专题01 第二章 直线和圆的方程 典型例题讲解（一）原卷版

专题01第二章直线和圆的方程典型例题讲解（一）目录TOC\o"1-2"\h\u一、基本概念回归 1二、重点例题（高频考点） 3高频考点一：直线的倾斜角和斜率 3高频考点二：两条直线的位置关系（平行，垂直） 4高频考点三：直线的方程 5高频考点四：直线过定点问题 6高频考点五：点到直线的距离 7高频考点六：对称问题 7高频考点七：根据对称性求最值 9高频考点八：斜率的几何意义 10一、基本概念回归知识回顾1：直线倾斜角的定义以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.知识回顾2：直线的斜率2.1倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用字母表示，即2.2如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：知识回顾3：两条直线平行两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.知识回顾4：两条直线垂直两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．知识回顾5：直线方程5.1直线的点斜式方程:直线过点和斜率（已知一点+斜率）:5.2直线的斜截式方程:直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）:5.3直线的截距式方程:直线在轴上的截距为，在轴上的截距为:5.4直线的一般式方程:定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.知识回顾6：直线系方程6.1．平行直线系方程把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为(其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.6.2．垂直直线系方程一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.知识回顾7：两条直线的交点坐标直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；与平行方程组无解；与重合方程组有无数个解.知识回顾8：距离8.1两点间的距离公式：平面上任意两点，间的距离公式为特别地，原点与任一点的距离.8.2点到直线的距离平面上任意一点到直线：的距离.8.3两条平行线间的距离一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.二、重点例题（高频考点）高频考点一：直线的倾斜角和斜率1．（2023秋·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．2．（2023秋·高二课时练习）直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B．∪C． D．3．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（

）A． B．C． D．4．（2023秋·高二课时练习）已知实数满足，且，若直线l的方向向量为，则直线l的斜率的取值范围为．5．（2023·全国·高二专题练习）已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为．6．（2023·全国·高二课堂例题）如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

高频考点二：两条直线的位置关系（平行，垂直）1．（2023·全国·高三专题练习）设不同直线，，则“”是“”的条件.2．（2023·全国·高二专题练习）已知，，直线与直线垂直，则的最小值是.3．（2023秋·高二课时练习）（1）求过点，且与直线平行的直线方程；（2）求过点，且与直线垂直的直线方程．4．（2023秋·高二课时练习）是否存在实数，使直线与直线平行？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.5．（2023秋·吉林通化·高二校考阶段练习）已知直线：，直线：．(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．高频考点三：直线的方程1．（2023秋·四川绵阳·高一校考开学考试）一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（

）A．

B．

C．

D．

2．（多选）（2023春·河南周口·高二统考期中）已知直线过点，且直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）过点作直线l分别交的正半轴于两点．

(1)求面积的最小值及相应的直线的方程；(2)当取最小值时，求直线的方程.4．（2023秋·高二课时练习）已知的顶点坐标为，，．(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求线段的垂直平分线的方程．5．（2023秋·高二课时练习）已知直线过点，在下列条件下分别求直线的方程：(1)在轴、轴上的截距之和为4；(2)与轴、轴围成的三角形面积为20.高频考点四：直线过定点问题1．（2023·全国·高二专题练习）无论取何实数时，直线恒过定点，则定点的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是．3．（2023秋·高二课时练习）已知直线的方程是.求证：对于任意，直线均经过定点，并求此定点的坐标.4．（2023·全国·高三专题练习）已知直线．求证：无论m为何实数，直线恒过一定点M．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线.求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限.高频考点五：点到直线的距离1．（多选）（2023秋·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）已知点P在直线上，且点P到直线的距离为，则m的值可能是（

）A． B．10 C．5 D．02．（2023秋·高二课时练习）已知点在直线上，求的最小值．3．（2023秋·高二课时练习）已知点是直线上任意一点，求点与点之间距离的最小值．4．（2023秋·高二课时练习）已知点到直线的距离等于4，求实数的值．5．（2023秋·高二课时练习）证明：点到直线的距离恒小于．高频考点六：对称问题1．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知，，，一束光线从点出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点上．则点D的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的斜率为（

）A． B． C．4 D．3．（2023秋·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为．4．（2023·全国·高三专题练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光从点P出发经反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR经过的重心，则.5．（2023·全国·高二专题练习）已知的一条内角平分线CD的方程为，两个顶点为，，则顶点C的坐标．6．（2023·全国·高二专题练习）已知直角坐标平面内的两点，.(1)求线段的中垂线所在直线的方程；(2)一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在的直线方程.7．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知直线l：y＝－x＋1，试求：(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．8．（2023秋·吉林通化·高二校考阶段练习）在中，边上的高所在直线方程为，的平分线所在直线方程为.(1)求顶点的坐标；(2)求直线的方程.

高频考点七：根据对称性求最值1．（2023·全国·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）A． B．5 C． D．2．（2023春·江西·高二校联考开学考试）如图，一束光线从出发，经过坐标轴反射两次经过点，则总路径长即总长为（

）A． B．6 C． D．3．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省临安中学校考开学考试）已知，满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．4．（2023·全国·高二专题练习）已知直线和两点，若直线上存在一点使得最小，则点的坐标为.5．（2023·全国·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为．6．（2023·全国·高二专题练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，使的周长最小，并求出和两点的坐标．7．（2023秋·高二课时练习）在直线上求两点P，Q，使得：(1)P到与的距离之差最大；(2)Q到与的距离之和最小．高频考点八：斜率的几何意义1．（20