二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元一次方程课件北师大版数学九年级下册

2.5.1二次函数与一元二次方程

九年级下

北师版学习目标难点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数的图象和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.3.理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h（h是实数）交点的横坐标.重点解：（1）h=-5t2+40t；一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题：（1）h和t的关系式是什么？新课引入（2）小球经过多少秒后落地？一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题：①由图象可知8秒后小球落地.②将h=0代入二次函数解得t=0或t=8

t=0为开始时间，t=8为结束时间.

二次函数其实就是y=0时的一元二次方程，那么它们两个会有什么样联系呢？这节课就让我们一起来探究！一

二次函数与一元二次方程的关系思考例1观察下图三个二次函数的图象并完成下列表格.（1）y=x2+2x；（2）y=x2-2x+1；（3）y=x2-2x+2新知学习二次函数的图象与x轴有几个交点？两个交点一元二次方程有几个根？两个根二次函数的图象与x轴有几个交点？一个交点一元二次方程有几个根？两个相同的根二次函数的图象与x轴有几个交点？没有交点一元二次方程有几个根？没有根观察图象，完成下表：抛物线与x轴交点个数交点横坐标相应的一元二次方程的根y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+22个1个0个x2-2x+2=0无解1x2-2x+1=0，x1=x2=1-2,0x2+2x=0，x1=-2，x2=0无通过前面的探究，你能总结出二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数一元二次方程ax2+bx+c=0的根△=b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根△=b2-4ac>0有两个重合的交点（或有一个交点）有两个相等的实数根△=b2-4ac

=0没有交点没有实数根△=b2-4ac<0归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0根.本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？思考二

运动中的抛物线问题h=－5t2＋40t例2如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：

h=20t-5t2，考虑以下问题：(1)球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？图中代表最高的点距地面是否大于或等于15m二次函数最高点的纵坐标是否大于或等于15二次函数对称轴的纵坐标是否大于或等于15思路点拨：高度为15m，即在函数h=20t-5t2中，令h=15Oht1513你能指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.①解：解方程15=20t-5t2，

t2-4t+3=0,

t1=1，t2=3.②我们也可以利用函数图象来思考，认为是在求直线h=15和h=20t-5t2的交点问题，将直线h=15画出来，即可得出t.如图所示，运动轨迹先上后下只要最高点纵坐标大于15，那么必会产生2个交点，也就是在两个时间小球的高度为15m（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？Oht202解：解方程20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？Oht20.5解：解方程20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,

因为(-4)2-4×4.1<0,

所以方程无解.

即球的飞行高度达不到20.5m.你能结合图形指出为什么球不能达20.5m的高度吗?(3)球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？Oht20.5(3)我们也可以利用函数图象来思考，认为是在求直线h=20.5和h=20t-5t2的交点问题，将直线h=20.5画出来，即可得出t.如图所示，最高点纵坐标正好为20，那么直线h=20.5和二次函数h=20t-5t2没有交点，因为小球飞行轨迹在2S（顶点横坐标）时，达到最大高度（最大值），不会再有比20m还高的距离了.(4)球从飞出到落地要用多少时间？Oht解：小球飞出时和落地时的高度都为0m，解方程0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.这表明小球从飞出到落地要用4s.从图来看，0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面.在函数中y=0的时候落地的情况落地的点思考从上面发现，二次函数

y=ax2+bx+c与一元二次方程之间的关系是什么?一般地，当

y取定值h且a≠0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）可以看作是一元二次方程ax2+bx+c=h.如：y=6时，则6=ax2+bx+c（a≠0）就是一个一元二次方程.从前面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．

例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m二次函数y=ax2+bx+c中，当y=m时，所对应的x的值特殊的，与x轴的交点坐标为当y=0时，对应一元二次方程的x的值抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m交点的横坐标函数解析式函数图象

1.小鹿画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象.如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(

)A．无解

B．x＝1C．x＝－4D．x＝－1或x＝4D随堂练习2.二次函数y=x2-6x+n

的图象如图所示，若关于x

的一元二次方程x2-6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=

.53.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有交点.解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．∴正整数m的值为1.解得x1＝1，x2＝

∴

x－1＝0或mx－2＝0，当m为正整数1或2时，x2为整数，且它们的横坐标都是整数．又∵抛物线与x轴总有两个交点，∴m=2不符合题意，4.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h=－4.9t2

＋19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.(1)画出函数h=－4.9t2

＋19.6t的图象；解：函数h＝－4.9t2＋19.6t的图象如图．(2)当t=1,t=2时，足球距地面的高度分别是多少？解：当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7；当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.(3)方程－4.9t2

＋19.6t=0,－4.9t2

＋19.6t=14.7的根的实际意义分别是什么？你能在图象上表示出来吗？解：方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距地面的高度为0m时经过的时间；方程－4.9t2＋19.6