3.3 多项式的乘法（分层练习）（解析版）

第3章整式的乘除3.3多项式的乘法精选练习基础篇基础篇1．（2023春·广东河源·八年级校考阶段练习）长方形相邻两边的长分别是与，那么这个长方形的面积是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用长方形的面积公式和多项式乘多项式的法则，进行计算即可．【详解】解：长方形的额面积为：；故选D．【点睛】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积问题．熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．2．（2022秋·海南三亚·八年级校考期末）若多项式，则a，b的值分别是：（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】利用多项式乘法化简得，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查多项式的乘法，解题的关键是熟知多项式的乘法法则．3．（2023秋·江苏南通·八年级如皋市实验初中校考期末）如图，现有，类两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为(

)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】应用多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据C类卡片的面积进行判断即可得出答案．【详解】解：依题意，，∵类卡片的面积为，∴需要类卡片张数为，故选：B．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键．4．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）若，则m的值为（

）A．1 B． C．5 D．【答案】B【分析】利用多项式乘多项式的法则对等式左边进行运算，从而可求解．【详解】解：，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是在运算时注意符号的变化．5．（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）若A、B、C均为整式，如果，则称A能整除C．例如由，可知能整除．若已知能整除，则k的值为（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【分析】根据能整除，设，运算得到同类项对应系数相等，即可得出答案．【详解】解：∵能整除，∴设，整理得：，∴，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意设出方程是本题的关键．6．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）若关于x的多项式展开合并后不含项，则a的值是（

）A．2 B． C．0 D．【答案】A【分析】根据多项式乘以多项式法则展开后，根据项的系数相等0可得出a的值【详解】∵的结果中不含项，∴，解得，故选：A．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的法则的应用，关键是理解不含二次项则二次项系数为0．7．（2022秋·广东河源·八年级校考期末）观察下列各式及其展开式：，，，，请你猜想的展开式中含项的系数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由材料可知，括号里的前项的指数从高到底的排列，括号里的后项的指数从低到高的排列，首位系数都是，中间数字分别为上一组数据相邻两数之和，由此即可求解．【详解】解：根据材料可知，系数的关系如下，二次幂时的系数：

三次幂时的系数：

四次幂时的系数：

五次幂时的系数：

六次幂时的系数：

七次幂时的系数：

八次幂时的系数：

∴含项的系数是，故选：．【点睛】本题主要考查的二项式的展开式中系数的规律问题，理解题目中各项的次数，系数之间的关系是解题的关键．8．（2022春·吉林长春·七年级校考阶段练习）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为（）A．22 B．28 C．36 D．56【答案】C【分析】根据图形中的规律不难发现的第三项系数为，据此即可求出的展开式中第三项的系数．【详解】解：找规律发现的第三项系数为；的第三项系数为；的第三项系数为；……∴不难发现的第三项系数为，∴第三项系数为，故选：C．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解题的关键．9．（2022秋·天津东丽·八年级统考期末）已知﹐则的值等于__________．【答案】【分析】先将变形为，再根据多项式乘以多项式法则将进行运算并代入求值即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了整式运算及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题关键．10．（2023春·全国·七年级专题练习）已知与的积不含x项，那么__．【答案】3【分析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，根据题意得出关于b的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：，∵积不含x项，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则，合并同类项法则是解决问题的关键．11．（2023秋·湖北十堰·七年级统考期末）规定一种新的运算，那么______．【答案】【分析】根据新运算，可知该运算式表示了两对角相乘的差，注意a、b、c、d的位置，再利用完全平方公式和合并同类项计算即可．【详解】由题意可知，，故答案为．【点睛】本题考查了多项式的化简，解题的关键是根据题目信息列出算式．12．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为__________________．【答案】【分析】长方形纸片的面积减去长方形，即可作答．【详解】根据题意，有：长方形的面积：，长方形的面积：，则剩余部分的面积为：，即有：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了利用多项式乘以多项式求解图形的面积的知识，掌握多项式乘以多项式是解答本题的关键．13．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）现规定一种运算：，其中a，b为实数，则＝_____．【答案】##【分析】根据新定义运算展开，然后根据所学数学知识进行计算即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题主要考查整式的乘法运算，正确理解新定义运算法则，熟练掌握整式的乘法运算法则是关键．14．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是________．【答案】【分析】根据大长方形的面积个小长方形或正方形的面积公式进行解答．【详解】解：根据题意，得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用数形结合与多边形的面积解答是解题的关键．15．（2023春·七年级单元测试）计算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据积的乘方公式和单项式乘单项式运算法则进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，积的乘方公式和单项式乘单项式运算法则，准确计算．16．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中．【答案】，5【分析】先利用单项式乘以多项式去掉括号，再合并同类项即可化简，最后代入即可．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题考查整式乘法和合并同类项，正确运用计算法则是解题的关键．17．（2023春·全国·七年级专题练习）已知展开后的结果中不含和项，求m，n的值．【答案】【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含和项，求出m与n的值即可．【详解】解：，∵结果中不含和项，∴，解得：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）观察下列算式：①；②；③；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第④个算式：____________；(2)根据这个规律写出你猜想的第n个算式（用含n的式子表示），并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）根据规律进行计算即可求解；（2）根据单项式乘以单项式，完全平方公式进行计算即可得出结论．【详解】（1）解：∵，；，；，；∴第④个算式为：.（2）解：第个算式为：.证明：.【点睛】本题考查了数字类规律，单项式乘以单项式，完全平方公式，找到规律是解题的关键．19．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图所示，有一块长宽为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．(1)请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）(2)若，求休息区域的面积.【答案】(1)平方米(2)平方米【分析】（1）根据图形可知，休息区域的面积=长方形土地的面积-游泳池的面积，将数值代入计算即可；（2）将，代入（1）中化简后的式子计算即可；【详解】（1）解：由题意可得，休息区域的面积是：，即休息区域的面积是：平方米；（2）解：当，时，（平方米），即若，，则休息区域的面积是平方米；【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，掌握整式的混合运算法则．20．（2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）阅读理解题：形如的数（均为实数，）叫做复数．其中的叫做它的实部，叫做它的虚部，叫做虚数单位，并规定：①的平方等于，即；②实数与它进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立．所以，复数的加，减，乘法运算类似于整式的加，减，乘法运算．例如：，．请类比完成以下任务：(1)填空：___________，____________；(2)计算：；(3)计算：．【答案】(1)，(2)(3)【分析】(1)i的平方等于即可求得和；(2)根据复数的加，减，乘法运算类似于整式的加，减，乘法运算即可求得；(3)根据i的平方等于，即总结规律即可求解．【详解】（1）解：∵的平方等于，即，∴，，（2）解：，∵，∴，（3）解：∵……∴的结果依次按，…四次一循环的规律出现，∵∴∴．【点睛】本题考查了利用新定义解决数字运算规律的能力，根据新定义进行计算归纳是解题的关键．提升篇提升篇1．（2023春·全国·七年级专题练习）小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的C类卡片的张数（

）A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张【答案】C【分析】根据长方形的面积公式求出拼成的大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解．【详解】大长方形的面积为，C类卡片的面积是，∴需要C类卡片的张数是，∴不够用，还缺4张．故选：．【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法、长方形的面积公式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．2．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）如果，那么、的值分别是（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】利用多项式乘多项式法则，得到等式左侧的结果，根据对应项，对应相等，求出、的值即可．【详解】解：，∴，∴，解得：；故选C．【点睛】本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的法则，是解题的关键．3．（2023秋·重庆忠县·七年级统考期末）设，，，．对于以下说法：①若，则；②若多项式的值不可能取负数，则；③若b为正数，则多项式的值一定是正数．其中正确的有（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】B【分析】分别将，，，代入，化简计算，利用平方的非负性可进行判断．【详解】解：，，，①若，则，即，，，，，，，①正确；②，时解得：，②正确；③当时，解得即若为正数，则多项式的值一定是正数，③错误；故选：B．【点睛】本题考查了整式的混合运算、平方的非负性；解题的关键是正确运用平方的非负性进行分析．4．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）用两种方式表示同一长方形的面积可以得到一些代数恒等式，小明从图中得到四个恒等式：①；

②；③；

④，其中正确的是（

）A．①③ B．①④ C．②③④ D．①②④【答案】B【分析】根据图形，分别用含a和b的代数式表示图中各个正方形和长方形的面积，再根据面积之间的关系即可进行解答．【详解】解：由图可知：，，①左边，右边，∴①正确，符合题意；②左边，右边不能用图中的面积进行表示，故②不符合题意；③左边的不能用图中的线段进行表示，故③不符合题意；④左边，右边，故④正确，符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了用面积表示多项式的乘法，解题的关键是将各个正方形长方形的面积正确表示出来．5．（2023春·七年级课时练习）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如图，后人也将其称为“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是（）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【答案】D【分析】根据表中的系数找出规律，首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．【详解】解：根据题意，得，可知，展开式中第二项为，∴展开式中含项的系数是2020．故选：D．【点睛】本题考查整式的混合运算、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型．6．（2022秋·重庆万州·八年级重庆市万州新田中学校考期中）已知的计算结果中不含的项，则的值为（

）A．3 B． C． D．0【答案】B【分析】先计算的结果，不含的项，则合并后含的项的系数为0．【详解】∵已知的计算结果中不含的项，∴∴故选：B．【点睛】本题考查多项式中不含某一项的系数特点，解题的关键是能够掌握做题方法，不含某一项，则多项式合并后，该项的系数为0．7．（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）计算的结果是（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】A【分析】设，，则，，换元后化简求值即可．【详解】解：设，，则，，．故选：A．【点睛】本题主要考查有理数的简便运算，根据题中所给式子的结构特征，采用换元法简化运算是解决问题的关键．8．（2022春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）若一个只含字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推．①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；③将多项式以上述方式进行4次操作后，当时，所得多项式的值为243；④将多项式以上述方式进行次操作后所得多项式为；四个结论错误的有（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据题意，计算出进行2次操作后所得多项式，即可判定①；根据题意，计算出以上述方式进行3次操作后所得多项式，即可判定②；根据题意，计算出进行4次操作后所得多项式，再把代入计算即可判定③；根据题意，总结归纳出进行次操作后所得多项式规律，即可判定④．【详解】解：第1次操作后，得，第2次操作后，得，∴第2次操作后所得多项式项数是4，故①错误；第1次操作后，得，第2次操作后，得，第3次操作后，得，∴将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为故②正确；第1次操作后，得，第2次操作后，得，第3次操作后，得，第4次操作后，得，当a=2时，，故③正确；第1次操作后，得，第2次操作后，得，第3次操作后，得第4次操作后，得…第n次操作后，得，故④错误；综上，错误的有①④共2个，故选：C．【点睛】本题考查多项式乘多项式，数式规律探究，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．9．（2022秋·四川内江·八年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________；【答案】【分析】首先利用多项式乘以多项式法则进行计算，再根据结果中不含x的一次项(即一次项的系数为零)求出a的值即可．【详解】解：的展开式中不含有x的一次项，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．10．（2023春·七年级课时练习）若，其中a、b为整数，则___________．【答案】-4【分析】先根据多项式乘法法则将化为，得到，求出a、b，问题得解．【详解】解：∵，∴，∴，解得，∴．故答案为：-4【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则，熟知多项式乘以多项式法则，将原式变形求出a、b是解题关键．11．（2023春·七年级课时练习）用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要___________张．【答案】10【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果．【详解】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，，长方形的长为，宽为，长方形的面积：，，，类卡片一共需要张，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡片数量．12．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）观察下列各式的规律：…可得到___________．【答案】【分析】发现规律，根据规律即可得到计算结果．【详解】根据规律可得：，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，发现规律是解题的关键．13．（2022春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）观察下列各式：，，，…根据上述规律可得：___________．【答案】【分析】根据题目给出式子得规律，右边x的指数正好比前边x的最高指数大1．【详解】解：找出等号右边指数和等号左边括号中第一项指数之间的关系，，，．∴，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了平方差公式，发现规律：右边x的指数正好比前边x的最高指数大1是解答本题的关键．14．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）（为非负整数）当，1，2，3，时的展开情况如下所示：观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，则展开式是____________________________________________________________________．【答案】【分析】通过阅读寻找规律，观察可得（为非负整数）展开式的各项系数的规律，从而即可得到答案．【详解】解：，，当时，，故答案为：．【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数的规律，熟练掌握此规律是解题的关键．15．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）（1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先算乘方和括号里面的内容，再算乘除，最后计算加减；（2）去括号，再合并同类项即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式．【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）（1）某学校准备在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形草地，四周铺设地砖（阴影部分），求铺设地砖的面积（用含a，b的式子表示，结果化为最简）．（2）已知，．求的值．【答案】（1）；（2）【分析】(1)首先根据题意和图形即可列出代数式，再进行整式的混合运算，即可求解；(2)首先由，可得，再把变形，代入数值，即可求得结果．【详解】解：(1)根据题意得：=所以，铺设地砖的面积为：；（2），，，，；．【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，代数式求值问题，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．17．（2022春·吉林长春·七年级校考阶段练习）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为．(1)你知道式子中，的值各是多少吗？(2)请你计算出这道题的正确结果．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意可得；，从而得出，解二元一次方程组即可；（2）将的值代入，然后根据多项式乘以多项式运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：根据题意得：；，∴，解得：，；（2）正确的算式为．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运算法则以及解二元一次方程组，读懂题意，根据题意列出二元一次方程组求出的值是解本题的关键．18．（2022秋·河南南阳·七年级校联考阶段练习）如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割为8小块，除阴影A、B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为acm．(1)从图可知，每个小长方形较长一边长是_____cm（用含a的代数式表示；(2)求图中两块阴影A、B的周长和（可以用x的代数式表示）；(3)若cm时用含x的代数式分别表示阴影A、B的面积，并比较A，B的面积大小．【答案】(1)(2)4x(3)，，【分析】（1）从图可知，每个小长方形较长一边长是大长方形的长小长方形宽的3倍；（2）从图可知，的长的宽，的宽的长，依此求出两块阴影、的周长和；（3）根据长方形的面积长宽即可表示阴影、的面积，然后比较大小即可．【详解】（1）解：由图可知：每个小长方形较长一边长是．故答案为；（2）解：由图可知：的长的宽cm，的宽的长cm，∴、的周长和（的长的宽）(的长的宽)（的长的宽）(的长的宽)cm；（3）解：，，，，．【点睛】本题