，∴当x＝1时，y＝2，∴D点坐标（1，2），所以CD＝4﹣2＝2，S△CAB＝S△BCD+S△ACD=1∴△ABC的面积为3．【知识点3】已知图像与x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．【题型3利用两根式确定二次函数解析式】【例3】（2022•包头）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且图象经过点C（0，﹣3），求这个二次函数的解析式．【分析】设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将（0，﹣3）代入解析式求解．【解答】解：∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得﹣3a＝﹣3，解得a＝1．∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3．【变式3-1】（2022秋•温州校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点为D．（1）求此二次函数的解析式．（2）求点D的坐标及△ABD的面积．【分析】（1）先设函数的交点式，然后将点A和点B代入函数解析式得到二次函数的一般式；（2）将二次函数的一般式化为顶点式，得到顶点D的坐标，然后求得△ABD的面积．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴点D的坐标为（1，﹣4），∴点D到AB的距离为4，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABD=1【变式3-2】（2022春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．【分析】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式．【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∴顶点坐标M（2，﹣1），（2）设直线CM的解析式为y＝kx+b，将C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：b=32k+b=-1∴k=-2b=3∴y＝﹣2x+3．【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．【分析】根据抛物线与x轴的交点（﹣1，0），（3，0）可设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点（1，﹣8）代入求得a即可．【解答】解：根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2，∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．25．二次函数的解析式y＝x2﹣5x+6，对称轴是直线x=52，顶点坐标是（【知识点4】将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．【题型4利用平移变换确定二次函数解析式】【例4】（2022秋•宜春期末）在平面直角坐标系中，抛物线N过A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三点（1）求该抛物线和直线AB的解析式；（2）平移抛物线N，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：①平移后抛物线的顶点在直线AB上；②设平移后抛物线与y轴交于点C，如果S△ABC＝3S△ABO．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线M和直线AB的解析式；（2）先求出直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+4），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t）2+t+4，接着表示出N（0，t2+t+4），利用三角形面积公式得到12•|t2+t+4﹣4|•（4+1）＝4×【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）代入得a-b+c=316a+4b+c=8c=0，解得∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x；设直线AB的解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，3），B（4，8）代入得-m+n=34m+n=8，解得m＝1，n∴直线AB的解析式为y＝x+4；（2）当x＝0时，y＝x+4＝4，则直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+4），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t）2+t+4，当x＝0时，y＝（0﹣t）2+t+4＝t2+t+4，则C（0，t2+t+4），∵S△ABC＝3S△ABO，∴12•|t2+t+4﹣4|•（4+1）＝3×即|t2+t|＝12，方程t2+t＝﹣12没有实数解，解方程t2+t＝12得t1＝﹣4，t2＝3，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+4）2或y＝（x﹣3）2+7．【变式4-1】（（2022秋•河东区校级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+3．（1）求抛物线的顶点坐标，对称轴；（2）当x＝＞1时，y随x的增大而减小；（3）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在x轴上截取的线段长为4，求平移后的抛物线解析式．【分析】（1）先把解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到物线的顶点坐标，对称轴；（2）根据二次函数的性质求解；（3）先设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx，再根据抛物线与x轴的交点问题求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（b2，0），利用两交点间的距离可计算出b【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，所以抛物线的顶点坐标为（1，5），对称轴为直线x＝1；（2）当x＞1时，y随x的增大而减小；故答案为＞1；（3）因为平移后的抛物线过原点，所以设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx，解方程﹣2x2+bx＝0得x1＝0，x2=所以平移后的抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（b2所以|b2|＝4，解得b所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+8x或y＝﹣2x2﹣8x．【变式4-2】（2022秋•长葛市校级月考）已知直线y＝x+1与x轴交于点A，抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合．（1）求平移后的抛物线C的解析式；（2）若点B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线C上，且-12＜x1＜x2，试比较y1，【分析】（1）求得A的坐标，然后根据平移的规律即可求得；（2）根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交于点A，∴A（﹣1，0），∵抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合，∴平移后的抛物线C的解析式是y＝﹣2（x+1）2；（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口向下，故当-12＜x1＜x2，y1＞【变式4-3】（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．【分析】（1）利用交点式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；（2）把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=-1【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；（2）平移方法有：①向下平移5个单位，得到：y＝﹣x2+4x﹣8，把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，∵顶点坐标（2，1）；∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为（2，﹣4）；②向左平移2.5个单位，得到：y＝﹣（x+0.5）2+1，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=-1∴向左平移2.5个单位，抛物线的顶点为（-1【知识点5】根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【题型5利用对称变换确定二次函数解析式】【例5】（2022•莲湖区二模）已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解得即可；（2）由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用待定系数法求得直线DD′的解析式，过点M作MN∥x轴，交DD′于N，利用S△DD′M＝S△MND′+S△MND，用m的代数式表示出S△DD′M，利用已知条件列出m的方程，解方程即可求得结论．【解答】解：（1）∵抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴a+b-3=09a-3b-3=0解得：a=1b=2∴抛物线W1的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∵将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，∴D′（﹣1，4），∴抛物线W2的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．如图，在坐标系中画出抛物线W2的图象，当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABC=1过点M作MN∥x轴，交DD′于N，∵D（1，﹣4），D′（﹣1，4），∴直线DD′为y＝﹣4x，设点M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（m2+2m-34，﹣m2∴MN=m2+2m-3∴S△DD′M=12×m2-2m-3∵△D'DM的面积等于△ABC的面积，∴m2﹣2m﹣3＝6．解得：m＝1±10．当m＝1+10时，﹣m2﹣2m+3＝﹣410当m＝1-10时，﹣m2﹣2m+3＝410∴M（1+10，﹣410-10）或（1-10【变式5-1】（2022秋•淮南月考）已知抛物线y＝x2+2x﹣1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式．【分析】求出顶点坐标关于原点对称的坐标，然后利用顶点式解析式写出，再整理成一般形式即可．【解答】解：抛物线y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2．所以其顶点（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（1，2），所以，抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x﹣+2，即y＝﹣x2+2x﹣+2．【变式5-2】（2022秋•南京期末）已知二次函数的图象如图所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜0；（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4．【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入得求出a即可；（2）计算自变量为﹣3、0对应的函数值，然后利用函数图象写出对应的函数值的范围；（3）利用关于x轴对称点的性质进而得出答案．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4；（2）当x＝﹣3时，y＝（﹣3+1）2﹣4＝0；当x＝0时，y＝﹣3；所以当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜0，故答案为﹣4≤y＜0；（3）∵函数y＝（x+1）2﹣4图象的顶点为（﹣1，﹣4），a＝1∴该函数的图象沿x轴翻折后得到的函数图象顶点为（﹣1，4），a＝﹣1∴翻折后得到的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，故答案为y＝﹣（x+1）2+4．【变式5-3】（2022•雁塔区校级模拟）已知抛物线L：y＝ax2﹣2x﹣3a与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，点D为抛物线L的顶点，抛物线L′与L关于y轴对称．（1）求抛物线L的表达式；（2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PBC的面积等于四边形OCDB的面积？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A点坐标代入y＝ax2﹣2a﹣3中求a的值，从而得到抛物线L的表达式；（2）连接OD，过P点作PQ∥y轴交直线BC于Q点，如图，解方程x2﹣2x﹣3＝0得B（3，0），再配方得y＝（x﹣1）2﹣4，则D（1，﹣4），利用关于y轴对称的点的坐标特征和顶点式得到抛物线L′的解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，设P（t，t2+2t﹣3），易得直线BC的解析式为y＝x﹣3，接着计算出四边形OCDB的面积为152，所以12×3×|t2+t|=152【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2a﹣3得a+2﹣3＝0，解得a＝1，∴抛物线L的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接OD，过P点作PQ∥y轴交直线BC于Q点，如图，y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∴点D关于y轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣4），∴抛物线L关于y轴对称的抛物线L′的解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，设P（t，t2+2t﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∵四边形OCDB的面积＝S△OCD+S△ODB=12×3×1+而PQ＝|t2+2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2+t|，∴S△PBC=12×3×|t2+t∴t2+t＝5或t2+t＝﹣5，解方程t2+t＝5得t1=-1+212，t方程t2+t＝5无实数解，∴P（-1+212，3+212）或（【知识点6】此类题目只给出一些条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．【题型6二次函数解析式的确定（条件开放性）】【例6】（2022•林州市一模）已知二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，且图象不经过原点，请写出一个符合条件的二次函数解析式y＝﹣x2+1．【分析】根据二次项系数小于零，图象开口向下，一次项系数等于零，图象的对称轴为y轴，常数项不等于零，图象不过原点，可得答案．【解答】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，且图象不经过原点，请写出一个符合条件的二次函数解析式y＝﹣x2+1，故答案为：y＝﹣x2+1．【变式6-1】（2022•虹口区二模）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一）．【分析】设二次函数解析式为y＝ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得到关于a、c的关系式，从而推知a、c的值．【解答】解：∵对称轴为y轴，∴设二次函数解析式为y＝ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得a+c＝﹣2，不防取a＝﹣1，c＝﹣1，得解析式为y＝﹣x2﹣1，答案不唯一．故答案为：y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一）．【变式6-2】（2022秋•二道江区校级月考）老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限；乙：当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大；丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点；已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数y＝（x﹣2）2﹣3．【分析】利用二次函数的性质可判断抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方，于是可设a＝1，c＝1，再利用二次函数的确定抛物线的对称轴为直线x＝2，然后利用函数的图象与坐标轴只有两个交点得到抛物线的顶点坐标为（2，0），再设顶点式求抛物线解析式．【解答】解：由函数的图象经过第一、二、四象限可判断抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方，可设a＝1，c＝1，因为当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而减大，则抛物线的对称轴为直线x＝2，由函数的图象与坐标轴只有两个交点，则抛物线的顶点坐标为（2，0），所以抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+m，把（0，1）代入得1＝4+m，解得m＝﹣3，即抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣3．故答案为y＝（x﹣2）2﹣3．【变式6-3】（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式：y＝x2﹣2x+4．【分析】抛物线y＝（x﹣1）2+1向上或向下平移2个单位求解．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+1向上平移2个单位可得抛物线y＝（x﹣1）2+1y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，故答案为：y＝x2﹣2x+4．第22章二次函数章末题型过关卷【人教版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022秋•长汀县校级月考）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2 C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大 D．当x≥2时，y的值随x值的增大而增大2．（3分）（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）3．（3分）（2022•浦东新区二模）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜04．（3分）（2022秋•环翠区期中）已知a＞0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝﹣ax2的图象有可能是（）A． B． C． D．5．（3分）（2022•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣16．（3分）（2022•黄石）以x为自变量的二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A．b≥54 B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤7．（3分）（2022•北京一模）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（）A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s8．（3分）（2022秋•南召县期中）根据下面表格中的对应值：x3.233.243.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.269．（3分）（2022•洪山区校级自主招生）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是-54，则A．m≥﹣2 B．0≤m≤12 C．﹣2≤m≤-1210．（3分）（2022秋•江阴市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，对称轴为过点（-12，0）且平行于A．abc＞0 B．a+b＝0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022•兴安盟）若抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是．12．（3分）（2022•牡丹江）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，则a+b+c＝．13．（3分）（2022秋•汉阳区校级月考）如图，函数y＝ax2+c与y＝mx+n的图象交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是．14．（3分）（2022•大连）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是．15．（3分）（2022•滕州市校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有．16．（3分）（2022秋•任城区校级期中）已知抛物线y＝x2﹣2x的顶点为点A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为点B，若点M为坐标轴上一点，且MA＝MB，则点M的坐标是．三．解答题（共9小题）17．（6分）（2022秋•翔安区校级月考）抛物线y＝a（x﹣2）2经过点（1，﹣1）（1）确定a的值；（2）求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．18．（6分）（2022•包河区校级模拟）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积S△MCB．19．（8分）（2022•牧野区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．20．（8分）（2022•舟山一模）路桥区某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖南美白虾，与传统养殖相比，可延迟养殖周期，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季．已知每千克白虾的养殖成本为8元，在某上市周期的70天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系如下：p=14t+20，(1≤t≤40，t为整数)-1（1）求日销售量y与时间t的函数关系式；（2）求第几天的日销售利润最大？最大利润是多少元？（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克白虾，就捐赠m（m＜8）元给公益事业．在这前40天中，已知每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．21．（8分）（2022•兰州）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？22．（8分）（2022•顺义区期末）某班数学兴趣小组对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请完成下面各小题．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：x…﹣3-5﹣2﹣1012523…y…354m﹣10﹣10543…其中，m＝；（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（3）利用表格与图象指出，当x取何值时，函数值y随x的增大而增大；（4）进一步探究函数图象．①求方程x2﹣2|x|＝2的实数根的个数；②关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，求a的取值范围．23．（8分）（2022•南岗区校级开学）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-316ax2+58ax+3a（a≠0）与x轴交于A和点B（A在左，B在右），与y轴的正半轴交于点C，且（1）求抛物线的解析式；（2）若D为OB中点，E为CO中点，动点F在y轴的负半轴上，G在线段FD的延长线上，连接GE、ED，若D恰为FG中点，且S△GDE=272，求点（3）在（2）的条件下，动点P在线段OB上，动点Q在OC的延长线上，且BP＝CQ．连接PQ与BC交于点M，连接GM并延长，GM的延长线交抛物线于点N，连接QN、GP和GB，若角满足∠QPG﹣∠NQP＝∠NQO﹣∠PGB时，求NP的长．第22章二次函数章末题型过关卷【人教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022秋•长汀县校级月考）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2 C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大 D．当x≥2时，y的值随x值的增大而增大【分析】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；故选项A、B、D的说法正确，C的说法错误；故选：C．2．（3分）（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（2，4）．故选：A．3．（3分）（2022•浦东新区二模）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x+1）2的开口向下，有最大值为0，对称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以x1＜x2＜﹣1时，y1＜y2＜0．【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2，∴a＝﹣1＜0，有最大值为0，∴抛物线开口向下，∵抛物线y＝﹣（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，而x1＜x2＜﹣1，∴y1＜y2＜0．故选：A．4．（3分）（2022秋•环翠区期中）已知a＞0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝﹣ax2的图象有可能是（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数的性质、正比例函数的性质对各个选项中的图象进行判断即可．【解答】解：A、根据正比例函数图象y随x的增大而增大，则a＞0，二次函数图象开口向上，则﹣a＞0，则a＜0，故选项错误；B、根据正比例函数图象y随x的增大而减小，则a＜0，与已知矛盾，故选项错误；C、根据正比例函数图象y随x的增大而减小，则a＜0，二次函数图象开口向下，则﹣a＜0，则a＞0，故选项错误；D、根据正比例函数图象y随x的增大而增大，则a＞0，二次函数图象开口向上，则﹣a＜0，则a＞0，故选项正确．故选：D．5．（3分）（2022•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1【分析】先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用A点或B点向右平移得到点（4，0）得到m的值．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，即m的值为5或1．故选：C．6．（3分）（2022•黄石）以x为自变量的二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A．b≥54 B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤【分析】由于二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，所以抛物线的顶点在x轴上或上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，∵二次项系数a＝1，∴抛物线开口方向向上，当抛物线的顶点在x轴上或上方时，则b2﹣1≥0，△＝[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）≤0，解得b≥5当抛物线的顶点在x轴的下方时，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2＝2（b﹣2）＞0，b2﹣1＞0，∴△＝[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）＞0，①b﹣2＞0，②b2﹣1≥0，③由①得b＜54，由②得∴此种情况不存在，∴b≥5故选：A．7．（3分）（2022•北京一模）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（）A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s【分析】直接利用待定系数法求出二次函数解析式，进而得出对称轴即可得出答案．【解答】解：将（0.5，6），（1，9）代入y＝at2+bt（a＜0）得：6=1解得：a=-6b=15故抛物线解析式为：y＝﹣6t2+15t，当t=-b2a=-则该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25秒．故选：B．8．（3分）（2022秋•南召县期中）根据下面表格中的对应值：x3.233.243.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．【解答】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．故选：C．9．（3分）（2022•洪山区校级自主招生）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是-54，则A．m≥﹣2 B．0≤m≤12 C．﹣2≤m≤-12【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是-54，得出m≤-12；再求得当【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x=-1∴当x=-12时，y有最小值，此时y=1∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是-5∴m≤-1∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x=-1∴当x=-12-[1﹣（-∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤-1∴﹣2≤m≤-1解法二：画出函数图象，如图所示：y＝x2+x﹣1＝（x+12）2∴当x＝1时，y＝1；当x=-12，y=-54，当∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是-5∴﹣2≤m≤-1故选：C．10．（3分）（2022秋•江阴市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，对称轴为过点（-12，0）且平行于A．abc＞0 B．a+b＝0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，a＞0，b＞0，c＜0，故abc＜0，故选项A错误；∵对称轴为直线x=-1∴-b2a=-12，得a＝b，a∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，∴2b+c＜0，故选项C错误；∵对称轴为直线x=-12，当x＝1时，∴x＝﹣2时的函数值与x＝1时的函数值相等，∴x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a+c＜2b，故选项D正确；故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022•兴安盟）若抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是m＜﹣9．【分析】根据抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，可知当y＝0时，0＝﹣x2﹣6x+m，Δ＜0，从而可以求得m的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，∴当y＝0时，0＝﹣x2﹣6x+m，∴△＝（﹣6）2﹣4×（﹣1）×m＜0，解得，m＜﹣9故答案为：m＜﹣9．12．（3分）（2022•牡丹江）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，则a+b+c＝0．【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c的值．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，∴y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），∴a+b+c＝0．故答案为：0．13．（3分）（2022秋•汉阳区校级月考）如图，函数y＝ax2+c与y＝mx+n的图象交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3．【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，∴关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3．故答案为：x＜﹣1或x＞3．14．（3分）（2022•大连）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是（﹣2，0）．【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据A、B关于对称轴对称，可得A点坐标．【解答】解：令x＝0，得到x＝c，∴C（0，c），∵D（m，c），得函数图象的对称轴是直线x=m设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x=mx+m+22解得x＝﹣2，即A点坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）．15．（3分）（2022•滕州市校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有③④．【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=-b2a，结合图象与x轴的交点可得对称轴为直线x＝1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a﹣b+c＝0，求出a﹣2b+4c＜0，即可判断出③的正误；利用当x＝4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b＝﹣2a，得出8a+【解答】解：根据图象可得：抛物线开口向上，则a＞0．抛物线与y交与负半轴，则c＜0，对称轴：x=-b①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是直线x＝1，∴-b∴b+2a＝0，故①错误；②∵a＞0，∴b＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故②错误；③∵a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a，∴a﹣2b+4c＝a﹣2b+4（b﹣a）＝2b﹣3a，又由①得b＝﹣2a，∴a﹣2b+4c＝﹣7a＜0，故③正确；④根据图示知，当x＝4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0，由①知，b＝﹣2a，∴8a+c＞0；故④正确；综上所述，正确的结论是：③④，故答案为：③④16．（3分）（2022秋•任城区校级期中）已知抛物线y＝x2﹣2x的顶点为点A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为点B，若点M为坐标轴上一点，且MA＝MB，则点M的坐标是（1，0）或（0，1）．【分析】先将抛物线顶点A的坐标求出来，作AC⊥x轴于点C，取AB中点E，作直线EC交y轴于点C，直线与CE与坐标轴交点坐标即为所求．【解答】解：把x＝0代入y＝x2﹣2x得x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，∴点B坐标为（2，0），∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴点A坐标为（1，﹣1），连接AB，作AC⊥x轴于点C，取AB中点E，作直线EC交y轴于点C，则点C坐标为（1，0），点E坐标为（1+22，-1+02）即（∴AC＝BC＝1，点C满足题意，直线CE为线段AB的垂直平分线，设直线CE解析式为y＝kx+b，把（1，0），（32，-0=k+b-解得k=-1b=1∴y＝﹣x+1，∴点D坐标为（0，1），∴点M的坐标为（1，0）或（0，1），故答案为：（1，0）或（0，1）．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋•翔安区校级月考）抛物线y＝a（x﹣2）2经过点（1，﹣1）（1）确定a的值；（2）求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，﹣1）代入y＝a（x﹣2）2可求出a＝﹣1；（2）根据坐标轴上点的坐标特征，分别计算出自变量为0时的函数值和函数值为0时对应的自变量的值，即可得到该抛物线与坐标轴的交点坐标．【解答】解：（1）把（1，﹣1）代入y＝a（x﹣2）2得a•（1﹣2）2＝﹣1解得a＝﹣1（2）抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2，当y＝0时，﹣（x﹣2）2＝0，解得x＝2，所以抛物线与x轴交点坐标为（2，0）；当x＝0时，y＝﹣（x﹣2）2＝﹣4，所以抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣4）．18．（6分）（2022•包河区校级模拟）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积S△MCB．【分析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式．（2）可根据抛物线的解析式先求出M和B的坐标，由于三角形MCB的面积无法直接求出，可将其化为其他图形面积的和差来解．过M作ME⊥y轴，三角形MCB的面积可通过梯形MEOB的面积减去三角形MCE的面积减去三角形OBC的面积求得．【解答】解：（1）依题意：a-b+c=0a+b+c=8解得a=-1∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5（2）令y＝0，得（x﹣5）（x+1）＝0，x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0）．由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，得M（2，9）作ME⊥y轴于点E，可得S△MCB＝S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC=12（2+5）×9-119．（8分）（2022•牧野区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；（2）①利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可；②根据抛物线的对称性质知：当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2且n+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤n≤3．【解答】解：（1）∵顶点为（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．又∵抛物线过点（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，①分情况讨论：若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），由对称性可知：12（x+3x）＝1，解得x=故点A的坐标为（12将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0=14-解得m=若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），由对称性可知：12（x﹣3x解得x＝﹣1，故点A的坐标为（﹣1，0），同理可得m＝6，综上：m=94或②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．又∵当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，∴结合图象，得n≥-2n+1≤4∴﹣2≤n≤3．20．（8分）（2022•舟山一模）路桥区某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖南美白虾，与传统养殖相比，可延迟养殖周期，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季．已知每千克白虾的养殖成本为8元，在某上市周期的70天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系如下：p=14t+20，(1≤t≤40，t为整数)-1（1）求日销售量y与时间t的函数关系式；（2）求第几天的日销售利润最大？最大利润是多少元？（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克白虾，就捐赠m（m＜8）元给公益事业．在这前40天中，已知每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；（2）设日销售利润为w元，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润＝每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；（3）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设所求解析式为y＝kx+b（k≠0），将（1，198）、（70，60）代入，得：k+b=19870k+b=60解得：k=-2b=200∴y＝﹣2t+200（1≤t≤70，t为整数），∴日销售量y与时间t的函数关系式y＝﹣2t+200；（2）设日销售利润为w元，则w＝（p﹣8）y，①在1≤t≤40时，w＝（14t+20﹣8）（﹣2t=-12（t﹣26）∵-1∴当t＝26时，wmax＝2738；②当40＜t≤70时，w＝（-12t+50﹣8）（﹣2＝（t﹣92）2﹣64，∵1＞0，∴当t＜92时，w随t的增大而减小，∴当t＝41时，w最大，最大值＝（41﹣92）2﹣64＝2537，∵2738＞2537，∴第26天利润最大，最大