人教A版高一数学必修第一册期末复习知识点

人教A版高一数学必修第一册期末复习知识点汇总必修第一册·第一章《集合与常用逻辑用语》1.元素把研究的对象统称为元素.（用小写字母表示：）2.集合把一些元素组成的总体叫做集合.（用大写字母表示：）3.元素的特征确定性、互异性、无序性.①求集合或元素时，一定要检验集合中元素的互异性.4.元素与集合的关系①属于：；②不属于：.5.常用数集①自然数集（包含和正整数）②正整数集或③整数集④有理数集⑤实数集⑥复数集⑦素数集（质数集）6.集合的分类①有限集；②无限集；③空集.7.集合的表示方法①列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用括起来.例如、②描述法：把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为.例如、③图示法（图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合.例如8.常见集合的表示方法①方程的解集：②不等式的解集：③函数自变量构成的集合：④函数因变量构成的集合：⑤函数图象上的点构成的集合：⑥方程组的解：或⑦奇数集：⑧偶数集：①做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量···），以及元素的范围（、、、···）.9.子集集合中任意一个元素都是集合中的元素.记作：或读作：包含于或包含①任何一个集合是它本身的子集.②若，且，则.10.集合相等若，且，则.①若，且，则.②欲证，只需证，且.11.真子集如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于.记作：或读作：真包含于或真包含①若，且，则.②若，且，则.③和用于集合和集合之间，和用于元素和集合之间.12.空集不含任何元素的集合.符号：①空集是任何集合的子集.②空集是任何非空集合的真子集.③解决有关、等问题时，一定要先考虑的情况，以防漏解.13.子集个数与元素个数的关系设有限集合有个元素,则其子集个数是，真子集个数是，非空子集个数是，非空真子集个数是.14.交集属于集合且属于集合.（和的公共部分）记作：读作：交含义：①；②；③；④；⑤；⑥.15.并集属于集合或属于集合.（包含和的所有元素）记作：读作：并含义：①；②；③；④；⑤；⑥.16.全集研究问题中涉及的所有元素.符号：17.补集由全集中不属于集合的所有元素组成的集合.符号：含义：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.⑨注意补集思想在解题中的运用，“正难则反”.18.命题可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题.表示：“若，则”、“如果，那么”.其中为命题的条件,为命题的结论.19.充分条件与必要条件①“若，则”是真命题，即，则是的充分条件，是的必要条件；②“若，则”是假命题，即，则不是的充分条件，不是的必要条件.判断充分条件、必要条件的三种方法：①定义法：直接判断“若，则”以及“若，则”的真假；②集合法：利用集合的包含关系判断；③传递法：充分条件、必要条件、充要条件都具有传递性，若，，则.20.充要条件如果“若，则”和“若，则”都是真命题，即既有，又有，则可记作，这时称是的充分必要条件，简称充要条件.充分条件、必要条件的判断：①且是的充分不必要条件②且是的必要不充分条件③是的充要条件④且是的既不充分也不必要条件21.全称量词短语“所有的”“任意一个”通常叫做全称量词.符号：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.“对中任意一个，成立”用符号记为：22.存在量词短语“存在一个”“至少有一个”通常叫做存在量词.符号：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.“存在中元素的，成立”用符号记为：23.全称量词命题和存在量词命题的否定①全称量词命题的否定为：.②存在量词命题的否定为：.①命题的否定的书写：既要转换量词，又要否定结论.②全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题.③一个命题和它的否定，只能是一真一假.必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质1.比较大小的基本事实：比较两实数大小的方法——求差比较法；；。2.恒成立的不等式：一般地，，有，当且仅当时等号成立。说明：（1）指出定理适用范围：；（2）强调取“”的条件。3.等式的性质：性质1：若a=b，则b=a;性质2：若a=b,b=c,则a=c;性质3：若a=b，则a±c=b±c;性质4：若a=b，则ac=bc;性质5：若a=b，c≠0，则4.不等式的性质：性质1：若，则；若，则．即。说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。性质2：若，，则。不等式的传递性。性质3：若，则。性质4：如果且，那么；如果且，那么。性质5：若。性质6：如果且，那么。性质7：如果，那么。2.2基本不等式1.如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）说明：（1）这个定理适用的范围：；（2）我们称的算术平均数，称的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。（3）对于两个正数，①若为定值，则，当且仅当时，ab有最大值；②若为定值，则，当且仅当时，a+b有最小值2.3二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式：一般地，我们把只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。一般形式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数，a≠0.2..一元二次方程根的存在性及实根的个数：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（1）△>0，方程有两个不等实根；（2）△=0，方程有两个相等实根；（3）△<0，方程无实根3..从函数观点看一元二次方程和不等式：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系：注：①当a<0时，转化为a>0的情况研究。②ax2+bx+c<0的解集为R，则；③ax2+bx+c≤0的解集为R，则；④ax2+bx+c>0的解集为,则；⑤ax2+bx+c≥0的解集为,则.必修第一册第四章指数函数与对数函数4.1指数1．（1）实数指数幂：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N。当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。记作当n为偶数时，正数的n次方根有两个且为互为相反数，负数没有偶次方根。记作±0的任何次方根都是0。（2）当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=；（3）①；②（4）实数指数幂的运算性质为：①；②；③4.2指数函数1．指数函数概念：一般地，函数叫做指数函数。2．指数函数的性质：0<a<1a>1图象定义域R值域性质①过定点（0，1）②单调性减函数增函数③x>0,ax的范围：（0，1）（1，+∞）④x<0,ax的范围：（1，+∞）（0，1）4.3对数1．对数概念：（1）对数的概念：一般地，如果，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。2.对数与指数间的关系：当时，3.有关对数的几个结论：①负数和零无对数；②；③；④4..对数运算性质：如果则①；②；③R）。④换底公式：⑤4.4对数函数1.对数函数函数：一般地，函数叫做对数函数2．对数函数的性质：0<a<1a>1图象定义域(0,+∞)值域R性质①过定点(1,0)②单调性减函数增函数③0<x<1,的范围：（0，+∞）（-∞，0）④x>1,的范围：（-∞，0）（0，+∞）3．叫做互为反函数。4.5函数的零点与方程的解1.函数零点：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2.函数零点的等价含义：函数的零点方程实数根函数的图象与轴交点的横坐标。3.函数零点的存在性判断：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。4.零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。5.二分法：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．6.二分法求零点的步骤：给定精确度，（1）确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0.（2）求区间(a,b)的中点c。（3）计算f(c),并进一步确定零点所在区间：

①若f(c)=0，（此时x0=c），则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0,（此时x0∈(a,c)）,则令b=c;③若f(b)f(c)<0,（此时x0∈(c,b)）,则令a=c;（4）判断是否达到精确度：若|a-b|<,则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤（2）～（4）.必修第一册第五章三角函数5.1任意角和弧度制1．任意角的概念：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。2．终边相同的角：所有与某个角α具有同终边的所有角，连同角α在内，可以构成一个集合{β|β=2kπ+α，k∈Z}，J即任意与角α终边相同的角，都可以表示成角α与正数个周角的和。3．弧度制（1）长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角；一般地,正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。（2）角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径。（3）弧度与角度互换公式：180°=rad,1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝≈0.01745（rad）。弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：。5.2三角函数的概念1．三角函数定义设是一个任意角，∈R,它的终边OP与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦,记做,即；（2）叫做的余弦,记做,即；（3）叫做的正切,记做,即。也是一角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数。我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数。2.三角函数值在各个象限的符号：函数符号第一象限第二象限第三象限第四象限sin++--cos+---tan+-++3.同角三角函数的基本关系同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切。5.3诱导公式1.诱导公式公式一：，，其中公式二：=；=-；公式三：；；公式四：；；公式五：；；公式六：；2.任意角化为锐角三角函数的方式：5.4三角函数的图像与性质1.正弦、余弦与正切函数的图像与性质：函数性质正弦函数余弦函数正切函数图像周期性;最小正周期2;最小正周期2;最小正周期定义域RR{x|x}值域[-1,1][-1,1]R最值当x=时取最小值-1，当x=时取最大值1；当x=时取最小值-1，当x=时取最大值1；无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性递增区间是递减区间是递增区间是递减区间是递增区间是图像的轴对称性对称轴为，对称轴为，无图像的中心对称性对称中心为；对称中心为（，0）；对称中心为零点2.周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，若果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么f(x)就叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期。k∈Z，且k≠0,常数kT都是它的周期。如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期。3.函数，,， （其中）的相关性质：函数性质周期性周期;最小正周期周期;最小正周期周期;最小正周期定义域RR{x|}值域[-A,A][-A,A]R最值当=时取最小值-1，当=时取最大值1；当=时取最小值-1，当=时取最大值1；无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性递增区间是∈递减区间是∈递增区间是∈递减区间是∈递增区间是∈图像的轴对称性对称轴为，对称轴为，无图像的中心对称性对称中心为：对称中心为（，0）；对称中心为零点5.5三角恒等变换1．两角和与差的三角函数；；。2．二倍角公式；；。注：三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。3.降幂公式；；。4.辅助角公式，。5.6函数图像1．由y＝sinx的图象变换出y＝Asin(ωx＋)的图象一般有两个途径：途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx的图象