2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题2.4 二元一次方程组全章十类必考压轴题（人教版）含解析

2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题2.4二元一次方程组全章十类必考压轴题【人教版】必考点1必考点1由方程组的错解问题求参数的值1．（2022秋·广西崇左·七年级统考期末）甲、乙两人同解方程组ax+by=2,①cx−3y=4．②，甲因看错c的值解得方程组解为x=1y=1，乙求得正确的解为x=2y=−2，求a，b2．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）甲、乙两人共同解方程组ax−by=−112①ax+by=5②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=2y=3，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=3y=23．（2022春·河南安阳·七年级统考期中）在解二元一次方程组ax+by=17cx−y=5时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为x=4y=3，乙同学因看错了c，从而求得解为x=3y=24．（2022秋·重庆·八年级重庆一中校考期中）甲、乙两同学同时解方程组mx−3y=12①6x+ny=−5②，甲看错了方程①中的m，得到的方程组的解为x=−2y=1，乙看错了方程②中的5．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）甲、乙两人解方程组4x−by=−1ax+by=5,甲因看错a,解得x=2y=3,乙将其中一个方程的b写成了它的相反数,解得必考点2必考点2根据方程组解的个数求参数或参数取值范围1．（2022春·浙江·七年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组3x+5y=63x+ky=10给出下列结论：当k=5时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的个数是（

A．0 B．1 C．2 D．32．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）若关于x，y的方程组x−y=2mx+y=6有非负整数解，则正整数m为（

A．0，1 B．1，3，7 C．0，1，3 D．1，33．（2022秋·广东江门·八年级新会陈经纶中学校考期中）方程y=2x+ky=(k24．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）已知关于x、y的方程组2x−y=−1x+2y=5a−8(1)用含有字母a的代数式表示x和y；(2)求a的取值范围；(3)已知2a−b=1，求a+b的取值范围．5．（2022春·七年级课时练习）当m，n为何值时，方程组{（1）有唯一解；（2）有无数多个解：（3）无解必考点3必考点3构造二元一次方程组求解1．（2022春·浙江·七年级期末）对于实数x，y，定义新运算x∗y=ax+by+1，其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若3∗5=15，4∗7=28，则5∗9=（

）A．40 B．41 C．45 D．462．（2022春·湖南邵阳·七年级统考期中）在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m、n对应的密文为m−3n，2m+3n．例如：明文1、2对应的密文是−5、8．当接收方收到密文是6、3，则解密后得到的明文是_____________．3．（2022春·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程m+1x+2m﹣1y+2﹣m=04．（2022春·福建龙岩·七年级校考期中）无论k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，则x，y要满足的条件是__________．5．（2022秋·重庆荣昌·八年级校考期中）若一个四位正整数abcd满足：a+c=b+d，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，∵3+7=6+4，∴3674是“交替数”，对于四位数2353，∵2+5≠3+3，∴2353不是“交替数”．（1）最小的“交替数”是________，最大的“交替数”是__________．（2）判断2376是否是“交替数”，并说明理由；（3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12，且十位数字与个位数的和能被6整除．请求出所有满足条件的“交替数”．必考点4必考点4整体思想解二元一次方程组1．（2022春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+bA．m=3n=2 B．m=3n=4 C．m=4n=22．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）已知x+2y=−4m2x+y=2m+1，若x−y=7，则m的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-23．（2022·浙江杭州·七年级期中）已知方程组a1x+y=c1a2x+y=c24．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知关于x、y的方程组{mx+ny=72mx−3ny=4的解为{x=15．（2022春·重庆璧山·七年级校联考期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组3m解：把m+5，n+3成一个整体，设m+5=x，解得：x=1y=2．∴m(1)若方程组2x−3y=45(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组3x6．（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）解方程组：（1）43x−2y（2）3x+my=5x+2y=n（3）2x1+必考点5必考点5二元一次方程组之行程问题1．（2022秋·江苏无锡·七年级校联考期末）某景区游船码头派车原定于8点整准时到达景区入口接工作人员，由于汽车在路上因故障导致8:10时车还未到达景区入口，于是工作人员步行前往码头.走了一段时间后遇到了前来接他的汽车，他上车后汽车立即掉头继续前进.到达码头时已经比原计划迟到了20min.已知汽车的速度是工作人员步行速度的6倍，则汽车在路上因故障耽误的时间为____min2．（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．（1）A、B两地的距离可以表示为千米（用含a，b的代数式表示）；（2）甲从A到B所用的时间是：小时（用含a，b的代数式表示）；乙从B到A所用的时间是：小时（用含a，b的代数式表示）．（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？3．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）如图，中国海监船46，49在距离钓鱼岛220海里处，已知两船的航速如下表所示：最大航速经济航速海监4616节14节海监4915.2节14.5节其中，一节等于1海里/时，如果海监46先以经济航速行驶若干小时后以最大航速沿图中箭头方向航线行驶至钓鱼岛，共行驶时间15小时，海监49比海监46迟出发半小时，以最大航速沿同一路线驶向钓鱼岛．问：(1)两船谁先到达钓鱼岛？说明理由；(2)海监46经济航行和最大航速航行各多少小时？(3)设海监46航行时间为t，求两海监船之间的距离S与t之间的函数关系式．4．（2022春·河南新乡·七年级校考期中）一列快车长230米，一列慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？5．（2022·河北唐山·统考二模）如图，一段铁路的示意图，AB段和CD段都是高架桥，BC段是隧道．已知AB=1500m，BC=300m，CD=2000m，在AB段高架桥上有一盏吊灯，当火车驶过时，灯光可垂直照射到车身上，已知火车甲沿AB方向匀速行驶，当火车甲经过吊灯时，灯光照射到火车甲上的时间是10s，火车甲通过隧道的时间是20s，如果从车尾经过点A时开始计时，设行驶的时间为xs，车头与点B的距离是ym．（1）火车甲的速度和火车甲的长度（2）求y关于x的函数解析式（写出x的取值范围），并求当x为何值时，车头差500米到达D点．（3）若长度相等的火车乙以相同的速度沿DC方向行驶，且火车甲乙不在隧道内会车（会车时两车均不在隧道内），火车甲先进隧道，当火车甲的车头到达A点时，火车乙的车头能否到达D点？若能到达，至多驶过地点多少？若不能到达，至少距离D点多少m？必考点6必考点6二元一次方程组之工程问题1．（2022春·安徽芜湖·七年级校考期末）自来水厂的供水池有7个进出水口，每天早晨6点开始进出水，且此时水池中有水15%，在每个进出水口是匀速进出的情况下，如果开放3个进口和4个出口，5小时将水池注满；如果开放4个进口和3个出口，2小时将水池注满．若某一天早晨6点时水池中有水24%，又因为水管改造，只能开放3个进口和2个出口，则从早晨6点开始经过____小时水池的水刚好注满．2．（2022春·重庆·八年级统考期末）今年4月23号，位于重庆两江新区的光环购物公园隆重开业。该购物公园最具吸引力的就是建跨7层，拥有42米立体垂直景观的“沐光森林”植物园．假设该植物园拥有6个出入口，每个出入口都是单向的且在单位时间内每个入口和出口经过的游客数量是一定的；并且植物园的最大承载游客数量也是固定的．由于疫情防控和现场安全的原因，目前植物园对外开放最大可承载游客量为设计数量的90％．假设植物园每天早上九点开始接待游客，若开放5个入口，1个出口，2个小时游客数量就将饱和；若开放3个入口，3个出口，4个小时游客数量将达到饱和．开业当天由于人流量激增，为了安全起见仅开放了2个入口，4个出口，且开业当天游客最大承载量定为总设计可承载人数的84％．请问从早上9点开始，经过________小时植物园游客数量达到饱和．3．（2022春·新疆乌鲁木齐·七年级统考期末）绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？(2)若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？4．（2022春·山东菏泽·七年级期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）5．（2022春·重庆巴南·八年级统考期末）面对某国不断对我国的打压，我国自主品牌抗住压力．以华为手机为例，今年一月份我国某工厂用自主创新的A、B两种机器人组装某款华为手机，每小时一台A种机器人比一台B种机器人多组装50个该款华为手机，每小时10台A种机器人和5台B种机器人共组装3500个该款华为手机．（1）今年一月份，该工厂每小时一台A种机器人、一台B种机器人分别能组装多少个该款华为手机？（2）该工厂原有A、B两种机器人的数量相等，因市场销售火爆，二月份该工厂增加了一部分A种机器人并淘汰了一部分B种机器人，这样A种机器人的数量增加了2m%，B种机器人数量减少了m%．同时，该工厂对全部A种机器人进行了升级改造，升级改造后的机器人命名为C种机器人，已知每小时一台C种机器人组装该款华为手机的数量比原一台A种机器人组装该款华为手机的数量增加了15，每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%，求m必考点7必考点7二元一次方程组之商品经济问题1．（2022春·河南信阳·七年级河南省淮滨县第一中学校考期末）小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（

）A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子2．（2022春·重庆铜梁·七年级统考期末）端午节临近，某超市热销A、B、C三种粽子，其中其每千克B种粽子的成本价比每千克A种粽子的成本价高50%，每千克C种粽子的成本价是每千克A种粽子的成本价的2倍．最近，超市打算将三种粽子混装配成甲、乙、丙三种礼品盒进行销售（礼品盒的盒子成本价不计）．其中甲礼品盒有A种粽子3千克、B种粽子2千克、C种粽子2千克；乙礼品盒有A种粽子2千克、B种粽子3千克、C种粽子3千克；丙礼品盒有A种粽子4千克、B种粽子2千克、C种粽子4千克．销售时，每个丙礼品盒在成本价基础上提高133．（2022春·重庆巴南·七年级统考期末）某街道为了绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵种植在这个空地上，购买时，已知甲种树木的单价是乙种树木的单价的98(1)甲、乙两种树木各购买了多少棵？(2)经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好，该街道决定再次购买这两种树木来绿化另一块闲置空地，购买时，发现甲种树木的单价比第一次购买时的单价下降了a50，乙种树木的单价比第一次购买时的单价下降了110，于是，该街道购买甲种树木的数量比第一次多了15，购买乙种树的数量比第一次多了a50，且购买甲、乙两种树木的总费用比第一次多了4．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商店购进“冰墩墩”、“雪容融”两款毛绒玩具进行销售，“冰墩墩”“雪容融”两种商品的进价、售价如表：“冰墩墩”“雪容融”进价（元/个）9060售价（元/个）12080请列方程（组）、不等式解答下列各题；(1)2022年2月份，商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，并且全部售完，问该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了多少钱？(2)2022年3月份，商店又购进了200个“冰墩墩”和100个“雪容融”，3月中旬受疫情影响，在“冰墩墩”售出34，“雪容融”售出12后，店主决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，又全部售完．如果要保证本月销售总额为30000元，求(3)2022年4月份，由于受疫情影响，生产厂家减产，限制该商店本月只能采购两款毛绒玩具共200个，商店在不打折、不降价且全部售完的情况下，“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的455．（2022春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）2021年初，随着重庆本地的一些优势政策的落地，城市经济发展状况越来越好，购房需求有增无减，重庆楼市涨幅明显，据国家统计局5月17日公布的70城房价数据显示，4月重庆新房价格环比上涨1.4%，领涨全国；二手房价格环比上涨13%，涨幅全国第二．5月份，重庆RC壹号院甄装大平层璀璨登场，共推出A、B两种大平层共100套，其中A户型340万元/套，B户型460万元/套．（1）RC壹号院5月的销售总额为38800万元，问5月推出A、B两种户型各多少套？（2）近期，关于重庆银行利率上涨、二手房将停贷等消息在朋友圈被大量转发，重庆楼市将要进行调控成为了各大平台的热点话题．为年中清盘促销，地产商调整了营销方案，对销售团队采取奖励办法：每销售一套A户型按每套售价的a%给予奖励，每销售一套B户型按每套售价的0.5%给予奖励．奖励办法出台后．A户型6月份的销售量比5月份增加了50%；而B户型6月份的销售量比5月份减少了54a%，为保证销售团队6月份类励金额不低于152.97万元，求a6．（2022春·福建泉州·七年级统考期中）（列方程（组）及不等式解应用题）水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元．（注：污水处理的立方数=实际生活用水的立方数）（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？（2）如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？必考点8必考点8二元一次方程组之调配与配套问题1．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．(1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子．①请完成下列表格：x只竖式箱子y只横式箱子A型板材张数(张)x

B型板材张数(张)

3y②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只．(2)若学校新购得n张规格为3×3m的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是，此时能制作横式箱子只．2．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）为了准备“迎新”汇演，七（1）班学生分成甲乙两队进行几天排练．其中甲队队长对乙队队长说：你们调5人来我们队，则我们的人数和你们的人数相同；乙队队长跟甲队队长说：你们调5人来我们队，则我们的人数是你们的人数的3倍．(1)根据甲队队长对乙队队长交谈的内容，设甲队有m人，则乙队有

人，求出七（1）班的学生人数；(2)为了增强演出的舞台效果，全部学生需要租赁演出服装，班主任到某服装租赁店了解到可供选择的收费方式如下：方式一：一套服装一天收取20元，另收总计120元的服装清洗费；方式二：在一套服装一天收取20元的基础上打九折，一套服装每天收取服装清洗费1元，另收每套服装磨损费5元（不按天计算）；设租赁服装x天（x为整数）3．（2022春·河北承德·七年级统考期末）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为4a+1小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为2b+3小时．(1)当a=b=1时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到A．B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为6吨，则m和n的值分别为多少吨？4．（2022春·上海嘉定·六年级校考期中）六年级学生若干人报名参加课外活动小组，男女生人数之比为4：3，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时男生与女生各有多少人？5．（2022秋·湖北襄阳·七年级期末）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200吨，如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100吨，新、旧工艺的废水量之比为2:5，两种工艺的废水量各是多少？必考点9必考点9二元一次方程组之图形与表格问题1．（2022春·全国·七年级专题练习）某校规划在一块长AD为18m、宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮，如图所示，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？2．（2022·江西赣州·校联考一模）某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道（通道面积不超过总面积的15（1）如图1，若设计两条通道，一条横向，一条纵向，4块草坪为全等的长方形，每块草坪的两边之比为3：4，并且纵向通道的宽度是横向通道宽度的2倍，问横向通道的宽是多少？（2）如图2，为设计得更美观，其中草坪①②③④为全等的正方形，草坪⑤⑥为全等的长方形（两边长BN：BM=2：3），通道宽度都相等，问：此时通道的宽度又是多少呢？3．（2022春·浙江绍兴·七年级校考期中）下表是小红在某个路口统计20分钟各种车辆通过情况制成的统计表，其中空格处的字迹已模糊，但小红还记得7：50～8：00时段内的电瓶车车辆数与8：00～8：10时段内的货车车辆数之比是7∶2．电瓶车公交车货车小轿车合计7：50～8：005631338：00～8：1054582合计6730108(1)若在7：50～8：00时段，经过的小轿车数量正好是电瓶车数量的98(2)根据上述表格数据，求在7：50～8：00和8：00～8：10两个时段内电瓶车和货车的车辆数；(3)据估计，在所调查的7：50～8：00时段内，每增加1辆公交车，可减少8辆小轿车行驶，为了使该时段内小轿车流量减少到比公交车多13辆，则在该路口应再增加几辆公交车？4．（2022秋·陕西榆林·八年级统考期末）某山区有23名中、小学生因贫困失学需要资助，已知资助一名中学生的学习费用为a元，资助一名小学生的学习费用为b元．某校学生积极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好资助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：年级捐款数额（元）资助贫困中学生人数（名）资助贫困小学生人数（名）初一年级400024初二年级420033初三年级7400(1)求a、b的值；(2)初三年级学生的捐款恰好解决了其余贫困中小学生的学习费用，求初三年级学生的捐款可资助的贫困中、小学生人数分别为多少．5．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）某居民小区为了改善小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成全等的9块小长方形，如图所示，小长方形的长和宽各是多少米？必考点10必考点10二元一次方程组之优化方案问题1．（2022秋·四川达州·八年级校考期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元．(1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2元，销售1辆B型汽车可获利0.8元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少元？3．（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期末）我校为打造智慧校园，计划购进希沃和鸿合两种不同的教学一体机，根据市场调查发现，若购买希沃2台、鸿合1台，共需资金5万元；若购买希沃1台、鸿合3台，共需资金7万元．(1)求每台希沃和鸿合教学一体机各多少万元？(2)若我校计划购进教学一体机共20台，其中希沃一体机的数量不大于鸿合一体机的数量，学校至多能够提供资金34.4万元，通过计算说明学校共有哪几种购买方案？4．（2022秋·陕西咸阳·七年级校考期末）为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元．(1)A型篮球和B型篮球的标价各是多少？(2)该体育用品店推出了以下优惠方案：方案一：所有商品按标价的九折销售；方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费．学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由．5．（2022春·江苏·七年级阶段练习）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．6．（2022春·上海闵行·七年级统考期末）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装．(1)生产前，要画直观图．现在设计人员仅画出如图所示设计图，请你补全正方体模型的直观图．(2)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有22名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？(3)现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如表所示），若恰好用了2800元，请问该学校应该如何购买该教具？（直接写出答案即可）品种高档中档低档价格/元201510专题2.4二元一次方程组全章十类必考压轴题【人教版】必考点1必考点1由方程组的错解问题求参数的值1．（2022秋·广西崇左·七年级统考期末）甲、乙两人同解方程组ax+by=2,①cx−3y=4．②，甲因看错c的值解得方程组解为x=1y=1，乙求得正确的解为x=2y=−2，求a，b【答案】a=1.5b=0.5【分析】根据x=1y=1是方程①的解，代入可得关于a、b的方程，根据x=2y=−2是方程组的解，把解代入ax+by=2,①cx−3y=4．②【详解】解：把x=1y=1代入方程①，把x=2a+b=2  ①2a−2b=2  ②①×2得2a+2b=4

④④+②得4a=6，a=1.5.把a=1.5代入①1得1.5+b=2，b=0.5，解③得c=−1，故答案为：a=1.5b=0.5【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，把解代入，得出关于a、b、c的方程组，代入消元法，得出答案．2．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）甲、乙两人共同解方程组ax−by=−112①ax+by=5②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=2y=3，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=3y=2【答案】a=−12【分析】把x=2y=3代入②中，把x=3y=2代入①中，联立方程求解可得到a，【详解】根据题意得：2a+3b=53a−2b=−解得：a=−1∴a2021=a⋅a=a⋅(ab)=−1=−【点睛】本题主要考查积的乘方，解二元一次方程组，解答本题的关键是对相应知识的掌握与运用．3．（2022春·河南安阳·七年级统考期中）在解二元一次方程组ax+by=17cx−y=5时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为x=4y=3，乙同学因看错了c，从而求得解为x=3y=2【答案】8【分析】根据方程组解的定义得出关于a，b，c的方程，求出a，b，c的值即可解决问题．【详解】解：∵甲同学因看错了b的符号，从而求得解为x=4y=3∴4a−3b=17①4c−3=5②由②得：c＝2，∵乙同学看错了c，求得解为x=3y=2∴3a+2b=17③，①×2＋②×3得：17a＝85，解得：a＝5，把a＝5代入①得：20－3b＝17，解得：b＝1，∴a+b+c=5+1+2=8．【点睛】本题考查二元一次方程解的定义，解二元一次方程组，将甲、乙二人的解正确代入方程得到关于a、b、c的方程是求解本题的关键．4．（2022秋·重庆·八年级重庆一中校考期中）甲、乙两同学同时解方程组mx−3y=12①6x+ny=−5②，甲看错了方程①中的m，得到的方程组的解为x=−2y=1，乙看错了方程②中的【答案】x=【分析】把x=−2y=1代入方程组第二个方程求出n的值，把x=4y=4【详解】解：mx−3y=12把x=−2y=1代②得：-12+n=-5，即n把x=4y=43代入①得：4m故方程组为4x−3y=12③③×3-②×2得：-23y=46，即y=-2，把y=-2代入③得：x=32则方程组的解为x=3【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，解答此题关键是将每一个解代入没有看错的方程中，分别求m、n的值，再解方程组即可．5．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）甲、乙两人解方程组4x−by=−1ax+by=5,甲因看错a,解得x=2y=3,乙将其中一个方程的b写成了它的相反数,解得【答案】a=-2,b=3.【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将x=2，y=3分别代入4x-by=-1，可以求出b的值，再将x=-1，y=-2代入求出a的值，据此即可得解．【详解】解：由于甲看错了方程组4x−by=−1①ax+by=5②将这组解代入①,可得4×2-3b=-1，解得：b=3，又因为乙将其中一个方程的b写成了它的相反数，即方程组变为4x−by=−1①ax−by=5所以①-②消去b和y，得4x-ax=-6，把乙解得的结果x=−1y=−2可得-4+a=-6，求解可得a=-2，即a=-2，b=3.【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义及解一元一次方程，理解题意是解题的关键.必考点2必考点2根据方程组解的个数求参数或参数取值范围1．（2022春·浙江·七年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组3x+5y=63x+ky=10给出下列结论：当k=5时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的个数是（

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】①将k=5代入，得到方程组3x+5y=63x+5y=10，求解即可做出判断；②解方程组3x+5y=63x+10y=10得：x=23y=45，把x=23，y=【详解】解：∵当k=5时，方程组为3x+5y=63x+5y=10∵解方程组3x+5y=63x+10y=10得：x=把x=23，y=4∵解方程组3x+5y=63x+ky=10得：x=2−又∵k为整数，若y是整数，则k−5=4，−4，2，−2，1，−1此时x不是整数，∴x、y不能均为整数，故③正确．故选：D．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．2．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）若关于x，y的方程组x−y=2mx+y=6有非负整数解，则正整数m为（

A．0，1 B．1，3，7 C．0，1，3 D．1，3【答案】D【分析】根据y的系数互为相反数，利用加减消元法求出方程组的解，再根据解为非负整数列出不等式组求出m的取值范围，然后写出符合条件的正整数即可．【详解】x−y=2①+②得，解得：x=8将x=8m+1代入①得，解得：y=6−2m∵方程组得解为非负整数，∴8m+1解不等式①得：m＞解不等式②得：m≤3，∴−1＜∵x，y是整数，∴m+1是8的因数，∴正整数m是1，3故选：D【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解一元一次不等式，根据非负整数解列出不等式组求出m的取值范围是解题的关键，要注意整数的限制条件．3．（2022秋·广东江门·八年级新会陈经纶中学校考期中）方程y=2x+ky=(k2【答案】−3【分析】利用消元法可得(k【详解】解：y=2x+k①将②代入①得：(k解得(k∵方程y=2x+ky=(∴k利用平方根解得k=±3，当k=3时，方程为y=2x+3，有无数组解，不符题意，舍去；当k=−3时，可知方程(k综上，实数k的值为−3，故答案为：−3．【点睛】本题考查了二元一次方程组无解、利用平方根解方程等知识点，熟练掌握消元法是解题关键．4．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）已知关于x、y的方程组2x−y=−1x+2y=5a−8(1)用含有字母a的代数式表示x和y；(2)求a的取值范围；(3)已知2a−b=1，求a+b的取值范围．【答案】(1)x=a−2，y=2a−3(2)a≥2(3)a+b≥5【分析】（1）将a当做已知，解方程组即可；（2）根据解为非负数得到关于a的不等式组，求解即可；（3）由2a−b=1可得a=1+b2，结合【详解】（1）解：2x−y=−1①−2×②可得：−5y=−1−10a+16，解得：y=2a−3将y=2a−3代入①中可得：2x−2a−3解得：x=a−2∴x=a−2，y=2a−3（2）因为关于x、y的方程组2x−y=−1x+2y=5a−8可得：a−2≥02a−3≥0解得：a≥2；（3）由2a−b=1，可得：a=1+b可得：1+b2解得：b≥3，∵a≥2，∴a+b≥5．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键．5．（2022春·七年级课时练习）当m，n为何值时，方程组{（1）有唯一解；（2）有无数多个解：（3）无解【答案】（1）m≠6；（2）m=6,n=10；（3）m=6,n≠10【分析】先把①变形得到x=5−3y，代入②使方程变为只含y的一元一次方程，根据y的系数讨论方程组（1）有唯一一组解；（2）有无穷多组解；（3）无解时m，n的取值即可．【详解】解：解方程组{由①变形得到x=5−3y代入②得到2(5−3y)+my=n，∴(m−6)y=n−10，（1）当（m-6）≠0，即m≠6，方程有唯一解y=将此y的值代入x=5−3y中，得：x＝5m+3n−60m−6（2）当(m−6)＝0且n−10＝0时，即m=6,n=10时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解；（3）当(m−6)＝0且n−10≠0时，即m=6,n≠10时，方程无解，因此原方程组无解．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．必考点3必考点3构造二元一次方程组求解1．（2022春·浙江·七年级期末）对于实数x，y，定义新运算x∗y=ax+by+1，其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若3∗5=15，4∗7=28，则5∗9=（

）A．40 B．41 C．45 D．46【答案】B【分析】根据定义新运算列出二元一次方程组即可求出a和b的值，再根据定义新运算公式求值即可．【详解】解：∵x∗y=ax+by+1，3∗5=15，4∗7=28，∴15=3a+5b+1解得：a=−37∴5∗9=−37×5+25×9+1=41故选B．【点睛】此题考查的是定义新运算和解二元一次方程组，掌握定义新运算公式和二元一次方程组的解法是解决此题的关键．2．（2022春·湖南邵阳·七年级统考期中）在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m、n对应的密文为m−3n，2m+3n．例如：明文1、2对应的密文是−5、8．当接收方收到密文是6、3，则解密后得到的明文是_____________．【答案】3，－1【分析】明文m、n对应的密文为m-3n，2m+3n，当接收方收到密文是6、3时，实际就是转化为二元一次方程组求解问题．【详解】解：由题意，可得m−3n=62m+3n=3解得：m=3n=−1故答案为：3，-1．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，关键是理解题意知道传送密码和接收密码的关系列出二元一次方程组求解．3．（2022春·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程m+1x+2m﹣1y+2﹣m=0【答案】x=−1【分析】将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．【详解】将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，因为无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，所以x+2y−1=0x−y+2=0解得：x=−1y=1故答案为：x=−1y=1【点睛】考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想．4．（2022春·福建龙岩·七年级校考期中）无论k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，则x，y要满足的条件是__________．【答案】x=−4【分析】将等式移项，然后根据等式恒成立得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：∵2x+3y−1−2k∴2x+3y−1=2k∵无论k取何值，等式2x+3y−1−2k∴2x+3y−1=0−4y+x+16=0解得：x=−4y=3故答案为：x=−4y=3【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组是解答本题的关键．5．（2022秋·重庆荣昌·八年级校考期中）若一个四位正整数abcd满足：a+c=b+d，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，∵3+7=6+4，∴3674是“交替数”，对于四位数2353，∵2+5≠3+3，∴2353不是“交替数”．（1）最小的“交替数”是________，最大的“交替数”是__________．（2）判断2376是否是“交替数”，并说明理由；（3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12，且十位数字与个位数的和能被6整除．请求出所有满足条件的“交替数”．【答案】（1）1001，9999；（2）是，理由见解析；（3）满足条件的“交替数”是4224或4257．【分析】（1）根据新定义，即可得出结论；（2）根据新定义，即可得出结论；（3）根据题意知a+ba−b=12×1=6×2=4×3，求得a和b的值，再根据题意c+d是6的倍数，结合【详解】（1）根据题意：一个四位正整数abcd满足：a+c=b+d，我们就称该数是“交替数”，最小的正整数是1，最大的正整数是9，∵1+0=0+1，9+9=9+9，∴最小的“交替数”是1001，最大的“交替数”是9999，故答案为：1111，9999；（2）是，理由如下：∵2+7=3+6，∴2376是“交替数”；（3）设这个“交替数”为abcd，k为正整数，依题意得：a2−b2=12由a2−b2=12，知a+b即a+b=12a−b=1或a+b=6a−b=2或解得：a=132b=112∵1≤c≤9，1≤d≤9，2≤c+d=6k≤18，∴k取1或2或3，当k取1时，即c+d=6，a=4，b=2，∵a+c=b+d，即4+c=2+d，即c−d=−2，∴c+d=6c−d=−2解得：c=2d=4∴“交替数”是4224；当k取2时，即c+d=12，a=4，b=2，∵a+c=b+d，即4+c=2+d，即c−d=−2，∴c+d=12c−d=−2解得：c=5d=7∴“交替数”是4257；当k取3时，即c+d=18，a=4，b=2，∵a+c=b+d，即4+c=2+d，即c−d=−2，∴c+d=18c−d=−2解得：c=8d=10综上，满足条件的“交替数”是4224或4257．【点睛】本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，平方差公式的应用，理解新定义是解本题的关键．必考点4必考点4整体思想解二元一次方程组1．（2022春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+bA．m=3n=2 B．m=3n=4 C．m=4n=2【答案】C【分析】先将关于m,n的方程组变形为a12m−4+b1【详解】解：关于m,n的方程组可变形为a1由题意得：2m−4=4n−1=1解得m=4n=2故选：C．【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．2．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）已知x+2y=−4m2x+y=2m+1，若x−y=7，则m的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】A【分析】解法一：先将m当作已知数，求解二元一次方程组，然后利用x−y=7求出m的值即可；解法二：用②-①可得x−y=6m−1，然后利用x−y=7求出m的值即可．【详解】解：x+2y=−4m解法一：由①×2−②，得解得y=−10m−1把y=−10m−13代入①得∵x−y=7，∴8m+23所以m=1，解法二：②−x−y=6m+1，∵x−y=7，∴6m+1=7，∴m=1．故答案为：A．【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解答本题的关键．3．（2022·浙江杭州·七年级期中）已知方程组a1x+y=c1a2x+y=c2【答案】x＝2【分析】根据方程组解的定义，把x＝5，y＝10代入即可得出a1，a2，c1，c2的关系，再代入计算即可．【详解】解：∵方程组a∵解为：x＝5，y＝10，∴5a∴5∵3a∴3a①−②，得3a1x−3a2x＝6a1−6a2，∴x＝2，把x＝2代入①得，y＝5，∴方程组3a1x+2y故答案为：x=【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握方程组的解法是解题的关键．4．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知关于x、y的方程组{mx+ny=72mx−3ny=4的解为{x=1【答案】11【分析】将x=1，y=2代入方程组，可得关于m与n的方程组，相加即可得到答案．【详解】解：∵关于x，y的方程组{mx+ny=72mx−3ny=4的解为∴{m+2n=7①+②得：3m-4n=11，故答案为：11．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，解决问题的关键是熟练掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，用特殊方法解方程组求代数式求值．5．（2022春·重庆璧山·七年级校联考期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组3m解：把m+5，n+3成一个整体，设m+5=x，解得：x=1y=2．∴m(1)若方程组2x−3y=45(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组3x【答案】(1)a(2)x【分析】（1）根据题意所给材料可得出a+（2）根据题意所给材料可令m=x+y，n=x−y，则原方程组可化为3m−解得：m=2815【详解】（1）∵方程组2x−3y∴a+解得：a=（2）对于3x+y则原方程组可化为3m−解得：m=∴x+解得：x=【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．6．（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）解方程组：（1）43x−2y（2）3x+my=5x+2y=n（3）2x1+【答案】（1）x=411y=122；（2）当m≠6【分析】（1）设13x−2y=a，12x−5y=b，方程组变形为关于a与b的方程组，求出解得到a与b的值，即可求出（2）利用加减消元法求解即可；（3）先求出x1+x2+【详解】解：（1）43x−2y解：设13x−2y=a，12x−5y①×2+②×3得：23a=23，则a=1，把a=1代入①得：b=2，则3x−2y=12x−5y=12①×5-②得：11x=4，即x=4把x=411代入①得：经检验，方程组的解为x=4（2）3x+my=5①①－②×3，得(m−6)y=5−3n，当m≠6时，y=5−3n将y=5−3nm−6代入②，得解得x=mn−10∴当m≠6时，原方程组的解为x=mn−10（3）2x①+②+③+④+⑤，得6x则x1④-⑥，得x4⑤-⑥，得x5∴2x【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，利用了换元的思想，熟练加减消元法与代入消元法是解本题的关键．必考点5必考点5二元一次方程组之行程问题1．（2022秋·江苏无锡·七年级校联考期末）某景区游船码头派车原定于8点整准时到达景区入口接工作人员，由于汽车在路上因故障导致8:10时车还未到达景区入口，于是工作人员步行前往码头.走了一段时间后遇到了前来接他的汽车，他上车后汽车立即掉头继续前进.到达码头时已经比原计划迟到了20min.已知汽车的速度是工作人员步行速度的6倍，则汽车在路上因故障耽误的时间为____min【答案】24.【分析】正常8：00到景区，出故障后，耽误t分钟，8点t分到景区，他在景区等了10分钟，车没来，就走了a分钟，在8点（10+a）分时遇到了车，他走a分钟的路程，车走a6分钟就走完，也就是在8点（t-a6）时遇到了车，得出关系式10+a=t-正常时从景区到码头用b分钟，在他遇到车的地点到景区要（b-a6）分钟，也就是8点（t-a6+b-a6）分钟到景区，已知他是8点（b+20）分到的，得出关系式t-a【详解】正常8：00准时到达景区入口，汽车在路上因故障，耽误t分钟，8点t分到达景区入口，工作人员步行前往码头.走了10分钟，车没来，就走了a分钟，在8点（10+a）分时遇到了车；工作人员走a分钟的路程，车走a6分钟就走完，也就是在8点（t-a6）时遇到了车，有10+a=t-t=10+7a6正常时从景区到码头用b分钟，在他遇到车的地点到景区要（b-a6也就是8点（t-a6+b-a已知他是8点（b+20）分到的，所以有t-a6+b-at-a3由①②解得：a=12，t=24.则汽车在路上因故障耽误的时间为24min.故答案为24.【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，依据题意得出汽车晚到景区的时间具体原因以及汽车所晚的20分钟具体原因得出等量关系是解决问题的关键.2．（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．（1）A、B两地的距离可以表示为千米（用含a，b的代数式表示）；（2）甲从A到B所用的时间是：小时（用含a，b的代数式表示）；乙从B到A所用的时间是：小时（用含a，b的代数式表示）．（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？【答案】（1）2（a+b）；（2）（2+2ba+1）；（2+2a【分析】（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论；（2）利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇，即可得出结论；（3）设AB两地的距离为S千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（a+b），S的二元一次方程组（此处将a+b当成一个整体），解之即可得出结论．【详解】（1）A、B两地的距离可以表示为2（a+b）千米．故答案为：2（a+b）．（2）甲乙相遇时，甲已经走了2a千米，乙已经走了2b千米，根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时，得甲还需2ba+1小时到达B地，乙还需2a所以甲从A到B所用的时间为（2+2ba+1）小时，乙从B到A所用的时间为（2+2a故答案为：（2+2ba+1）；（2+2a（3）设AB两地的距离为S千米，3小时36分钟＝185依题意，得：S=2(a+b)2S=令x＝a+b，则原方程变形为S=2x2S=解得：x=18S=36答：AB两地的距离为36千米．【点睛】本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）如图，中国海监船46，49在距离钓鱼岛220海里处，已知两船的航速如下表所示：最大航速经济航速海监4616节14节海监4915.2节14.5节其中，一节等于1海里/时，如果海监46先以经济航速行驶若干小时后以最大航速沿图中箭头方向航线行驶至钓鱼岛，共行驶时间15小时，海监49比海监46迟出发半小时，以最大航速沿同一路线驶向钓鱼岛．问：(1)两船谁先到达钓鱼岛？说明理由；(2)海监46经济航行和最大航速航行各多少小时？(3)设海监46航行时间为t，求两海监船之间的距离S与t之间的函数关系式．【答案】(1)海监49先到，见解析(2)海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是10小时和5小时(3)S=【分析】（1）求出海监49到达钓鱼岛所用的时间，再比较，即可求解；（2）设海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是x小时，y小时，根据题意，列出方程组，即可求解；（3）先求出监46出发193（1）解：海监49先到．∵220÷15.2+0.5=569∴海监49先到．（2）解：设海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是x小时，y小时，则由题意得：x+y=15，14x+16y=220，答：海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是10小时和5小时．（3）解：设在海监46出发a小时，海监49号追上海监46，则由题意得：14a=15.2解得a=当0≤t≤0.5时，S=14t．当0.5≤t≤193时，当193<t≤10时，当10<t≤56938时，当56938<t≤15时，综上S与t的函数关系式为：S=14t【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列函数关系式，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．4．（2022春·河南新乡·七年级校考期中）一列快车长230米，一列慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？【答案】快车的速度是15米/秒，慢车的速度是10米/秒.【分析】设快车的速度是x米/秒，慢车的速度是y米/秒，根据题意列方程组求解即可.【详解】设快车的速度是x米/秒，慢车的速度是y米/秒，90x−90y=220+23018x+18y=220+230解得x=15y=10答：快车的速度是15米/秒，慢车的速度是10米/秒.【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解行程中的相遇问题与追及问题是解题的关键.5．（2022·河北唐山·统考二模）如图，一段铁路的示意图，AB段和CD段都是高架桥，BC段是隧道．已知AB=1500m，BC=300m，CD=2000m，在AB段高架桥上有一盏吊灯，当火车驶过时，灯光可垂直照射到车身上，已知火车甲沿AB方向匀速行驶，当火车甲经过吊灯时，灯光照射到火车甲上的时间是10s，火车甲通过隧道的时间是20s，如果从车尾经过点A时开始计时，设行驶的时间为xs，车头与点B的距离是ym．（1）火车甲的速度和火车甲的长度（2）求y关于x的函数解析式（写出x的取值范围），并求当x为何值时，车头差500米到达D点．（3）若长度相等的火车乙以相同的速度沿DC方向行驶，且火车甲乙不在隧道内会车（会车时两车均不在隧道内），火车甲先进隧道，当火车甲的车头到达A点时，火车乙的车头能否到达D点？若能到达，至多驶过地点多少？若不能到达，至少距离D点多少m？【答案】（1）火车甲的速度是30m/s，火车甲的长是300m；（2）y=1200−30x(x≤40)30x−1200(x>40)，x=100；（3）火车乙车头不能到达D点，至少距离D【分析】（1）设火车甲的速度是am/s，火车甲的长是bm，由题意列出方程组，解方程组即可；（2）由题意，可分为：当车头到达B点前；当车头在B点时；当车头经过B点后；分别求出解析式，即可得到答案；（3）根据题意，找出等量关系，列出等式进行解题即可．【详解】解：（1）设火车甲的速度是am/s，火车甲的长是bm由题意得10a=b解得a=30答：火车甲的速度是30m/s，火车甲的长是300m（2）当车头到达B点前，即x<40时，y=1500−300−30x=1200−30x当车头在B点时，y=0；当车头经过B点后，即x>40时y=(x−40)×30=30x−1200综上y=当车头差500米未到达D点时，y=1800，即30x−1200=1800解得x=100∴当x=100时，车头差500米未到达D点；（3）火车甲从车头到达A点，到车尾离开隧道，共用时(1500+300+300)÷30=70(s)，因此要使两列火车不在隧道内会车，则当火车甲车头到达A点时，火车乙的车头距C点至少要有70s的车程，也就是70×30=2100m∵2100−2000=100∴当火车甲车头到达A点时，火车乙车头不能到达D点，至少距离D点100m；【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解二元一次方程，解题的关键是掌握题意，找出等量关系，从而进行解题．必考点6必考点6二元一次方程组之工程问题1．（2022春·安徽芜湖·七年级校考期末）自来水厂的供水池有7个进出水口，每天早晨6点开始进出水，且此时水池中有水15%，在每个进出水口是匀速进出的情况下，如果开放3个进口和4个出口，5小时将水池注满；如果开放4个进口和3个出口，2小时将水池注满．若某一天早晨6点时水池中有水24%，又因为水管改造，只能开放3个进口和2个出口，则从早晨6点开始经过____小时水池的水刚好注满．【答案】3817【分析】设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，根据题意，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入1−24%3x−2y【详解】设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，依题意，得：53x−4y解得：x=0.17y=0.085∴1−24%3x−2y故答案为：3817【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．（2022春·重庆·八年级统考期末）今年4月23号，位于重庆两江新区的光环购物公园隆重开业。该购物公园最具吸引力的就是建跨7层，拥有42米立体垂直景观的“沐光森林”植物园．假设该植物园拥有6个出入口，每个出入口都是单向的且在单位时间内每个入口和出口经过的游客数量是一定的；并且植物园的最大承载游客数量也是固定的．由于疫情防控和现场安全的原因，目前植物园对外开放最大可承载游客量为设计数量的90％．假设植物园每天早上九点开始接待游客，若开放5个入口，1个出口，2个小时游客数量就将饱和；若开放3个入口，3个出口，4个小时游客数量将达到饱和．开业当天由于人流量激增，为了安全起见仅开放了2个入口，4个出口，且开业当天游客最大承载量定为总设计可承载人数的84％．请问从早上9点开始，经过________小时植物园游客数量达到饱和．【答案】112【分析】设每个入口1小时进入x人，每个出口1小时外出y人，植物园的设计容量为a．根据题中给出的两个等量关系，列出方程组，求出x，y的值，从而可计算出开放2个入口，4个出口且承载量为设计可承载人数的84%时的饱和时间．【详解】解：设每个入口1小时进入x人，每个出口1小时外出y人，植物园的总设计承载人数为a人．根据题意，得，2解得，x=∴84%a÷故答案为：112【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找出题目蕴含的等量关系列出方程组是解题的关键．3．（2022春·新疆乌鲁木齐·七年级统考期末）绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？(2)若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？【答案】（1）原计划拆建各4500平方米；（2）可绿化面积1620平方米．【分析】（1）等量关系为：计划在年内拆除旧校舍面积+计划建造新校舍面积=9000平方米，计划建造新校舍面积×90%+计划拆除旧校舍面积×（1+10%）=9000平方米．依等量关系列方程，再求解．（2）先算出计划的资金总量和实际所用的资金总量，然后算出节余的钱，那么可求可绿化的面积．【详解】解：(1)由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米，则x+y=9000,解得x=4500,答：原计划拆建各4500平方米．(2)计划资金y1＝4500×80＋4500×800＝3960000（元），实用资金y2＝1.1×4500×80＋0.9×4500×800＝4950×80＋4050×800＝396000＋324000＝3636000（元），∴节余资金：3960000－3636000＝324000（元），∴可建绿化面积＝324000200答：可绿化面积1620平方米．【点睛】要分别区分出计划和实际所对应的工作面积，然后列出方程组．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．4．（2022春·山东菏泽·七年级期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）【答案】(1)甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元(2)单独请乙组，商店所需费用少(3)安排甲乙合作施工更有利于商店【分析】（1）根据题意建立方程组并求解；（2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案；（3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案．【详解】（1）设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，依题意得：8x+8y=35206x+12y=3480解得：x=300y=140答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．（2）300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）．∵3600＞3360，∴单独请乙组，商店所需费用少．（3）选择①：（300+200）×12＝6000（元）；选择②：（140+200）×24＝8160（元）；选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴安排甲乙合作施工更有利于商店．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题关键．5．（2022春·重庆巴南·八年级统考期末）面对某国不断对我国的打压，我国自主品牌抗住压力．以华为手机为例，今年一月份我国某工厂用自主创新的A、B两种机器人组装某款华为手机，每小时一台A种机器人比一台B种机器人多组装50个该款华为手机，每小时10台A种机器人和5台B种机器人共组装3500个该款华为手机．（1）今年一月份，该工厂每小时一台A种机器人、一台B种机器人分别能组装多少个该款华为手机？（2）该工厂原有A、B两种机器人的数量相等，因市场销售火爆，二月份该工厂增加了一部分A种机器人并淘汰了一部分B种机器人，这样A种机器人的数量增加了2m%，B种机器人数量减少了m%．同时，该工厂对全部A种机器人进行了升级改造，升级改造后的机器人命名为C种机器人，已知每小时一台C种机器人组装该款华为手机的数量比原一台A种机器人组装该款华为手机的数量增加了15，每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%，求m【答案】（1）A种机器人每小时组装250个该款华为手机，B种机器人每小时组装200个该款华为手机；（2）m的值为6.25．【分析】（1）设A种机器人每小时组装a个该款华为手机，B种机器人每小时组装b个该款华为手机，列出方程组解答即可；（2）根据“每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%”题意列出方程解答即可．【详解】解：（1）设A种机器人每小时组装a个该款华为手机，B种机器人每小时组装b个该款华为手机，则a=b+50解得：a=250b=200答：A种机器人每小时组装250个该款华为手机，B种机器人每小时组装200个该款华为手机；（2）设该工厂原有A、B两种机器人的数量为a台，则A种机器人的数量为（1+2m%）a，B种机器人的数量为（1−m%）a，每小时一台C种机器人组装250(1+15根据题意得：3001+2m%设m%=x，方程整理得：300+600x+200−200x=300+240−240x，即640x=40，解得：x=0.0625，∴m=6.25．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程组．必考点7必考点7二元一次方程组之商品经济问题1．（2022春·河南信阳·七年级河南省淮滨县第一中学校考期末）小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（

）A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子【答案】A【分析】设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，分类讨论解方程即可．【详解】解：设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，列方程组得bx+a(5−x)=48ax+b(5−x)=27当x=1时，原方程组为b+4a=48a+4b=27，解得a=11当x=2时，原方程组为2b+3a=482a+3b=27，解得a=18当x=3时，原方程组为3b+2a=483a+2b=27，解得a=−3当x=4时，原方程组为4b+a=484a+b=27，解得a=4故选：A．【点睛】本题考查了含参数的二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找出等量关系，列出方程组，分类讨论解方程组．2．（2022春·重庆铜梁·七年级统考期末）端午节临近，某超市热销A、B、C三种粽子，其中其每千克B种粽子的成本价比每千克A种粽子的成本价高50%，每千克C种粽子的成本价是每千克A种粽子的成本价的2倍．最近，超市打算将三种粽子混装配成甲、乙、丙三种礼品盒进行销售（礼品盒的盒子成本价不计）．其中甲礼品盒有A种粽子3千克、B种粽子2千克、C种粽子2千克；乙礼品盒有A种粽子2千克、B种粽子3千克、C种粽子3千克；丙礼品盒有A种粽子4千克、B种粽子2千克、C种粽子4千克．销售时，每个丙礼品盒在成本价基础上提高13【答案】33【分析】设A粽子每千克成本为a元，则可分别表示B、C两种粽子每千克的成本，从而可表示三种礼品盒的成本及利润；再设这天售出甲礼品盒x个，乙礼品盒y个，则可得丙礼品盒的个数，根据题意列出方程，求出未知数即可．【详解】设A粽子每千克成本为a元，则粽子每千克的成本为1.5a元，C粽子每千克成本为2a元；则甲礼品盒成本为3a+2×1.5a+2×2a=10a(元)，利润为：20%乙礼品盒成本为2a+3×1.5a+3×2a=12.5a(元)，利润为：20%丙礼品盒成本为4a+2×1.5a+4×2a=15a(元)，利润为：13设这天售出甲礼品盒x个，乙礼品盒y个，则丙礼品盒售出（25-x）个，由题意得：2ax+2.5ay+5a(25−x)=25%∵a≠0，∴方程两边除以a，并整理得：14x+5y=250，∴y=50−14∵甲礼品盒不低于12个，∴x只能取15，此时y=8，∴该超市当天售出甲礼品盒15个，乙礼品盒8个，则丙礼品盒售出10个，共售出33个．故答案为：33．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是关键．3．（2022春·重庆巴南·七年级统考期末）某街道为了绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵种植在这个空地上，购买时，已知甲种树木的单价是乙种树木的单价的98(1)甲、乙两种树木各购买了多少棵？(2)经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好，该街道决定再次购买这两种树木来绿化另一块闲置空地，购买时，发现甲种树木的单价比第一次购买时的单价下降了a50，乙种树木的单价比第一次购买时的单价下降了110，于是，该街道购买甲种树木的数量比第一次多了15，购买乙种树的数量比第一次多了a50，且购买甲、乙两种树木的总费用比第一次多了【答案】(1)甲种树木购买了40棵，乙种树木购买了32棵(2)a的值为5【分析】(1)根据题意可得等量关系∶①甲、乙两种树木共72棵；②共用去资金6160元，根据等量关系列出方程，再解即可；(2)用a表示出甲种树木单价，求出乙种树木单价为72元，再根据总费用比第一次多了0，列出一元-次方程，解方程即可．【详解】（1）解：设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，由题意得：x+y=729解得∶x=40y=32答∶甲种树木购买了40棵，乙种树木购买了32棵；（2）解：由题意得∶甲