高考数学一轮复习讲义（教师版）第一章集合与常用逻辑用语、不等式

第一章集合、常用逻辑用语、不等式

§1.1集合

【考试要求】1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义2理解元素与集合的属于关系，理解

集合间的包含和相等关系3会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、

集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号且或殳表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

非负整数集

集合正整数集整数集有理数集实数集

(或自然数集)

符号NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,

就称集合A为集合B的子集，记作AUB(或B^A).

(2)真子集：如果集合但存在元素xdB,且迎，就称集合A是集合8的真子集，记

作48(或BA).

⑶相等：若AQB,且些A，则4=艮

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的

真子集.

3.集合的基本运算

表示

运籍、集合语言图形语言记法

并集或xe8}(30AU3

交集[xlrGA,且xdB)(AA3

补集{xkGU,且VA}〔uA

【常用结论】

1.若集合4有〃(〃21)个元素，则集合A有2"个子集，2"—1个真子集.

2.AAB-GB,AU8—BUA.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)集合{xWN|x3=x},用列举法表示为{-1,0/}.(X)

(2){巾=4+1}={丫8=/+1}={(》,>))=/+1}.(X)

⑶若1e{*x},则x=-1或x=i.(x)

(4)对任意集合A,B,都有(ACB)=(AUB).(V)

【教材改编题】

1.(2022•新高考全国II)已知集合4=(-1,1,2,4},B=QH0},则AAB等于()

A.{-1,2)B.{1,2}

C.{1,4}D.{-1,4}

答案B

解析由得一IWX-IWI,解得0WxW2,所以B={x|0WxW2},所以4nB={1,2},

故选B.

2.下列集合与集合4={2022,1}相等的是()

A.(1,2022)

B.{(x,y)|x=2022,>=1}

C.{xk2-2023x+2022=0}

D.{(2022,1))

答案C

解析(1,2022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；

集合{(x,y)\x=2022,y=l}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意；

{xl%2—2023x+2022=0}={2022,1}=A,故C符合题意；

集合{(2022,1))的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意.

3.设全集U=R,集合A={x|—lWx<3},8={x|2x—42x-2},则AUB=,(MAAB)

答案{x\x^-1}{x|x<2或x23}

解析因为A={x|—lWx<3},8={x|2x-42x-2}={4x22},

所以4U8={x|x>一l},4cB={x|2<x<3},

[u(ACB)={x|x<2或x23}.

■探究核心题型

题型一集合的含义与表示

例1（1）（2022•衡水模拟）设集合A={（x,y）|y=x},B={（x,灿》=9},则集合ACB的元素

个数为（）

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析如图，函数y=x与y=/的图象有两个交点，

故集合ACB有两个元素.

（2）已知集合4={1,a~2,a^-a-\],若一16A,则实数〃的值为（）

A.1B.1或0

C.0D.-1或0

答案C

解析,•e—1GA,

若。-2=—1,即。=1时，A={1,-1,-1）,不符合集合元素的互异性；

若层一4一1=-1,即a=l（舍去）或a=0时，

A={1,-2,—1},

故a=0.

思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限

制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.

跟踪训练1（1）（多选）若集合用={小一2<0,代用，则下列四个命题中，错误的命题是（）

A.05MB.{0}GA/

C.{1}£MD.

答案ABD

解析对于A,因为M={xpv-2<0,xGN},所以OGM,所以A错误；

对于B,因为{0}是集合，且0GM,所以{0}UM,所以B错误；

对于C,因为16M,所以{1}=M,所以C正确；

对于D,因为1是元素，所以D错误.

⑵（2023・聊城模拟）已知集合4={0,1,2},8={4雨64匕£4},则集合3中元素的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析因为A={0,l,2},aSA,b^A,

所以ah=O或ah=1或ab=2或ah=4,

故2={〃"adA,beA}={0』,2,4},

即集合8中含有4个元素.

题型二集合间的基本关系

例2（1）（2022.宜春质检）己知集合A={x|y=ln（x-2）},8=“仅2-3},则下列结论正确的是

（）

A.A=BB.An8=0

C.ABD.BQA

答案C

解析由题设，可得A={4r>2},

又8={小3},

所以A是8的真子集，

故A,B,D错误，C正确.

（2）设集合A={x|—l<x+lW2},8={x|,〃-机+1},当xCZ时，集合4的真子集有

个；当B=A时，实数机的取值范围是.

答案15（一8,-2）U[-l,0]

解析A={x|-2GW1},

若xGZ,则4={-2,-1,0,1）.

故集合4的真子集有24—1=15（个）.

由BGA,

得①若8=0,则即〃?<—2,

2m+11,

②若BW0,贝卜2m+lWl,

jn—12一2,

解得一1w〃?wo,

综上，实数m的取值范围是(一8,-2)U[-1,O].

思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则

易造成漏解.

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转

化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

跟踪训练2(1)(多选)已知非空集合M满足：①M={-2,-1,1,2,3,4},②若xC仞，则

则集合“可能是()

A.{-1,1}B.{-1,1,2,4}

C.{1}D.{1,-2,2)

答案AC

解析由题意可知3由W且44M,而-2或2与4同时出现，

所以一2由W且2阵M,

所以满足条件的非空集合”有{一1,1},{1}.

(2)函数««)=、/一2一3的定义域为A集合8={x|-aWxW4-“},若BUA,则实数a的

取值范围是.

答案(-8,-3]Uf5,+8)

解析由/—2%—320,得x23或xW—1,

即A={x|x23或xW-1}.

显然8W0,

•'.4—aW-1或一

解得心5或aW—3,

故实数a的取值范围是(一8,-3]U[5,+8).

题型三集合的基本运算

命题点1集合的运算

例3(1)(2021•全国乙卷)已知集合5={#=2〃+1,nGZ],T={t\t=4n+\,〃GZ},则SC7

等于()

A.0B.SC.rD.Z

答案c

解析方法一在集合T中，令"=%(%ez),则f=4"+l=2(2%)+l(ZGZ),而集合S中，s

=2〃+l("CZ),所以必有TUS,所以SnT=T.

方法二S={…，-3,-1,1,3,5,-},T={…，-3,1,5,•••},观察可知，TQS,所以SAT

=T.

(2)设全集U=R,A={x|-2Wx<4},B={x\y=y[I+2],则图中阴影部分表示的集合为()

A.{x|xW—2}B.{x\x>~2}

C.{x|x24}D.{小W4}

答案C

解析观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于8而不属于A的元素构成，所以阴影部分

表示的集合为(1(4)08.

；4={x|—2Wx<4},U=R,

[,L'A—{X\X<-2或x24},

又B={x\y=y]x+2}^>B={x\x^—2},

.,.&A)nB={4r14}.

命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)

例4(2023•衡水模拟)已知集合4={由=ln(l-/)},B={xkWa},若([RA)UB=R,则实数

a的取值范围为()

A.(1,+°°)B.[1,+°°)

C.(一8,1)D.(一8,1]

答案B

解析由题可知A={x|y=ln(l-/)}={x[-

[RA={X|XW—1或x'l},

所以由(1RA)UB=R,得a2l.

思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；

如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.

跟踪训练3(1)(2022•全国甲卷)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,2},B={x*

-4x+3=0},贝IJIMAUB)等于()

A.{1,3}B.{0,3}

C.{-2,1}D.{-2,0}

答案D

解析由题意得集合B={1,3},所以AUB={-1,1,2,3},

所以Cu(AUB)={-2,0}.故选D.

(2)(2023・驻马店模拟)已知集合A={x[(x—l)(x—4)<0},B^{x\x>a],若AU8={x|x>l},则a

的取值范围是()

A.口⑷B.(1⑷

C.[4,+8)D.(4,+8)

答案A

解析由题意可得4={却<%<4}.

因为AUB={xlx>l},

所以lWa<4.

题型四集合的新定义问题

例5(1)(多选)当一个非空数集/满足条件“若a,bWF,则a+b,a-b,ab^F,且当b#0

时，尸”时，称F为一个数域，以下说法正确的是()

A.0是任何数域的元素

B.若数域尸有非零元素，则2023c尸

C.集合P={4x=3h%eZ}为数域

D.有理数集为数域

答案ABD

解析对于A,若"GF,则”一〃=0右尸，故A正确；

对于B,若且“W0,则1=、6尸，2=1+1WF,3=1+2GF,依此类推，可得2023CF,

故B正确；

对于C,P={x\x=3k,ZGZ},3GA6dP,但*P,故P不是数域，故C错误；

对于D,若“，人是两个有理数，则a+6a-h,ab,彳SW0)都是有理数，所以有理数集是

数域，故D正确.

(2)已知集合”={1,2,3,4},AQM,集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且

规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合4

的累积值为几

①若〃=3,则这样的集合A共有个；

②若n为偶数，则这样的集合A共有个.

答案213

解析①若〃=3,据“累积值”的定义得4={3}或4={1,3},这样的集合A共有2个；

②因为集合M的子集共有24=16(个)，

其中“累积值”为奇数的子集为{1},{3},{1,3},共3个，

所以“累积值”为偶数的集合共有13个.

思维升华解决集合新定义问题的关键

解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义

和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

跟踪训练4设集合U={2,3,4},对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非

空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越

大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，

依此类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是.

答案(2,4)

解析根据题意，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列为：0,{2},⑶,{4},{2,3},

{2,4},{3,4},{2,3,4}.

故排在第6位的子集为{2,4}.

课时精练

过基础保分练

1.(2022•全国乙卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足CuM={l,3},则()

A.2GMB.3G仞

C.4aMD.5W

答案A

解析由题意知时={2,4,5},故选A.

2.设集12y4},B={xeN|-l<x<2},则AUB等于()

A.{x|—l<x<2}B.{x\x<2]

C.{0,1}D.{1}

答案c

解析由2y4可得x<2,

则A={xeN*|2，<4}={l},

fi={x£N|-l<r<2}={0,l},

所以AUB={0』}.

3.(2022•娄底质检)集合M={(x,y)|2x-y=0},N={(x,y)|x+y—3=0},则MAN等于()

A.{(2,-1)}B.{2,-1}

C.{(1,2)}D.{1,2}

答案C

2x—y=0,

解析联立，

j+y-3=0,

x=l,

解得则MCN={(1,2)}.

3=2,

4.(2023・南京模拟)已知集合A={#?—6x-7<0),8={九=3*,x<l},则AC&B)等于()

A.[3,7)B.(一1,0]U[3,7)

C.[7,+8)D.(一8,-1)U[7,+8)

答案B

解析A={X|X2-6X-7<0}=(-1,7),

8={力=3。x<l}=(0,3),

所以CRB=(-8,0]U[3,+00),

所以An([RB)=(-l,0]U[3,7).

5.(2022•海南模拟)已知集合4={》仅2忘1},集合8={x|xeZ且x+lWA},则8等于()

A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0}

C.{12,—1,0,1}D.{-2,—1,0,1,2}

答案B

解析因为集合A={xlx2wi},

所以A={x|-lWxWl},

在集合8中，由x+lC4,得一1WX+1W1,即一2WxW0,又xGZ,所以x=-2,-1,0,

即8={-2,-1,0}.

6.(2022・怀仁模拟)已知集合A={x|l4<2},B^{x\x>m},若4c(碗=。,则实数的取

值范围为()

A.(一8,I]B.(-8,1)

C.[1,+8)D.(1,+8)

答案A

解析由题知AC([RB)=0,得AUB,则m<1.

7.(多选)已知集合4={1,3,，层},B={1,m}.若AUB=4,则实数机的值为()

A.0B.1C.2D.3

答案AD

解析因为AU8=4,所以

因为A={1,3,m2],B={1,m],

所以加2=加或山=3,解得机=0或机=1或m=3.

当加=0时,A={1,3,0},B={l,0},符合题意；

当,"=1时，集合A、集合8均不满足集合元素的互异性，不符合题意；

当机=3时，A={1,3,9},B={\,3},符合题意.

综上，m=0或3.

8.(多选)已知全集U的两个非空真子集A,8满足([〃)UB=B,则下列关系一定正确的是

()

A.ACB=0B.AQB=B

C.AUB=UD.&B)U4=A

答案CD

解析令U={1,2,3,4},4={2,3,4},B={1,2},满足(1uA)UB=8,但ACB#。，

故A,B均不正确；

由(CuA)UB=B,知[MGB,

.*.U=AUQA)U(AUB),:.AUB=U,

由知

...(CuB)UA=A,故C,D均正确.

9.(2023・金华模拟)已知集合0={1,2,3,4,5,6},5={1,3,5},7={2,3,6},则5。([“)=,

集合S共有个子集.

答案{1,5}8

解析由题意可得CuT={l,4,5},

则Sn([y7)={l,5}.

集合S的子集有23个，即8个.

10.(2023•石家庄模拟)已知全集U=R,集合M={xeZ||.r-l|<3},%={—4,-2,0,1,5).则

Venn图中阴影部分的集合为.

答案{—1,2,3}

解析集合M={xeZ|k-l|<3}={xeZ|-3a-l<3}={xdZ|-2<x<4}={-l,0,l,2,3},

则Venn图中阴影部分表示的集合是MC([RN)={-1,2,3}.

11.已知集合A={x|%2+x—6=0},B={x|〃?x+1=0},且AU8=A,则m的值可能是

答案0,—2>3

解析由/+%—6=0,得x=2或％=—3,

所以A={xk2+x—6=0}={-3,2},

因为4U3=A,所以3QA,

当3=0时，BNA成立,此时方程机x+l=0无解，得m=0；

当B六0时，得,"WO,则集合B={x|/nx+l=O}={—5],

因为8UA,所以一工=-3或一《=2,

mm

解得胆=(或m=—1,

综上，m=O,机=§或m=-1

12.已知集合4={川。+3)。-3)忘0},8={x|2，"-3WxW，“+l}.当机=-1时，则AUB=

;若ACB=B,则〃?的取值范围为.

答案[-5,3][0,2]U(4,+8)

解析A={x|-3WxW3},

当根=-1时，8={x|-5WxW0},

此时AUB=[-5,3].

由ACB=8可知BQA.

若B=0,则2m一3>加+1解得加>4；

2机—3W〃z+1,

若8W0,贝『帆+1W3,解得

2%—32—3,

综上所述，实数用的取值范围为[0,2]U(4,+8).

应综合提升练

13.(多选)已知全集U={xWN|log2X<3},A={1,2,3},【“408)={1,2,4,5,6,7},则集合B可

能为()

A.{2,3,4}B.{3,4,5}

C.{4,5,6}D.{3,5,6}

答案BD

解析由10g2X<3得0*23,即0<x<8,于是得全集U={123,4,5,6,7},

因为[u(ACB)={1,24,5,6,7},则有ACB={3},3eB,C不正确；

若8={2,3,4},则ACB={2,3},(m4Q8)={1,4,5,6,7),矛盾，A不正确；

若8={3,4,5},则AA8={3},["An8)={1,2,4,56,7},B正确；

若B={3,5,6},则AC8={3},[〃(AnB)={1,2,4,5,6,7},D正确.

14.某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有

180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二

天没参加活动的有人，这三天参加活动的最少有人.

答案160290

解析根据题意画出Venn图，如图所示,

19()

\bV）cA80

”表示只参加第一天的人，

〃表示只参加第二天的人，

c表示只参加第三天的人，

d表示只参加第一天与第二天的人，

e表示只参加第一天与第三天的人，

/表示只参加第二天与第三天的人，

g表示三天都参加的人，

，要使总人数最少，则令g最大，其次d,e,/也尽量大，d+g=30,f+g=40,

...a+e=160,即第一天参加但第二天没参加的有160人,

，gmax=30,d=0,f=10,a+d+g+e=190,

.,.c+e=140,

•'•Cmax—140,.,.，=（）,a—20,

则这三天参加活动的最少有a+Z>+c+…+g=20+90+0+0+140+10+30=290（人）.

应拓展冲刺练

15.（多选）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理

数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认

为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子

集M与N,且满足MUN=Q,MQN=0,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，

则称（M,M为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（）

A.M={xWQk<（）},N={xeQ|x>0}满足戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M没有最大元素，N也没有最小元素

答案BD

解析对于选项A,因为M={xGQ|x<0},N={x^Q\x>0],MUN={xeQ|xW0}WQ,故A

错误；

对于选项B,设例={xCQ|x<0},N={xGQ|x20},满足戴德金分割，则M没有最大元素，

N有一个最小元素0,故B正确；

对于选项C,若M有一个最大元素加，N有一个最小元素小若一定存在攵n)

使MUN=Q不成立;若m=几,则MAN=0不成立，故C错误；

对于选项D,设加=口右。伏<6},N={xeQ|x2<5},满足戴德金分割，此时M没有最大

元素，N也没有最小元素，故D正确.

16.我们将称为集合{x|aWxWb}的"长度".若集合A/={x|/wWxW/n+2022},N={A[??

-20234W"},且M,N都是集合{x|0WxW2024}的子集，则集合MAN的“长度”的最小

值为.

答案2021

解析由题意得，M的“长度”为2022,N的“长度”为2023,

要使MAN的“长度”最小，则M,N分别在{x|0Wx<2024}的两端.

当m=0,“=2024时，得A/={x|0WxW2022},N={x|lWxW2024},

则MAN={x|lWxW2022},此时集合MClN的“长度”为2022—1=2021；

当机=2,“=2023时,M={x|2WxW2024},N={x|0WxW2023},

则MAN={x|2WxW2023},此时集合MCN的“长度”^72023-2=2021.

故MCN的“长度”的最小值为2021.

§1.2常用逻辑用语

【考试要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质

定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系2理解全称量词和存在量词的意义，能正确对

两种命题进行否定.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若则〃是〃的充分条件,。是〃的必要条件

p是q的充分不必要条件p0q且q#p

p是q的必要不充分条件p#q且qOp

p是q的充要条件pgq

p是q的既不充分也不必要条件p#q且q4p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“工”表

不.

⑵存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号

“旦_”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记RXRM,〃(幻

否定㈱p(x)

【常用结论】

1.充分、必要条件与对应集合之间的关系

设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.

(1)若p是q的充分条件，则AGB；

(2)若p是q的充分不必要条件，则4B；

(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；

(4)若p是q的充要条件，则A=R

2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.

3.命题p与p的否定的真假性相反.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（l）p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件.（J）

（2）“三角形的内角和为180。”是全称量词命题.（V）

（3）已知集合4,B,AUB=ACB的充要条件是A=B.（V）

（4）命题'GxWR,si吟+cos/=；”是真命题.（X）

【教材改编题】

1.命题“Vx^R,e'—lex”的否定是（）

A.BxeR,ex-1B.V%eR,e'—lWx

C.ev—l<xD.VxGR»e*—l<r

答案C

解析由题意得命题“VxGR,e，一l2x"的否定是"mxCR,e'-l<xw.

2.（多选）下列命题中为真命题的是（）

A.VxGR,N>0B.VxGR,-KsinxWl

C.BxSR,2v<0D.3%eR,tanx=2

答案BD

解析当x=0时，/=0,所以A选项错误；

当xWR时，一iWsinxWl,所以B选项正确；

因为2'0,所以C选项错误；

因为函数y=tanxeR,所以D选项正确.

3.若“x>3”是“x>M’的必要不充分条件，则机的取值范围是.

答案（3,+8）

解析因为'">3”是“x>"”的必要不充分条件，

所以（机，+8）是（3,+8）的真子集，

由图可知m>3.

3"7X

■探究核心题型

题型一充分、必要条件的判定

例1⑴（2023・淮北模拟）ud>b>0n是“皆1”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由办b>0,得齐1,反之不成立，

如a=-2,6=—1,满足表1,但是不满足a>b>0,

故是峥1”的充分不必要条件.

(2)(2021•全国甲卷)等比数列&｝的公比为q,前〃项和为设甲：q>0,乙：｛£｝是递增数列,

则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案B

解析当ai<0,q>l时，斯=4U"一|<0,此时数列｛*｝单调递减，所以甲不是乙的充分条件.当

数列｛&｝单调递增时，有S“+i—S“=a“+i=aq>0,若*0,则/>0(〃GN*),即q>0；若“WO,

则/<0(〃CN*),不存在.所以甲是乙的必要条件.

思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据q=〃进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

⑵集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围

的推断问题.

跟踪训练1(1)(2022・长春模拟)'跟山=|。|时’是“。与〃共线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析因为a6=|0||b|cos〈*b)=\a\\b\9

所以cos(a,b)=1,

因为〈a,b)£[0,K],

所以〈a,b)=0,

所以。与。共线，

当Q与〃共线时，〈0,b)=0或(a,b)=7i,

所以〃•力=|a||力|cos(a,b)=|。恻或。•b=|a|[b|cos〈a,b}=—\a\\b\,

所以aa-b=\a]\b\"是“"与b共线”的充分不必要条件.

(2)(多选)已知基函数1x)=(4,〃一1)乂"，则下列选项中，能使得4”)刁(6)成立的一个充分不必要

条件是()

A.0<^<^B.a2>b2

C.Ina>lnbD.2a>2h

答案AC

解析由题设知4机—1=1,可得机=3，故式x)=5，

所以，要使7(。)»力)，则也—/，即

0<^<|台,A符合题意；

Ina>lnb0a>b>0,C符合题意；

B,D选项中a,人均有可能为负数，B,D不符合题意.

题型二充分、必要条件的应用

例2在①AU8=B；②"x£A”是的充分条件；③“XGCRA”是“XW(：RB”的必

要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.

问题：已知集合A={x|aWxWa+2},B={JC|(X+1)(%—3)<0}.

⑴当a=2时，求4n8；

(2)若,求实数a的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解⑴由(x+l)(x-3)vO,

解得一l<x<3,

所以B={<x+l)(x-3)<0}-{x|-l<r<3},

当a=2时，A={x|2WxW4},

所以AClB={x[2Wx<3}.

Cl>一19

(2)若选①4UB=8,则AU8,所以彳解得一1<“<1,即a©(—1,1)；

a+2<3,

fi7>—1,

若选②"xCA”是“xCB”的充分条件，则AUB,所以,解得一1<〃<1,

[a+2<3,

即a£(—1,1);

fa>—1,

若选③“XG[RA”是的必要条件，则AEB,所以,解得一即

[a+2<3,

思维升华求参数问题的解题策略

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出

关于参数的不等式（或不等式组）求解.

（2）要注意区间端点值的检验.

跟踪训练2（2023•宜昌模拟）已知集合A={x|-2令<3},B={x\x1-2mxJrn^-\<Q].

（1）若机=2,求集合AC8；

（2）己知p：q：xGB,是否存在实数相，使p是q的必要不充分条件，若存在实数

求出机的取值范围；若不存在，请说明理由.

解（1）由《1=2及%2—2〃?x+m2—1<0,

得x2—4x+3<0,解得l<x<3,

所以B={x|l<x<3},

又A={x[—2<xW3},

所以An2={x[l<x<3}.

（2）由%2—2znx+/n2—1<0,

得[x—（〃?一（»i+

所以m-\<x<m-\-1,

所以B—{x\m—l<x<zn+1}.

由p是q的必要不充分条件，

得集合B是集合A的真子集，

-1》一2,

所以,一0一lWmW2（两端等号不会同时取得），

“+1W3

所以根的取值范围为[—1,2].

题型三全称量词与存在量词

命题点1含量词命题的否定

例3（2022•漳州模拟）命题“DaCR,N—ar+l=0有实数解”的否定是（）

A.VaeR,r一ox+1=0无实数解

B.BrzGR,一ax+l=0无实数解

C.VaSR,/一分+1#0有实数解

D.BaGR,f-or+l#。有实数解

答案B

解析因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以/一6+1=0有实数解”的否定是x2-ox+l=0无实数解”.

命题点2含量词命题真假的判断

例4（多选）（2023・沈阳模拟）下列命题中为真命题的是（）

A.白力

2

B.对于VxdR,nSN*J§Ln>\,都有很=x

C.VxeR,ln(x-l)220

D.Inx^x—1

答案AD

解析当x20时，04Wl,故A项是真命题;

当"为偶数，且x<0时，^=~x,故B项是假命题；

当x=l时，ln(x-1下无意义，故C项是假命题；

当x=1时，\nx^x-1,故D项是真命题.

命题点3含量词命题的应用

例5若“为乱一节郛sinx。”是假命题，则实数%的最大值为()

A2B--2。坐D.菩

答案D

JTJT

解析因为"3XG|_-3,可，sinx<』'是假命题，

所以“力豆一》JT不冗〃Wsinx”是真命题，

717r_I、、

即加二sinx对于—y§恒成立,所以mW(sinx)min,

因为尸5足工在［一小全上单调递增，

所以％=—T时，y=sinx最小，其最小值为y=sin(—§=—sin胃=一坐，

所以,〃w—乎，所以实数,〃的最大值为一坐.

思维升华含量词命题的解题策略

(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一

个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求

参数的范围.

跟踪训练3(1)已知命题p：〃222〃+5,则幺弟〃为()

A.V〃eN,/22〃+5

B.层・2〃+5

C.VnSN,n2<2n+5

D./=2〃+5

答案C

解析由存在量词命题的否定可知，㈱2为序<2"+5.所以C正确，A,B,D错误.

（2）（多选）下列命题是真命题的是（）

A.VxGR»—x2—1<0

B.V〃GZ,nm=m

C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径

13

D.存在实数X,使得冷定=：

答案ABC

解析VxGR,—/WO,所以一X2—1<0,故A项是真命题；

当机=0时，"%=机恒成立，故B项是真命题；

任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；

因为/一您+3=（》-1）2+222,

所以江二［不3三1故D项是假命题•

（3）若命题“mxCR,/+（a—l）x+1<0"的否定是假命题，则实数a的取值范围是.

答案（一8,-1）U（3,+8）

解析命题“mxCR,N+（a_i）x+i<o”的否定是假命题，

则命题ux2+（a—l）x+1<OW是真命题，

即/=（“-1）2—4>0,

解得a>3或a<—1,

故实数a的取值范围是（一8,-|）U（3,+8）.

课时精练

应基础保分练

1.（2023•上饶模拟）“炉>2021”是“42022”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析若炉>2022,因为2022>2021,故炉>2021,

故">2022”可以推出“正>2021”，

取/=2021.5,则满足/>2021,但/>2022不成立，

所以“炉>2021”不能推出文>2022”,

所以“42021”是“42022”的必要不充分条件.

2.已知命题p：mxGQ,使得KN,则㈱2为（）

A.VA^Q,都有依NB.SA-^Q,使得

C.VxeQ,都有xdND.3xeQ,使得xdN

答案c

解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，

所以由p：使得KN,

得㈱p：VxGQ,都有xGN.

3.已知命题：“VxCR,方程必+以+―。有解”是真命题，则实数”的取值范围是（）

A.a<4B.“W4

C.«>4D.a24

答案B

解析“VxWR,方程%2+4x+a=0有解”是真命题，

故/=16—4"N0,解得“W4.

4.（2023•武汉模拟）已知“，b是两条不重合的直线，a为一个平面，且a，a,则“6，a”是

ua//b,）的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析当6_La时，结合a_La,可得a〃匕，充分性满足；

当“〃人时，结合可得必要性满足.

故ab±an是aa//bn的充要条件.

5.命题“VlWxW2,/一“W0”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.B.a25

C.D.aW5

答案B

解析因为命题“VlWxW2,/—aWO”是真命题，

所以VlWx<2,.，必恒成立，

所以

结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是“25.

6.（多选）下列命题是真命题的是（）

A.所有的素数都是奇数

B.有一个实数x,使/+2x+3=0

C."a=『是"sina=sin£”成立的充分不必要条件

D.命题”mxWR,x+2W0”的否定是''DxCR,x+2>0”

答案CD

解析2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题；

对于方程/+2v+3=0,其中/=22-4X3=-8<0,

所以不存在实数,使得/+2x+3=0成立，所以B是假命题；

由a=Q=>sina=sin£,但由sina=sin[i不能得到a=p,故"a=夕"是"sinct=sin0”成立

的充分不必要条件，所以C是真命题；

根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题X+2W0”的否定是“V

xGR,x+2>0"，所以D是真命题.

7.（多选）若“mxe（0,2）,使得左一女+上。成立”是假命题，则实数2可能的值是（）

A.1B.2吸C.3D.3^2

答案AB

解析由题意可知，命题“X/xG（0,2）,2?一六+120成立"是真命题，

所以MW2x2+l,可得

当xe（0,2）时，由基本不等式可得

2%+》2^^=2啦，

当且仅当*=孚时，等号成立，

所以吸.

8.南北朝时期的伟大科学家祖晒在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖晅原理：“哥

势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个

平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相

等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为弘，V2,被平行于这两个平面

的任意平面截得的两个截面面积分别为Si,S2,则“Si,S2不总相等”是“弘，L不相等”

的（）

，命Q

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析命题：如果“S,S2不总相等”，那么“山，L不相等”的等价命题是：如果“0,

L