高考二轮复习数学课件（新高考新教材）素养提升微专题（二）导数应用中的函数构造技巧

素养提升微专题(二)导数应用中的函数构造技巧第一编规律方法近几年高考数学导数解答题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围,这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点,而构造函数是解决导数问题最基本的方法,以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结,并举例说明.1.具体函数的构造根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构的相同点,构造具体的函数解析式,利用导数研究函数的性质从而解决问题.2.抽象函数的构造当题目是以抽象函数为背景且题设条件或所求结论中具有

特征式时,通常将上述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来,合理构造出相关的可导函数,然后利用函数的性质解决问题.(1)利用f(x)与x(xn)构造

(2)利用f(x)与ex(enx)构造

(3)利用f(x)与sinx,cosx构造由于sinx,cosx的导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考查的范畴,常考的几种形式:F(x)=f(x)sinx,F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx;考查角度角度一

具体函数的构造

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c答案A

[例1-2]已知实数a,b,c∈(0,e),且3a=a3,4b=b4,5c=c5,则(

)A.a<c<b B.b<c<aC.c<b<a D.a<b<c答案C

x=e,所以f(x)在区间(0,e)内单调递增,在区间(e,+∞)内单调递减,因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即f(a)>f(b)>f(c).又a,b,c∈(0,e),所以a>b>c.故选C.技巧点拨构造具体函数解决问题的关键是分析所给代数式的结构,发现结构相同的部分,对代数式进行合理地转化和变形(移项、通分、取对数、拆分、常数代换等),以便发现它们的共同点,从而构造函数.A.x+y=1 B.xy=1C.x+y>2 D.x+y>3答案C

角度二

抽象函数的构造[例2-1]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,若f(2)=0,则不等式xf(x)>0的解集为(

)A.{x|-2<x<0或0<x<2}B.{x|x<-2或x>2}C.{x|-2<x<0或x>2}D.{x|x<-2或0<x<2}答案D

解析

令F(x)=xf(x),则F(x)为奇函数,且当x<0时,F'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,所以函数F(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)内单调递减.又f(2)=0,则F(-2)=F(2)=0,于是xf(x)>0可化为F(x)>F(-2)或F(x)>F(2),则x<-2或0<x<2.故选D.[例2-2]设f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,且满足xf'(x)-2f(x)>0,若△ABC是锐角三角形,则(

)A.f(sinA)sin2B>f(sinB)sin2AB.f(sinA)sin2B<f(sinB)sin2AC.f(cosA)sin2B>f(sinB)cos2AD.f(cosA)sin2B<f(sinB)cos2A答案D

名师点析利用f(x)与x

(或xn)构造函数的技巧(1)f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型①对于f'(x)+g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x).②对于f'(x)-g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x).③对于f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x).④对于f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数

特别地,对于xf'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x).特别地,对于xf'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数

(2)xf'(x)±nf(x)型①对于xf'(x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xnf(x).②对于xf'(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数

[例2-3]已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是(

)A.e2f(2)>e3f(3)B.e2f(2)<e3f(3)C.e2f(2)≥e3f(3)D.e2f(2)≤e3f(3)答案A

解析

令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,因此函数g(x)在R上单调递减,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故选A.A.(e205,+∞) B.(0,e205)C.(e205e,+∞) D.(0,e205e)答案

D

[例2-5]若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-2f(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e2x的解集为

.

答案

{x|x>0}

名师点析利用f(x)与ex(enx)构造函数的技巧

答案AD

技巧点拨利用f(x)与sin

x,cos

x构造函数的技巧(1)对于f'(x)sin

x+f(x)cos

x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)·sin

x.(2)对于f'(x)sin

x-f(x)cos

x>0(或<0),构造函数(3)对于f'(x)cos

x+f(x)sin

x>0(或<0),构造函数

(4)对于f'(x)cos

x-f(x)sin

x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)cos

x.对点演练A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,1)答案D

答案D

A.b<c<aB.a<c<bC.a<b<cD.c<a<b答案A

答案B

答案D

6.已知f(x)是定义在区间(0,+∞)内的可导函数,f'(x)是f(x)的导函数,若xf(x)+x2f'(x)=ex,f(1)=e,则f(x)在区间(0,+∞)内(

)A.单调递增B.单调递减C.有极大值D.有极小值答案A

7.已知定义在R上的连续函数f(x)的导函数为f'(x),且cosxf'(x)<(cosx+sinx)f(x)成立,则下列各式一定成立的是(

)A.f(0)=0B.f(0)<0C.f(π)>