2023年高考数学一轮复习习题：第九章第8节　微课3　最值、范围问题

微课3最值、范围问题

岭题型分类突破一

题型一最值问题

【例1】(2021•齐齐哈尔一模)已知椭圆八a+g=l(α>6>0)的左、右焦点分别为F∣,F2.

短轴的两个顶点与Q,尸2构成面积为2的正方形，

(1)求「的方程；

(2)如图所示，过右焦点尸2的直线交椭圆「于4,8两点，连接Ao并延长，交〃于点C,

求AABC面积的最大值.

解(1)因为椭圆C的短轴的两个顶点与Q,3构成面积为2的正方形,

所以6=c,SiE=层=2,贝Uα=<5,b—c—1,

故椭圆厂的方程为zf+y2=l∙

(2)①当直线A8的斜率存在时，设直线AB的方程为y=A(x—1),

联立(r2消去y整理得(1+2fc2)x2-4A⅛+2∕-2=0,

4422&2—2

设A(X1,yι),5(X2,>2),则X1+X2=]+2代'X[X2=~l+2k29

2

所以∖AB∖=y∣1+^∙∙∖∕(ΛJ+X2)2~4X↑X2

5√≡z⅛当翳,

点O到直线kx—y—k—Q的距离d=

因为。是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2d=-y芈

√l+⅛2

所以2∖ABC面积S=^∖AB∖-2d

12√2(1÷^)2∣⅛∣__r-F(l+⅛2)

-2X1+2^×√TTP-N2'(1+2F)2

1-4(2R+l)2<啦，

②当直线AB的斜率不存在时，不妨取A(1,孝《1,一坐)，c(-l,一孝)，

故aABC面积S=∣×2×√2-√2,

综上，BC面积的最大值为√Σ

感悟升华圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：-

是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求

解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析

式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.

2

【训练1】(2020.浙江卷)如图，已知椭圆Ci：y+j=l,抛物线C2：y2=2pφ7>0),点A

是椭圆Ci与抛物线C2的交点，过点A的直线I交椭圆G于点B,交抛物线C2于点M(B,

M不同于A).

(1)若P=七，求抛物线C2的焦点坐标；

(2)若存在不过原点的直线/使M为线段AB的中点，求P的最大值.

解⑴由/?=£,得抛物线C2的焦点坐标是(专，。)

(2)由题意可设直线/：x-my+t(m≠0,r≠0),,⅛A(xo,yo).

将直线/的方程代入椭圆C∣:f+j2=l,得

222

(m+2)y+2mty+t-2=0i

所以点M的纵坐标加=一溪ɪ.

将直线/的方程代入抛物线C2:y2=2px,得y2-2pnzy-2Pf=0,

所以>w=-2小，解得火=2叫+2),

EH2p(∕n2+2)2

因此XO=工⅛~2∙.

由5+M=1，得3=4"+^)2+2(加+力2160,

当且仅当《7=也，时，P取到最大值

题型二范围问题

【例2】已知椭圆C：兴+乐=Im>〃>。)的离心率e=坐，直线x+小厂I=O被以椭圆C

的短轴为直径的圆截得的弦长为小.

(1)求椭圆C的方程；

⑵过点M(4,0)的直线/交椭圆于A,B两个不同的点，且7=∣MAHM用，求2的取值范围.

解⑴原点到直线x+√5y—1=O的距离为3，

由题得©2+停∣2=b2S>0),解得S=L

抉3

又02=/=]一/=不得α=2.

所以椭圆C的方程为Y+V=ι.

(2)当直线/的斜率为。时，λ=∖MA∖-∖MB∖=∖2.

当直线/的斜率不为O时，设直线/：X=四，+4,点A(XI,%),8(X2,J2),

X=Any+4,

联立<e+2_]消去X得(加2+4))2+8/Hy+12=0.

由J=6W-48(W2+4)>0,得w2>12,

12

所以YM=而Z

22

λ=∖MA∖-∖MB∖=√∕n+l6∣∙√∕n+l∖y2∖

=(而+l)yy2∣=¾⅛u=12。一品).

3339

由机2>12，得°<谪7<玄，所以T<2<12.

综上可得：y<Λ≤12,即A∈传，12.

感悟升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量

关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的

取值范围.

【训练2】(2021.齐鲁名校联合测试)已知椭圆E：点+g=im>%>O)的焦距为2,左、右焦

点分别为E，F2.过点R的直线/(不与X轴重合)交椭圆于A,B两点.

(1)若点A恰好为椭圆的上顶点，且H8∣=∣∣Q8∣,求椭圆E的标准方程;

⑵若点A关于点F2的对称点为点C,且点C恰好在椭圆上，求点β的横坐标的取值范围.

解(D由题意得，F∣(-l,0),A(0,b),设B(X0,州)，

5—3—3

由IABI=习Fι8∣可得AFl=受了出,于是得(一1,T)=g(∙Xo+l,yo),

33

—1=y0+2>xo=~y

所以”得

yo=—1⅛.

—⅛=25,o,

254b2

因为点B在椭圆上，所以券+券=1，

得4=5,所以拄=5—1=4,

故椭圆E的标准方程为弓+?=1.

(2)由题意及椭圆的对称性，得AC为椭圆的通径.

不妨设点A(l,yι)(yι>O),点B(XB,yβ),

将点A的坐标代入，+:=1,得/+%=1,得力=，

b2

^--0,,

ab2

于是直线/的斜率为

1-(-1)2a,

⅛2

直线/的方程为y=五(x+l).

1)，

联立方程消去y,整理得

(a2+3)x2+2(<72-1)X-3a2-1=0,

3α2+l

由根与系数的关系，得1∙XB

次+3'

3α2+l

于是，Xn

a2+3-

,,,3f+1,8

设n则r1XB=-DM^=-3+}∣M,

8

令财=-3+不，

O

则yω在(1,+8)上单调递减，所以当介1时，物=-3+用的取值范围为(-3,-1),

即点B的横坐标的取值范围是(-3,-1).

核心素养/，，设而不求，整体代换”解圆锥曲线问题

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理

解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果

等.

[典例】(2020•湖北部分重点中学联考)已知抛物线C：y2=2px(p>0),点F为抛物线C的

焦点，点4(1,%)(,77>O)在抛物线C上，且IaII=2,过点尸作斜率为AeW&W2)的直线/与

抛物线C交于P,Q两点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)求AAPQ面积的取值范围.

解(1)由抛物线的定义可得

∖FA∖=XA+2=∙+Q=2,所以p=2,

所以抛物线的方程为y2=4x∙

、Iy=A(X—1),

(2)设直线/的方程为y=&(x-1),P(X]9γι),。(必问，联立彳得公炉―Q&

[y2=4x

4)x+R=0,

/>0恒成立，

2壮+4

由根与系数的关系得X1+x2=-F-'XIX2=1,

因为AFLX轴，则S∆APρ=∣×∣Λ∕η×hrl-χ2∣

=IXI—X2∣=7(X1+12)2-4尤1X2

=48/护=4#7需，因为吴Z2,令尸白

所以SAAPQ=4∙√,+GWrW4),

所以小WS△人尸e≤8√5,

所以尸Q的面积的取值范围为[小，8√5J.

素养升华本例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P,Q点的坐标而不求解又体现

了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程.

惨题型跟踪训练一

1.(2020•新高考海南卷)已知椭圆C：a+g=13>b>°)过点欣2,3),点A为其左顶点，且

AM的斜率为;.

(1)求C的方程;

(2)点N为椭圆上任意一点，求AAMN的面积的最大值.

解(1)由题意可知直线AM的方程为y-3=∕χ-2),即万一2)，=-4.当y=0时，解得X=

-4,

22

所以Q=4.由椭圆C：a+方=l(α>b>0)过点M(2,3),

49

可得而+W=I，解得加=12.

所以C的方程为∙⅛+S=ι.

IoIZ

(2)设与直线AM平行的直线方程为χ-2y-m(m≠-4-).

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时aAMN

的面积取得最大值.

联立直线方程χ-2y=∕n与椭圆方程喘+*1,

可得3(∕n+2y)2+4y2=48,

化简可得16γ2÷12∕ny+3∕π2-48=0,

所以∕=144m2-4X16(3m2-48)=0,

即加2=64,解得nz=÷8,

与AM距离比较远的直线方程为无一2》=8,

点N与直线AM的距离即两平行线之间的距离，

即八翼±=笠与

√l+45

由两点之间距离公式可得IAM=√(2+4)2+32=3√5.

所以AAMN的面积的最大值为^X3/义总因=18.

2.(2020・惠州三调)已知椭圆a+g=l(a>6>0)过点p(l,且左焦点与抛物线V=一软的

焦点重合.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线/：y=fcv+故GlWo)与椭圆交于不同的两点M,N,线段M