第1讲 集合的概念（学生版）-高一数学同步讲义

第1课集合的概念

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课程标准课标解读

1.元素与集合

(1)理解元素与集合的概念，知道常用

数集的概念及其记法.

(2)了解“属于"关系的意义.

1.通过集合语言的学习与运用，培养数学思维能力.

(3)了解有限集、无限集、空集的意义.

2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举

2.集合的表示方法

法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意

掌握集合的两种常用表示方法(列举

义和作用.

法、描述法).

3元.素的性质

理解集合元素的三个性质：确定性、

无序性、互异性.

生'知识点01集合的概念

1.集合与元素

一般地，我们把统称为元素，用小写拉丁字母a,be…表示.把组成的总体叫

做集合，用大写拉丁字母…表示.

2.元素与集合的关系

如果。是集合A的元素，就说。属于集合A，记作：如果。不是集合A中的元素，就说。不

属于集合A,记作.

3.集合中元素的特征

(1)：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集

合的元素，两者必居其一.这是判断一组对象是否构成集合的标准.

(2)：给定集合的元素是互不相同的.即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不

同的.

(3)：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系.

【微点拨】1.组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等.

2.aeA与aeA取决于元素。是否是集合A中的元素.根据集合中元素的确定性可知，对任何元素“

与集合月，aeA与这两种情况中必有一种且只有一种成立.

【知识拓展】集合的概念与特征

判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，

都能确定它是否是给定集合中的元素.注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可

以是其他任意确定的对象.

【即学即练1】用符号或填空:

(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A，美国A，印度A,

英国_____________A；

(2)若4={x|f=x},则-IA；

(3)若8={幻％2+%-6=0},则3B；

(4)若。={X61\|1轰!k10},贝IJ8C,9.1C.

'蔓,知识点02集合的分类：

1.集合的元素的个数是有限个的集合称为.

2.集合的元素的个数是无限个的集合称为.

3.集合中不含任何元素的集合称为.

【微点拨】集合的分类是以集合中元素的个数为标准进行分类的.

【即学即练2】用适当的方法表示下列集合，并判断是有限集，还是无限集？

(1)方程(x+l)(x—|)2(x2—2)(x2+1)=0的有理根组成的集合A；

(2)被3除余1的自然数组成的集合；

(3)坐标平面内，不在第一，三象限的点的集合；

（4）自然数的平方组成的集合.

妥、知识点03常用的数集及其记法

1.全体组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；

2.所有组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；

3.全体组成的集合称为整数集，记作Z；

4.全体组成的集合称为有理数集，记作Q；

5.全体组成的集合称为实数集，记作R.

【即学即练3】已知集合〃={刈工€附，则（）

A.OGMB.

C.垃sMD.

妥、知识点04集合的表示方法

1.列举法

把集合的元素___________出来，并用花括号”{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、

互异性、无序性.

（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用{R}表示所有实数是错误的，应是R.

2.描述法

用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集

合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的

【微点拨】用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是

其他形式.

【即学即练4】（I）集合{xCN+lx—3<2}用列举法可表示为（）

A.{0,123,4}B.{1,2,3,4}

C.{0,1,2,34,5}D.{1,2,3,4,5}

（2）由大于-3且小于II的偶数所组成的集合是（）

A.(x|—3<x<l1,xGZ)

B.{x|-3<x<ll}

C.{x|-3<x<ll,x=2k,keN}

D.{x|—3<x<lI,x=2k,kGZ}

c能力拓展

考法01

集合的概念与特征

判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都

能确定它是否是给定集合中的元素.注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以

是其他任意确定的对象.

【典例1］现有以下说法，其中正确的是（）

①接近于o的数的全体构成一个集合；

②正方体的全体构成一个集合；

③未来世界的高科技产品构成一个集合；

④不大于3的所有自然数构成一个集合.

A.①②B.②③

C.③④D.②④

考法02

元素与集合之间的关系

元素与集合之间有且仅有“属于（e）”和“不属于（鱼）“两种关系，且两者必居其一.判断一个对象是

否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.

若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不

等式（组）求解参数；若aeA,且集合A是用列举法表示的，则〃一定等于集合A的其中一个元素，

由此可列方程（组）求解.

【典例2】1）已知集合&={（》，y）|x2+VW3,xeZ,yeZ},则A中元素的个数为（）

A.9B.8

C.5D.4

2)【多选题】集合A=｛x|ax2+2x+i=()｝中有且仅有一个元素，则实数。的值为()

A.1B.-1C.0D.2

考法03

集合的表示方法

对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；

对于元素较多的集合宜采用描述法表示.

但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表

示多个元素.但要注意不要忽略集合中元素的代表形式.

【典例3】1)用适当的方法表示下列集合.

(1)小于5的自然数构成的集合；

(2)直角坐标系内第三象限的点集；

(3)偶数集.

2)试说明下列集合各表示什么？

A==8=｛x|y=4-2尤卜C=“尤,y)|y=g｝

0=[(尤=11;£=｛x=O,y=l｝；F=｛x+y=l,x-y=-l｝.

3)【多选题】下列说法中不正确的是()

A.0与｛0｝表示同一个集合

B.集合｛3,4｝与"=｛(3,4)｝表示同一个集合

C.方程(x-l)2(x—2)=0的所有解的集合可表示为｛1,1,2｝

D.集合｛x|4<x<5｝不能用列举法表示

fii分层提分

题组A基础过关练

1.下列命题中正确的（）

①o与{0}表示同一个集合；

②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或（3,2,11;

③方程（尤一1）2。-2）=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};

④集合{.r|4<x<5}可以用列举法表示.

A.只有①和④B.只有②和③

C.只有②D.以上语句都不对

2.若集合4={xGNa65},a=2y[2,则下面结论中正确的是（）

A.{a}QAB.aQA

C.[a}SAD.a^A

x+y=2

3.方程组〈.八的解构成的集合是（）

x-y=0

A.{1}B.（1,1）

C.{（1,1）}D.{1,1}

4.集合{3,x,中，x应满足的条件是（）

A.x^-1B.#0

C.#一1且存0且*3D./一1或对0或#3

5.已知集合A={1,2,3},集合8={z|z=尤一则集合8中元素的个数为

A.4B.5

C.6D.7

6.已知集合A=[x£Z士WZ则集合A中的元素个数为（）

A.2B.3

C.4D.5

7.已知集合4={工|"2+21+1=0,。£11}只有一个元素，则。的取值集合为（）

A.{1}B.{0}C.{0-1,1)D.{0,1}

8.M={xe/?|（l+Z:2）x<A:4+4},对任意的ZeR,总有（）

A.B.2GA/,0GMC.2eD.2^M,0GA/

2x+y=0

9.（多选）有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组〈。八的解集的是（）

x-y+3=0

工——]

A.{（x,y）|x=—l或y=2}B.「2>

C.{x=-l,y=2}D.{（-1,2））

xyz\^yz\

10.（多选）已知x，y，z为非零实数，代数式门+吉+1+j的值所组成的集合是M，则下列判断正确

nIX|z|町Z

的是（）

A.Q^MB.2eM

C.-4?MD.41M

题组B能力提升练

1.集合A={白eZkeN*）,用列举法可以表示为（）

A.{3,6}B.{1,2,4,5,6,9}

C.{-6,-3,-2,-1,3,6}D.{-6,-3,-2,-1,2,3,6）

2.（多选题）当一个非空数集G满足“如果4,。GG，则a+A,a-。"心eG,且岳口）时,@GG”时,我们称G就

h

是一个数域，以下关于数域的说法:①0是任何数域的元素;②若数域G有非零元素，则2019eG;③集合

P={x|x=24/eZ}是一个数域;④有理数集是一个数域;⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中

正确的选项有

A.①②B.②③C.③④D.④⑤

3.（多选题）设集合M={a|a=d-y2,x,y?Z},则对任意的整数”，形如4〃,4〃+1,4〃+2,4〃+3

的数中，是集合“中的元素的有()

A.4〃B.4〃+1C.4〃+2D.4〃+3

4.设集合4={%|3%-1一根<0},若则实数次的取值范围是

5.集合/>={刈℃2+4犬+4=0/€1^}中只含有1个元素，则实数。的取值是

6.根据要求写出下列集合.

(1)已知-5e{x|%2一6一5=。},用列举法表示集合{x|%2一4》一4=0}.

(2)已知集合A=■{WGN|x€N),用列举法表示集合A.

x-y+1=0

(3)已知方程组I、•,八，分别用描述法、列举法表示该集合.

2%+>-4=0

(4)已知集合8={(》，y)|2x+y-5=0,xGN,yGN},用列举法表示该集合.

(5)用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集.

7.下列三个集合：

①{如"+]}；

②皿=/+1};

③{(x，y)|y=x2+l).

(1)它们是不