专题 八年级期末复习压轴题训练 （第十九、二十章）（解析版）

专题八年级下册数学期末复习压轴题训练（第十九、二十章）第十九章第十九章一次函数1．如图，已知直线AB经过点（1，﹣2），且与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B，作直线AB关于y轴对称的直线BC交x轴于点C，点P为OC的中点．（1）求直线AB的函数表达式和点B的坐标；（2）若经过点P的直线l将△ABC的面积分为1：3的两部分，求所有符合条件的直线l的函数表达式．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分两种情况考虑：当直线l经过点B时，此时S△BCP：S△BAP＝1：3；（②当直线l与AB的交点D在第四象限时，易得S△APD=14S△ABC＝2，求出D点坐标，即可确定出直线【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（h≠0）．把点（1，﹣2），（2，0）代入得k+b=-22k+b=0解得k=2b=-4∴直线AB为y＝2x﹣4．当x＝0时，y＝2x﹣4＝﹣4，∴B（0，﹣4）．（2）①当直线l经过点B时，如图1．∵直线AB关于y轴对称的直线BC交x轴于点C，∴OA＝OC＝2，∴C（﹣2，0）．∵P为OC的中点，∴P（﹣1，0），∴AP＝3CP，∴S△BCP：S△BAP＝1：3．设此时直线l的表达式为y＝mx+n（m≠0）．将点P（﹣1，0）、B（0，﹣4）代入得-m+n=0n=-4解得m=-4n=-4∴此时直线l的表达式为y＝﹣4x﹣4；②当直线l与AB的交点D在第四象限时，如图2．∵A（2，0），C（﹣2，0），B（0，﹣4），∴AC＝4，OB＝4，∴S△ABC=12AC•OB=12×4∵直线l将△ABC的面积分为1：3的两部分，∴S△APD=14S△ABC＝∴12•AP•|yD|＝2，即12×3×|yD|解得|yD|=4将y=-43代入y＝2x﹣4，得x∴D（43，-设此时直线l的函数表达式为y＝m2x+n2（m2≠0）．将点D（43，-43）、P（﹣1，0解得m2∴此时直线l的函数表达式为y=-4综上所述，所有符合条件的直线l的函数表达式为y＝﹣4x﹣4或y=-47x【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=12x与直线l2：y=-32x+b交点A的横坐标为2，将直线l1，沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线（1）求直线l2、l3的表达式；（2）求C点坐标．（3）求△BDC的面积．【分析】（1）将点A横坐标代入直线l1的解析式可得点A坐标，再将点A坐标代入直线l2的解析式可得b的值，再由直线l1向下平移4个单位可得直线l3的解析．（2）联立直线l2与直线l3的方程求解．（3）分别求出B，C，D的坐标，进而求解．【解答】解：（1）把x＝2代入y=12x，得y∴A的坐标为（2，1）．∵直线l2：y=-32x+b过A（2将（2，1）代入y=-32x+b得1＝﹣解得b＝4，∴直线l2的解析式为y=-3∵将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，∴直线l3的解析式为y=1（2）∵直线l3与直线l2交于点C，∴12解得x＝4，将x＝4代入y=-32x+4得y∴C（4，﹣2）．（3）将x＝0代入y=-32x+4得y∴D（0，4）．将x＝0代入y=12x-4得y∵B（0，﹣4），∴BD＝8．∴△BDC的面积=1【点评】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握一次函数图象平移的规律．3．（2022秋•南海区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣2x+8交y轴于点A，交x轴于点B，以AB为底作等腰三角形△ABC的顶点C恰好落在y轴上，连接BC，直线x＝2交AB于点D，交BC于点E，连接CD．（1）求点C的坐标和直线BC的解析式；（2）在x轴上存在一点P使PD+PC最小，请求出点P的坐标；（3）求△DBC的面积．【分析】（1）可先求得A、B的坐标，则可求得OA＝8、OB＝4，在设OC＝x，则AC＝BC＝8﹣x，在Rt△OBC中由勾股定理可列方程，可求得OC的长，则可求得点C的坐标，再利用待定系数法可求得直线BC的解析式；（2）作点C关于x轴的对称点C1，根据最短路径分析出P点的位置，再求解即可．（3）由直线AB、BC的解析式可分别求得点D、E的坐标，则可求得DE的长，可求得△DCB的面积；【解答】解：（1）在y＝﹣2x+8中，令x＝0可得y＝8，令y＝0可求得x＝4，∴A（0，8），B（4，0），∴OA＝8，OB＝4，设OC＝x，则AC＝BC＝8﹣x，在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC2＝OC2+OB2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，∴C（0，3），设直线BC解析式为y＝kx+b，把B、C点的坐标代入可得4k+b=0b=3，解得k=-∴直线BC解析式为y=-34x（2）作点C关于x轴的对称点C1，则C1的坐标为（0，﹣3）；设直线DC1的解析式为y＝kx+b，可得：b=-32k+b=4解得：b=-3k=3.5∴设直线DC1的解析式为y＝3.5x﹣3，将y＝0代入解析式可得：x=6∴点P的坐标为（67，0（3）直线x＝2交AB于D点，交BC于E点，交x轴于点G，∴D（2，4），E（2，32），G（2，0DE＝4-32=52，且B∴S△DBC=12×DE•OB=1∴△DBC的面积为5．【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及等腰三角形和外角的性质、勾股定理、三角形的面积、三角形的三边关系、待定系数法及方程思想，正确利用相关知识进行运算是解题关键．4．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（0，1）．（1）若函数图象还经过点（﹣1，3），①求这个函数的表达式；②若点P（a，a+3）关于x轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求a的值．（2）若函数图象与x轴的交点的横坐标x0满足2＜x0＜3，求k的取值范围．【分析】（1）①将点（﹣1，3），（0，1）代入y＝kx+b，即可求该一次函数的表达式；②先求出点P（a，a+3）关于x轴的对称点坐标（a，﹣a﹣3），再把（a，﹣a﹣3）代入①中解析式即可；（2）先把（0，1）代入y＝kx+b得y＝kx+1，再令y＝0，求出x=-1k，根据2＜x0＜3求出【解答】解：（1）①∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（﹣1，3），（0，1），∴b=1-k+b=3解得k=-2b=1∴一次函数解析式为y＝﹣2x+1；②∵点P（a，a+3）关于x轴的对称点为（a，﹣a﹣3），∴﹣a﹣3＝﹣2a+1，解得a＝4；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（0，1），∴y＝kx+1，令y＝0，则x=-1即x0=-1∵2＜x0＜3，∴2＜-1∴-12＜【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关于x轴，y轴对称点的坐标，关键是对一次函数性质的掌握和运用．5．（2022秋•紫金县期末）如图，一次函数y1＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，一次函数y2的图象与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D（0，1），且两函数图象相交于点E．（1）求一次函数y2的函数解析式；（2）求△BDE的面积；（3）坐标轴上是否存在一点P，使得S△DCP＝2S△BDE？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）两直线解析式联立成方程组，解方程组求得点E的坐标，由直线y1＝2x+4求得点B的坐标，即可求得BD＝3，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）分两种情况，利用三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）设y2＝kx+b，将C（1，0），D（0，1）代入得k+b=0b=1解得k=-1b=1∴一次函数y2的函数解析式为y2＝﹣x+1；（2）由y=2x+4y=-x+1，解得∴点E的坐标为（﹣1，2），当x＝0时，y1＝2×0+4，y1＝4，∴点B的坐标为（0，4），∴BD＝3，∴S△BDE=1∴△BDE的面积为32（3）存在，理由如下：∵S△DCP＝2S△BDE，∴S△DCP＝3，当P在y轴上时，∴12DP•OC＝3，即12DP•1＝∴DP＝6，∴P（0，7）或（0，﹣5）；当P在x轴上时，∴12PC•OD＝3，即12∴PC＝6，∴P（7，0）或（﹣5，0），综上，在坐标轴上，存在一点P，使得S△DCP＝2S△BDE，P的坐标为（7，0）或（﹣5，0）或（0，7）或（0，﹣5）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，正确求得交点坐标是解题的关键．6．如图，直线y＝kx+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且AB＝25．（1）求点A的坐标；（2）求k的值；（3）C为OB的中点，过点C作直线AB的垂线，垂足为D，交x轴正半轴于点P，试求点P的坐标及直线CP的函数表达式．【分析】（1）设x＝0，解方程得到y＝4，求得B（0，4），根据勾股定理得到OA=AB2-OB2=2（2）把A（﹣2，0）代入y＝kx+4得到﹣2k+4＝0，解方程即可得到结论；（3）设直线PD的解析式为y=-12x+n，求得C（0，2），于是得到直线CP的函数表达式为y=-12x+2，当【解答】解：（1）∵直线y＝kx+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，∴设x＝0，则y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵AB＝25，∴OA=AB∴A（﹣2，0）；（2）把A（﹣2，0）代入y＝kx+4得，﹣2k+4＝0，∴k＝2；（3）由（2）知，k＝2，∴直线AB的解析式为：y＝2x+4，∵直线PD⊥AB，∴设直线PD的解析式为y=-12x+∵C为OB的中点，∴C（0，2），∴n＝2，∴直线CP的函数表达式为y=-12x当y＝0时，即-12x+2＝∴x＝4，∴P（4，0）．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的性质、两条直线相交或平行问题，解决本题的关键是综合运用以上知识．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-13x+2与x轴交于点C，与y轴交于点（1）求△AOC的面积；（2）点P是直线AC上的动点，过P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F，E，若PF＝2PE，请求出点P的坐标；（3）点B（113，79）在直线AC上，坐标轴上存在动点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形，请直接写出点【分析】（1）根据y=-13x+2，求得OA＝2，OC＝（2）设P（a，2a）代入y=-13x+2（3）分为∠ABM＝90°和∠BAM＝90°，求出与x轴，y轴的交点坐标．【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝2，∴OA＝2，∵当y＝0时，-13x+2＝解得：x＝6，∴OC＝6，∴S△AOC=12OA．OC＝∴△AOC的面积是6．（2）∵PF＝2PE，∴设P（a，2a），∴-13a+2＝∴a=6∴P（67，12当P在第二象限时，同法可得P坐标为（a，﹣2a），a=-6∴p（-65，综上所述，满足条件的点P的坐标为（67，127）或（-6（3）当∠CAM＝90°，与x轴交于M1，设AM1的函数关系式是：y＝kx+2，∴M1（-2k，∴CM1=2k在Rt△ACM1中，由勾股定理得，AC²+AM1²＝CM1²，∴2²+6²+2²+（2k）²＝（2k∴k＝3，∴AM1的函数关系式是：y＝3x+2，M1（-23，∵当∠ABM＝90°，与x轴交于M2，与x轴交于M3，∴设BM2的函数关系式y＝3x+b，又直线BM2过点B，∴3×113+∴b=-92∴y＝3x-92∴当y＝0时，3x-929∴x=92∴M2（9227，0），M3（0，-综上所述，当△ABM是以AB为直角边的直角三角形时，坐标轴上存在M点坐标是（-23，（9227，0），（0，-【点评】本题考查的是一次函数图象与坐标轴之间的关系．解决问题的关键是根据线段关系设点的坐标，以及利用勾股定理列方程求一次函数y＝kx+b中的“k”．8．（2023•花都区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．（1）k的值是；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．①如图，点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），若四边形OECD的面积是9，求点C的坐标；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，若四边形OECD的周长是10，请直接写出点C的坐标．【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出k值；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，由四边形OECD的面积是9，得出S梯形CEOM+S△CDM=12（1-12m+4）•m+12（-12m+4）•（6﹣②由题意可知2（m-12m+4）＝10，解方程求得m的值，即可求得【解答】解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，解得：k=-1故答案为：-1（2）①如图1，由（1）可知直线AB的解析式为y=-12x∴设C（m，-12m+4）（0＜m＜∵点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），∴OD＝6，OE＝1，∴OM＝m，CM=-12m∵四边形OECD的面积是9，∴S梯形CEOM+S△CDM=12（1-12m+4）•m+12（-12m整理得2m＝6，解得m＝3，∴点C的坐标为（3，52②∵CE平行于x轴，CD平行于y轴，∴四边形CEOD是矩形，∵四边形OECD的周长是10，∴2（m-12m+4）＝10或2（-12m+4﹣解得m＝2或m＝6，点C的坐标为（2，3）或（-23，【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k值；（2）表示出C的坐标．9．（2022秋•临川区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的[l1，l2]伴随图形．例如：点P（2，1）的[x轴，y轴]伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．（1）点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为；（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为；②当直线m经过原点时，若△ABC的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t的取值范围．【分析】（1）根据伴随图形的定义即可得出结论；（2）①t＝﹣1时，A点坐标为（﹣1，1），直线m为x＝1，先求出A点关于x轴对称点的坐标，再求出关于直线x＝1对称点的坐标即；②由题意得，直线m为y＝x，A、B、C三点的[x轴，m]伴随图形点坐标依次表示为：（﹣1，t）、（﹣1，t﹣3）、（﹣3，t），由题意可得|t|＜0.5或|t﹣3|＜0.5，解出t的取值范围即可．【解答】解：（1）由题意知（﹣3．﹣2）沿x轴翻折得点坐标为（﹣3，2）；（﹣3，2）沿y轴翻折得点坐标为（3，2），∴点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为（3，2）．故答案为：（3，2）；（2）①当t＝﹣1时，A点坐标为（﹣1，1），∴（﹣1，1）沿x轴翻折得点坐标为（﹣1，﹣1），∵直线m经过点（1，1），且直线m与y轴平行，∴直线m为x＝1，∴（﹣1，﹣1）沿x＝1轴翻折得点坐标为（﹣1，1），∵直线n经过点（﹣1，﹣1），且直线n与x轴平行，∴直线n为y＝﹣1，∴（﹣1，1）沿直线y＝﹣1翻折得点坐标为（3，﹣1），∴点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为（3，﹣1），故答案为：（3，﹣1）；②∵直线m经过原点，且经过点（1，1），∴直线m为y＝x，A、B、C三点沿x轴翻折点坐标依次表示为：（t，﹣1）、（t﹣3，﹣1）、（t，﹣3），A、B、C三点沿直线m翻折点坐标依次表示为：（﹣1，t）、（﹣1，t﹣3）、（﹣3，t），由题意可知：|t|＜0.5或|t﹣3|＜0.5，解得：﹣0.5＜t＜0.5或2.5＜t＜3.5，∴：﹣0.5＜t＜0.5或2.5＜t＜3.5，【点评】本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确地将翻折后的点坐标表示出来．10．（2022春•番禺区期末）如图，直线l：y=3x+3与两坐标轴分别交于A、B两点，点M为线段（1）求A、B、M的坐标；（2）直线l关于y轴对称的直线为l'，写出直线l'的解析式；（3）若直线l'交x轴于点C，直线MC与y轴的交点为N，连接OM，求OMON【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征即可求得A、B的坐标，进而根据中点公式求得M点的坐标；（2）求得点B关于y轴的对称点，然后利用待定系数法即可求得；（3）求得直线MC的解析式，进而求得ON，利用勾股定理求得AB，利用直角三角形斜边中线的性质求得OM，进一步即可求得OMON【解答】解：（1）令x＝0，则y=3x+∴A（0，3），令y＝0，则3x+3=0，解得x＝﹣∴B（﹣1，0），∵点M为线段AB的中点．∴M（-12，（2）∵B（﹣1，0），∴点B关于y轴的对称点（1，0），设直线l'的解析式为y＝kx+3代入点（1，0）得，0＝k+3，解得k=-∴直线l'的解析式为y=-3（3）设直线MC的解析式为y＝ax+b，把点C、M的坐标代入得a+b=0-12∴直线MC的解析式为y=-33x令x＝0，则y=3∴ON=3∵A（0，3），B（﹣1，0），∴AB=12∵OM是直角三角形AOB斜边的中线，∴OM=12AB＝∴OMON【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，直角三角形斜边中线的性质，求得交点的坐标是解题的关键．11．（2022秋•开江县校级期末）如图，A，B是分别在x轴上的原点左右侧的点，点P（2，m）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S△AOC＝10．（1）求点A的坐标及m的值；（2）若S△BOP＝S△DOP，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，直线AP上是否存在一点Q，使△QAO的面积等于△BOD面积？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用三角形的面积求出OA，进而确定出点A的坐标，再利用待定系数法求直线AC的解析式，即可得出m的值；（2）方法1、先设出直线BD解析式，进而得出点B，D坐标，利用两三角形面积相等建立方程即可得出结论；方法2、设出点B，D坐标，利用点P是BD的中点，利用中点坐标公式求出点B，D坐标，即可得出结论；（3）先求出三角形BOD的面积，设出点Q坐标，表示出三角形QAO的面积，进而建立方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵C（0，2），∴OC＝2，∵S△AOC＝10，∴12OA•OC＝10∴12OA×2＝10∴OA＝10，∴A（﹣10，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴-10k+b=0b=2∴k=1∴直线AC的解析式为y=15x∵点P（2，m）在直线AC上，∴m=15×（2）方法1、设直线BD的解析式为y＝k'x+b'（k'＜0），∵P（2，125∴2k'+b'=12∴b'＝﹣2k+12∴直线BD的解析式为y＝k'x﹣2k'+12令x＝0，∴y＝﹣2k'+12∴D（0，﹣2k'+12令y＝0，∴k'x﹣2k'+125∴x＝2-12∴B'（2-125k'），∴OB＝2∵S△BOP=12（2-125k'）×125，S△DOP=12∵S△BOP＝S△DOP，∴12（2-125k'）×125=12∴k'=65（舍）或k∴直线BD的解析式为y=-65方法2、设点D（0，m），B（n，0），∵S△BOP＝S△DOP，∴点P（2，125）是线段BD∴n＝4，m=24∴直线BD的解析式为y=-65（3）由（2）知，直线BD的解析式为y=-65x∴D（0，245），B（4，0∴OB＝4，OD=24∴S△BOD=12OB•OD=由（1）知，A（﹣10，0），直线AC的解析式为y=15x设Q（a，15a+2∴S△QAO=12OA•|yQ|=12×10×|15a∵△QAO的面积等于△BOD面积，∴|a+10|=48∴a=-25或a∴Q（-25，4825）或（-【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，中点坐标公式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．12．（2022春•昭化区期末）如图，在平面直角坐标系中有△ABO，∠AOB＝90°，AO＝BO，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，点B的坐标为（1，3）．（1）请直接写出点A的坐标；（2）求直线AB的表达式；（3）若M为AB的中点，连接CM，动点P从点C出发，沿射线CM方向运动，当|BP﹣OP|最大时，求点P的坐标．【分析】（1）证明△ACO≌△ODB（AAS），即可求点的坐标；（2）由待定系数法求解析式即可；（3）延长OB交射线CM于点P，则点P为所求；延长DB交射线CM于点E，可证△ACM≌△BEM（AAS），由全等得到E（1，4），求出直线CE的直线解析式为y＝x+3，直线OB的解析式为y＝3x，两直线的交点即为P．【解答】解：（1）∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠BOD＝∠CAO，∵AO＝BO，∴△ACO≌△ODB（AAS），∴AC＝OD，CO＝BD，∵点B的坐标为（1，3），∴AC＝1，CO＝3，∴A（﹣3，1）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴k+b=3-3k+b=1∴k=1∴y=12x（3）延长OB交射线CM于点P，则点P为所求；延长DB交射线CM于点E，∴AC∥BE，∴∠MAC＝∠MBE，∠MCA＝∠MEB，∵点M为AB中点，∴AM＝BM，∴△ACM≌△BEM（AAS），∴BE＝AC＝1，∴E（1，4），∵B（1，3），C（﹣3，0），设直线CE的解析式为y＝k1x+b1，∴4=k∴k1∴直线CE的直线解析式为y＝x+3，设直线OB的解析式为y＝k2x，∴3＝k2，∴直线OB的解析式为y＝3x，∴y=3xy=x+3解得x=3∴P（32，9【点评】本题是一次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法和一次函数的图象及性质是解题的关键．13．（2022春•白塔区校级期中）已知：如图，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，平面内有一点E（3，1），直线BE与x轴交于点F．直线AB的解析式记作y1＝kx+b，直线BE解析式记作y2＝mx+t．（1）求直线AB，BE的解析式及△BCF的面积；（2）当x时，kx+b＞mx+t；（3）在x轴上有一动点H，使得△OBH为等腰三角形，请直接写出H的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求出直线AB、BE的解析式，令y2＝0即可求出点F的坐标，结合三角形的面积公式即可得出结论；（2）当直线AB在直线BE上方时，有kx+b＞mx+t．结合图象即可得出结论；（3）设点H的坐标为（n，0），用两点间的距离公式找出OB、OH、BH的长度，结合△OBH为等腰三角形的三种情况，即可求出n的值．【解答】解：（1）观察函数图象可知：点C（﹣4，0），点D（0，2），点B（2，3），将C、D点坐标代入直线AB的解析式中，得0=-4k+b2=b解得：k=1∴直线AB的解析式为y1将点B（2，3），E（3，1）代入到直线BE的解析式中，得3=2m+t1=3m+t解得：m=-2t=7∴直线BE的解析式为y2＝﹣2x+7．令y2＝0，则有﹣2x+7＝0，解得x=7即点F的坐标为(7∴CF=7∴△BCF的面积S=1（2）结合函数图象可知：当x＞2时，kx+b＞mx+t；故答案为：＞2；（3）设点H的坐标为（n，0）．∵点O（0，0），点B（2，3），∴OB=22+32=13，OH＝△OBH为等腰三角形分三种情况：①当OB＝OH时，即13=|n|解得：n＝±13，此时点H的坐标为（-13，0）或（13，0②当OB＝BH时，即13=解得：n＝0（舍去），或n＝4．此时点H的坐标为（4，0）；③当OH＝BH时，即|n|=(n-2)解得：n=13此时点H的坐标为（134，0综上可知：点H的坐标为（-13，0）或（13，0）或（4，0）或（134，【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式、结合函数图象解决不等式、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）结合函数图象解不等式组；（3）分等腰三角形的三种情况考虑．14．（2023•鸡西二模）如图，已知直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，OA，OB（OA＞OB）的长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根，设点E的坐标为（﹣2，t），△ABE的面积为S．（1）求直线AB的解析式；（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）若点E在直线AB的上方，S＝2S△AOB，N是x轴上一点，M是直线AB上一点，是否存在点N，使△EMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）解方程求出x1＝2x2＝4，可求出点A和点B的坐标，设直线AB的解析式为y＝kx+b，由待定系数法可求出答案；（2）分三种情况，由三角形面积公式可得出答案；（3）求出E（﹣2，5），如图，点M在点E的左侧，过点M作MH⊥x轴于点H，过点E作EG⊥MH于点G，证明△MED≌△NDF（AAS），得出GE＝MH，MG＝HN，设M（m，12m+2），得出方程﹣2﹣m=12m+2，求出m可得出答案；当点M在点的右侧，同理可求出N【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2x2＝4，∵OA＞OB，∴OA＝4，OB＝2，∴A（﹣4，0），B（0，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A（﹣4，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得-4k+b=0b=2解得k=1∴直线AB的解析式为y=12x（2）连接OE．当x＝﹣2时，y=12x+2=12×（﹣当t＞1时，S＝S△AOE+S△OBE﹣S△AOB=12×4t+＝2t﹣2；当0＜t＜1时，S＝S△AOB﹣S△AOE﹣S△OBE=12×2×4-＝﹣2t+2；当t≤0时，S＝S△AOB+S△AOE﹣S△OBE=12×2×4+＝﹣2t+2．综上所述，S=2t-2(t（3）存在．∵AO＝4，OB＝2，∴S△AOB=12∵点E在直线AB的上方，S＝2S△AOB，∴2t﹣2＝2×4，∴t＝5，∴E（﹣2，5），如图，点M在点E的左侧，过点M作MH⊥x轴于点H，过点E作EG⊥MH于点G，∵△EMN是等腰直角三角形，∴∠EMN＝90°，EM＝MN，∵∠GME+∠NMH＝∠MNH+∠NMH＝90°，∴∠GME＝∠MNH，∴△MED≌△NDF（AAS），∴GE＝MH，MG＝HN，设M（m，12∴﹣2﹣m=1解得m=-8∴MH=1∴GM＝GH﹣MH＝5-2∴ON＝HN﹣OH=13∴N（53，0如图，当点M在点的右侧，同理可得，m+2=1∴M（0，2），∴ON＝3，∴N（﹣3，0），综上所述，点N的坐标为（53，0）或（﹣3，0【点评】本题属于一次函数综合题．考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，面积的计算等知识．解题的关键是熟练掌握待定系数法，全等三角形的判定与性质．15．（2022春•海口期末）如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（﹣8，0）、B（0，6），P是线段AB上的一个动点（与A、B点不重合），过点P作PD⊥y轴于点D．点C的坐标为（﹣1，0），连接PC．（1）求直线AB的函数表达式；（2）设动点P的横坐标为t，△PAC的面积为S．写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）当PA＝PC时，求点P的坐标；（4）若点D为线段OB的中点，在x轴上存在点E，使以P、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求出此时点E的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可求得直线AB的函数表达式；（2）设P（t，34t+6），且﹣8≤t≤0，如图1，过点P作PH⊥AC于点H，根据S=12AC（3）利用等腰三角形性质“三线合一”可得：AH＝CH，进而可得H（-92，0），由点P的横坐标与点（4）设E（m，0），则CE＝|m+1|，由点D为线段OB的中点，可得D（0，3），进而可得：P（﹣4，3），PD＝4，根据平行四边形性质可得PD＝CE，建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，则-8k+b=0b=6解得：k=3∴直线AB的函数表达式为y=34x（2）设P（t，34t+6），且﹣8≤t≤0如图1，过点P作PH⊥AC于点H，则PH=34t∵A（﹣8，0）、C（﹣1，0），∴AC＝﹣1﹣（﹣8）＝7，∴S=12AC•PH=12×7×（34t+6）=218t（3）如图1，过点P作PH⊥AC于点H，∵PA＝AC，PH⊥AC，∴AH＝CH，∵A（﹣8，0）、C（﹣1，0），∴H（-92，∵点P的横坐标与点H的横坐标相同，且点P在直线y=34x∴y=34×（-9∴点P的坐标为（-92，（4）由题意：点E是x轴上的点，设E（m，0），∵C（﹣1，0），∴CE＝|m+1|，∵点D为线段OB的中点，O（0，0），B（0，6），∴D（0，3），∵PD⊥y轴，∴点P的纵坐标为3，∴34x+6＝3解得：x＝﹣4，∴P（﹣4，3），∴PD＝4，∵以P、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，∴PD∥CE，PD＝CE，∴4＝|m+1|，解得：m＝﹣5或3，∴点E的坐标为（﹣5，0）或（3，0）．【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，等腰三角形性质，平行四边形性质等，第（2）问用t表示出S△PAC是关键，第（3）问运用等腰三角形性质“三线合一”得出点P的横坐标是关键，第（4）问利用平行四边形性质得出PD＝CE是关键．16．（2022春•济南期中）直线y=-43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y＝x+m经过点C，交x轴于点（1）请直接写出点C，点D的坐标，并求出m的值；（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交AB于M，交CE于N．当四边形NEDM是平行四边形时，求点P的坐标；（3）点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，请直接写出t为何值时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？【分析】（1）先求出点A，B的坐标，根据勾股定理求出菱形的边长，得到点C，D的坐标，根据直线y＝x+m经过点C，求出m的值；（2）当四边形NEDM是平行四边形时，MN＝DE，设出M，N的坐标，得到MN的长度，列方程求t的值即可得到点P的坐标；（3）分CD为菱形的边长或对角线两种情况分别计算t的值即可．【解答】解：（1）对于直线y=-43x当x＝0时，y＝8，当y＝0时，-43x+8＝解得x＝6，∴A（6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∴AB=OA∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝BC＝AB＝10，∴C（﹣10，8），D（﹣4，0），∵直线y＝x+m经过点C，∴﹣10+m＝8，∴m＝18；（2）由（1）得：直线CE的解析式为：y＝x+18，当y＝0时，x＝﹣18，∴E（﹣18，0），当四边形NEDM是平行四边形时，MN＝DE＝﹣4﹣（﹣18）＝14，∵P（0，t），∴设M（6-34t，t），N（t﹣18，∴MN＝6-34t﹣（t﹣18）＝∴t=40∴P（0，407（3）当CD为菱形的边长时，当点P运动到点B时，t＝8，当CD＝PD时，CD2＝PD2，∴42+t2＝102，解得：t＝221；当CD为菱形的对角线时，PD＝PC，∴PD2＝PC2，∴42+t2＝102+（t﹣8）2，解得：t=37综上所述，t＝8或221或374【点评】本题考查了一次函数综合题，考查分类讨论的思想，分CD为菱形的边长或对角线两种情况分别计算t的值是解题的关键．17．（2022春•召陵区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，点P（1，m）在直线y＝﹣x+3上．（1）求点A，B的坐标．（2）若C是x轴的负半轴上一点，且S△PAC=79S△AOB，求直线（3）在（2）的条件下，若E是直线AB上一动点，过点E作EQ∥x轴交直线PC于点Q，EM⊥x轴，QN⊥x轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边形EMNQ为正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特点直接求解即可；（2）由题意可得S△PAC=72=12×（3﹣x（3）设E（t，﹣t+3），则Q（-34t+74，﹣t+3），当四边形EMNQ为正方形时，EQ＝EM，则|74t-74|＝|t【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），令y＝0，则y＝3，∴A（3，0）；（2）将点P（1，m）代入y＝﹣x+3，∴m＝2，∴P（1，2），由（1）可得OA＝OB＝3，∴S△AOB=12×3×∵S△PAC=79S△∴S△PAC=72=12×（3∴xC=-1∴C（-12，设直线PC的解析式为y＝kx+b，∴-1解得k=4∴y=43x（3）存在点E，使得四边形EMNQ为正方形，理由如下：设E（t，﹣t+3），则Q（-34t+74∴EQ＝|74t-74|，EM＝|t当四边形EMNQ为正方形时，EQ＝EM，∴|74t-74|＝|t解得t=-53或t∴E（-53，143）或（19【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，正方形的判定及性质是解题的关键．18．（2023•抚远市二模）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2h后休息，直至与货车相遇后，以原速继续行驶．货车、轿车离甲地的路程y（单位：km）与货车出发的时间x（单位：h）的函数图象如图所示，请结合图象信息解决下列问题：（1）轿车行驶的速度为km/h，货车行驶的速度为km/h；（2）求线段DE所在直线的函数解析式；（3）当两车相距200km时，直接写出货车出发的时间．【分析】（1）观察图象，根据C点的坐标可得轿车行驶的速度；用点A的纵坐标除以点A的横坐标即可求得货车行驶的速度；（2）根据题意可得点E的坐标，再结合点D的坐标，用待定系数法可求得答案；（3）分两种情况列方程求解即可：①当轿车休息前与货车相距200km时；②当轿车休息后与货车相距200km时．【解答】解：（1）轿车行驶的速度为：（480﹣240）÷2＝120（km/h），货车行驶的速度为：480÷8＝60（km/h）；（2）由题意可得点D（4，240），E（6，0），设线段DE所在直线的函数表达式为y＝kx+b，将点D（4，240），E（6，0）代入得：4k+b=2406k+b=0解得k=-120b=720∴线段DE所在直线的函数解析式为y＝﹣120x+720（4≤x≤6）；（3）设货车出发x小时后两车相距200km．①轿车休息前与货车相距200km时，120x+60x＝480﹣200，解得x=14②当轿车休息后与货车相距200km时，有，60x+120（x﹣2）＝240+200，解得x=34答：当两车相距200km时，货车出发的时间为149h或349【点评】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，数形结合、分类讨论并明确行程问题的基本数量关系，是解题的关键．19．（2023春•青羊区校级期中）成都锦城绿道是新贯通的环城生态公园一级绿道，美丽的风光吸引很多市民选购自行车用以骑行．某自行车店计划购进A，B两种型号的公路自行车共50辆，其中每辆B型公路自行车比每辆A型公路自行车多600元，用5000元购进的A型公路自行车与用8000元购进的B型公路自行车数量相同．（1）求A，B两种型号公路自行车的进货单价；（2）若该商店计划购进A型公路自行车m辆，计划最多投入68000元，且B型公路自行车的数量不能低于A型公路自行车的数量，则自行车店有哪几种进货方案？（3）在（2）的条件下，若A型公路自行车每辆售价为1500元，B型公路自行车每辆售价为2000元，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？【分析】（1）设A种型号公路自行车的进货单价是x元，则B种型号公路自行车的进货单价是（x+600）元，构建分式方程即可解决问题；（2）根据“总费用＝A型的费用+B型的费用”以及“B型公路自行车的数量不能低于A型公路自行车的数量”，列不等式组解答即可；（3）根据题意求出总利润和m之间的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设A种型号公路自行车的进货单价是x元，则B种型号公路自行车的进货单价是（x+600）元，根据题意得：5000x解得x＝1000，经检验，x＝1000是原方程的解，∴x+600＝1000+600＝1600，答：A种型号公路自行车的进货单价是1000元，B种型号公路自行车的进货单价是1600元；（2）根据题意得：1000m+1600(50-m)≤6800050-m≥m解得20≤m≤25，∵m是正整数，∴m＝20、21、22、23、24、25，∴自行车店有六种进货方案，分别为：①购进A型公路自行车20辆，B型公路自行车30辆；②购进A型公路自行车21辆，B型公路自行车29辆；③购进A型公路自行车22辆，B型公路自行车28辆；④购进A型公路自行车23辆，B型公路自行车27辆；⑤购进A型公路自行车24辆，B型公路自行车26辆；⑥购进A型公路自行车25辆，B型公路自行车25辆；（3）设该商店利润为W元，根据题意得：W＝（1500﹣1000）m+（2000﹣1600）（50﹣m）＝1000m+20000，∵1000＞0，∴W随m的增大而增大，∴当m＝25时，W有最大值，W最大＝1000×25+20000＝45000，答：该商店购进A型公路自行车25辆，B型公路自行车25辆能获得最大利润，此时最大利润是45000元．【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型．20．（2023•襄州区模拟）某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下：品种进价（元/斤）售价（元/斤）甲a5乙b7乙种水果的进价比甲种水果高2.5元/斤，当水果经销店购进400斤乙种水果与200斤甲种水果时，乙种水果的进货款与甲种水果的进货款之比为24：7．（1）求a、b的值；（2）水果经销店每天购进两种水果共300斤，并在当天都销售完，其中销售甲种水果不少于80斤且不超过120斤，设每天销售甲种水果x斤，当天销售这两种水果总获利W元（销售过程中损耗不计）．①求出w与x的函数关系式，并确定当天销售这两种水果的最大利润；②周末水果经销店让利销售，将甲种水果售价降低m元/斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值不低于312元，求m的最大值．【分析】（1）根据“乙种水果的购进价格比甲种水果高2.5元/斤，如果水果经销店花费700元购进甲种水果，花费2400元购进乙种水果，则购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍”，即可得出关于a的分式方程，解之即可得出结论；（2）①根据题意可得W与x的函数关系式，再根据一次函数的增减性解答即可；②根据题意求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质讨论可得答案．【解答】解：（1）根据题意，得：400(a+2.5)200a解得a＝3.5，经检验，a＝3.5是原方程的解，∴a＝3.5，∵b＝a+2.5＝6；（2）①由题意得：W＝（5﹣3.5）x+（7﹣6）×（300﹣x）＝0.5x+300（80≤x≤120），∵0.5＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝120时，W有最大值为360，即最大利润为360元；②由题意得，W＝（5﹣m﹣3.5）x+（7﹣6）×（300﹣x）＝（0.5﹣m）x+300，其中80≤x≤120，∵当0.5﹣m≤0时，W＝（0.5﹣m）x+300≤300，不合题意，∴0.5﹣m＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝120时，由题意得，（0.5﹣m）×120+300≥312，解得m≤0.4，∴m的最大值为0.4．【点评】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．21．（2023•谷城县模拟）市政府为了加大各部门和单位对口扶贫力度，某单位对帮扶对象种植的两种农产品A、B联系超市助销．该超市购买A产品进价为28元/kg；B产品的进货量超过500kg的部分有优惠，且B产品的付款金额y（单位：元）与进货量x（单位：kg）之间都是一次函数关系，下表所示部分付款情况，该超市对A产品的售价定为35元/kg，B产品的售价定为20元/kg．B产品进货量xkg01003005007009001000付款金额y元015004500750099001230013500（1）求出0≤x≤500和x＞500时，y与x之间的函数关系式；（2）若该超市购进A、B两种产品共1200kg，并全部售出．但超市要求B产品的进货量不低于300kg，且不高于1000kg，设销售完A、B两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与B种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的进货方案；（3）为了加快扶贫进度，超市决定对两种产品让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，售出A或B产品每千克都提出0.2a元的帮扶资金返给农户，全部售出后所获总利润不低于5500元，求a的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分当0≤x≤500时，当500＜x≤1000时，两种情况根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出w关于x的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可；（3）根据（2）所求，根据利润＝（售价﹣进价﹣0.2a）×销售量，结合总利润不低于5500元列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由表中可知，当0≤x≤500时，y是x的正比例函数，设y＝k1x，由题可知，100k1＝1500，解得k1＝15，∴y＝15x，当x＞500时，设y＝k2x+b，由题可知，700k解得k2∴y＝12x+1500；（2）当300≤x≤500时，由题意得：w＝（35﹣28）（1200﹣x）+（20﹣15）x＝﹣2x+8400．∵﹣2＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x取最小值300时，w有最大值为7800元；当500＜x≤1000时，w＝（35﹣28）（1200﹣x）+20x﹣（12x+1500）＝x+6900，∵1＞0，∴w随x的增大而增大．∴当x取最大值1000时，w有最大值为7900元，∵7800＜7900，∴当x＝1000时，1200﹣x＝200；∴当A产品进货量为200kg，B产品进货量为1000kg时，可获得最大利润．（3）由题意得，200（35﹣28﹣0.2a）+500（20﹣15﹣0.2a）+500（20﹣12﹣0.2a）≥5500，解得a≤10，∴a的最大值为10．【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求出对应的函数关系式是解题的关键．22．（2023•武侯区校级三模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【分析】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根；（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，根据总利润＝两种模型利润之和列出函数解析式即可；②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），根据题意得：320x=解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合实际意义，0.8x＝16（元），答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，则w＝（35﹣20）a+（25﹣16）（100﹣a）＝6a+900，∴w与a的函数关系式为w＝6a+900；②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，∴a≤12（100﹣解得a≤100∵w＝6a+900，4＞0，a是正整数，∴当a＝33时，w最大，最大值为1098，答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．23．（2023春•宝丰县月考）“双减”政策颁布后，各校重视了延迟服务，并在延迟服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，它们的进价和售价如下表：进价售价乒乓球拍（元/套）a50羽毛球拍（元/套）b60已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．（1）求出a，b的值；（2）该面店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，设购进乒乓球拍x（套），售完这批体育用品获利y（元）．①求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；②该商店实际采购时，恰逢“双十一”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了a元（0＜α∠10），羽毛球拍的进价不变，已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完，则如何购货才能获利最大？【分析】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元，列出方程组，解方程组即可；（2）①根据总利润＝乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围；②根据总利润＝乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．【解答】解：（1）根据题意：2a+b=1104a+3b=260解得a=35b=40答：a的值为35元，b的值为40元；（2）①由题意得：y＝（50﹣35）x+（60﹣40）（300﹣x）＝﹣5x+6000，∵购进乒乓球拍的套数不超过150套，∴x≤150，∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，∴x≥12（300﹣解得：x≥100，则x的取值范围为：100≤x≤150，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+6000，x的取值范围为：100≤x≤150；②由题意得：y＝（50﹣35+a）x+（60﹣40）（300﹣x）＝（a﹣5）x+6000，∵0＜a＜10，∴当a＜5即a﹣5＜0时，y随x的增大而减小，∴当x＝100时，y有最大值，∴乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当a＝5时，y＝6000，乒乓球和羽毛球任意选购利润一样大；当a＞5时，即a﹣5＞0时，y随x的增大而增大，∴当x＝150时，y有最大值，∴乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大．【点评】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组，难度一般．24．（2023春•三元区期中）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如右表：甲乙进价（元/件）mm﹣10售价（元/件）260180若三件甲衬衫和两件乙衬衫的进价为480元．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）若专卖店需购进甲、乙两种衬衫共300件，且甲衬衫的件数不超过110件，那么该专卖店要获得不少于34000元的总利润共有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a元（60＜a＜80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【分析】（1）根据三件甲衬衫和两件乙衬衫的进价为480元列方程可解得甲种衬衫每件的进价100元，乙种衬衫每件的进价90元；（2）设购进甲种衬衫x件，由甲衬衫的件数不超过110件，知x≤110，而要获得不少于34000元的总利润，有（260﹣100）x+（180﹣90）（300﹣x）≥34000，解不等式求出x范围取整数可得，该专卖店要获得不少于34000元的总利润共有11种进货方案；（3）设该专卖店获得利润为W元，可得W＝（260﹣a﹣100）x+（180﹣90）（300﹣x）＝（70﹣a）x+27000，根据一次函数性质分三种情况讨论可得答案．【解答】解：（1）根据题意得：3m+2（m﹣10）＝480，解得：m＝100，∴m﹣10＝100﹣10＝90，∴甲种衬衫每件的进价100元，乙种衬衫每件的进价90元；（2）设购进甲种衬衫x件，则购进乙种衬衫（300﹣x）件，∵甲衬衫的件数不超过110件，∴x≤110，∵要获得不少于34000元的总利润，∴（260﹣100）x+（180﹣90）（300﹣x）≥34000，解得：x≥100，∴100≤x≤110，∴x可取100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，∴该专卖店要获得不少于34000元的总利润共有11种进货方案；（3）设该专卖店获得利润为W元，根据题意得：W＝（260﹣a﹣100）x+（180﹣90）（300﹣x）＝（70﹣a）x+27000，当60＜a＜70时，W随x的增大为减小，∴x＝100时，W取最大值100（70﹣a）+27000＝（34000﹣100a）元；当a＝70时，W＝27000，∴所有方案的总利润相同；当70＜a＜80时，W随x的增大而增大，∴x＝110时，W取最大值110（70﹣a）+27000＝（34700﹣110a）元；答：当60＜a＜70时，进100件甲种衬衫，200件乙种衬衫总利润最大；当a＝70时，所有方案的总利润相同；当70＜a＜80时，进100件甲种衬衫，190件乙种衬衫总利润最大．【点评】本题考查一次函数的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．25．（2022春•青秀区校级期末）为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：目的地车型A村（元/辆）B村（元/辆）大货车800900小货车400600（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．【分析】（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解；（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8﹣x）辆，前往A村的小货车为（10﹣x）辆，前往B村的小货车为[7﹣（10﹣x）]辆，根据表格所给运费，求出y与x的函数关系式；（3）结合已知条件，求x的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．【解答】解：（1）设大货车用a辆，小货车用b辆，根据题意得：a+b=15解得：a=8b=7∴大货车用8辆，小货车用7辆；（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8﹣x）辆，前往A村的小货车为（10﹣x）辆，前往B村的小货车为[7﹣（10﹣x）]辆，根据题意得：y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400，∴y与x的函数解析式为y＝100x+9400，（3≤x≤8，且x为整数）；（3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100，解得：x≥5，又∵3≤x≤8，∴5≤x≤8且为整数，∵y＝100x+9400，k＝100＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝5时，y最小，最小值为y＝100×5+9400＝9900，答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往B村的大货车数x的关系．26．（2022秋•无为市月考）某蔬菜生产基地组织10辆汽车装运黄瓜、西红柿、卷心菜三种蔬菜共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种蔬菜，且装运每种蔬菜的车辆均不少于2辆，其他信息如下表所示：黄瓜西红柿卷心菜每辆汽车载货量（吨）765每吨蔬菜获利（万元）0.150.20.1（1）设装运黄瓜的车辆为x辆，装运西红柿的车辆为y辆，求y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围．（2）怎样安排车辆能使此次销售利润w最大？并求出w的最大值．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式，再根据每辆汽车只能装运同一种蔬菜，且装运每种蔬菜的车辆均不少于2辆，即可得到x的取值范围；（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到怎样安排车辆能使此次销售利润w最大，并求出w的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，7x+6y+5（10﹣x﹣y）＝60，化简，得：y＝10﹣2x，∵装运每种蔬菜的车辆均不少于2辆，∴2≤x≤10-42≤10-2x≤10-4解得2≤x≤4，即y与x的函数关系式为y＝10﹣2x（2≤x≤4）；（2）由题意可得，w＝0.15×7x+0.2×6（10﹣2x）+0.1×5[10﹣x﹣（10﹣2x）]＝﹣0.85x+12，∴w随x的增大而减小，∵2≤x≤4，∴当x＝2时，w取得最大值，此时w＝10.3，10﹣2x＝6，10﹣2﹣6＝2，答：安排装运黄瓜的车2辆，装运西红柿的车6辆，装运卷心菜的车2辆销售利润w最大，w的最大值为10.3．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．27．某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出到陕州区地坑院参加研学活动，出于安全考虑，每辆汽车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示：甲种客车乙种客车载客量/（人/辆）4530租金/（元/辆）400280（1）填空：①要保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于辆；②要使每辆汽车上至少有1名教师，汽车总数不能大于辆．综合起来可知汽车总数为．（2）给出最节省费用的租车方案．【分析】（1）①由师生总数为240人，根据“所需租车数＝人数÷载客量”算出租载客量最大的客车所需辆数，②每辆车上至少要有1名教师，可得汽车总数不能大于6，结合①，可得出结论；（2）设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车（6﹣x）辆，根据所租客车可乘载人数及租车总费用不超过2300元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数可得出各租车方案，再求出各租车方案的租车总费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）①∵（234+6）÷45＝5（辆）…15（人），∴保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6；②∵只有6名教师，∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6；综上可知：共需租6辆汽车，故答案为：6，6，6；（2）设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车（6﹣x）辆，依题意，得：45x+30(6-x)≥234+6400x+280(6-x)≤2300解得：4≤x≤31∵x为整数，∴x＝4，5，∴共有2种租车方案，方案1：租甲种客车4辆，乙种客车2辆；方案2：租甲种客车5辆，乙种客车1辆，方案1所需费用＝400×4+280×2＝2160（元），方案2所需费用＝400×5+280＝2280（元）．∵2160＜2280，∴方案1租甲种客车4辆，乙种客车2辆最省钱．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．第二十章第二十章数据的分析1．（2023•莱西市二模）奋进学校号召为困难学生家庭捐款，九年级2班对此次捐款活动进行抽样调查，得到一些捐款数据，将数据整理成如图所示的统计图表（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款人数的比为1：5，请结合以上信息答案下列问题．组别捐款额x/元入数A1≤x＜100aB100≤x＜200100C200≤x＜300D300≤x＜400Ex＞400（1）a＝，本次调查的样本容量是；（2）补全“捐款人数分组统计图1”；（3）若记A组捐款的平均数为50，B组捐款的平均数为150，C组捐款的平均数为250，D组捐款的平均数为350，E组捐款的平均数为500，若一个学校共有2000人参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额为多少．【分析】（1）由B组人数为100且A、B两组捐款人数的比为1：5可得a的值，用A、B组人数和除以其所占百分比可得总人数；（2）先求出C、D、E组人数，继而可补全图形；（3）先求出抽查的500人平均捐款数，再乘以总人数可得．【解答】解：（1）a＝100×15本次调查样本的容量是：（100+20）÷（1﹣40%﹣28%﹣8%）＝500，故答案为：20，500；（2）C组的人数为500×40%＝200，D组的人数为500×28%＝140，E组的人数为500×8%＝40，补全统计图如下：（3）∵A组对应百分比为20500×100%＝B组对应的百分比为100500×100%＝∴抽查的500人的平均捐款数为50×4%+150×20%+250×40%+350×28%+500×8%＝270（元），则估计此次活动可以筹得善款的金额为2000×270＝540000（元）．答：估计此次活动可以筹得善款的金额为2000×270＝540000元．【点评】此题考查的是条形统计图的综合运用，加权平均数．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．2．（2023•辉县市二模）在“中国航天日”来临之际，某校开展以“航天点亮梦想”为主题的知识测试（满分：100分）．测试完成后，在九（1）班和九（2）班各抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息：九（1）班20名同学的测试成绩统计如下：82，94，86，90，100，98，96，100，100，98，96，94，88，100，86，100，100，100，98，94．九（2）20名同学的测试成绩统计如图所示：其中，九（2）班20名同学的测试成绩高于92，但不超过96分的成绩为：94，96，96，94，96，96．九（1）班和九（2）班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：年级平均数中位数众数九（1）班9597n九（2）班95m98（1）根据以上信息可以求出：m＝，n＝；（2）你认为九（1）、九（2）两个班哪个班的学生测试成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；（3）若该校九年级有1200人，规定96分以上为优秀，请估计该校参加此次测试的学生中优秀的学生有多少人？【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得出答案；（2）从中位数和众数两个方面进行分析，即可得出答案；（3）用总人数乘以测试的学生中优秀的学生所占的百分比即可．【解答】解：（1）由直方图可知，九（2）班的测试成绩20个数据按从小到大的顺序排列，第10、11个数分别为96，96，则九（2）班的数据的中位数96+962=即m＝96，甲班的众数n＝100；故答案为：96，100；（2）根据以上数据，九（1）的学生的测试成绩较好，理由：两个年级的平均成绩一样，而九（1）班的中位数、众数均高于九（2）班，说明就（1）班的学生测试成绩较好；（3）根据题意得：1200×10+840答：估计该校参加此次测试的学生中优秀的学生有540人．【点评】本题考查了数据的分析，具体有求中位数、众数，用数据分析比较，用样本估计总体等知识点，数据的准确分析是解题关键．3．（2023•榆林二模）《诗画中国》以“诗画合擎”的全新样态和新颖视角，通过现代科技手段与多元艺术形态，全景呈现“纳山河万景，涵上下千年”的中国诗画之美．为传承中国优秀文化，某地举行主题为诗表画意，画传诗情的短视频征集活动，活动结束后主办方想了解所征集的短视频时长分布情况，随机抽取部分视频统计其时长，整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．分组x（秒）频数（部）各组总时长（秒）0≤x＜30914030≤x＜60m54060≤x＜9015113090≤x＜120242520120≤x＜150n2830150≤x＜18091480合计90a根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝，n＝，所抽取视频时长的中位数落在组；（2）求所抽取视频的平均时长；（3）若此次征集到500部短视频，请你估计这500部短视频的总时长．【分析】（1）根据频数分布直方图可得m的值，再用总数减去其他频数可得n的值；根据中位数的定义可得所抽取视频时长的中位数落在90≤x＜120组；（2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可；（3）根据（2）的结论，用样本估计总体即可．【解答】解：（1）由题意可知，m＝12，∴n＝90﹣9﹣12﹣15﹣24﹣9＝21；所抽取视频时长的中位数落在90≤x＜120组；故答案为：12；21；90≤x＜120；（2）140+540+1130+2520+2830+148090∴所抽取视频的平均时长为96秒；（3）500×96＝48000（秒），∴估计这500部短视频的总时长为48000秒．【点评】本题考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解加权平均数的意义和计算方法，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确解答的前提．4．（2023•武汉模拟）某校开学初对七年级学生进行一次安全知识问答测试，设成绩为x分（x为整数），将成绩评定为优秀、良好、合格，不合格四个等级（优秀，良好，合格、不合格分别用A，B，C，D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级，60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．等级频数（人数）A（90≤x≤100）aB（80≤x＜90）16C（60≤x＜80）cD（0≤x＜60）4请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：（1）上表中的a＝，c＝，m＝；（2）这组数据的中位数所在的等级是；（3）该校决定对分数低于80分的学生进行安全再教育，已知该校七年级共有1000名学生，求该校七年级需要进行安全再教育的学生有多少人？【分析】（1）用B等级的频数除以B等级的频率可得样本容量，再用样本容量乘A等级所占百分百20%可得a的值；用样本容量分别减去其他三个等级的频数可C等级的频数，进而得出c和m的值；（2）根据中位数的定义解答即可；（3）用1000乘样本中C、D等级所占百分百之和即可．【解答】解：（1）由题意得，样本容量为：16÷40%＝40，∴a＝40×20%＝8，c＝40﹣8﹣16﹣4＝12，m%=1240=30%，即m故答案为：8；12；30；（2）把这组数据从小到大排列，排在中间的两个数都在B等级，所以这组数据的中位数所在的等级是B等级．故答案为：B；（3）1000×12+440答：该校七年级需要进行安全再教育的学生大约有400人．【点评】本题考查扇形统计图、频率分布图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．5．（