2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题27.1 成比例线段【七大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题27.1成比例线段【七大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1成比例线段的概念】 1【题型2成比例线段的应用】 2【题型3比例的证明】 3【题型4利用比例的性质求比值】 4【题型5利用比例的性质求参】 4【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】 5【题型7黄金分割】 6【知识点1成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1成比例线段的概念】【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（）A．43 B．3 C．8 【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为23．【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（）A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？【题型2成比例线段的应用】【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（）A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变【知识点2比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【题型3比例的证明】【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=c【变式3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．证明：（1）S△ABOS△BOD【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=c【题型4利用比例的性质求比值】【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知2b3a-b=34【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若a-ba=3A．25 B．14 C．-2【变式4-2】（2022春•沙坪坝区校级期末）若ab=cd=ef=1A．16 B．13 C．12【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（）A．若a4=cB．若a-bb=1C．若ab=cd=23D．若ab=34，则【题型5利用比例的性质求参】【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx=x+zy=x+y【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+A．15 B．9 C．5 D．3【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若ab=cd，且b+（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca=a+cb=a+b【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=c证明：∵ab∴ab+1∴a+bb根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【变式6-1】阅读材料：已知x3=y解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，∴x+y-zx-y+z（1）回答下列问题：①第一步运用了的基本性质，②第二步的解题过程运用了的方法，由k5k得15利用了（2）模仿材料解题：已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx-2y+3z【变式6-2】（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a（a、b、c解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b-cc=a-b+c【变式6-3】（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a（a、b、c解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x【知识点3黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【题型7黄金分割】【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为．【变式7-1】（2022秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（）A．PBAP=5+12 B．PBAB【变式7-2】（2022秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．（1）若AB＝10cm，则AD＝；（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．面同意，不得复制发布日期：2022/9/1522:55:34；用户：小不1825600716号：20699374【变式7-3】（2022春•兖州区期末）再读教材：宽与长的比是5-12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．专题27.1成比例线段【七大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1成比例线段的概念】 1【题型2成比例线段的应用】 3【题型3比例的证明】 5【题型4利用比例的性质求比值】 7【题型5利用比例的性质求参】 8【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】 10【题型7黄金分割】 13【知识点1成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1成比例线段的概念】【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（）A．43 B．3 C．8 【分析】利用表示两个比相等的式子，叫做比例式，然后分别求出A、B、C、D选项的比值，即可判断．【解答】解：A、43：2＝4：6，故AB、2：3＝4：6，故B不符合题意；C、2：4≠6：8，故C符合题意；D、2：4＝6：12，故D不符合题意；故选：C．【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为23．【分析】由题意线段c是a、b的比例中项，可知c2＝ab，由此即可解决问题．【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，∴c2＝ab，∵a＝2，b＝6，∴c2＝12，∵c＞0，∴c＝23，故答案为：23．【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（）A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，进而分别判断即可．【解答】解：A、2：4＝1：2＝1.5：3，能组成比例，错误；B、3：1.5＝2：1＝4：2，能组成比例，错误；C、2：3≠1.5：4；不能组成比例，正确；D、1.5：2＝3：4，能组成比例，错误；故选：C．【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？【分析】求出A'B'AB，B'C'【解答】解：∵AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm，∴A'B'AB=4∴A'B'AB∴A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段．【题型2成比例线段的应用】【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．【分析】设a﹣c＝﹣2k，a+b＝7，c﹣b＝1，再利用k分别表示出a、b、c，然后利用勾股定理的逆定理进行判断．【解答】解：∵（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，∴设a-c=-2ka+b=7kc-b=k，解得∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝（5k）2＝c2，∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°．【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【分析】设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据比例尺的定理列出方程，解之可得．【解答】解：设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据题意，得：x40000000解得：x＝80，即地图上，甲乙两地的距离是80cm，故选：C．【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（）A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1【分析】根据人数必须是整数，所以男、女生人数占的总分数必须能被30整除，然后进行计算即可解答．【解答】解：A、30÷（3+2）＝6，能得出整数的结果，故A符合题意；B、30÷（1+3）＝7.5，不能得出整数的结果，故B不符合题意；C、30÷（4+5）=103，不能得出整数的结果，故D、30÷（3+1）＝7.5，不能得出整数的结果，故D不符合题意；故选：A．【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变【分析】若甲：乙：丙＝a：b：c，则甲占全部的aa+b+c，乙占全部的ba+b+c，丙占全部的【解答】解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：舞蹈社溜冰社魔术社上学期312412512下学期493929∴舞蹈社增加，溜冰社不变．故选：D．【知识点2比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【题型3比例的证明】【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=c【分析】根据比例线段的性质证明即可．【解答】证明：由ab可得：a＝bk，c＝dk，把a＝bk，c＝dk代入a-cb-d把a＝bk，c＝dk代入a+cb+d可得：a-cb-d【变式3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB【分析】由已知条件得到BCAB=CDAD，即【解答】证明：∵ABBC∴BCAB=CD∴ACAB-1＝1∴1AB【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．证明：（1）S△ABOS△BOD【分析】（1）由等高模型可知：S△ABOS△BOD（2）利用等高模型以及比例的性质即可解决问题．【解答】证明：（1）∵S△ABOS△BOD∴S△ABO（2）∵S△ABD∴S△ABD∴S△ABO【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=c【分析】由于（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，根据比例的基本性质得到ad＝bc，可得（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），从而得证．【解答】证明：∵ab∴ad＝bc，∵（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，∵2abcd＝c2b2+a2d2∴（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），∴a2【题型4利用比例的性质求比值】【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知2b3a-b=34，则a【分析】根据2b3a-b=3【解答】解：∵2b3a-b∴3a-b2b∴3a2b∴ab故答案为：119【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若a-ba=3A．25 B．14 C．-2【分析】把a-ba=34化成1【解答】解：∵a-ba∴1-b∴ba故选：B．【变式4-2】（2022春•沙坪坝区校级期末）若ab=cd=ef=1A．16 B．13 C．12【分析】先利用分式的基本性质得到ab【解答】解：∵ab∴ab而b﹣2d+3f≠0∴a-2c+3eb-2d+3f故选：B．【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（）A．若a4=cB．若a-bb=1C．若ab=cd=23D．若ab=34，则【分析】分别利用比例的基本性质分析得出答案．【解答】解：A、若a4=cB、若a-bb=16，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7C、若ab=cd=23D、若ab=34，无法得出故选：D．【题型5利用比例的性质求参】【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx=x+zy=x+y【分析】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．【解答】解：此题要分情况考虑：当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，得k=2x+2y+2z当x+y+z＝0时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1，故填2或﹣1．【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+A．15 B．9 C．5 D．3【分析】设x3=y5=k，根据比例的性质求出x＝3k，y＝5k，根据x+y＝24得出3k+5k【解答】解：设x3=y5=k，则x＝3k∵x+y＝24．∴3k+5k＝24，解得：k＝3，∴x＝3×3＝9，故选：B．【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y【分析】由若x3=y5=z6，可设x3=y5=z6=k，这样用k分别表示x、y、z，即x＝3k，y＝5k【解答】解：设x3=则x＝3k，y＝5k，z＝6k，∵3y＝2z+6，∴3×5k＝2×6k+6，解得：k＝2，∴x＝3k＝6，y＝5k＝10．【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若ab=cd，且b+（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca=a+cb=a+b【分析】（1）根据比例的性质即可得到结果；（2）根据比例的性质求得t的值，把t的值代入代数式即可得到结论．【解答】解：（1）∵ab=cd，∴a+c＝0；（2）①当a+b+c≠0时，b+ca∴t2﹣t﹣2＝22﹣2﹣2＝0，②当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，∴b+ca∴t2﹣t﹣2＝0．【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=c证明：∵ab∴ab+1∴a+bb根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【分析】（1）把要求的式子化成a+（2）根据比例的性质得出a-bb【解答】解：（1）∵ab∴a+bb=a（2）∵ab∴ab-1∴a-∵a+∴a-∴a-【变式6-1】阅读材料：已知x3=y解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，∴x+y-zx-y+z（1）回答下列问题：①第一步运用了等式的基本性质，②第二步的解题过程运用了代入消元的方法，由k5k得15利用了（2）模仿材料解题：已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx-2y+3z【分析】（1）利用等式的基本性质，代入消元法，分式的基本性质，即可解答；（2）仿照例题的思路，进行计算即可解答．【解答】解：（1）①第一步运用了等式的基本性质，②第二步的解题过程运用了代入消元的方法，由k5k得1故答案为：等式，代入消元，分式；（2）∵x：y：z＝2：3：4，∴设x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴x+y+z=9k=9【变式6-2】（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a（a、b、c解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b-cc=a-b+c【分析】设a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca=k，利用比例的性质得到a+b﹣c＝kc，a﹣b+c＝kb，﹣a+【解答】解：设a+b-cc=所以a+b﹣c＝kc①，a﹣b+c＝kb②，﹣a+b+c＝ka③，由①+②+③，得a+b+c＝k（a+b+c）．∵a+b+c≠0，∴k＝1．∴a+b＝2c，b+c＝2a，c+a＝2b．∴(a+b)(b+c)(c+a)abc【变式6-3】（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a（a、b、c解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x【分析】设y+zx=z+xy=x+yz=【解答】解：设y+zx=则y+z＝xk，z+x＝yk，x+y＝zk，∴2（x+y+z）＝k（x+y+z），解得，k＝2，∴y+z＝2x，z+x＝2y，x+y＝2z，解得，x＝y＝z，则x-y-zx+y+z【知识点3黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【题型7黄金分割】【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为1．【分析】设AB＝a，根据黄金比值用a表示出AR、BR，根据矩形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：设AB＝a，∵点R是边AB边上的黄金分割点，AR＞RB，∴AR=5-12AB则BR＝AB﹣AR＝a-5-12a∴S1：S2＝（5-12a）2：a×故答案为：1．【变式7-1】（2022秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（）A．PBAP=5+12 B．PBAB【分析】根据黄金分割的定义判断即可．【解答】解：∵点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，∴AP2＝PB•AB，∴点P是AB的黄金分割点，∴APAB故选：C．【变式7-2】（2022秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．（1）若AB＝10cm，则AD＝（55-5）cm（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．【分析】（1）根据黄金分割的概念计算即可；（2）根据黄金三角形的概念和尺规作图的一般步骤作图；（3）根据黄金分割的概念和黄金三角形的概念证明即可．【解答】解：（1）∵点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD，∴AD=5-12AB＝（55故答案为：（55-5）（2）以A圆心，以AB的长为半径作弧，再以点B为圆心，AD的长为半径作弧，两弧交于点C，连接BC，则△ABC即为所求；（3）证明：由（1）得，点D是线段AB的黄金分割点，∴底边AD=5-12∴三角形ABC是黄金三角形．邮箱学号：20699374【变式7-3】（2022春•兖州区期末）再读教材：宽与长的比是5-12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝5（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．【分析】（1）连接AB，由折叠的性质，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度．（2）由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，结合平行线的性质可得∠AQB＝∠DAQ＝∠BAQ，即可得AB＝BQ，即可判定四边形BADQ为菱形；（3）首先求出CD，ND，再由黄金矩形的定义即可作出判断．【解答】解：（1）∵四边形MNCB是正方形，∴NC＝MN＝2，由折叠的性质得：AC=12在Rt△ABC中，AB=A故答案为5；（2）四边形BADQ是菱形．证明：由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，∵BQ∥AD，∴∠AQB＝∠DAQ，∴∠AQB＝∠BAQ，∴AB＝BQ，即AD＝AB＝BQ＝BD，∴四边形BADQ为菱形；（3）图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE；理由：∵AD＝AB=5，AN＝AC∴CD=5-1，ND∴CDBC故矩形BCDE是黄金矩形；∴MNND故矩形MNDE是黄金矩形．专题27.2平行线分线段成比例【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1“#”字型】 1【题型2“X”字型】 2【题型3“A”字型】 4【题型4“8”字型】 5【题型5判断比例式】 6【题型6平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 7【题型7多次利用平行线分线段成比例进行计算】 8【题型8平行线分线段成比例中的常作辅助线】 9【知识点1平行线分线段成比例定理】两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．【题型1“#”字型】【例1】（2022•醴陵市模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的长是（）A．2 B．43 C．1 D．【变式1-1】（2022•福建模拟）如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F．已知AB＝3，BC＝2，DE＝6，则DF等于（）A．4 B．9 C．10 D．15【变式1-2】（2022秋•清苑区期中）如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与AEACA．CEAC B．BFBD C．BFFD【变式1-3】（2022秋•长宁区校级月考）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24（1）求BC的长；（2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长．【题型2“X”字型】【例2】（2022春•莱西市期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式2-1】（2022•广西模拟）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，BCBE=3A．2 B．3 C．4 D．5【变式2-2】（2022秋•船山区校级期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长为（）A．2 B．4 C．245 D．【变式2-3】（2022秋•合肥校级期末）如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HD=12DF，则A．1 B．34 C．23 【知识点2平行线分线段成比例定理的推论】平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若或或，则有EF//BC．【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做交AC于点，再证明与F重合即可．【题型3“A”字型】【例3】（2022秋•零陵区期末）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果AEEC=35，那么A．3：5 B．5：3 C．8：5 D．3：8【变式3-1】（2022秋•越城区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AE＝4，EC＝2，则ADABA．23 B．12 C．13【变式3-2】（2022秋•新民市期末）如图，点A，B在格点上，若BC=23，则A．1 B．43 C．2 【变式3-3】（2022秋•覃塘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，则EFBD的值为【题型4“8”字型】【例4】（2022•镜湖区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则BEEGA．12 B．13 C．23【变式4-1】（2022秋•金牛区期末）如图，△ABC中，D、E分别为BA、CA延长线上的点，DE∥BC，BD＝3AD，若CE＝6，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【变式4-2】（2022秋•南皮县校级月考）如图，AB．CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出结论pq=rA．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人均正确 D．两人均不正确【变式4-3】（2022秋•宜兴市校级月考）如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（）A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2【题型5判断比例式】【例5】（2022春•潍坊期末）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（）A．DGBG=12 B．CDEF=【变式5-1】（2022春•东平县期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（）A．ADDB=AEDH B．CFDE=【变式5-2】（2022秋•青浦区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（）A．ADDB=BECE B．BDAD=【变式5-3】（2022•香坊区一模）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（）A．DGBG=12 B．DGBE=【题型6平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】【例6】（2022•沁阳市模拟）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则BDDCA．43 B．32 C．65【变式6-1】（2022春•任城区校级期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE：ED＝1：2，BE的延长线交AC于F，则AF：FC＝．【变式6-2】（2009秋•北京校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．（1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；（2）若点D是BC的中点，试证明AMAB（3）若点D是BC上任意一点，试证明AMAB【变式6-3】（2022春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点F为AD的中点，连接BF并延长交AC于点E，设AEEC=m，EFFB=n，则A．12 B．23 C．56【题型7多次利用平行线分线段成比例进行计算】【例7】（2022•宁阳县一模）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE＝1，则EC＝（）A．32 B．2 C．3 【变式7-1】（2022秋•虹口区期末）在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（）A．32 B．23 C．25【变式7-2】（2022秋•亳州期末）如图，AD∥EF∥BC，点G是EF的中点，EFBC=35，若A．6 B．132 C．7 D．【变式7-3】（2022•邢台模拟）在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（）A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2【题型8平行线分线段成比例中的常作辅助线】【例8】（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，则△ABC的周长为．【变式8-1】（2022•雁塔区校级模拟）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点M，则FN：ND＝．【变式8-2】（2022秋•六盘水期末）如图，已知四边形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且CE：BE＝2：3，DF：CF＝1：2，BF与DE相交于点G，则DG：GE＝．【变式8-3】（2022•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．专题27.2平行线分线段成比例【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1“#”字型】 1【题型2“X”字型】 4【题型3“A”字型】 6【题型4“8”字型】 9【题型5判断比例式】 11【题型6平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 15【题型7多次利用平行线分线段成比例进行计算】 19【题型8平行线分线段成比例中的常作辅助线】 23【知识点1平行线分线段成比例定理】两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．【题型1“#”字型】【例1】（2022•醴陵市模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的长是（）A．2 B．43 C．1 D．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴ABBC∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，∴23∴DE=4故选：B．【变式1-1】（2022•福建模拟）如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F．已知AB＝3，BC＝2，DE＝6，则DF等于（）A．4 B．9 C．10 D．15【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：∵a∥b∥c，∴ABBC=DE∴EF＝4，∴DF＝EF+DE＝4+6＝10，故选：C．【变式1-2】（2022秋•清苑区期中）如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与AEACA．CEAC B．BFBD C．BFFD【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．【解答】解：∵a∥b∥c，∴AEAC故选：B．【变式1-3】（2022秋•长宁区校级月考）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24（1）求BC的长；（2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理得到ABAC=DEDF，然后利用比例的性质求出AB，再计算（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如图，易得四边形ADEB和四边形ADFN为平行四边形，则BE＝FN＝AD＝4，所以CN＝16，根据平行线分线段成比例定理，由BM∥CN得到BM16=924，然后求出BM后计算【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴ABAC即AB24=3∴BC＝AC﹣AB＝24﹣9＝15；（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如图，易得四边形ADEB和四边形ADFN为平行四边形，∴BE＝FN＝AD＝4，∴CN＝CF﹣FN＝20﹣4＝16，∵BM∥CN，∴BMCN=ABAC，即∴BE＝EM+BM＝4+6＝10．【题型2“X”字型】【例2】（2022春•莱西市期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据AD：DF＝3：1，BE＝12，可计算出CE的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BCCE∴BC＝3CE，∴CE=14BE故选：A．【变式2-1】（2022•广西模拟）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，BCBE=3A．2 B．3 C．4 D．5【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得出AG的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ADAF又∵DG＝2，DF＝10，BCBE∴AG+2AG+2+10∴AG＝4．故选：C．【变式2-2】（2022秋•船山区校级期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长为（）A．2 B．4 C．245 D．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BCBE∵AD：AF＝3：5，BE＝12，∴BC12解得：BC=36∴CE＝BE﹣BC＝12-36故选：C．【变式2-3】（2022秋•合肥校级期末）如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HD=12DF，则A．1 B．34 C．23 【分析】设DH＝x，则AH＝2x，DF＝4x，由平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AH＝2HD=12∴设DH＝x，则AH＝2x，DF＝4x，∵AB∥CD∥EF，∴BCCE故选：B．【知识点2平行线分线段成比例定理的推论】平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若或或，则有EF//BC．【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做交AC于点，再证明F’与F重合即可．【题型3“A”字型】【例3】（2022秋•零陵区期末）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果AEEC=35，那么A．3：5 B．5：3 C．8：5 D．3：8【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：∵DE∥AB，∴BDDC∴BDBC故选：D．【变式3-1】（2022秋•越城区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AE＝4，EC＝2，则ADABA．23 B．12 C．13【分析】根据平行线分线段成比例定理，写出比例线段，代入线段的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴ADAB∴ADAB故选：A．【变式3-2】（2022秋•新民市期末）如图，点A，B在格点上，若BC=23，则A．1 B．43 C．2 【分析】根据平行线分线段成比例可得BC：AC＝1：2，然后代入数据计算即可．【解答】解：观察图形可知，BC：AC＝1：2，∵BC=2∴AC＝3BC＝2×2故选：B．【变式3-3】（2022秋•覃塘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，则EFBD的值为35【分析】设CE＝AD＝x，则DECE=DFAF，求出CE，由EF∥【解答】解：设CE＝AD＝x，∵EF∥AC，∴DECE∴5x解得x＝7.5，∴AF＝4.5，∵EF∥DB，∴EFBD故答案为：35【题型4“8”字型】【例4】（2022•镜湖区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则BEEGA．12 B．13 C．23【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，∴AEEC∴BE故选：C．【变式4-1】（2022秋•金牛区期末）如图，△ABC中，D、E分别为BA、CA延长线上的点，DE∥BC，BD＝3AD，若CE＝6，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AEAC【解答】解：∵DE∥BC，∴AEAC=AD解得：AC＝4，故选：C．【变式4-2】（2022秋•南皮县校级月考）如图，AB．CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出结论pq=rA．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人均正确 D．两人均不正确【分析】根据平行线分线段成比例，可证得EFAC=BF【解答】解：∵AC∥EF，∴EFAC∵EF∥DB，∴EFBD∴EFAC即rp∴rp故选：B．【变式4-3】（2022秋•宜兴市校级月考）如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（）A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AGBD=AFBF=25，AEEC=AGCD【解答】解：∵l1∥l2，∴AGBD∵AF：BF＝2：5，∴AGBD即AG=25∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，∴CD=15∴AGCD∵l1∥l2，∴AEEC故选：C．【题型5判断比例式】【例5】（2022春•潍坊期末）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（）A．DGBG=12 B．CDEF=【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴DGBG∵AC＝CG，∴DGBG故A正确，不符合题意；∵CD∥EF，∴CDEF∵DE＝3DG，∴EG＝2DG，∴CDEF故B正确，不符合题意．∵CD∥EF，∴CG∵BG＝2DG，BE＝4DG，∴DE＝3DG，∴CGCF故C正确，不符合题意；∵AB∥CD∥EF，∴BGEG∵AG＝FG，∴BG＝EG，∴BE＝2BG，∵DGBG∴BG＝2DG，∵BE＝4DG，∴DGBE故D错误，符合题意；故选：D．【变式5-1】（2022春•东平县期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（）A．ADDB=AEDH B．CFDE=【分析】首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AC，∴四边形DECH是平行四边形，∴DH＝CE，DE＝CH，∵DE∥BC，∴ADDB=AE∵DH∥CG，∴DFFG=DH∵DE∥BC，∴DEBC∴CHBC=AE故选：B．【变式5-2】（2022秋•青浦区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（）A．ADDB=BECE B．BDAD=【分析】根据平行线分线段成比例判断即可．【解答】解：A．因为ADDB=ECBE，所以DE∥B．因为BDAD=BECE，所以DE∥C．因为ADAB=CEBC，所以DE∥D．因为BDAB=BEBC，所以DE∥故选：B．【变式5-3】（2022•香坊区一模）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（）A．DGBG=12 B．DGBE=【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．【解答】解：AB∥CD，∴DGBG∵AC＝CG，∴DGBG故A正确，不符合题意；∵AB∥CD∥EF，∴BGEG∵AG＝FG，∴BG＝EG，∴BE＝2BG，∵DGBG∴BG＝2DG，∵BE＝4DG，∴DGBE故B错误，符合题意；∵CD∥EF，∴CGCF∵BG＝2DG，BE＝4DG，∴DE＝3DG，∴CGCF故C正确，不符合题意；∵CD∥EF，∴CDEF∵DE＝3DG，∴EG＝2DG，∴CDEF故D正确，不符合题意．故选：B．【题型6平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】【例6】（2022•沁阳市模拟）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则BDDCA．43 B．32 C．65【分析】过点E作EH∥AD交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到CH＝HD，BDDH【解答】解：过点E作EH∥AD交BC于H，则CHHD∵BE是△ABC的中线，∴CE＝EA，∴CH＝HD，∵EH∥AD，∴BDDH∴BDDC故选：B．【变式6-1】（2022春•任城区校级期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE：ED＝1：2，BE的延长线交AC于F，则AF：FC＝1：4．【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，计算得到答案．【解答】解：作DH∥BF交AC于H，∵AD是△ABC的中线，∴FH＝HC，∵DH∥BF，∴AFFH∴AF：FC＝1：4，故答案为：1：4【变式6-2】（2009秋•北京校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．（1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；（2）若点D是BC的中点，试证明AMAB（3）若点D是BC上任意一点，试证明AMAB【分析】（1）过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD＝2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；（2）延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得AMAB（3）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得AMAE=APAD，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得【解答】解：（1）过点D作DE∥PM交AB于E，∵点D为BC中点，∴点E是AB中点，且AMAE∴AMAB（2）延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，则四边形ABQC是平行四边形．∴PM∥BQ，PN∥CQ，∴AMAB=AP∴AMAB（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．）（3）过点D作DE∥PM交AB于E，∴AMAE又∵PM∥AC，∴DE∥AC∴AEAB∴AMAB同理可得：ANAC∴AMAB（注：如果像第（2）题那样添辅助线，也可以证．）【变式6-3】（2022春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点F为AD的中点，连接BF并延长交AC于点E，设AEEC=m，EFFB=n，则A．12 B．23 C．56【分析】取CE中点G，连接DG，由中位线定理可得DG∥BE，再由点F为AD中点可得点E为AG中点，可求得m，由中位线定理可得EF=12DG，DG=12【解答】解：取CE中点G，连接DG，∵点D为BC中点，∴DG为△BCE的中位线，∴DG=12BE，DG∥∵点F为AD中点，EF∥DG，∴EF为△ADG的中位线，∴点E为AG中点，EF=12