2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题1.1 相交线与平行线全章知识典例详解

2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题1.1相交线与平行线全章知识典例详解【人教版】一、直线的相交1．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行．【注】两条直线：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线．【典例1】如下图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分（如图（1）），画2条直线，最多能把白纸分成4部分（如图（2）），画3条直线，最多能把白纸分成7部分（如图（3）），......，当在一张白纸上画20条直线，最多能把白纸分成（）A．400部分 B．221部分 C．220部分 D．211部分【分析】首先根据题意总结出画n条直线，最多能把这张纸分成n+1⋅n2+1【详解】画1条直线，最多能把这张纸分成1+1=2块；画2条直线，最多能把这张纸分成1+1+2=4块；画3条直线，最多能把这张纸分成1+1+2+3=7块；画n条直线，最多能把这张纸分成1+1+2+3+4+……+则画20条直线，最多能把白纸分成20+1⋅20故答案为D.【典例2】已知6条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为M个，最少为m个，则M−m=______．【分析】由题意可得6条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出M，m的值，从而得出答案．【详解】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，∵任意三条直线不过同一点，∴此时点为：6×（6-1）÷2=15，即M=15；∴M-m=14．故答案为：14．2．直线的相交——两线四角（1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角．如图1，和，和，和，和互为邻补角．图1【注】互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角．（2）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角．如图1，和，和，互为对顶角．【注】互为对顶角的两个角一定相等，但两个角相等不一定互为对顶角．【典例3】∠1与∠2是对顶角，∠2与∠3是邻补角，则∠1+∠3=________度．【分析】根据对顶角相等，邻补角互补即可得到答案．【详解】解：由题意可得，∠1=∠2，∠2+∠3=180°，∴∠1+∠3=180°，故答案为180．【典例4】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；(2)若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；【分析】（1）先根据对顶角相等求出∠BOD=76°，再由角平分线定义得∠DOE=∠BOE=38°，由邻补角得∠COE=142°，再根据角平分线定义得∠EOF=71°，从而可得结论．（2）利用角平分的定义得出∠BOE=∠EOD，【详解】（1）∵∠AOC、∠BOD是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=76°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=12∠BOD=38°，∵OF平分∠COE．∴∠EOF=12∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=71°−38°=33°，（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴∠BOE=∠EOD，∴设∠BOE=x，则∠EOD=x，故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，解得x=36°，故∠AOC=72°．二、垂直1．垂直：一条直线与另一条直线相交成，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图2，，垂足为O，可记为“于点O”．图22．性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．【注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【典例5】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．2【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：△ABC的面积＝12•AB•PC＝12•AC•∴5PC＝3×4，∴PC＝2.4，故选：C．【典例6】如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°．(1)过点C画AB的垂线，交AB于点H；(2)在（1）的条件下，点A到直线CH的距离是线段______的长度；(3)在（1）的条件下，比较CH与AB的大小，并说明理由．【分析】（1）根据垂线的做法，过C点往AB作垂线即可；（2）根据点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，可知点A到直线CH的距离是线段AH的长度；（3）根据垂线段最短，进行判定即可．【详解】（1）解：如图所示（2）∵AH⊥CH，∴点A到直线CH的距离是线段AH的长度，故答案为：AH；（3）AB>CH，理由如下：∵∠ACB=90°∴AB>BC，∵AH⊥CH，∴∠BHC=90°∴BC>CH，∴AB>CH．三、三线八角1．同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（即两个角分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同侧），叫做同位角．图3如图3，和，和，和，和都是同位角．2．内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错的一对角（即两个角分别在第三条直线的两侧），叫做内错角．如图3，和，和都是内错角．3．同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同侧的一对角，叫做同旁内角．如图3，和，和都是同旁内角．【典例7】根据图形填空：（1）若直线ED,BC被直线AB所截，则∠1和_____是同位角；（2）若直线ED,BC被直线AF所截，则∠3和_____是内错角；（3）∠1和∠3是直线AB,AF被直线______所截构成的内错角；（4）∠2和∠4是直线AB，______被直线BC所截构成的_____角．【分析】（1）根据图形及同位角的概念可直接进行求解；（2）根据图形及内错角的概念可直接进行求解；（3）根据图形及内错角的概念可直接进行求解；（4）根据图形及同位角的概念可直接进行求解．【详解】解：由图可得：（1）若直线ED,BC被直线AB所截，则∠1和∠2是同位角；故答案为∠2；（2）若直线ED,BC被直线AF所截，则∠3和∠4是内错角；故答案为∠4；（3）∠1和∠3是直线AB,AF被直线ED所截构成的内错角；故答案为ED；（4）∠2和∠4是直线AB，AF被直线BC所截构成的同位角；故答案为AF，同位．【典例8】如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．(1)在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；(2)∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的特征（同位角形如“F”，内错角形如“Z”，同旁内角形如“U”）判断即可.【详解】解：(1)如题图所示：同位角共有5对：分别是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；(2)由三线八角的判断方法∠4和∠5是由c，b，d三线组成，并且构成“U”形图案，所以∠4和∠5是同旁内角，同理可得：∠6和∠8也是同旁内角，故∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同．故答案是：（1）同位角共有5对：分别是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；∠4和∠5是同旁内角；（2）∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同.一、平行线1．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“//”表示．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．如图1，过直线a外一点A作b//a，c//a，则b与c重合．图13．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．简记为：平行于同一条直线的两条直线平行．如图2，若b//a，c//a，则b//c．图2【典例9】已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：①若a//b,b//c,则a//c；②若a//b,a⊥c,则b⊥c；③若a⊥b,b⊥c,则a⊥c；④若a⊥c且c与b相交，则a与b相交，其中，结论正确的是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④【分析】根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可求解．【详解】①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若a//b,b//c,则a//c；故说法正确；②若a//b,a⊥c,则b⊥c，故说法正确；③根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若a⊥b,b⊥c,则a⊥c；说法错误；④若a⊥c且c与b相交，则a与b不一定相交，故说法错误故正确的有：①②故选：A二、平行线的判定图3（1）同位角相等，两直线平行．如图3，若，则a//b．（2）内错角相等，两直线平行．如图3，若，则a//b．（3）同旁内角互补，两直线平行．如图3，若，则a//b．【典例10】如图，下列能判定AC∥DF的条件有（①∠1+∠DEC=180°；②∠C=∠2；③∠4=∠FEC；④∠DEF=∠5；⑤∠3=∠4．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．【详解】解：①由∠1+∠DEC=180°可由同旁内角互补，两直线平行得到AC∥②由∠C=∠2可由同位角相等，两直线平行得到AC∥③由∠4=∠FEC可由内错角相等，两直线平行得到AC∥④由∠DEF=∠5可由内错角相等，两直线平行得到BC∥DE，不能得到⑤由∠3=∠4可由内错角相等，两直线平行得到AB∥EF，不能得到故选C．【典例11】如图，填空：∵∠ABD=∠BDC（已知），∴_________∥_________（

）；∵∠A=∠CBE（已知），∴_________∥_________（

）；∵∠CBE=∠DCB（已知），∴_________∥_________（

）；∵∠A+∠ADC=180°（已知），∴_________∥_________（

）．【分析】根据平行线的判定定理即可求解．【详解】解：∵∠ABD=∠BDC（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；∵∠A=∠CBE（已知），∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；∵∠CBE=∠DCB（已知），∴CD∥BE（内错角相等，两直线平行）；∵∠A+∠ADC=180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：AB，CD，内错角相等，两直线平行；AD，BC，同位角相等，两直线平行；CD，BE，内错角相等，两直线平行；AB，CD，同旁内角互补，两直线平行．一、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．如图3，若a//b，则．（2）两直线平行，内错角相等．如图3，若a//b，则．（3）两直线平行，同旁内角互补．如图3，若a//b，则．推论1平行线间的距离处处相等推论2如果两个角的两边分别平行那么这两个角相等或互补【典例12】完成下面的证明：如图，点B在AG上，AG∥CD，连接BC，CF平分∠BCD，∠ABE=∠FCB，BE⊥AF于点E．求证：证明：∵AG∥CD，∴∵∠ABE=∠FCB，∴∠ABC−∠ABE=∠BCD−∠FCB，即∠EBC=∠FCD．∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=______（__________________）．∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥∴__________________=∠F（________________________）．∵BE⊥AF，∴∠BEF=______°（______________________）．∴∠F=90°．【分析】根据平行线性质与判定、角平分线定义、垂直的定义填空即可．【详解】证明：∵AG∥CD，∴∵∠ABE=∠FCB，∴∠ABC−∠ABE=∠BCD−∠FCB，即∠EBC=∠FCD．∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠FCD（角平分线的定义）．∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥∴∠BEF=∠F（两直线平行，内错角相等）．∵BE⊥AF，∴∠BEF=90°（垂直的定义）．∴∠F=90°．故答案为：两直线平行，内错角相等；∠FCD；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；90；垂直的定义．【典例13】如图，∠1=∠2，求证：∠B=∠C．（请把下面证明过程补充完整）证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（____________）∴∠2=∠3（____________）∴AE∥FD（_____________）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代换）∴_____∥CD∴∠B=∠C（____________）【分析】先利用对顶角的性质证明∠2=∠3，再证明AE∥FD，可证明∠A=∠BFD，可得∠D=∠BFD，再证明【详解】证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（对顶角相等）∴∠2=∠3（等量代换）∴AE∥FD（内错角相等，两直线平行）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代换）∴AB∥∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）【典例14】如图，l1//l2，点A、E在直线l1上，点B、C、D在直线l2上，如果BD=2CD，【分析】由BD:CD=2:1，可得出BDBC=23．根据l1∥l【详解】∵BD:CD=2:1，∴BDBC∵l1∥l2，∴△ABC与∵S△ABC=30，∴故答案为：20．二、命题、定理、证明1.命题：①命题的概念：判断一件事情的语句叫做命题；②命题的形式：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论.2.命题包括两种：①如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题称为真命题；②题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题称为假命题.逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题.注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题；原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题.3.定理：经过推理证实的真命题叫做真理，它可以作为继续推理的依据.4.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.【典例15】下列四个命题：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；④从直线外一点作这条直线的垂线段叫点到直线的距离．其中是真命题的是_____．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各个条件是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】①过同一平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是真命题，符合题意；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③两条平行的直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，正确，是真命题，符合题意；④从直线外一点作这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故原命题是假命题，不符合题意；真命题是①③，故答案为：①③．【典例16】把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_____________．【分析】找到命题的条件和结论进行改写即可．【详解】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．1.平移的定义：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同2.平移的性质：①平移是延直线移动；②平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同；③新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等.【典例17】如图，将直角△ABC沿CB边向右平移得到△DFE，DE交AB于点G．AB=9cm，BF=3cm，【分析】∠F是直角，BF是梯形的高，根据AB的长度求出BG的长度，利用梯形的面积公式求出．【详解】解：∵AB=DF，AB=9，∴DF=9，BG=AB−AG=9−5=4，又∵BF是梯形的高，阴影部分的面积为：12故答案是：392【典例18】如图，将周长为8cm的△ABC沿BC方向平移1cm得到△DEF，则四边形ABFD的周长为________cm．【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长为AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案．【详解】解：根据题意，将周长为8cm的△ABC沿BC向右平移1cm得到△DEF，∴AD=1cm，又∵AB+BC+AC=8cm，∴四边形ABFD的周长为AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10cm．故答案为：10．专题2.1相交线与平行线六类必考压轴题【人教版】1．（2022秋·辽宁大连·七年级校考期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．(1)当点E，F在直线AB的同侧；①如图1，若∠BOD=15°，∠BOE=120°，求∠EOF的度数；②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．2．（2023春·七年级课时练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=13∠AO(1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；(2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．(3)如图3，0°<∠AOC<120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．3．（2022秋·湖南株洲·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OE，使∠BOE=40°，将一个三角板的直角顶点放在O处，一边OC在射线OA上，另一边OD在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O顺时针旋转：(1)如图2，当OC旋转到OE的反向延长线上时，∠AOC=______；(2)如图3，当OD平分∠AOE时，求∠BOC的度数；(3)若OC在直线AB上方，∠BOC=α，请直接用含a的式子表示∠DOE．4．（2022秋·重庆潼南·七年级统考期末）如图，点O是直线AB上一点，在直线AB的上方作射线OC，使∠BOC=30°，将一个直角三角板DOE的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°），且直角三角板DOE始终保持在直线AB的上方．(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD在射线OA上，则∠COE的度数=______；(2)如图2，若直角三角板∠DOE的边OE在∠BOC的内部．当OE平分∠BOC时，试判断OD平分∠AOC吗？并说明理由．(3)若∠AOD=4∠COE，求∠BOE的度数．5．（2022秋·七年级课时练习）一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线l上，已知AB=160，BC=80，点P以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的路线运动；同时，三角板ADE（含45°）绕点A顺时针旋转，速度为每秒3°，当点P运动至点C时，全部停止运动，设运动时间为t秒．图2是运动过程中某时刻的图形．(1)当点P到达点B时，△ADE转动了°．(2)当0＜t＜60时，若∠FAE与∠B互为余角，则t=．(3)在运动过程中，当t＝时，使得AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线．(4)当△ACP的面积大于△ABC面积的一半，且△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度时，直接写出：所有满足条件的t的取值之和为

．1．已知，AB∥CD，F、G分别为直线AB、CD上的点，E为平面内任意一点，连接EF、EG．(1)如图（1），请直接写出∠AFE、∠CGE与∠FEG之间的数量关系．(2)如图（2），过点E作EM⊥EF、EH⊥EG交直线AB上的点M、H，点N在EH上，过N作PQ∥EF，求证：∠HNQ=∠MEG．(3)如图（3），在（2）的条件下，若∠ENQ=∠EMF，∠EGD=110°，求∠CQP的度数．2．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．(1)如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE(2)如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ(3)如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若∠E=40°时，求3．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，(1)如图1，求证：EF∥(2)如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N=∠HPN−∠NFH；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的13多3°，求∠AEF4．已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、直线CD上，点

(1)如图1，请写出∠AME、∠E、∠ENC之间的数量关系，并给出证明；(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求(3)如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，请写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含5．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP=；(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=α°时，求∠AMP的度数；（用含α的代数式表示）(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．6．如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．(1)如图1，求证：∠P=∠PEB-∠C；(2)如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；(3)如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，n=．7．如图：(1)如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；(2)如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝110°.①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示.若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是度（用关于n的代数式表示）.1．先阅读再解答：(1)如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D=∠BED；(2)已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠BED=360°；(3)已知：如图3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．2．综合与实践(1)问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为______；（直接写出答案）(2)问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A=50°，∠D=150°，试求∠APD的度数；(3)问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．3．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：(1)已知：AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．小明是这样证明的：请填写理由证明：过点P作PQ∥AB∴∠APQ=∠A（）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（）∴∠CPQ=∠C（）∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C(2)在图2中，AB∥CD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为；(3)在图3中，AB∥CD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为；(4)在图4中，AB∥CD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．4．直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分(1)如图1，若BP∥CE，求证：(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．8．课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥∴∠B=，∠C，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且AB<CD，AD<BC．若∠ABC=n°，求∠BED度数．（用含n的代数式表示）1．（1）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为平面内AB、CD间一点，若∠EPF=∠PEB+∠PFD，证明：AB∥CD；（2）如图2，AB∥CD，点E在直线AB上，点F、G分别在直线CD上，GP平分∠EGF，∠PEG=∠PFG，请探究∠EPF、（3）如图3，AB∥CD，∠EPF=120°，∠PEG=n∠BEG，∠PFK=n∠CFK．直线MN交FK、EG分别于点M、2．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30°，求∠MGN+∠MPN的度数．(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=120°，求∠AME的度数．3．如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、CD于G、H两点，∠AGE=∠FHD．(1)如图1，求证：AB∥(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，∠AGN=∠QHD，求证：GN∥(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于点K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，∠QHN=2∠KVN，求4．问题探究：如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．问题解答：(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；问题迁移：(3)如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度数．5．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，(1)求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD；(2)若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．①如图2，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．6．已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I−∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．1．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥问题迁移：(1)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由(2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时，点P与点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、∠α,∠β间的数量关系．2．已知AB∥CD．(1)如图1，若∠ABE=120°，∠BED=135°，则∠EDK=______．(2)如图2，EF⊥BE于点E，∠HBE、∠KDE的角平分线交于点P，GE平分∠DEF，若∠P比∠GEF的5倍还多5°，求∠GEF的度数．(3)如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M、N满足：∠MBH=12∠MBE，∠NDK=12∠NDE，直线MB与直线3．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB=100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．(1)若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC−∠ECG=40°，求∠CPQ的度数．(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使∠EGC∠EFC=34．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°．(1)试说明：∠BAG=∠BGA；(2)如图2，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG−∠F=45°，求证：CF平分∠BCD；(3)如图3，线段AG上有点P，满足∠ABP=3∠PBG，过点C作CH∥AG.若在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，求∠ABM∠GBM1．如图，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且(1)当∠AEF=70°时，∠FME=__________°．(2)判断EM是否平分∠AEF，并说明理由．(3)如图，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF=α．探究当点G在运动过程中，∠MHN−∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．2．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：MN∥AB，∠BAC=60°，∠C=90°，MN分别交AC、BC于点E、F、∠BAC的角平分线AD交MN于点D，H为线段AB上一动点（不与A、B重合），连接FH交AD于点K．(1)当∠BFH=12∠BFN(2)H在线段AB上任意移动时，求∠AKF，∠HAK，∠DFH之间的关系．(3)在（1）的条件下，将△DKF绕着点F以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t0≤t≤36，则在旋转过程中，当△DKF的其中一边与△CEF的某一边平行时，直接写出此时t3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．(1)填空：∠BAN=______°；(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．4．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，连结AB，且∠ABN=45°．灯A射线自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射线自BM顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是1度/秒，灯(1)若两灯同时转动，在灯B射线第一次转到BN之前，两灯射出的光线交于点C．①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求∠ABC的度数．②如图2，过C作CD⊥BC交PQ于点D，则在转动过程中，求∠ABC与∠ACD的比值，并说明理由．(2)若灯A射线先转动30秒，灯B射线才开始转动，在灯A射线第一次转到AP之前，B灯转动几秒，两灯的光线互相平行？专题2.1相交线与平行线六类必考压轴题【人教版】1．（2022秋·辽宁大连·七年级校考期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．(1)当点E，F在直线AB的同侧；①如图1，若∠BOD=15°，∠BOE=120°，求∠EOF的度数；②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF=90°−∠COE，可得∠EOF的度数；②先根据角平分线定义∠EOF=∠FOB，再结合余角定义和对顶角相等可得结论；（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧，当点E，F在直线AB的异侧；设∠COE=α，再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．【详解】（1）解：①∵OF⊥CD于点O，∴∠COF=90°，∵∠BOD=15°，∠BOE=120°，∴∠COE=180°−∠BOE−∠BOD=180°−120°−15°=45°，∴∠EOF=∠COF−∠COE=90°−45°=45°，∴∠EOF的度数为45°；②平分．理由如下：∵OF平分∠BOE，∴∠EOF=∠FOB=1∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠COE+∠EOF=∠FOB+∠BOD=90°，∴∠COE=∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠COE=∠AOC，∴OC平分∠AOE．（2）如图，当点E，F在直线AB的同侧，设∠COE=α，∵∠AOF=2∠COE，∴∠AOF=2∠COE=2α，∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°①，∴∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−2α−90°①×3＋②×2得，3∠AOC+2∠BOE=270°；如图，当点E，F在直线AB的异侧；设∠COE=α，∵∠AOF=2∠COE，∴∠AOF=2∠COE=2α，∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠AOC=∠COF−∠AOF=90°−2α①，∴∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−90°−2α①＋②×2得，∠AOC+2∠BOE=270°．综上所述，∠BOE与∠AOC之间的数量关系：3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．2．（2023春·七年级课时练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=13∠AO(1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；(2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．(3)如图3，0°<∠AOC<120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．【分析】（1）根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等得出答案；（2）①根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等求出∠EOC，再根据∠BOC＝α－60°，求出∠EOB的度数即可；②根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠（3）分情况讨论：①当0°<∠AOC≤90°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；②当90°<∠AOC≤120°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出∠EOC＋∠BOC＝【详解】（1）解：∵∠AOC＝120°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－120°＝60°，∴∠DOF＝13∠AOD＝20°，∴∠EOC＝∠DOF（2）解：①∵∠AOC＝α，∴∠AOD＝180°－α，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－1∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13α，由题意得：∠AOB＝60°，∴∠BOC＝∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13α＋α－60°＝②观察①中结果可得：∠EOB＝23证明：∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠AOC－60°，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC－60°＝23∠（3）解：①当0°<∠AOC≤90°时，如图，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC＋60°＝23∠②当90°<∠AOC≤120°时，如图，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∴∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC＋60°＝23∠∴∠EOB＝360°－（∠EOC＋∠BOC）＝360°－23∠AOC－120°＝240°－23∠3．（2022秋·湖南株洲·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OE，使∠BOE=40°，将一个三角板的直角顶点放在O处，一边OC在射线OA上，另一边OD在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O顺时针旋转：(1)如图2，当OC旋转到OE的反向延长线上时，∠AOC=______；(2)如图3，当OD平分∠AOE时，求∠BOC的度数；(3)若OC在直线AB上方，∠BOC=α，请直接用含a的式子表示∠DOE．【分析】（1）根据对顶角相等即可得到答案；（2）由∠BOE=40°的∠AOE=140°，由OD平分∠AOE时，得到∠AOD=70°，即可得到∠BOC的度数；（3）根据α的取值范围分三种情况讨论即可得到答案．【详解】（1）解：当OC旋转到OE的反向延长线上时，∠AOC=∠BOE=40°，故答案为：40°；（2）∵∠BOE=40°，∴∠AOE=180°−∠BOE=140°，∵OD平分∠AOE时，，∴∠AOD=12∠AOE=70°（3）当90°≤α<180°时，∠BOD=α−90°，如图①，∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=α−90°+40°=α−50°，当50°≤α<90°时，∠BOD=90°−α，如图②，∴∠DOE=∠BOE−∠BOD=40°−90°−α当0°<α<50°时，∠BOD=90°−α，如图③，∴∠DOE=∠BOD−∠BOE=90°−α4．（2022秋·重庆潼南·七年级统考期末）如图，点O是直线AB上一点，在直线AB的上方作射线OC，使∠BOC=30°，将一个直角三角板DOE的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°），且直角三角板DOE始终保持在直线AB的上方．(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD在射线OA上，则∠COE的度数=______；(2)如图2，若直角三角板∠DOE的边OE在∠BOC的内部．当OE平分∠BOC时，试判断OD平分∠AOC吗？并说明理由．(3)若∠AOD=4∠COE，求∠BOE的度数．【分析】（1）根据直角三角形的直角可知∠COE=∠BOE−∠BOC求解即可得到结果；（2）根据角平分线的定义可以求得∠COE的度数，进而求出∠COD的度数，得到∠AOD=∠COD最后得到结论．（3）根据题意分情况讨论，再根据邻补角，余角互余即可得到结果．【详解】（1）解：∵∠BOC=30°，∠DOE=90°，∴∠BOE=90°，∴∠COE=∠BOE−∠BOC=60°故答案为：60°（2）解：∵∠BOC=30°，OE平分∠BOC∴∠COE=∵∠DOE=90°∴∠COD=∠DOE−∠COE=90°−15°=75°∵∠AOB=180°∴∠AOD=180°−∠COD−∠BOC=75°∴∠AOD=∠COD=75°∴OD平分∠AOC（3）解：如图第一种情况，当OE在∠BOC的内部时，设∠COE=x∵∠AOD=4∠COE，∠DOE=90°∴∠AOD=4x，∠COD=90°−x∵∠BOC=30°，∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−30°=150°∴可得方程：4x+90°−x=150°，解得：x=20°∴∠BOE=30°−20°=10°第二种情况，当OE在∠BOC的外部时，设∠COE=x，则∠COD=90°+x∴∠AOC=∠COE+∠DOE+∠AOD∵∠BOC=30°，∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−30°=150°∵∠AOD=4∠COE，∠DOE=90°∴可得方程：4x+90°+x=150°，解得：x=12°∴∠BOE=∠BOC综上所述，∠BOE的度数为10°或42°5．（2022秋·七年级课时练习）一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线l上，已知AB=160，BC=80，点P以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的路线运动；同时，三角板ADE（含45°）绕点A顺时针旋转，速度为每秒3°，当点P运动至点C时，全部停止运动，设运动时间为t秒．图2是运动过程中某时刻的图形．(1)当点P到达点B时，△ADE转动了°．(2)当0＜t＜60时，若∠FAE与∠B互为余角，则t=．(3)在运动过程中，当t＝时，使得AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线．(4)当△ACP的面积大于△ABC面积的一半，且△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度时，直接写出：所有满足条件的t的取值之和为

．【分析】（1）根据点P的运动可求出运动时间，再根据路程=速度×时间可求解；（2）若∠FAE与∠B互余，则∠FAE=30°，由此可直接得出时间；（3）分三种情况分类讨论，画出图形列出方程求解即可；（4）由于三角形有三条边，分三种情况讨论，分别求出t的值，再求和即可．【详解】（1）解：当点P到达点B时，所用时间t=160÷2=80（s），此时∠FAE=3°×80=240°，故答案为：240；（2）解：当0＜t＜60时，点P在AB上，由题意可知∠BAC=30°，∠B=60°，若∠FAE与∠B互为余角，则∠FAE=30°，∴t=30°÷3°=10（s），故答案为：10；（3）解：根据题意可知，∠EAD=45°，若AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线，需要分三种情况：①当射线AD是∠BAE的平分线时，如图1，此时∠EAD=∠BAD=45°，∴∠EAF=180°-∠BAC-∠EAD-∠BAD=60°，此时t=60°÷3°=20（s）；②当射线AB是∠DAE的平分线时，如图2，此时∠EAB=∠DAB=22.5°，∴∠EAF=180°-∠BAC-∠BAE=137.5°，∴t=137.5°÷3°=42.5（s）；③当射线AE是∠BAD的平分线时，如图3，此时∠DAE=∠BAE=45°，∴∠EAC=∠BAE-∠BAC=15°，∴t=（180°+15°）÷3°=65（s），故答案为：20或42.5或65．（4）解：当△ACP的面积大于△ABC面积的一半时，点P在与AC平行的△ABC的中位线上方即可，此时t的取值范围为：160÷2÷2＜t＜（160+80÷2）÷2，即40＜t＜100，∴120°＜∠FAE＜300°，根据题意可知，若△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度，需要分以下三种情况：①边DE⊥AB时，如图4，此时∠EAF=150°，∴t=150°÷3°=50（s）；②边AD⊥AB时，如图5，此时，射线AE旋转的角度为：150°+90°-45°=195°，∴t=195°÷3°=65（s）；③边AE⊥AB时，如图6，此时，旋转角度为：150°+90°=240°，∴t=240°÷3°=80（s），∴50+65+80=195（s），故答案为：195．1．已知，AB∥CD，F、G分别为直线AB、CD上的点，E为平面内任意一点，连接EF、EG．(1)如图（1），请直接写出∠AFE、∠CGE与∠FEG之间的数量关系．(2)如图（2），过点E作EM⊥EF、EH⊥EG交直线AB上的点M、H，点N在EH上，过N作PQ∥EF，求证：∠HNQ=∠MEG．(3)如图（3），在（2）的条件下，若∠ENQ=∠EMF，∠EGD=110°，求∠CQP的度数．【分析】（1）如图，过E作MN∥CD，根据平行公理得AB∥CD∥MN，根据平行线的性质得∠AFE=∠FEN，∠CGE=∠NEG，对角进行加减运算即可求；（2）根据垂直和周角的概念可得∠MEG+∠FEH=180°，根据平行线的性质得∠FEH=∠HNP，根据邻补角得∠HNQ+∠HNP=180°，然后等量代换即可求得结果；（3）结合已知求得∠EGC=70°由（1）可知，∠EMF+110°=∠MEG，结合已知和邻补角得∠HNQ=180°−∠EMF，由（2）的结论得∠EMF+110°=180°−∠EMF求出∠EMF=35°，最后根据三角形内角和求出∠MFE=55°依据PQ∥EF，AB∥CD利用平行线的性质即可求解．【详解】（1）如图，过E作MN∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MN，∴∠AFE=∠FEN，∠CGE=∠NEG，∴∠AFE+∠CGE=∠FEN+∠NEG=∠FEN，即∠AFE+∠CGE=∠FEN；（2）证明：∵EM⊥EF、EH⊥EG，∴∠MEF=∠HEG=90°，∴∠MEG+∠FEH=360°−∠MEF+∠HEG∵PQ∥EF，∴∠FEH=∠HNP，∵∠HNQ+∠HNP=180°，∴∠HNQ+∠FEH=180°，∴∠HNQ=∠MEG；（3）∵∠EGD=110°，由（1）可知，∠EMF+∠EGD=∠MEG，∴∠EMF+110°=∠MEG，∵∠HNQ=180°−∠ENQ，∠ENQ=∠EMF，∴∠HNQ=180°−∠EMF，由（2）可知∠HNQ=∠MEG，∴∠EMF+110°=180°−∠EMF，解得：∠EMF=35°，∴∠MFE=180°−∠MEF−∠EMF=180°−90°−35°=55°，∵PQ∥EF，∴∠MPQ=∠MFE=55°，∵AB∥CD，∴∠CQP=180°−∠MPQ=180°−55°=125°．2．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．(1)如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE(2)如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ(3)如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若∠E=40°时，求【分析】（1）过点E作EM∥AB，则∠BPE=∠PEM，EM∥（2）同（1）得出∠BPF+∠DQF=∠PFQ，根据角平分线的定义得出∠BPF=1（3）过点E作EN∥AB，根据平行线的性质得出∠CQE=220°−∠BPE，同（1）【详解】（1）解：∠PEQ=∠BPE+∠DQE，理由如下，如图所示，过点E作EM∥∴∠BPE=∠PEM，∵AB∥CD∴EM∥∴∠PEQ=∠PEM+∠QEM=∠BPE+∠DQE，即∠PEQ=∠BPE+∠DQE，（2）∠PFQ=1∵PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，∴由（1）可知∠PEQ=∠BPE+∠DQE，同理可得∠BPF+∠DQF=∠PFQ，∴∠PFQ=1即∠PFQ=1（3）解：如图，过点E作EN∥∴∠PEN=∠BPE，∵PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，∴∠BPF=1∵∠FQD=∠CQH=12∠CQE，∵AB∥CD，AB∴∠CQE=180°−∠NEQ=180°−∠PEN−∠PEQ由（1）可得∠F=∠BPF+∠FQD==110°．3．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，(1)如图1，求证：EF∥(2)如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N=∠HPN−∠NFH；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的13多3°，求∠AEF【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行即可求证；（2）如图所示（见详解），过点N作NR∥CD，根据平行性的性质，可求得∠ENF+∠FNR=∠HPN，由此即可求解；（3）设∠ENF=3α，则∠GQH=α+3，根据角平分线，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，可得∠AEF=2α+6，由此即可求解．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∵∠EGH=∠EFH，∴∠AEF=∠EGH，∴EF∥（2）证明：如图所示，过点N作NR∥CD，∴∠NFH=∠FNR，∵AB∥CD，∴∵EN平分∠BEF，∴∠NEF=∠NEB，∴∠ENR=∠NEF，∵EF∥GH，∴∠HPN=∠NEF，∴即∠ENF+∠FNR=∠HPN，∴∠ENF=∠HPN−∠NFH．（3）解：如图所示，设∠ENF=3α，则∠GQH=α+3，∵AB∥CD，∴∵GQ平分∠AGH，∴∠AGH=2∠AGQ=2α+6，∴∠EFD=∠AGH=2α+6，∴∠AEF=∠EFD=2α+6，∴∠BEF=180°−∠AEF=174°−2α，∴∠BEN=1∵FM⊥GM，∴∠M=90°，∵EF∥GH∴∠EFM+∠M=180°∴∴∠DFM=90°−∠EFD=90°−(2α+6)=84°−2α，∵FN平分∠DFM，∴∠DFN=12∠DFM=42°−α∴∠RNE=∠FNR+∠ENF=42°−α+3α=42°+2α，∵AB∥NR，∴∠BEN=∠RNE，∴87°−α=42°+2α，∴∴∠AEF=2α+6=36°，故∠AEF的度数为36°．4．已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、直线CD上，点

(1)如图1，请写出∠AME、∠E、∠ENC之间的数量关系，并给出证明；(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求(3)如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，请写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含【分析】（1）过点E作EE′∥AB，根据题意和平行线的判定得EE′∥（2）根据题意得∠NEF=12∠MEN，∠ENP=12∠END，根据平行线的性质得∠QEN=∠ENP=1（3）根据题意得∠ENM=1m∠AMN，∠GEM=1m∠GEK，根据EH∥MN得∠HEM=∠EMN=1m∠AMN【详解】（1）∠MEN=∠AME+∠ENC，证明如下：证明：如图1所示，过点E作EE∵AB∥CD，∴EE′∥∵∠MEN=∠1+∠2，∴∠MEN=∠AME+∠ENC；（2）解：∵EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，∴∠NEF=12∠MEN∵EQ∥NP，∴∵∠MEN=∠AME+∠ENC，∴∠MEN−∠ENC=∠AME=30°，∴∠FEQ=∠NEF−∠NEQ=12∠MEN−12∠ENC（3）∠GEK+∠BMN−m∠GEH=180°，证明如下：证明：∵∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，∴∠ENM=1m∠AMN∵EH∥MN，∴∵∠GEH=∠GEM−∠HEM=1m∠GEK−1∵∠AMN=180°−∠BMN，∴m∠GEH=∠GEK−(180°−∠BMN)，∴∠BMN+∠GEK−m∠GEH=180°．5．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP=；(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=α°时，求∠AMP的度数；（用含α的代数式表示）(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．【分析】（1）过P作PE∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝65°，进而可求解；（2）过P作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－12（3）过P作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－12（1）解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠AMP＝∠MPE，∠CNP＝∠EPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠∵∠QND＝50°，∴∠PNC＝65°，∴∠AMP＝90°﹣65°＝25°；故答案为：25°（2）过P作PF∥AB，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠∵∠QND＝α°，∴∠PNC＝12180°−α°＝90°－∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－12α°）＝即∠AMP＝12（3）过P作PF∥AB，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠QND）＝90°－∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－12∠QND）＝即∠QND＝2∠AMP．6．如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．(1)如图1，求证：∠P=∠PEB-∠C；(2)如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；(3)如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，n=．【分析】（1）过点P作PM∥AB，则PM∥CD，∠PEB+∠MPE=180°，∠C+∠CPE+∠MPE=180°，两式相减可得答案；（2）由（1）的结论可得，∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，设∠PEB=2α，∠PFC=2β，可得∠P=2α−180°−2β（3）由题意可得∠CPE=（n+1）∠CPN，∠DCP=(n+1)∠PCN，由（1）得，∠PEB=∠CPE+∠DCP=（n+1）(∠CPN+∠PCN)，又∠PEA=180°-∠PEB，∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，通过化简可得答案．（1）证明：如图，过点P作PM∥AB，∴∠PEB+∠MPE=180°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠C+∠CPM=180°，即∠C+∠CPE+∠MPE=180°，∴∠C+∠CPE=∠PEB，∴∠CPE=∠PEB-∠C；（2）解：由（1）的结论可得，∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，设∠PEB=2α，∠PFC=2β，可得∠Q=180°−α−β，∴∠P+2∠Q=2α+2β−180°+2180°−α−β即∠P+2∠Q=180°（3）解：n=1如图，过点P作PQ∥AB，过点G作GN∥CD，则PQ∥CD，GN∥CD，∴∠DCN=∠GNC，∠PCD=∠QPC，∠GNP+∠QPN=180°，∴∠CNP=∠GNC+∠GNP=∠DCN+180°-∠QPN=180°+∠DCN-(∠QPC+∠CPN)=180°+∠DCN-(∠PCD+∠CPN)=180°+∠DCN-∠PCD-∠CPN=180°+∠DCN-∠PCD-∠CPN=180°-∠PCN-∠CPN，∴∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP∵∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，∴∠CPE=∠EPN+∠CPN=（n+1）∠CPN，同理∠DCP=(n+1)∠PCN，由（1）得，∠PEB=∠CPE+∠DCP=（n+1）∠CPN+(n+1)∠PCN=（n+1）（∠CPN+∠PCN），∴∠PEA=180°-∠PEB=180°-（n+1）（∠CPN+∠PCN），又∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，∴∠PEA=180°-（n+1）（180°-∠CNP）=（n+1）∠CNP-n×180°，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，即2∠CNP-（n+1）∠CNP+n×180°=180°，∴（n-1）（∠CNP-180°）=0恒成立，∵∠CNP≠180°，∴n=1，故答案为17．如图：(1)如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；(2)如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝110°.①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示.若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是度（用关于n的代数式表示）.【分析】（1）如图1中，作EH∥PQ．利用平行线的性质和判定求解即可．（2）①利用（1）中结论只要求出∠PDE，∠MBE即可．②利用（1）中结论只要求出∠PDE，∠MBE即可．（1）如图1中，作EH∥PQ．∵EH∥PQ，PQ∥MN，∴EH∥MN，∴∠PDE=∠DEH，∠MBE=∠BEH，∴∠DEB=∠DEH+∠BEH=∠PDE+∠MBE．（2）①如图2中，∵∠CBN=100°，∴∠MBC=80°，∵BE平分∠MBC，∴∠MBE=12∠MBC∵∠ADQ=130°，∴∠PDA=50°，∵ED平分∠PDA，∴∠PDE=12∠PDA∴∠BED=∠PDE+∠MBE=25°+40°=65°．②如图3中，∵∠ADQ=n°，ED平分∠ADC，∴∠CDE=12∠ADQ=12n°，∴∠PDE=180°-1∵∠ABE=40°，∴∠BED=∠PDE+∠ABE=180°-12n°+40°=220°-12故答案为220°-12n

1．先阅读再解答：(1)如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D=∠BED；(2)已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠BED=360°；(3)已知：如图3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质可得∠B=（2）过点E作EF∥AB，由平行线的性质可得∠B+（3）延长BF和反向延长CD相交于点G，由平行线的性质可得∠ABF=∠G，进而可得∠【详解】（1）解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∵∠BED=∴∠BED＝（2）证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B+∵∠BED=∴∠B+（3）证明：延长BF和反向延长CD相交于点G，∵AB∥CD，∴∠ABF=∵∠ABF=∴∠G=∴BG∥CE，∴∠BFE=2．综合与实践(1)问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为______；（直接写出答案）(2)问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A=50°，∠D=150°，试求∠APD的度数；(3)问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．【分析】对于（1），作PE∥AB，通过平行线性质可得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°，即可求∠APC；对于（2），作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠APE=∠A=50°，∠EPD=180°-150°=30°，即可求出∠APD的度数；对于（3），作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠CDP=∠DPE，∠FPA+∠PAB=180°，又∠FPA=∠DPF-∠APD，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB//CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°．∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠PCE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案为：110°；（2）过点P作EF∥AB，∵∠A=50°，∴∠APE=∠A=50°，∵AB∥∴EF∥∴∠CDP+∠EPD=180°．∵∠D=150°，∴∠EPD=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°；（3）∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．如图，过点P作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，∴∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，∵∠FPA=∠DPF-∠APD，∴∠DPF-∠APD+∠PAB=180°，∴∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．故答案为：∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．3．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：(1)已知：AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．小明是这样证明的：请填写理由证明：过点P作PQ∥AB∴∠APQ=∠A（）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（）∴∠CPQ=∠C（）∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C(2)在图2中，AB∥CD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为；(3)在图3中，AB∥CD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为；(4)在图4中，AB∥CD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．【分析】过点P作AB的平行线，用相似的证明方