2023-2024学年吉林省长春市新区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春市新区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若使二次根式始』在实数范围内有意义，贝卜的取值范围是（）

A.%>2B.%>2C.x<2D.%<2

2.用配方法解方程——6%+7=0,配方后的方程是（）

C.4

D1

4.如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端Z仰角为37。，同时测得BC=20米,

则树的高（单位：米）为（）

r20

A.20tcm37。B.喜Jsin37'D.20s讥37°

5.a是方程/+%—1=。的一个根，则代数式2021-2a2-2a的值是（）

A.2019B.2021C.2022D.2023

6.已知点（一441）、（一1,%）、（2,%）都在函数丫=一/+5的图象上，则y1、丫2、%的大小关系为（）

A.yi>y2>y3B.为>光>为C.%>为>%D.%>%>为

7.在AACB中，2LABC=90°,用直尺和圆规在4C上确定点D,使ABADjCBD,根据作图痕迹判断，正

确的是（）

8.如图，在平行四边形4BCD中，E为CD上一点,DE：CE=2：3,连结4E,

BD交于点尸，若ADEF的面积为4,则四边形CEFB的面积等于（）

A.50B.35C.31D.20

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

9.如图，△4BC与ADEF位似，点。为位似中心，若DF：AC=1：3,则

OE：OB=.

10.如果关于x的一元二次方程n2+2x+m=0有两个同号实数根，则小的取值范围是

11.将抛物线y=--向右平移2个单位所得函数解析式为

12.二次函数y=——比—2的图象如图所示，则函数值y20时，x的取值范围是

13.拦水坝横断面如图所示，迎水坡4B的坡比是1：，1，坝高BC=10m,则坡面B

AB的长度是m.

X

14.如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿

绳的手的间距为6米，至IJ地面的距离力。与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离

为1.8米.身高为1.4米的小吉站在距点。水平距离为机米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的

头顶），则机的取值范围是.

三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题6分）

计算：2cos30°—tan600+sin45°cos45°.

16.（本小题6分）

2023年第19届亚运会在杭州举办.小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务.现有如图所示

“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为4B,C.小蔡从中随机抽取两盒.请用列表或画树

状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是4和C的概率.

BAC

17.（本小题6分）

每当秋冬季节交替的时间，感冒药品的销量就会大幅增长，药店利润也有所提高，某药店九月份的销售利

润是5000元，而十一月份的销售利润为11250元，求该药店利润平均每月的增长率.

18.（本小题7分）

在中，ABAC=90°,4。是斜边BC上的高.

⑴证明：AABDfCBA；

(2)若力B=6,BC=10,求BD的长.

19.(本小题7分)

图①、图②、图③均是6x6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.只

用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.

(1)在图①中，画出△A8C中BC边上的中线4D.

(2)在图②中，在AC边上找到一点E,连结BE,使SAME：S^BCE=2：3.

(3)在图③中，在4B边上找到一点F,连结CF,使tan乙4CF=*.

20.(本小题7分)

下表是某厂质检部门对该厂生产的一批排球质量检测的情况.

抽取的排球数描取格品数5001000150020003000

合格品数4719461425b2853

合格品频率a0.9460.9500.9490.951

(1)求出表中a=,b=.

(2)从这批排球中任意抽取一个，是合格品的概率约是.(精确到0.01)

(3)如果生产25000个排球，那么估计该厂生产的排球合格的有多少个？

21.(本小题8分)

已知，抛物线y=/+2%-3与y轴交于点C,与x轴交于4B两点，点4在点B左侧.

（1）直接写出4、B、C三点的坐标；

（2）当-3<%<2时，求y的最大值与最小值之差.

22.（本小题9分）

【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.

如图，在AABC中，点。、E分别是4B与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想:

1

DE//BC,S.DE=

对此，我们可以用演绎推理给出证明.（无需证明）

【感知】如图①，在RtAABC中，/.ABC=90°,AB=BC=4,AD、CE是Rt△4BC的中线，M、N分另Ij

是4。和CE的中点，求MN的长；

【应用】如图②，在RtAABC中，D、E分另U是4B、4C的中点，连接DE,将△4DE绕点4逆时针旋转一定

的角度矶0。<。<4艮4。），连接BD、CE,若需=$则径=；

【拓展】如图③，在等边AABC中，D是射线BC上一动点（点。在点C右侧），连接4D,把线段CD绕点。逆

时针旋转120。得到线段DE,连接BE,F是BE中点，连接DF、CF,若力B=8,CF=^CD,则CF=

23.（本小题10分）

如图，在口2BCD中，AD=10,AB=8,BD14B,点P从点4出发，沿折线4B-BC以每秒2个单位长度的

速度向终点C运动（点P不与点4B、C重合）在点P的运动过程中，过点P作力8所在直线的垂线，交边4。或

边CD于点Q,以PQ为一边作矩形PQMN,且QM=4,MN与BD在PQ的同侧.设点P的运动时间为t（秒）.

（I）tan4的值为.

(2)直接写出线段BP的长.(用含t的代数式表示)

⑶当ABDQ的面积等于6时，求t的值.

(4)连接BQ,当BQ将矩形PQMN分成的两部分的面积比为1：7时，直接写出t的值.

24.(本小题12分)

如图①，在平面直角坐标系内，抛物线与x轴交于。、8两点，与直线y=交于。、C两点，且抛物线的

顶点a的坐标为(4,4).

(1)直接写出点8的坐标；AAOB的形状为：；

(2)求抛物线的解析式；

(3)如图②，点r(t,O)是线段0B上的一个动点，过点r作y轴的平行线交直线y=gx于点D,交抛物线于点

E,以DE为一边,在0E的右侧作矩形OEFG,且DG=2.

①当矩形DEFG的面积随着t的增大而增大时，求t的取值范围；

②当矩形DEFG与AAOB有重叠且重叠部分为轴对称图形时，直接写出t的取值范围.

im)

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：••・二次根式次口在实数范围内有意义，

%—2>0,

解得%>2.

故选：A.

先根据二次根式有意义的条件列出关于％的不等式，求出工的取值范围即可.

本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键.

2.【答案】C

【解析1解：•・,x2—6%+7=0,

••・x2—6x=—7,

贝收2-6%+9=—7+9,即（久一3）2=2,

故选：C.

移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可.

本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键.

3.【答案】D

【解析】W：,•4a//b//c9

•••AB：BC=DE：EF,

vAB=2,BC=3,DE=3,

•••2：3=3：EF,

9

・・.EF=

故选：D.

由平行线分线段成比例定理得到/B：BC=DE：EF,代入有关数据即可求出尸E的长.

本题考查平行线分线段成比例，关键是由平行线分线段成比例得到AB：BC=DE：EF.

4.【答案】A

【解析】解：如图，在直角中，Z.B=90°,Z.C=37°,BC=20m,

・•・tanC=笑,

贝!JZB=BC•tanC=20ttm37°.

故选：A.

通过解直角△ABC可以求得力B的长度.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题.解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知

相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实

际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

5.【答案】A

【解析】解：：a是方程/+x+l=。的一个根，

a2+a-1=0,

a2+a=1,

.­.2021-2a2-2a=2021-2(a2+a)=2021-2x1=2019.

故选：A.

先根据一元二次方程的定义得到a?+a-1=0,再把2021-2a2-2a=2021-2(a2+a),然后利用整

体代入的方法计算.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

6.【答案】C

【解析】解：——+5,

・•・函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下，

.,.当x<0时，y随刀的增大而增大，

・・•点(2,%)关于对称轴的对称点的坐标是(一2,%)，且一4<-2<-1,

•••y2>y3>7v

故选：C.

根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是y轴，根据函数的性质得出图象的开口向下，当x<0时，y随X

的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到.

本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是能熟记二次函

数的性质.

7.【答案】C

【解析】解：当BD是4C的垂线时，ABADfCBD.

■■■BD1AC,

4ADB=4CDB=90°,

•••/.ABC=90°,

••・Z-A+乙ABD=乙ABD+乙CBD=90°,

•••Z.A=Z-CBD,

BAD~ACBD.

根据作图痕迹可知，

a选项中，BD是N48C的平分线，不与AC垂直，不符合题意；

B选项中，BD是AC边上的中线，不与AC垂直，不符合题意；

C选项中，BD是4C的垂线，符合题意；

D选项中，AB=AD,BD不与4C垂直，不符合题意.

故选：C.

若△BADfCBD,可得N4DB=N8DC=90。，即BO是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可.

本题考查尺规作图、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键.

8.【答案】C

【解析】解:如图，•••四边形48C。是平行四边形，

DC//AB,CD=AB.

DFE~>BFA,

SMEF：S"AF=DE?：AB2,煞=器，

DE：EC=2：3,

•••DE：DC=DE：AB=2：5,

S^DEF：S^ABF=4：25,

•••△DEF的面积为4,

S^ABF=25,

•・・△DEF和A/W尸的高相等，且笑=|，

AF5

•••SfQF=|sADEF=|x4=10,

•4•S^ABD=^^BAF+^^ADF=25+10=35,

S^BCD=35,

・•・四边形EFBC的面积=SABCD-SADEF=35-4=31,

故选：C.

根据平行四边形性质，得到48=CD,AB//CD,再根据DE：EC=2：3从而得到0&AB=2：5,证明

△DEFMBAF,得到整=普=|,根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到S®F=25,然后根

据△DEF和△4。尸的高相等，得到S-DF=10,从而求出SABCD=SA4BD=35,即可求出四边形EFBC的面

积.

本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积

的比等于相似比的平方是解答此题的关键.

9.【答案】1：3

【解析】解：・•・△ABC与ADEF位似，点。为位似中心，若DF：AC=1：3,

.•△ABCFDEF,EF]]BC,

EF；BC=DF：AC=1：3,

OE；OB=EF：BC=1：3,

故答案为：1：3.

利用位似变换的性质解决问题即可.

本题考查位似变换，解题的关键是理解位似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题.

10.【答案】0<znWl

【解析】解：根据题意得4=2?-4mN0,解得mWl,

设方程两根分别为%2>而刀1+x2=-2<0,则久=m>0,

所以m的取值范围为0<mW1.

故答案为0<aWL

根据根的判别式的意义得到4=22-46NO,解得mWl,设方程两根分别为%2，由于%+工2=

-2<0,而方程有两个同号实数根，所以于是可得到根的取值范围.

本题考查了根与系数的关系：若X],%2是一元二次方程a-+6久+c=0(a40)的两根时，x1+x2—

与4=£也考查了根的判别式.

aa

11.【答案】y=-(x-2)2

【解析】解：将抛物线y=--向右平移2个单位所得函数解析式为y=一(久一2产.

故答案为：y=-(%—2)2.

根据二次函数的平移规律“左加右减”即可得出答案.

本题考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移规律是解本题的关键.

12.【答案】x<—1或久>2

【解析】解：由/-久一2=0可得，X]=—1,x2=2,

观察函数图象可知，当或时，函数值y20.

故答案为：久《一1或XN2.

根据函数图象求出与x轴的交点坐标，再由图象得出答案.

本题考查抛物线与x轴的交点，正确利用数形结合进行解答是解题关键.

13.【答案】20

【解析】解：••・迎水坡4B的坡比是1：，百，坝高BC=l(hn,

BC_10_J_

',标=而=7T

解得：AC=10<3,

则48=y/BC2+AC2=20m.

故答案为：20.

利用坡比的定义得出4C的长，进而利用勾股定理求出4B的长.

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出AC的长是解题关键.

14.【答案】l<m<5

【解析】解：如图，

由题意可知C(3,1.8),

设抛物线的解析式为y=a(x-3产+1.8,

把4(0,0.9)代入y=aQ—3)2+1.8,得

a=-0.1,

•・•所求的抛物线的解析式是y=-0.1(%-3)2+1.8,

当y=1.4时，-0.1(x-3)2+1.8=1.4,

解得=1,久2=5，

二则m的取值范围是1<zn<5.

故答案为：1〈爪<5.

以4。所在直线为y轴，以地面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，选定抛物线上两点C(3,1.8),

4(0,0.9)解答即可.

本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题

转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力.

15.【答案】解：2cos30°—tan60°+sin45°cos45°

=2x--V3+—x—

=+|

_1

一2'

【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可.

本题考查的是特殊角是三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

16.【答案】解：画树状图如下：

开始

ABC

Z\/\zA

BCACAB

共有6种等可能的结果，其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是a和。的结果有2种，

••・小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是a和c的概率为|=i

O3

【解析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是力和c的结果数，再利用概率

公式可得出答案.

本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

17.【答案】解：设该药店利润平均每月的增长率为x,

依题意得：5000(1+%)2=11250,

整理得：(1+X)2=2.25,

解得：%1=0.5=50%,%2=-2.5(不合题意，舍去).

答：该药店利润平均每月的增长率为50%.

【解析】设该药店利润平均每月的增长率为x,根据某药店九月份的销售利润是5000元，而十一月份的销

售利润为11250元，列出一元二次方程，解之取其正值即可.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

18.【答案】(1)证明：・•・ZD是斜边BC上的高，

・・・Z.BDA=90°,

•••^BAC=90°,

•••Z-BDA=Z-BAC,

又•••AB为公共角，

.-.△XBD-ACBA-,

(2)解：由(1)知△ABDsACB4

.BD_BA

••—,

BABC

,BD_6

=«

610

BD=3.6.

【解析】(1)根据已知条件得出NBD4=N8AC,又4B为公共角,于是得出△ABOsACBA

(2)根据相似三角形的性质即可求出BD的长.

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键.

19.【答案】解：(1)如图①，4D即为所求.

(2)如图②，取格点M,N,使4M=2,CN=3,AM//CN,连接MN交力C于点E,连接BE,

贝必AEMyCEN,

.AE_AM_2

：，~CE=~CN=3,

S^ABE：S^BCE=2：3，

则点E即为所求.

(3)如图③，取格点G,使AC=AG,ACLAG,取/G与网格线的交点H,

则竺=i,

~GH3

即竺=丝一

1AGAC4

连接CH交于点F,

1

•••tan乙4CF/,

则点尸即为所求.

图①图②图③

【解析】(1)取BC的中点0,连接AD即可.

(2)取格点M,N,使4M=2,CN=3,AM//CN,连接MN交AC于点E,则点E即为所求.

(3)取格点G,使4C=4G,AC1AG,取力G与网格线的交点“，连接CH交48于点尸，则点F即为所求.

本题考查作图一应用与设计作图、三角形的中线、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题

的关键.

20.【答案】0.94218980.95

【解析】解：(1)4714-500=0.942,2000X0.949=1898.

故答案为：0.942,1898；

(2)由题意知，从这批排球中任意抽取一个是合格品的概率估计值是0.95；

故答案为：0.95；

(3)25000X0.95=23750(个).

答：估计该厂生产的排球合格的有23750个.

(1)根据表中数据计算即可；

(2)利用频数估算出概率即可；

(3)根据概率计算即可.

本题考查的是利用频率估计概率，熟知当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结

果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率是解题的关键.

21.【答案】解：(1)当比=0时，y=—3,

■­.C(0,-3),

当y=0时，x2+2x—3=0,

解得：x1——3,x2—1>

A(-3,0),S(l,0)；

(2)y=x2+2x—3=(x+I)2-4,

,••抛物线的对称轴为直线x=-1,开口向上，

.••在一3WxW2范围当x=-1时，y最小值=一4；

当％=2时，y最大值=5,

y的最大值与最小值之差为9.

【解析】（1）令x=0,y=0列式求解即可得到答案；

（2）得到的解析式顶点式后，结合-3WXW2,可得当％=-1时y有最小值，当x=2时y有最大值，再计算

可以得解.

本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题时需要熟练

掌握二次函数的性质是解题的关键.

22.【答案】?4或2

【解析】解：【感知】如图①，设AC、CE交于点G,连接DE,

•••/-ABC=90°,AB=BC=4,V\

•••AC=VAB2+BC2=V42+42=4V~2，

•••AD、CE是Rt△ABC的中线，B---------~

Uv

.・.£）、E分别为CB、48的中点，图①'

DEIIAC,DE=|XC=2。

DGE~〉AGC,

.DG__EG__DE__1

"AG~'CG~AC~2"

11

・•.DG=^AD,EG=：CE,

••・M、N分别是AO和CE的中点，

1i

DM=%D，EN=^CE,

illiii

MG=^AD-^AD=yAD,NG=：CE—：CE=}CE,

.MG___1NG_lCE_1

•，=P^=2''EG=^E=29

MGNGJI#Z-«RTV\

V—=—,么MGN=LDGE,

DGEG

MGN~ADGE,

.MN_MG_1

''~DE~~DG~2"

：.MN=^DE=y[2,

・•.MN的长是，2

【应用】如图②，•噌=,

BC=2AB,

•・•AABC=90°,

AC=<AB2+BC2=y/AB2+(2/4B)2=岳AB,

,,,—AB--,

AC5

11

vAD=^AB,AE=^AC,

.丝_丝—工

••屈―前一2'

tAD_AB_

'•AE=~AC9

由旋转得上BAD=ACAE=a,

・•.△ABD〜△ACE,

.—BD—_—AB=_/—5,

CEAC5

故答案为：g

【拓展】如图③，CF//DE,

・・・△/8C是等边三角形，AB=8,

BC=AB=8,

•・・F是BE中点，

・•.FE=BF,

CDFEV

——1,

BCBF

•••CD=BC=8,

1

・•.CF=^CD=4；

如图④，CF与DE不平行，作GE〃CF交BD的延长线于点G,

,,CG_FE_

BCBF

CG=BC=8,

1

・•.CF=^GE,

由旋转得DE=CD,/,CDE=120°,

CF=^CD=1DE,4EDG=180°-乙CDE=60°,

11

GE=DE,

.•.△DEG是等边三角形，

1

GE=GD=DE=CD=^CG=4,

CF=^GE=2,

综上所述，CF=4或CF=2,

故答案为：4或2.

【感知】设2C、CE交于点G,连接DE,由乙48c=90。，AB=BC=4,求得AC=V/+BC2=42,

因为2D、CE是RtAABC的中线，所以DE//AC,DE=^AC=2y/l,,所以△4GC,则段=维=

LAuCG

萼=9,所以EG=』CE,而=EN=』CE,可证明萼=普=:，则AMGNSA

AC23322DGEG2

DGE,所以瞿=罂=:，可求得MN=QE=Y2

DEDG22

【应用】由黑=：,得BC=2ZB,贝［/C=N引82+BC?=V~^48,由冬=条=:，得咨=*，而

DC1乙21LJ21C*/2121C*

4BAD=4CAE=a,所以则也=处="，于是得到问题的答案；

CEAC5

【拓展】分两种情况讨论，一是CF"DE,则穿=黑=1,所以CD=8。=8,贝|CF=9CD=4；二是CF

BCBF2

与DE不平行，作GE〃CF交BD的延长线于点G,因为裳=某=1,所以CG=BC=8,贝|CF=9GE,由旋

DCDrZ

-11

转得DE=CD,4CDE=120°,贝l」CF=^CD=^DE,/.EDG=60°,所以GE=DE,则4DEG是等边三角

形，所以GE=GD=DE=CD=2CG=4,则CF=，GE=2,于是得到问题的答案.

此题重点考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、平行线分线段成

比例定理、等边三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性

强，难度较大，属于考试压轴题.

23.【答案】

【解析】解：（1）在RtAABD中，AD=10,AB=8,BD1AB,

：.BD=VXD2-AB2=V102-82=6，

ABD63

-'-tanA=^=8=4

故答案为：三

4

(2)当点P在48边上时，0<t<4,则4P=2t,

BP=AB-AP=8-2t；

当点P在BC边上时，4<t<9,

则BP=2t-8；

./P不rI上所述，Br-»Pn=鼠(8一—28t(04<t<49)

⑶•••四边形48CD是平行四边形，

BC=AD=10,CD=AB=8,

当点P在48边上时，0<t<4,则力P=23如图1,

11

••・S^BDQ=/BD•BP=-X6(8—2t)=24—63

由题意得24—6t=6,

解得：t=3；

当点P在BC边上时，4<t<9,如图2,BP=2t-8,

・•.CP=BC-BP=10-(2t-8)=18-23

•-PQ//BD,

.DQ=CDpnDQ=_8_

，•BPBC'艮2t-810’

4832

eInnnc1”屋32、24，96

•••S^BDQ=《BD-DQ=-X6(-1-y)=

由题意得—

解得：t=,；

综上所述，当ABDQ的面积等于6时，t的值为3或y.

4

(4)当点P在4B边上时，0<t<4,则力P=23BP=8—23

令8-2t=4,

解得：t=2,

PQ//BD,

••.AAPQ^AABD,

.PQBD削丝=。

"AP=AB'B2t8*

3

PQ=六，

酣

•.•四边形PQMN是矩形，

/.MN//PQ,MN=PQ=|t,

・•△BKNfBQP,

KNBN目口”_8-21

,•,丽=赤即9一=后

6t-3t2

・•.KN=

8-2t

O_Oy-23t

••・MK=MN-KN=：t一亭手-----,

Lo-Zt4-t

S^MQK1

由题意得:q8,

矩形PQMN

JS矩形PQMN=8s△MQK，

.3八小1a3t

即nn4x；t=8X彳*4*—,

Z7L4—t

解得：t=-4(不符合题意，舍去)；

当2<t<4时，如图4,BP=8-2t,

S矩形PQMN=QS^BPQ,

Q1Q

即4x六=8*尚乂次8—2t）,

解得：G=0（不符合题意，舍去），⑦—I；

当点P在BC边上时，4<t<9,贝i]BP=2t-8,

如图5,当4<tW6时，设BQ交PN于K,

贝IJ8P=2t—8,DQ=

PQ//BD,

CPQ~XCBD,

.PQ__CP_即PQ_10—(2J8)

"BD-CB'6-10'

PQ=

■-PK//CQ,

.，.△BPK~2BCQ,

tPK__BP_

•'~CQ=~BCf

nrzBP「八2t-8/8.,72、-8t2+1041-288

...P/<=_XCQ=-x(--t+y)=’

**'S矩形PQMN=8s"QK,

2

54-6t/门154-6t一-8t+10一4t-288‘

,..^X4=8X-X^X

解得：匕=丝等，上=生詈(舍去)；

当6<t<9时，如图6,不符合8Q将矩形PQMN分成的两部分的面积比为1：7,

综上所述，t的值为(或生皿1

24

(1)在RtAABD中，利用勾股定理可求出BD的长，再利用正切的定义可求解.

⑵分两种情形求解即可①当点P在4B边上时，0<t<4,当点P在BC边上时，4<t<9；

(3)分两种情形：当点P在力B边上时，0<t<4,当点P在BC边上时，4<t<9,根据三角形的面积建立

方程求解即可得出答案；

(4)分四种情形分别求解即可，当0<tW2时，当2<t<4时，当4<tW6时，当6<t<9时.

本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，相似三角形的判

定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用平行线分线段成比例定理，构

建方程解决问题，属于中考压轴题.

24.【答案】(8,0)等腰直角三角形

【解析】解：（1）过点4作力H18。于点H,如图,

••,抛物线的顶点4的坐标为(4,4),

OH=AH=4,

•••抛物线为轴对称图形，

AO=B0,

vAH1B0,

.・.OH=BH=4,

・•・OB=20H=8,

・•.8(8,0).

•：OH=HB=AH,AH1BO,

・•・/,AOB=AABO=AHAO=乙HAB=45°,

・•.Z.OAB=90°,

.•■AaoB的形状为等腰直角三角形.

故答案为：(8,0)；等腰直角三角形；

(2)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4,

•••该抛物线经过点(。,0),

•••16a+4=0,

1

・•・抛物线的解析式为y=