2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题33 实际问题中的正、余弦定理的应用(原卷版)-2023一轮数学讲义+题型细分与精练

专题33实际问题中的正、余弦定理的应用解决实际问题中的正弦定理、余弦定理的应用问题，关键是读懂题意，将所求问题转化为三角形中的角度、边长问题，利用正弦定理、余弦定理求解。从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大．【题型导图】类型一距离问题例1：（2022·广东·佛山市南海区里水高级中学高一月考）如图，为测量河对岸、两点间的距离，沿河岸选取相距米的、两点，测得，，，，则、两点的距离是（）A．米 B．米 C．米 D．米【变式1】（2022·安徽宣城·高一期中）如图，为了测量、两岛屿的距离，海洋测量船在处观测到、分别在处的北偏西15°、北偏东45°方向，海洋测量船往正东方向行驶海里至处，观测到在C处的正北方向，在处的北偏西60°方向，则，两岛屿的距离为（）A．20海里 B．海里 C．海里 D．10海里【变式2】（2022·广东·洛城中学高一月考）一船向正北方向匀速航行，看见正西方向有相距海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行一小时后，看见一灯塔在船的南偏西方向，另一灯塔在船的南偏西方向，则这艘船的航行速度是（）A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时【变式3】（2022·全国·高一课时练习）如图，A，B，C，D都在同一个铅垂面内（与水平面垂直的平面），B，D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°，30°，于C处测得点B和点D的仰角均为60°，AC=1km，求点B，D间的距离.类型二高度问题例2.（2022·广西百色·高一期末）夏季是暴雨和洪水高发季节，需要做好各项防汛工作，为更好地考察防汛工作实际情况，某校高一数学兴趣小组前往某水库实地测量其大坝相关数据.是该大坝的坡面，该小组在坝底所在水平地面的处测得坝顶的仰角为对着大坝在水平地面上前进后到达处，测得坝项的仰角为继续对着大坝在水平地面上前进后到达坡底处，测得坝项的仰角为则该大坝的高度为（）A． B． C． D．【变式1】（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点(，，三点共线)处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是15°和60°，在楼顶处测得塔顶的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A． B． C． D．【变式2】（2022·福建省福州第一中学高一期中）某天象馆的主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体.小明同学为了估算该天象馆的高度，在天象馆的正东方向找到一座建筑物AB；高为m.在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A以及天象馆顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得天象馆顶C的仰角为30°，则小明估算该天象馆的高度为（）A．16m B．24mC．16m D．24m【变式3】（2022·福建省福州屏东中学高一月考）某人在点C测得某塔底B在南偏西80度，灯塔A的仰角为45度，此人沿南偏东40度方向前进10m到D，测得灯塔A的仰角为30度，则灯塔的高为（）A．15m B．5m C．10 D．12m类型三角度问题例3.（2022·江苏·南京市宁海中学高一月考）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于（）A． B． C． D．【变式1】（2022·四川·射洪中学高一期中）如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则的值为_________．【变式2】（2022·山西·平遥县第二中学校高一月考）位于灯塔处正西方向相距的处有一艘甲船，需要海上加油.位于灯塔处北偏东有一与灯塔相距的乙船（在处）.求乙船前往支援处的甲船航行的距离和方向（角度精确到）.【变式3】（2022·上海市奉贤中学高一期中）甲船在距离港口海里并在南偏西方向的处驻留等候进港，乙船在港口南偏东方向的处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为海里.乙船的速度为每小时海里，经过分钟航行到处，求此时甲、乙两船相距多少海里？甲在乙的什么方向？【限时训练】1．（2022·全国·高一课时练习）如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若AB=12m，借助测角仪测得∠CAB=45°，∠CBA=60°，则C处河面宽CD为（）A．6（3+）m B．6（3-）mC．6（3+2）m D．6（3-2）m2．（2022·江苏江都·高一期中）有“苏中第一高楼”之称的扬州金奥中心座落于扬州文昌东路，是江都的标志性建筑．小明同学为了估算大楼的高度，在大楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，楼顶的仰角分别是和，在楼顶处测得楼顶的仰角为，则小明估算金奥中心的高度为（）A． B． C． D．3．（2022·重庆市实验中学高一月考）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东方向，距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北方向的C处，且已知A，C之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（）A．海里/小时 B．海里/小时C．海里/小时 D．海里/小时4．（2022·贵州威宁·高一期末）一艘海盗船从处以km/h的速度沿着北偏东20°的方向前进，在点南偏东40°距离为km的处有一海警船，沿着北偏西10°的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为（）A．km/h B．km/hC．km/h D．60km/h5．（2022·湖北·高一期末）某宝塔主体是由圆柱、棱柱、球等几何体构成，如图所示.为了测量宝塔的高度，某数学兴趣小组在宝塔附近选择楼房作为参照物，楼房高为，在楼顶处测得地面点处的俯角为，宝塔顶端处的仰角为，在处测得宝塔顶端处的仰角为，其中，，在一条直线上，则该宝塔的高度（）A． B． C． D．6．（2022·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一月考）某中学庆祝国庆仪式上举行升旗礼，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排车的旗杆顶端的仰角分别是，已知旗杆的高度为28.3米，则第一排与最后一排之间的距离约为__________（取，小数点后保留一位有效数字）7．（2022·重庆第二外国语学校高一月考）如图，在离地面高800的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度_________.8．（2022·全国·高一课时练习）在位于A处的海绵观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原点等待营救，在A处南偏西且相距20海里的C处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往B处求助，则9．（2022·重庆市万州第二高级中学高一期中）2020年5月，国测一大队第七次测量珠峰高度，最终测定珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米，向世界展示了我国测绘科技的巨大成就.六十七年来，国测一大队坚持用双脚丈量祖国大地，先后七测珠峰、两下南极、39次进驻内蒙古荒原、52次深入西藏无人区、52次踏入新疆腹地，徒步行程6000多万公里，相当于绕地球1500多圈，累计完成国家各等级三角测量1万余点，建造测量觇标10万多座，提供各种测量数据5000多万组，先后承担和参与完成了全国大地测量控制网布测，全国天文主点联测，中华人民共和国大地原点的建设和管理等一系列重大测绘项目|如图，某测量队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上行驶后到达处，在处测得山顶的仰角为.（1）求山的高度；（2）现山顶处有一塔，从到的登山途中，测量队员在点处测得塔的视角为．若点处高度为，则为何值