初中几何最值问题(全面经典版)含解析

将军饮马问题（过河问题）二、三、转移边构造1.转移边构全等2.转移边构造平行四边形3.转移边构造圆（多见旋转与折叠问题）四、利用定值（直角三角形斜边中线等于斜边一半）五、三边和最小问题六、利用对称、旋转构建特殊角（30、45、60、90）七、胡不归模型问题八、阿氏圆模型问题九、转化函数求最值十、特殊平行四边形中的最值十一、圆中的最值问题将军饮马问题（过河问题）例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．13例2．在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2 B．2 C．6 D．3二、例3．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，BD是∠ABC的平分线．若P、Q分别是BD和AB上的动点，则PA+PQ的最小值是（）A． B．4 C． D．5三、转移边构造1.转移边构全等例4.如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．（则在点E运动过程中，DF的最小值是．例5．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝度．2.转移边构造平行四边形例6.如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝6，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM+ON的最小值是．例7．如图，在等边△ABC和等边△DEF中，FD在直线AC上，BC＝3DE＝3，连接BD，BE，则当BD+BE最小时D位于何处，在下图在标记出来，并简要说明。3.转移边构造圆（多见旋转与折叠问题）例8．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．变式1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′B长度的最小值是．变式2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．3.2 B．2 C．1.2 D．1例9、如图，在正方形ABCD中，AB＝a（a为常数），点E，F分别是BC，CD上的两个动点，AE与BF交于点P，若BE＝CF，连接CP，当CP有最小值为4时，则a值为．变式1、如图，已知等边△ABC的边长为2，D，E分别为BC，AC上的两个动点，且AE＝CD，连接BE，AD交于点P，则CP的最小值是．例10、如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为．变式1、如图，已知正方形ABCD的边长为2，点O为正方形的中心，点G为AB边上一动点，直线GO交CD于点H，过点D作DE⊥GO，垂足为点E，连接CE，则CE的最小值为（）A．2 B．4﹣ C． D．﹣1四、直角三角形斜边中线等于斜边一半例11．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝8，AC＝3，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限内，连接OC，则OC的长的最大值为（）A．8 B．9 C．4+2 D．4+3变式1．如图，已知菱形ABCD中，BC＝10，∠BCD＝60°两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是．例12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为．五、三边和最小问题例13、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°．在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为140°．变式1、如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10° B．20° C．40° D．60°六、利用对称、旋转构建特殊角（30、45、60）例14．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是．例15．在△ABC中，AB＝4，∠A＝30°，AC＝3，点O是△ABC内一点，则点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是．变式1．点O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，，则∠AOB＝．七、胡不归问题（PA+kPB：P是动点，A、B是定点，P在直线上运动）背景补充：从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题．抽象出这个故事里的问题，我们会得到一个模型，就如下图所示：归纳一下运用胡不归的解题套路：分三步1.化成模型DB+K·AD（K<1）。2.在AD的一侧，在BD的异侧，构造α,使得sinα=k,得到一条射线AM，以动点所在的线段为斜边。3.过B点作垂直于AM的垂线即可。例16、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是．练习1．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于．练习2．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于．例17、如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，AP+BP+CP的最小值是多少？练习1、八、阿氏圆（PA+kPB：P是动点，A、B是定点，P在圆上运动）解题套路：构建共角共边的相似三角形（写A型）例18．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，点C在OA上，AC＝4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；（2）求CE+2DE的最小值．九、转化函数求最值例19.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与边CD相交于点Q．则CQ的最大值为．十、特殊平行四边形中的最值1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上动点，PQ平行于BC交CD于Q．M是AD上动点，MN平行于AB交BC于N．则PM+NQ的最小值为．2．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠DAC＝30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是．3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为．4．如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为5．如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为多少？（）A．1 B．C．2 D．7．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作∠MPC的角平分线交边CD于点N．则线段MN的最小值为．十一、圆中的最值问题1．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A． B． C．3 D．52．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当∠QCN度数取最大值时，线段CQ的长为．3．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC＝，则CQ的最大值为．4．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是4．5．如图，⊙O半径为3，Rt△ABC的顶点A，B在⊙O上，∠B＝90°，点C在⊙O内，且tanA＝，当点A在圆上运动时，则OC的最小值为______．6．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．7．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为．8．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点E，F，连接EF，OE．（1）求证：∠OEF＝∠ABC；（2）如图2，连接BE，若点D是线段BE上的一个动点，且tan∠CFE＝2，求CD+BD的最小值．9．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB＝8时，求CD+OD的最小值．10．问题提出：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanA的值是．（2）如图②，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是平面上一动点，且BE＝2，连接CE，在CE上方作正方形EFGC，求线段CF的最大值．问题解决：（3）如图③，⊙O半径为6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，且tanA＝．当点A在圆上运动时，求线段OC的最小值．将军饮马问题（过河问题）例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【解】∵AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，∴AD＝12，∵EF垂直平分AB，∴点A，B关于执行EF对称，∴AD的长度＝PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值为12，故选：C．例2．在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2 B．2 C．6 D．3【解】把B向左移动2个单位得到N，∴AC+BD的最小值为2．故选：B．二、例3．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，BD是∠ABC的平分线．若P、Q分别是BD和AB上的动点，则PA+PQ的最小值是（C）A． B．4 C． D．5【解】如图，作点Q关于直线BD的对称点Q′，作AM⊥BC于M，∵PA+PQ＝PA+PQ′，∴根据垂线段最短可知，当A，P，Q′共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值＝线段AM的长．∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC＝8，∴AM＝＝＝，三、转移边构造1.转移边构全等例4.如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．（则在点E运动过程中，DF的最小值是1.5．【解】如图，取AC的中点G，连接EG，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF＝60°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等边△ABC的对称轴，∴CD＝BC，∴CD＝CG，又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×6＝3，∴EG＝AG＝×3＝1.5，∴DF＝1.5．故答案为：1.5．例5．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝30度．【解】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故答案为30．2.转移边构造平行四边形例6.如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝6，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM+ON的最小值是2．【分析】利用轴对称变换以及平移变换，作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的性质以及轴对称的性质，可得当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长，利用勾股定理进行计算，即可得到OQ的长，进而得出OM+ON的最小值．【解】如图所示，作点O关于BC的对称点P，连接PM，将MP沿着MN的方向平移MN长的距离，得到NQ，连接PQ，则四边形MNQP是平行四边形，∴MN＝PQ＝2，PM＝NQ＝MO，∴OM+ON＝QN+ON，当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长，连接PO，交BC于E，由轴对称的性质，可得BC垂直平分OP，又∵矩形ABCD中，OB＝OC，∴E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB＝3，∴OP＝2×3＝6，又∵PQ∥MN，∴PQ⊥OP，∴Rt△OPQ中，OQ＝＝＝2，∴OM+ON的最小值是2，例7．如图，在等边△ABC和等边△DEF中，FD在直线AC上，BC＝3DE＝3，连接BD，BE，则当BD+BE最小时D位于何处，在下图在标记出来，并简要说明。【解】如图，延长CB到T，使得BT＝DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW交AC于D,D即为所求。2.转移边构造圆（多见旋转与折叠问题）例8．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是﹣1．【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．【解】如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴FD＝MD＝，∴FM＝DM×cos30°＝，∴MC＝＝，∴A′C＝MC﹣MA′＝﹣1．故答案为：﹣1．变式1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′B长度的最小值是﹣1．【分析】根据菱形的性质，可得△ABD是等边三角形，即可得AM＝1，BM＝，根据折叠的性质可得A'M＝AM＝1，当点A'在线段BM上时，A'B长度最小，即最小值为﹣1．【解】如图，连接BD，BM，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝2，且∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，且点M是AD的中点，∴BM⊥AD，∴AM＝1，BM＝AM＝，∵将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，∴A'M＝AM＝1，∴当点A'在BM上时，A'B的值最小，∴A'B的最小值为﹣1故答案为：﹣1变式2、28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．3.2 B．2 C．1.2 D．1【解】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．（点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小）∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，∴△AFM∽△ABC，∴，∵CF＝2，AC＝6，BC＝8，∴AF＝4，AB＝＝10，∴＝，∴FM＝3.2，∵PF＝CF＝2，∴PM＝1.2∴点P到边AB距离的最小值是1.2．故选：C．例9、如图，在正方形ABCD中，AB＝a（a为常数），点E，F分别是BC，CD上的两个动点，AE与BF交于点P，若BE＝CF，连接CP，当CP有最小值为4时，则a值为2+2．【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，根据全等三角形大小在得到∠BAE＝∠CBF，推出点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为G，由图形可知：当CPG在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：设BC＝2x，则BG＝x，CG＝4+x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解】在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为G，由图形可知：当CPG在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：设BC＝2x，则BG＝x，CG＝4+x，∴BC2+BG2＝CG2，即（4+x）2＝4x2+x2，解得：x＝1+（负值舍去）；∴a值为2+2，变式1、如图，已知等边△ABC的边长为2，D，E分别为BC，AC上的两个动点，且AE＝CD，连接BE，AD交于点P，则CP的最小值是2．【分析】易证△ABD≌△BCE，可得∠BAD＝∠CBE，根据∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，即可求得∠APE＝∠ABC，推出∠APB＝120°，推出点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，求出OC，OA，再利用三角形的三边关系即可解决问题．【解】∵CD＝AE，∴BD＝CE，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），故∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°，∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，∵∠AOB+∠ACB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∵，∴，∴＝＝4．∴OP＝2，∴PC的最小值为OC﹣r＝4＝2．例10、如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为2．【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．【解】如图：取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．由以上作图可知，BG⊥EC于G．PD+PG＝PD′+PG＝D′G由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小．∵D′C′＝4，OC′＝6∴D′O＝∴D′G＝2∴PD+PG的最小值为2变式1、如图，已知正方形ABCD的边长为2，点O为正方形的中心，点G为AB边上一动点，直线GO交CD于点H，过点D作DE⊥GO，垂足为点E，连接CE，则CE的最小值为（）A．2 B．4﹣ C． D．﹣1【分析】由题意可得点E在以OD为直径的圆上运动，当OD中点F，点E，点C三点共线时，CE有最小值，由正方形的性质和勾股定理可求CF＝，即可求解．【解】如图，连接OC，OD，∵DE⊥GO，∴点E在以OD为直径的圆上运动，∴当OD中点F，点E，点C三点共线时，CE有最小值，∵正方形ABCD的边长为2，∴OC＝OD＝2，∴OF＝1，∴CF＝＝＝，∴CE的最小值＝﹣1，四、直角三角形斜边中线等于斜边一半例11．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝8，AC＝3，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限内，连接OC，则OC的长的最大值为（）A．8 B．9 C．4+2 D．4+3【分析】取AB中点P，连接OP、CP，根据直角三角形的性质求出OP，根据勾股定理求出PC，根据三角形的三边关系解答即可．【解】取AB中点P，连接OP、CP，则OP＝AP＝AB＝4，由勾股定理得，CP＝＝5，利用三角形两边之和大于点三边可知：OC≤OP+PC＝9，OC的长的最大值为9，故选：B．变式1．如图，已知菱形ABCD中，BC＝10，∠BCD＝60°两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是5﹣5．【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A点位置，进而求出AO的长．【解】如图所示：取BD中点E，OA≥AE-OE。OE为定值，当AE最小时，OA最小。过点A作AE⊥BD于点E，当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，∵菱形ABCD中，BC＝10，∠BCD＝60°，∴AB＝AD＝CD＝BC＝10，∠BAD＝∠BCD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO＝BD＝5，故AO的最小值为：AO＝AE﹣EO＝ABsin60°﹣×BD＝5﹣5．例12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为．【分析】如图，连接OM，作OG⊥AB于G，CG⊥AB于G．由题意MN＝2MG＝2，OM＝，推出欲求MN的最大值，只要求出OG的最小值即可．取DE中点O，则OC＝，在Rt△ACB中，∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，∵•AB•CG＝•AC•BC，∴CG＝，当C，O，H共线，且与CK重合时，OH的值最小，∴OH的最小值为﹣＝，∴MN的最大值＝2＝，五、三边和最小问题例13、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°．在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为140°．【解】如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，∵∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣110°＝70°，由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×70°＝140°．故答案为140°．变式1、如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10° B．20° C．40° D．60°【解】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），∴β﹣α＝40°，故选：C．六、利用对称、旋转构建特殊角（30、45、60）例14．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是6．【解】如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．由题意AD＝EB＝2，AC＝CB＝2，DM＝CM＝CN＝EN＝2，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，∵∠DCE＝120°，∴∠ACD+∠BCE＝60°，∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN，∴∠ACM+∠BCN＝120°，∴∠MCN＝60°，∵CM＝CN＝2，∴△CMN是等边三角形，∴MN＝2，∵DE≤DM+MN+EN，∴DE≤6，∴当D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为6，故答案为：6．例15．在△ABC中，AB＝4，∠A＝30°，AC＝3，点O是△ABC内一点，则点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是5．【解】如图，分别以OA和AB边向外作等边三角形ABD和AOE，连接OC，OB，ED，CD，∵△ABD和△AOE都是等边三角形，∴AE＝AO，AD＝AB，∠OAE＝∠BAD＝60°，∴∠DAE＝∠BAO，在△AED和△AOB中，，∴△AED≌△AOB（SAS），∴DE＝OB，∴OA+OB+OC＝OE+DE+OC，当点C，O，E，D四点共线时，OE+DE+OC的值最小，此时OA+OB+OC＝OE+DE+OC＝CD，∵∠BAC＝30°，∠BAD＝60°，∴∠DAC＝90°，又AB＝4，AC＝3，在Rt△ADC中，CD＝＝＝5．变式1．点O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，，则∠AOB＝150°．【解】将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′连接OO′，如图，∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO′＝BO＝4，∠O′BO＝60°，∴△BOO′为等边三角形，∴∠BOO′＝60°，∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∴∠O′BO﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，即∠O′BA＝∠OBC，在△O′BA和△OBC中，∴△O′BA≌△OBC（SAS），∴O′A＝OC＝5，在△AOO′中，∵OA′＝5，OO′＝4，OA＝3，∴OA2+OO′2＝O′A2，∴∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝60°+90°＝150°，七、胡不归问题（PA+kPB：P是动点，A、B是定点，P在直线上运动）背景补充：从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题．抽象出这个故事里的问题，我们会得到一个模型，就如下图所示：归纳一下运用胡不归的解题套路：分三步1.化成模型DB+K·AD（K<1）。2.在AD的一侧，在BD的异侧，构造α,使得sinα=k,得到一条射线AM，以动点所在的线段为斜边。3.过B点作垂直于AM的垂线即可。例16、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是4．【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．练习1．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于3．【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP＝PD，即PB+PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．【解】如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP＝∴EP＝PD∴PB+PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A＝＝∴BE＝3练习2．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于6．【解】如图，过点P作AD的垂线，交AD延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝30°，∴EP＝DP，即DP＝2EP，∴2PB+PD＝2（PB+PE），当点B、P、E三点共线时，PB+EP有最小值，最小值等于BE的长，此时2PB+PD的最小值等于2BE的长，∵此时在Rt△ABE中，∠EAB＝30°，AB＝6，∴BE＝AB＝3，∴2PB+PD的最小值等于6．例17、如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，AP+BP+CP的最小值是多少？答案：法一（胡不归）法2（旋转构造等边）如图，将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BP'C'，可得△PBP'为等边三角形，若PA+PB+PC＝AP+PP'+P'C'，即AP，PP'，P'C'在一条直线上，PA+PB+PC有最小值，求出AC'的值即可．∵∠ABP+∠PBP'+∠P'BC'＝60°+∠ABP+∠PBC＝150°，∴∠EBC＝30°，∴EC'＝1，BE＝EC'＝，∴AE＝2+，∴AC'＝＝＝+，∴AP+BP+CP的最小值是+．练习1、答案：3八、阿氏圆（PA+kPB：P是动点，A、B是定点，P在圆上运动）解题套路：构建共角共边的相似三角形（写A型）例18．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，点C在OA上，AC＝4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；（2）求CE+2DE的最小值．【解】（1）分别过O、E作ON⊥CD于N，EM⊥CD于M，∵CD＝10，∴四边形ODEC＝S△OCD+S△CDE＝≤CD•OE＝＝60，此时OM、EN、OE重合，∵ON•CD＝OC•OD，∴10×ON＝6×8，∴ON＝，∴；（2）延长OB至点G，使BG＝OB，连接GE、GC、DE，则，∵点D为OB的中点，OB＝OE，∴，∴，又∠DOE＝∠EOG，∴△DOE～△EOG，，∴EG＝2DE，∴CE+2DE＝CE+EG，当C、E、G三点在同一直线上上时，CE+EG最小，CO＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OG＝OB+BG＝12+12＝24，此时，故CE+2DE有最小．九、利用函数求最值例19.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与边CD相交于点Q．则CQ的最大值为．【解】设BP＝x，则PC＝6﹣x，∵∠APQ＝90°，∴∠APB+∠CPQ＝90°，而∠APB+∠PAB＝90°，∴∠PAB＝∠CPQ，∴Rt△ABP∽△Rt△PCQ，∴＝，∴CQ＝＝﹣（x﹣3）2+，当x＝3时，CQ有最大值．十、特殊平行四边形中的最值1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上动点，PQ平行于BC交CD于Q．M是AD上动点，MN平行于AB交BC于N．则PM+NQ的最小值为5．【分析】如图，设PQ交MN于F，连接AF、CF．由四边形APFM、四边形CQFN是矩形，推出PM＝AF，NQ＝CF，推出PM+CQ＝AF+CF，由FA+FC≥AC，即可解决问题．【解】如图，设PQ交MN于F，连接AF、CF、AC．∵四边形ABCD是矩形，PQ∥BC，MN∥AB，∴可得四边形APFM、四边形CQFN是矩形，∴PM＝AF，NQ＝CF，∴PM+CQ＝AF+CF，∵FA+FC≥AC，AC＝＝5，∴AF+FC的最小值为5，∴PM+NQ的最小值为5．2．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠DAC＝30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是6．【解】作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E＝PE+PD的最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝4，∠DAC＝30°，∵DD′⊥AC，∴∠CDD′＝30°，∴∠ADD′＝60°，∴DD′＝4，∴D′E＝6，3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为4．【分析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．由PM垂直平分线段DE，推出PD＝PE，推出PC+PD＝PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．【解】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∵S△PAB＝S△PCD，∴×4×x＝××4×（6﹣x），∴x＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC＝＝4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．4．如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为【分析】作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，推出DE＝FM，推出DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根据BM＝计算即可．【解】如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM＝＝∴DE+BF的最小值为．故答案为．5．如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是3﹣3．【分析】先判断出Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），得出∠DAM＝∠CBN，进而判断出△DCE≌△BCE（SAS），得出∠CDE＝∠CBE，即可判断出∠AFD＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝3，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．【解】如图，在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO＝AD＝3，在Rt△ODC中，OC＝＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为多少？（）A．1 B．C．2 D．【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PC为底．③若以边PB为底．分别求出PD的最小值，即可判断．【解】在菱形ABCD中，∵∠ABC＝60°，AB＝1，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，最小值为1；②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD最小，最小值为﹣1；③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PD的最小值为﹣1．故选：D．7．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作∠MPC的角平分线交边CD于点N．则线段MN的最小值为．【分析】连接AM、AN，则MN≥AN﹣AM，当A、M、N三点共线时，此时AN取最小，MN＝AN﹣3，则当AN取最小值时，MN最小，由AN＝，AD是定值，得出当DN最小时，AN最小，证明△ABP∽△PCN，得出＝，设BP＝x，PC＝4﹣x，得出CN＝﹣（x﹣2）2+，当x＝2时，CN最大为，则DN最小值为，AN最小值为，即可得出结果．【解】连接AM、AN，如图所示：∵点B关于直线AP的对称点M，∴AM＝AB＝3，∵MN≥AN﹣AM，当A、M、N三点共线时，此时AN取最小，MN＝AN﹣AM＝AN﹣3，∴当AN取最小值时，MN最小，∵AN＝，AD＝BC＝4，是定值，∴当DN最小时，AN最小，∵点B关于直线AP的对称点M，∴∠APB＝∠APM，∵PN平分∠MPC，∴∠MPN＝∠CPN，∴∠APN＝（∠BPM+∠CPM）＝×180°＝90°，∵∠ABP＝∠PCN＝90°，∴∠APB+∠NPC＝∠APB+∠BAP，∴∠NPC＝∠BAP，∴△ABP∽△PCN，∴＝，设BP＝x，PC＝4﹣x，∴＝，∴CN＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+，∴当x＝2时，CN最大为：，∴DN最小值为：CD﹣CN＝3﹣＝，∴AN最小值＝＝＝，∴线段MN的最小值为：﹣3＝，十一、圆中的最值问题1．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A． B． C．3 D．5【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP＝3时PQ最小．根据勾股定理得出结论即可．∴PQ的最小值为＝．故选：B．2．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当∠QCN度数取最大值时，线段CQ的长为．【分析】利用矩形的性质得出OQ＝MN＝OP＝1，再利用当CQ与此圆相切时，∠QCN最大，此时，在直角三角形CQ′O中，通过勾股定理求得答案．【解】连接OQ，∵MN＝OP（矩形对角线相等），⊙O的半径为2，∴OQ＝MN＝OP＝1，可得点Q的运动轨迹是以O为圆心，1为半径的半圆，当CQ与此圆相切时，∠QCN最大，则tan∠QCN的最大值，此时，在直角三角形CQ′O中，∠CQ′O＝90°，OQ′＝1，CO＝2，∴CQ′＝＝，即线段CQ的长为．故答案为：．′3．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC＝，则CQ的最大值为．【分析】由AB为直径和PC⊥CQ可得出∠PCQ＝90°＝∠ACB，又由∠P与∠A为同弦所对的圆周角，可得出∠P＝∠A，从而得出△ACB∽△PCQ，即得出CQ＝•CP，由tan∠ABC＝得出CQ＝CP，当CP最大时，CQ也最大，而CP为圆内一弦，故CP最大为直径，由此得出CQ的最大值．【解】∵线段AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵CQ⊥PC，∴∠PCQ＝90°＝∠ACB，又∵∠P＝∠A（同弦圆周角相等），∴△ACB∽△PCQ，∴．在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，∴CQ＝•CP＝CP．∵线段CP是⊙O内一弦，∴当CP过圆心O时，CP最大，且此时CP＝5．∴CQ＝×5＝．4．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是4．【解】方法一、延长CP交⊙O于K，则PM＝DK，当DK过O时，DK最大值为8，PM＝DK＝4，方法二、连接CO，MO，∵∠CPO＝∠CMO＝90°，∴C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径（E为圆心），连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PMmax＝4，5．如图，⊙O半径为3，Rt△ABC的顶点A，B在⊙O上，∠B＝90°，点C在⊙O内，且tanA＝，当点A在圆上运动时，求OC的最小值．【分析】延长BC交⊙O于点F，连接AF，当OC⊥AF时，OC值最小，由锐角三角函数和勾股定理可求AC2的值，由勾股定理可求OC的长．【解】延长BC交⊙O于点F，连接AF，如图所示：∵∠B＝90°，∴AF为⊙O的直径经过点O，AF＝2×3＝6，∵tanA＝，∴∠CAB、∠ACB为定值，∴∠ACF为定值，∴当OC⊥AF时，OC值最小，设BC＝3x，则AB＝4x，x＞0，∵OC⊥AF，OA＝OF，∴FC＝AC＝＝＝5x，∴BF＝CF+BC＝5x+3x＝8x，在Rt△ABF中，AF2＝AB2+BF2，即62＝（4x）2+（8x）2，解得：x2＝，∴AC2＝（5x）2＝25×＝，∴在Rt△AOC中，OC＝＝＝，∴线段OC的最小值是．6．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．【分析】连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图，根据圆周角定理得到∠EOF＝120°，再计算出EF＝OE，则OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小，利用垂线段最短得到AD的长度最小值为AN的长，接着计算出AN＝，从而得到OE的最小值为，然后确定EF长度的最小值．【解】连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图，∵∠EOF＝2∠BAC＝2×60°＝120°，而OE＝OF，OM⊥EF，∴∠OEM＝30°，EM＝FM，在Rt△OEM中，OM＝OE，EM＝OE，∴EF＝2EM＝OE，当OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小，即AD的长最小，∵AD的长度最小值为AN的长，而AN＝AB＝，∴OE的最小值为，∴EF长度的最小值为×＝．7．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为10．【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2＝2PN2+2FN2即可求出结论．【解】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE＝4，四边形DEFG为矩形，∴GF＝DE，MN＝EF，∴MP＝FN＝DE＝2，∴NP＝MN﹣MP＝EF﹣MP＝1，∴PF2+PG2＝2PN2+2FN2＝2×12+2×22＝10．8．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点E，F，连接EF，OE．（1）求证：∠OEF＝∠ABC；（2）如图2，连接BE，若点D是线段BE上的一个动点，且tan∠CFE＝2，求CD+BD的最小值．【分析】（1）如图1中，连接AF，OF．想办法证明∠EOF＝∠FOB，再根据等腰三角形的性质证明即可．（2）如图2中，连接AF，过点C作CM⊥AB于M，过点D作DH⊥AB于H．在Rt△AEB中，tan∠CAB＝，tan∠CFE＝2，可得＝2，设AE＝k，则BE＝2k，根据AE2+BE2＝AB2，可得k2+（2k）2＝52，解得k＝