y=ax2bxc的图像与性质课件人教版九年级数学上册

二次函数——y=ax2+bx+c的图像与性质学习目标1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）y=a(x-h)2+ka>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当x<h时，y随着x的增大而减小；当x>h时，y随着x的增大而增大.

当x<h时,y随着x的增大而增大；当x>h时，y随着x的增大而减小.

x=h时,y最小=kx=h时,y最大=k抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.复习导入顶点坐标对称轴最值y=-2x2y=-2x2-5y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4y=(x-4)2+3y=-x2+2xy=3x2+x-6(0,0)y轴0(0,-5)y轴-5(-2,0)直线x=-20(-2,-4)直线x=-2-4(4,3)直线x=43??????复习导入二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一授人以渔

我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论

的图象和性质？问题1

怎样将

化成y=a(x-h)2+k的形式？授人以渔配方法：想一想：配方的方法及步骤是什么？配方可得授人以渔授人以渔问题2

你能说出的对称轴及顶点坐标吗？答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.问题3

二次函数可以看作是由怎样平移得到的？答：平移方法1：

先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；

平移方法2：

先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.授人以渔问题4

如何用描点法画二次函数的图象？…………9876543x解:

先利用图形的对称性列表7.553.533.557.5510xy510然后描点画图，得到图象如右图.O授人以渔问题5

结合二次函数的图象，说出其性质.510xy510x=6当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.试一试

你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？O将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k二授人以渔我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质授人以渔1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即因此，抛物线y=ax2+bx+c

的顶点坐标是：对称轴是：直线二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质授人以渔(1)(2)xyOxyO如果a>0,当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大.如果a<0,当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小.牛刀小试顶点坐标对称轴最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2+6x-5(1,3)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6(

,-6)直线x=练一练

填表：二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系三授人以渔例：

已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是(

)A．1

B．2

C．3

D．4D授人以渔二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系授人以渔①a决定开口方向：a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下；②a，b同号对称轴在y轴的左侧；a，b异号对称轴在y轴的右侧；③c＝0⇔经过原点；

c>0⇔与y轴的交点位于x轴的上方；

c<0⇔与y轴的交点位于x轴的下方；二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系授人以渔④当x＝1时，y的值为a＋b＋c，当x＝－1时，y的值为a－b＋c．⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0；当对称轴x＝－1时，＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0．因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝与1的大小，若对称轴在直线x＝1的左边，则

，再根据a的符号即可得出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与1的大小.例题精讲二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一、y=ax2+bx+c的顶点、对称轴与最值问题二、y=ax2+bx+c的图像变换问题题型归纳三、y=ax2+bx+c

的图像性质六、y=ax2+bx+c的图像问题四、利用y=ax2+bx+c的增减性比较y值大小五、y=ax2+bx+c的最值问题探究七、y=ax2+bx+c系数间的关系八、y=ax2+bx+c与几何图形的综合题型一、y=ax2+bx+c的顶点、对称轴与最值问题例1：

抛物线y=-4x2+3的开口方向和顶点坐标分别是（）A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3） C．向下，（0，3） D．向上，（0，3）C

二次函数y=ax2+bx+c顶点与对称轴及最值问题：一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=ax2+bx+c

的形式，即

因此，抛物线y=ax2+bx+c

的顶点坐标是：

对称轴是：直线

.归纳

在同一平面直角坐标系内，将函数

y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是()A．(－3，－6)

B．(1，－4)

C．(1，－6)

D．(－3，－4)题型二、y=ax2+bx+c的图像变换问题例2：

C

解决二次函数一般式图像变换问题，一定要先把一般式化成顶点式，然后再根据抛物线平移的规律，“左加右减，上加下减”，确定函数的关系式，最后根据选项要求写成一般式即可.归纳

下列关于抛物线

y=x2+4x-5的说法正确的是（）①开口方向向上；②对称轴是直线x＝﹣4；③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④当x＜﹣5或x＞1时，y＞0．A．①③

B．①④

C．①③④

D．①②③④题型三、y=ax2+bx+c的图像性质例3：

C二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质方法归纳1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即因此，抛物线y=ax2+bx+c

的顶点坐标是：对称轴是：直线二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)(2)xyOxyO如果a>0,当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大.如果a<0,当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小.方法归纳

P1（﹣2，y1），P2（﹣1，y2），P3（3，y3）均在二次函数

y=x2+2x-3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y3＞y2 B．y1＝y2＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3题型四、利用y=ax2+bx+c的增减性比较y值大小例4：

C

讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．通过作图，可以根据自变量的值描出所对应的因变量的值，越向上数值越大，来判断y的值的大小.归纳

已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）

A．﹣4或﹣

B．4或﹣

C．﹣4或

D．4或题型五、y=ax2+bx+c的最值问题探究例5：

B

解题技巧：二次函数y=ax2+bx+c的最值问题除要看题目所给范围外，一定要找到顶点坐标，套用顶点坐标公式，对标所给范围是否包含顶点横坐标，如果包括，最值则为顶点纵坐标，若不包括，则直接根据增减性进行求解即可.归纳

函数y=ax2+bx+1和y＝ax﹣b（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）

A．

B．

C．

D．题型六、y=ax2+bx+c的图像问题例6：

C

多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象(如一次函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．归纳

如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，有如下结论：①abc＞0：②a+b+c＜0：③4a+b＜0；④4a＞c．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2

C．3

D．4

题型七、y=ax2+bx+c系数间的关系例7：

B二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系授人以渔①a决定开口方向：a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下；②a，b同号对称轴在y轴的左侧；a，b异号对称轴在y轴的右侧；③c＝0⇔经过原点；

c>0⇔与y轴的交点位于x轴的上方；

c<0⇔与y轴的交点位于x轴的下方；二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系授人以渔④当x＝1时，y的值为a＋b＋c，当x＝－1时，y的值为a－b＋c．⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0；当对称轴x＝－1时，＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0．因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝与1的大小，若对称轴在直线x＝1的左边，则

，再根据a的符号即可得出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与1的大小.

如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．

题型八、y=ax2+bx+c与几何图形的综合例8：

根据待定系数法先求出二次函数解析式，再联立方程组求交点坐标，结合实际图像问题，解决几何图形面积问题．归纳习题精练已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴

B.直线x=C.直线x=2D.直线x=则该二次函数图象的对称轴为()D练习1：

题型精练

已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1