2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列三系列专题8.2 认识概率章末题型过关卷（苏科版）含解析

2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列第8章认识概率章末题型过关卷【苏科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022春·辽宁大连·九年级期末）下列事件中，是必然事件的是（

）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．实心铁球投入水中会沉入水底C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨2．（3分）（2022春·九年级统考期末）质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，得到向上一面的点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（

）A．点数是偶数 B．点数是1 C．点数是5的倍数 D．点数是3的倍数3．（3分）（2022秋·黑龙江绥化·六年级期末）盒子里有大小，材质完全相同的红球、黄球、绿球各5个，亮亮每次任意摸出一个球，然后放回再摸．下面是亮亮两次摸球的情况：次数第1次第2次第3次摸出球的颜色黄黄？当亮亮第三次摸球时，下列说法正确的是（

）A．一定摸到黄球 B．摸到黄球的可能性大C．不可能摸到黄球 D．摸到红球，黄球，绿球的可能性一样大4．（3分）（2022春·河南洛阳·九年级统考期末）下列说法错误的是（

）A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度5．（3分）（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）小亮3分钟共投篮80次，进了64个球，则小亮进球的频率是（

）A．80 B．64 C．1.2 D．0.86．（3分）（2022春·广东揭阳·九年级统考期末）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：投篮次数n50100150200250300500投中次数m286078104124153252估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（

）（精确到0.1）A．0.55 B．0.4 C．0.6 D．0.57．（3分）（2022春·内蒙古呼伦贝尔·九年级统考期末）在一个不透明的布袋中，共有红色、黑色、白色的小球50个，且小球除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44，则口袋中白色球的个数很可能是（）A．20 B．15 C．10 D．58．（3分）（2022春·山西长治·九年级统考期末）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）A．抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”C．任意写一个正整数，它能被5整除的概率D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率9．（3分）（2022秋·山东淄博·七年级统考期末）从只装有4个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球的概率是P1，摸到红球的概率是P2，则（）A．P1=1，P2=1B．P1=0，P2=1C．P1=0，P2=1D．P1=P2=110．（3分）（2022·浙江杭州·九年级期末）为了解某市九年级男生的身高情况，随机抽取了该市100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：根据以上结果，全市约有3万名男生，估计全市男生的身高不高于180cm的人数是（

）组别（cm）x≤160160<x≤170170<x≤180x>180人数1542385A．28500 B．17100 C．10800 D．1500二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·江苏南京·八年级校联考期末）小明同一条件下进行射门训练，结果如下表：射门次数n2050100200500踢进球门频数m133558104255踢进球门频率m0.650.700.580.520.52根据表中数据，估计小明射门一次进球的概率为______．（精确到0.1）12．（3分）（2022秋·甘肃张掖·七年级校考期末）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里黑球与白球的个数比为__________．13．（3分）（2022春·云南红河·八年级统考期末）某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则出现不合格灯泡的频率是_______，在这300个灯泡中估计有_______个为不合格产品．14．（3分）（2022春·江苏盐城·八年级统考期末）转动如图所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字_______的区域的可能性最大．15．（3分）（2022春·全国·九年级专题练习）“在只装有黑色围棋的盒子中摸出一颗白棋”是____________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）16．（3分）（2022春·湖北十堰·九年级校联考期末）如图为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为5m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.2附近，由此可估计不规则区域的面积是______m2．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022春·九年级课时练习）世界杯决赛分成8个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，选出2个队进入16强，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．(1)求每小组共比赛多少场？(2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是一个确定事件，还是不确定事件？18．（6分）（2022秋·重庆南岸·七年级统考期末）疫情之后，各大商家为吸引顾客，纷纷采用多种促销手段．其中一个商场设立了一个购物满50元，可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在那个区域就可以得到相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：转动转盘的次数100200500100015002000落在“抽纸”的次数n51992515027501002落在“抽纸”的频率n（1）完成上表；（2）请估计，当m很大时，频率是多少？（3）假如你去转动转盘一次，你获得“抽纸”的概率是多少？19．（8分）（2022秋·山东菏泽·七年级统考期末）为了提高学生阅读能力，某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：(1)本次调查的学生有________人；请将条形统计图补充完整；(2)扇形统计图中，求出“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数；(3)若该校八年级共有500人，现从中随机抽取一名学生，你认为“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”与“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性哪个大？________．（直接写出结果）20．（8分）（2022秋·黑龙江大庆·八年级统考期中）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：实验次数n2003004005006007008001000摸到红球次数m151221289358429497571702摸到红球频率m0.750.740.720.720.720.71ab(1)表格中a＝；b＝；（精确到0.01）(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为；（精确到0.1）(3)如果袋子中有14个红球，1个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？21．（8分）（2022·陕西咸阳·七年级统考期末）“2018年西安女子半程马拉松”的赛事有两项：A“女子半程马拉松”；B、“5公里女子健康跑”．小明对部分参赛选手作了如下调查：调查总人数50100200300400500参加“5公里女子健康跑”人数184579120160b参加“5公里女子健康跑”频率0.360a0.3950.4000.4000.400（1）计算表中a，b的值；（2）在图中，画出参赛选手参加“5公里女子健康跑“的频率的折线统计图；（3）从参赛选手中任选一人，估计该参赛选手参加“5公里女子健康跑”的概率（精确到0.1）．22．（8分）（2022秋·江苏镇江·八年级镇江市外国语学校校考期中）数学课上，师生进行了摸球试验：一只不透明的袋子中装有编号分别为1、2、3、…、m的小球（除编号外完全相同）：活动一：当m=2时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．活动二：当m=3时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．（1）若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．（2）若事件：“记录的编号中出现三个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．活动三：在这只装有编号分别为1、2、3、…、m的小球（除编号外完全相同）的不透明的袋子中，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？23．（8分）（2022秋·江苏·八年级专题练习）由于“新冠疫情”，小红响应国家号召，减少不必要的外出，打算选择一家快餐店订外卖．他借助网络评价，选择了A、B、C三家快餐店，对每家快餐店随机选择1000条网络评价统计如表：等级评价条数快餐店五星四星三星及三星以下合计A412388x1000B4203901901000C4053752201000（1）求x值．（2）当客户给出评价不低于四星时，称客户获得良好用餐体验．请你为小红从A、B、C中推荐一家快餐店，使得能获得良好用餐体验可能性最大．写出你推荐的结果，并说明理由．第8章认识概率章末题型过关卷【苏科版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022春·辽宁大连·九年级期末）下列事件中，是必然事件的是（

）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．实心铁球投入水中会沉入水底C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨【答案】B【分析】根据必然事件的概念：一定会发生的事件称为必然事件，据此逐项判断即可．【详解】A.任意买一张电影票，座位号可能是2的倍数，也可能不是2的倍数，故不是必然事件，不符合题意；B.实心铁球投入水中，由于铁球的密度大，所以会沉入水底，故是必然事件，符合题意；C.车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到黄灯和绿灯，故不是必然事件，不符合题意；D.明天不一定会下雨，故不是必然事件，不符合题意．故选：B【点睛】此题主要考查了随机事件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件．2．（3分）（2022春·九年级统考期末）质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，得到向上一面的点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（

）A．点数是偶数 B．点数是1 C．点数是5的倍数 D．点数是3的倍数【答案】A【分析】分别求出各个事件发生的概率，再进行比较即可．【详解】解：A、∵1到6的点数中偶数有3个，∴P(点数是偶数)=3B、1到6的点数中，点数是1的概率为16C、1到6的点数中，点数是5的倍数的概率为16D、1到6的点数中，点数是3的倍数的数有3，6，故点数是3的倍数的概率为26故选：A【点睛】考查事件发生可能性的大小，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义，是正确判断的前提．3．（3分）（2022秋·黑龙江绥化·六年级期末）盒子里有大小，材质完全相同的红球、黄球、绿球各5个，亮亮每次任意摸出一个球，然后放回再摸．下面是亮亮两次摸球的情况：次数第1次第2次第3次摸出球的颜色黄黄？当亮亮第三次摸球时，下列说法正确的是（

）A．一定摸到黄球 B．摸到黄球的可能性大C．不可能摸到黄球 D．摸到红球，黄球，绿球的可能性一样大【答案】D【分析】因为盒子里红球、黄球、绿球的个数相等，所以亮亮每次任意摸出一个球，摸到三种颜色球的可能性一样大．【详解】解：当亮亮第三次摸球时，摸到红球，黄球，绿球的可能性一样大；故选：D．【点睛】本题考查可能性大小的判断，理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同．4．（3分）（2022春·河南洛阳·九年级统考期末）下列说法错误的是（

）A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度【答案】A【分析】直接利用频数与频率的定义分析得出答案．【详解】A、随着试验次数的增多，某一事件发生的频率不会改变，故原说法错误，符合题意；B、一个事件A试验中出现的次数越多，频数就越大，正确，不合题意；C、试验的总次数一定时，频率与频数成正比，正确，不合题意；D、频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度，正确，不合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了频数与频率，正确掌握相关定义是解题关键．5．（3分）（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）小亮3分钟共投篮80次，进了64个球，则小亮进球的频率是（

）A．80 B．64 C．1.2 D．0.8【答案】D【分析】根据频率等于频数除以数据总和即可求解．【详解】解：∵小亮共投篮80次，进了64个球，∴小明进球的频率为：64÷80=0.8．故选：D．【点睛】本题主要考查了频数和频率，掌握“频率等于频数除以数据总和”是解答本题的关键．6．（3分）（2022春·广东揭阳·九年级统考期末）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：投篮次数n50100150200250300500投中次数m286078104124153252估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（

）（精确到0.1）A．0.55 B．0.4 C．0.6 D．0.5【答案】D【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．【详解】解：估计这名球员投篮一次，投中的概率约是28+60+78+104+124+153+25250+100+150+200+250+300+500故选：D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．7．（3分）（2022春·内蒙古呼伦贝尔·九年级统考期末）在一个不透明的布袋中，共有红色、黑色、白色的小球50个，且小球除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44，则口袋中白色球的个数很可能是（）A．20 B．15 C．10 D．5【答案】B【分析】利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44，则摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式求解．【详解】解：∵多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44，∴摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44，∴摸到白球的概率为1﹣0.26﹣0.44＝0.3，∴口袋中白色球的个数可能为0.3×50＝15．故选：B．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．8．（3分）（2022春·山西长治·九年级统考期末）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）A．抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”C．任意写一个正整数，它能被5整除的概率D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率【答案】B【分析】根据统计图可得，实验结果在0.33附近波动，故概率P≈0.33，计算四个选项的概率即可得出答案．【详解】A.抛一枚硬币两次，出现得结果有（正，正），（正，反），（反，正）和（反，反）四种，所以连续两次出现正面的概率P=1B.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为P=1C.任意写一个正整数，它能被5整除的概率为P=210D.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为P=16故选：B【点睛】本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率，在解答过程中掌握概率公式是解决本题的关键．9．（3分）（2022秋·山东淄博·七年级统考期末）从只装有4个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球的概率是P1，摸到红球的概率是P2，则（）A．P1=1，P2=1B．P1=0，P2=1C．P1=0，P2=1D．P1=P2=1【答案】B【详解】解：由题意可知：摸到红球是必然发生的事件，摸到白球是不可能发生的事件，所以P1=0，P2=1故选B．【点睛】本题考查概率的意义及计算，掌握概念是关键，此题难度不大．10．（3分）（2022·浙江杭州·九年级期末）为了解某市九年级男生的身高情况，随机抽取了该市100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：根据以上结果，全市约有3万名男生，估计全市男生的身高不高于180cm的人数是（

）组别（cm）x≤160160<x≤170170<x≤180x>180人数1542385A．28500 B．17100 C．10800 D．1500【答案】A【分析】先计算出样本中身高不高于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【详解】解：样本中身高不高于180cm的频率=100−5则全市3万名男生的身高不高于180cm的人数是30000×0.95=28500，故选：A．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟悉相关性质是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·江苏南京·八年级校联考期末）小明同一条件下进行射门训练，结果如下表：射门次数n2050100200500踢进球门频数m133558104255踢进球门频率m0.650.700.580.520.52根据表中数据，估计小明射门一次进球的概率为______．（精确到0.1）【答案】0.5【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．【详解】解：由踢球进门的频率mn所以估计这个运动员射门一次，射进门的概率为0.52≈0.5，故答案为0.5．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确理解频率的意义是解题的关键．12．（3分）（2022秋·甘肃张掖·七年级校考期末）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里黑球与白球的个数比为__________．【答案】1：4【分析】根据频率估计概率得出摸到黑球的近似概率，再得出摸到白球的概率，即可得出黑球与白球的个数比．【详解】解：由图可知，摸到黑球的概率约为0.2，则摸到白球的概率为0.8，∴可以估计盒子里黑球与白球的个数比为0.2：0.8=1：4，故答案为：1：4．【点睛】本题考查用频率估计概率，解答的关键是实验的次数足够大，次数太少不能估计概率．13．（3分）（2022春·云南红河·八年级统考期末）某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则出现不合格灯泡的频率是_______，在这300个灯泡中估计有_______个为不合格产品．【答案】

0.06

18【分析】根据频率的概念计算即可．【详解】解：50个灯泡中有3个不合格，则出现不合格灯泡的频率为：350这300个灯泡中，不合格产品数有0.06×300=18（个）．故答案为：0.06，18．【点睛】本题考查了频率及其应用，掌握频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值是解题的关键．14．（3分）（2022春·江苏盐城·八年级统考期末）转动如图所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字_______的区域的可能性最大．【答案】2【分析】分别求出每种情况的可能性，然后进行判断．【详解】解：指针落在标有1的区域内的可能性是28指针落在标有2的区域内的可能性是48指针落在标有3的区域内的可能性是28所以指针指向标有数字2的区域的可能性最大，故答案为：2．【点睛】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．15．（3分）（2022春·全国·九年级专题练习）“在只装有黑色围棋的盒子中摸出一颗白棋”是____________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）【答案】不可能【分析】根据“必然事件”、“随机事件”、“不可能事件”的定义即可作答．【详解】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做必然事件；随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；不肯事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做不可能事件．在只装有黑色围棋的盒子中一定不可能摸出白球；故答案为：不可能【点睛】本题主要考查了“必然事件”、“随机事件”、“不可能事件”的定义，熟练地掌握“必然事件”、“随机事件”、“不可能事件”的定义是解题的关键．16．（3分）（2022春·湖北十堰·九年级校联考期末）如图为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为5m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.2附近，由此可估计不规则区域的面积是______m2．【答案】5【分析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．【详解】∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，∴小石子落在不规则区域的概率为0.25，∵正方形的边长为5m，∴面积为25m2，设不规则部分的面积为s，则s25解得：s=5，故答案为5．【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022春·九年级课时练习）世界杯决赛分成8个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，选出2个队进入16强，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．(1)求每小组共比赛多少场？(2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是一个确定事件，还是不确定事件？【答案】(1)每小组共比赛6场(2)该队出线是一个不确定事件【分析】（1）每个小组有4个队，每队要和其余的3个队进行比赛，故要比赛4×3场，而每两队之间只比赛一场，因此再除以2可完成解答；（2）结合（1）的结论，先求出每组的最高得分，再求出剩下的分数，然后结合确定事件和随机事件的概念进行判断，即可完成解答．【详解】（1）4×3÷2=答：每小组共比赛6场．（2）因为总共有6场比赛，每场比赛最多可得3分，则6场比赛最多共有3×6=18分，现有一队得6分，还剩下12分，则还有可能有2个队同时得6分，故不能确保该队出线，因此该队出线是一个不确定事件．【点睛】此题考查了随机事件，掌握不可能事件，必然事件，随机事件的概念是解题的关键．18．（6分）（2022秋·重庆南岸·七年级统考期末）疫情之后，各大商家为吸引顾客，纷纷采用多种促销手段．其中一个商场设立了一个购物满50元，可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在那个区域就可以得到相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：转动转盘的次数100200500100015002000落在“抽纸”的次数n51992515027501002落在“抽纸”的频率n（1）完成上表；（2）请估计，当m很大时，频率是多少？（3）假如你去转动转盘一次，你获得“抽纸”的概率是多少？【答案】（1）从左到右依次为0.51，0.495，0.502，0.502，0.5，0.501；（2）指针停止时指向“抽纸”的频率为0.5；（3）获得“抽纸”的概率为0.5．【分析】（1）分别计算出对应的nm（2）利用计算的结果可估计当m很大时，频率越来越接近0.5；（3）利用频率估计概率求解．【详解】解：（1）表格中的数据，从左到右依次为51÷100=0.51，99÷200=0.495，251÷500=0.502，502÷1000=0.502，750÷1500=0.5，1002÷2000=0.501.（2）当转动转盘的次数m很大时，指针停止时指向“抽纸”的频率为0.5；（3）由（2）可知，获得“抽纸”的概率为0.5.【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．19．（8分）（2022秋·山东菏泽·七年级统考期末）为了提高学生阅读能力，某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：(1)本次调查的学生有________人；请将条形统计图补充完整；(2)扇形统计图中，求出“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数；(3)若该校八年级共有500人，现从中随机抽取一名学生，你认为“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”与“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性哪个大？________．（直接写出结果）【答案】(1)100人，见解析(2)144°；(3)“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大．【分析】（1）根据阅读时间1小时的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出阅读时间为1.5小时的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）用“1.5小时”部分所对的扇形所占的百分比乘以360°即可求得答案；（3）分别求得可能性大小后比较即可确定正确的答案．（1）本次调查的学生有30÷30%=100（人），阅读1.5小时的学生有：100-12-30-18=40（人），补全的条形统计图如右图所示，故答案为：100；（2）360°×40100即“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数144°；（3）“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”的可能性为40100“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性为12+30100∴“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大．故答案为：“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．（8分）（2022秋·黑龙江大庆·八年级统考期中）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：实验次数n2003004005006007008001000摸到红球次数m151221289358429497571702摸到红球频率m0.750.740.720.720.720.71ab(1)表格中a＝；b＝；（精确到0.01）(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为；（精确到0.1）(3)如果袋子中有14个红球，1个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？【答案】(1)a=0.71，b=0.70；(2)0.7；(3)黄球的个数为5个，摸到黄球的概率为14【分析】（1）直接用摸到红球的次数除以试验次数即可求得摸到红球的频率；（2）找到多次试验频率逐渐稳定到的常数即可求得概率；（3）根据题意列出方程求解即可．（1）a=571÷800≈0.71；b=702÷800≈0.70；故答案为：0.71，0.70；（2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在常数0.7附近，所以计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为0.7；故答案为：0.7；（3）设袋子中除去红球外，还有其他颜色的球x个，根据题意得0.7（x+14）=14，解得：x=6，∴黄色球有6-1=5个，∴摸到黄色球的概率为520【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（8分）（2022·陕西咸阳·七年级统考期末）“2018年西安女子半程马拉松”的赛事有两项：A“女子半程马拉松”；B、“5公里女子健康跑”．小明对部分参赛选手作了如下调查：调查总人数50100200300400500参加“5公里女子健康跑”人数184579120160b参加“5公里女子健康跑”频率0.360a0.3950.4000.4000.400（1）计算表中a，b的值；（2）在图中，画出参赛选手参加“5公里女子健康跑“的频率的折线统计图；（3）从参赛选手中任选一人，估计该参赛选手参加“5公里女子健康跑”的概率（精确到0.1）．【答案】（1）a＝0.45、b＝200；（2）详见解析；（3）0.40【分析】（1）利用参加“5公里女子健康跑”人数45除以总人数100即可得到a，用500×0.4得到b；（2）依次描出各频率顺次连线即可；（3）根据表格得到参加人数越多时，频率越接近0.40，由此得到概率.【详解】解：（1）a＝45÷100＝0.45、b＝500×0.4＝200；（2）折线图如下：（3）估计该参赛选手参加“5公里女子健康跑”的概率为0.40．【点睛】此题考查统计数据的计算，能利用已知信息计算频数，频率，画频率折线图，根据频率得到概率，掌握计算公式是解题的关键.22．（8分）（2022秋·江苏镇江·八年级镇江市外国语学校校考期中）数学课上，师生进行了摸球试验：一只不透明的袋子中装有编号分别为1、2、3、…、m的小球（除编号外完全相同）：活动一：当m=2时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．活动二：当m=3时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．（1）若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．（2）若事件：“记录的编号中出现三个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．活动三：在这只装有编号分别为1、2、3、…、m的小球（除编号外完全相同）的不透明的袋子中，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？【答案】活动一：3；活动二：（1）4；（2）7；活动三：33．【分析】活动一：通过例举得出答案；活动二：通过例举得出答案；活动三：总结规律，列出方程求解即可得出答案．【详解】活动一：解：仅摸一次，不可能出现两相同编号，摸两次，有可能出现不同的编号，如2，1或1，2，不符合必然事件，摸三次，才能保证出现两个相同的编号为必然事件，故答案为：3；活动二：有编号为1，2，3三个小球，（1）摸两次时，不符合题意，如摸到1，2，摸三次时，不符合题意，如摸到1，2，3，摸四次时，一定会出现两个相同的编号，为必然事件，故答案为：4；（2）摸六次时，不符合题意，如1，2，3，1，2，3，摸七次时，符合题意，一定会摸到三个相同的编号为必然事件，故答案为：7；活动三：根据题意得：m+m+m+1＝100，解得：m＝33，答：袋中有33个小球．【点睛】本题考查随机事件的含义，必然事件的含义，探索规律的方法，通过例举，寻找规律是解题的关键．23．（8分）（2022秋·江苏·八年级专题练习）由于“新冠疫情”，小红响应国家号召，减少不必要的外出，打算选择一家快餐店订外卖．他借助网络评价，选择了A、B、C三家快餐店，对每家快餐店随机选择1000条网络评价统计如表：等级评价条数快餐店五星四星三星及三星以下合计A412388x1000B4203901901000C4053752201000（1）求x值．（2）当客户给出评价不低于四星时，称客户获得良好用餐体验．请你为小红从A、B、C中推荐一家快餐店，使得能获得良好用餐体验可能性最大．写出你推荐的结果，并说明理由．【答案】（1）200；（2）B家快餐店，理由见解析．【分析】（1）用1000减去五星和四星的条数，即可得出x的值；（2）根据概率公式先求出A、B、C获得良好用餐体验的可能性，再进行比较即可得出答案．【详解】解：（1）x=1000−412−388=200（条）；（2）推荐从B家快餐店订外卖，理由如下：从样本看，A家快餐店获得良好用餐体验的比例为412+3881000B家快餐店获得良好用餐体验的比例为420+3901000C家快餐店获得良好用餐体验的比例为405+3751000B家快餐店获得良好用餐体验的比例最高，由此可知，B家快餐店获得良好用餐体验的可能性最大．【点睛】此题考查了概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．专题9.1旋转与中心对称【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1关于原点对称的点的坐标】 1【题型2利用旋转的性质求角度】 2【题型3利用旋转的性质求线段长度】 3【题型4旋转中的坐标与图形变换】 4【题型5作图-旋转变换】 6【题型6中心对称图形及旋转对称图形】 8【题型7旋转中的周期性问题】 9【题型8旋转中的多结论问题】 10【题型9旋转中的最值问题】 12【题型10旋转的综合】 13【知识点1关于原点对称的点的坐标】在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。【题型1关于原点对称的点的坐标】【例1】（2022春•平阴县期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为．【变式1-1】（2022秋•雨花区期末）若点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，则3m+2n的值为．【变式1-2】（2022秋•常熟市期末）已知点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则m的取值范围是．【变式1-3】（2022春•永新县期末）已知点P（3+2a，2a+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在第二象限，且a为整数，则关于x的分式方程2x−ax+1=3的解是【知识点2旋转的定义】在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。【知识点3旋转的性质】旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。【题型2利用旋转的性质求角度】【例2】（2022春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为．【变式2-1】（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（）A．90° B．60° C．45° D．30°【变式2-2】（2022•天津一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在边AB上，将△ADC绕点A逆时针旋转40°，得到△AD'B，且D'，D，C三点在同一条直线上，则∠ACD的大小为（）A．20° B．30° C．40° D．45°【变式2-3】（2022•城步县模拟）如图，P为等边三角形ABC内一点，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，则以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．5：6：7【题型3利用旋转的性质求线段长度】【例3】（2022春•仪征市期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（）A．1 B．2 C．3 D．3【变式3-1】（2022春•如皋市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则B′B的长为（）A．23 B．5 C．25【变式3-2】（2022•东莞市校级一模）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（）A．35 B．1255 C．95【变式3-3】（2022春•和平区期末）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD＝4，BC＝2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（）A．23 B．27 C．3或7 D．23或27【题型4旋转中的坐标与图形变换】【例4】（2022秋•黄石期末）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）【变式4-1】（2022秋•本溪期末）如图，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣4，2） B．（﹣23，4） C．（﹣23，2） D．（﹣2，23）【变式4-2】（2022秋•西湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，△MNP绕原点逆时针旋转90°得到△M1N1P1，若M（1，﹣2），则点M1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）【变式4-3】（2022•新抚区模拟）如图，Rt△AOB的斜边AO在y轴上，OB=3，∠AOB＝30°，直角顶点B在第二象限，将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转120°后得到△A′OB'，则A点的对应点AA．（3，﹣1） B．（1，−3） C．（2，0） D．（3【知识点4利用旋转性质作图】旋转有两条重要性质：任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点；④接：即连接到所连接的各点。【知识点5中心对称图形的定义】把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。【知识点6中心对称的性质】有以下几点：（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。【知识点7作一个图形关于某点对称的图形】要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。【题型5作图-旋转变换】【例5】（2022春•化州市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2．【变式5-1】（2022春•洪雅县期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）将△ABC向下平移5个单位得△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1．（2）画出△ABC关于点B成中心对称的图形．（3）在直线l上找一点P，使△ABP的周长最小．【变式5-2】（2022春•蒲城县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，请画出△A2B2C2．【变式5-3】（2022秋•利通区期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；并写出A2、B2、C2的坐标．【题型6中心对称图形及旋转对称图形】【例6】（2022秋•单县校级月考）如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是．【变式6-1】（2022秋•普陀区期末）在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有个旋转对称图形．【变式6-2】（2022秋•孝义市期中）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一幅图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转°能与原雪花图案重合．【变式6-3】（2022春•景德镇期中）如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；（2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．【题型7旋转中的周期性问题】【例7】（2022春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P1，延长OP1到P2，使得OP2＝2OP1；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到P3，延长OP3到P4，使得OP4＝2OP3……如此继续下去，点P2023坐标为（）A．（﹣21010，3•21010） B．（0，21011） C．（21010，3•21010） D．（3•21010，21010）【变式7-1】（2022秋•中原区校级期末）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为（1，3），将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（）A．(−1，3) B．(−3，1) C．【变式7-2】（2022•开封一模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕O点顺时针选择45°后，得到正方形OA1B1C1，以此方式，绕O点连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果点C的坐标为（0，1），那么点B2022的坐标为（）A．(0，−2) B．(−2，0)【变式7-3】（2022春•高州市期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝42，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（）A．（6，4） B．（﹣6，4） C．（4，﹣6） D．（﹣4，6）【题型8旋转中的多结论问题】【例8】（2022•益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【变式8-1】（2022春•邗江区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几个结论①EF=2DE，②EF2＝AE2+CE2，③线段PF的最小值是42，④△CFEA．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④【变式8-2】（2022春•双牌县期末）一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC＝4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②四边形CMFN有可能是正方形：③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式8-3】（2022春•德州期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积随EF的长度变化而变化；③△BEF周长的最小值为(1+2)OA；④AE2+CF2＝2OBA．①③ B．②③ C．①④ D．③④【题型9旋转中的最值问题】【例9】（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝，FB+FD的最小值为．【变式9-1】（2022春•大埔县期中）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝AD＝3，AB＝AE＝5．连接BD，CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当∠DBA最大时，S△ACE＝（）A．6 B．62 C．9 D．92【变式9-2】（2022春•龙岗区期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为3+1，则ABA．2 B．43 C．23【变式9-3】（2022春•南京期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）A．2 B．22 C．3 D．10【题型10旋转的综合】【例10】（2022春•长沙期末）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）在图1中，∠DPC＝；（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PA重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？【变式10-1】（2022春•南川区期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB的延长线上，连接EC，EC绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接CF、AF，CF与对角线BD交于点G．（1）若BE＝2，求AF的长度；（2）求证：AF+2BG=2AD【变式10-2】（2022•平邑县一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．【变式10-3】（2022•泰安一模）如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．（1）求证：CE平分∠BED；（2）取BC的中点M，连接MH，求证：MH∥BG；（3）若BC＝2AB＝4，求CG的长．专题9.1旋转与中心对称【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1关于原点对称的点的坐标】 1【题型2利用旋转的性质求角度】 3【题型3利用旋转的性质求线段长度】 6【题型4旋转中的坐标与图形变换】 10【题型5作图-旋转变换】 14【题型6中心对称图形及旋转对称图形】 18【题型7旋转中的周期性问题】 20【题型8旋转中的多结论问题】 24【题型9旋转中的最值问题】 30【题型10旋转的综合】 34【知识点1关于原点对称的点的坐标】在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。【题型1关于原点对称的点的坐标】【例1】（2022春•平阴县期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为﹣1．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．【解答】解：∵点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式1-1】（2022秋•雨花区期末）若点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，则3m+2n的值为﹣16．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：∵点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，∴m＝﹣2，n＝﹣5，∴3m+2n＝﹣6﹣10＝﹣16．故答案为：﹣16．【变式1-2】（2022秋•常熟市期末）已知点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则m的取值范围是12＜m【分析】根据关于原点对称点的性质可得P在第一象限，进而可得2m−1＞0−m+3＞0【解答】解：∵点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，∴点P（2m﹣1，﹣m+3）在第一象限，∴2m−1＞0−m+3＞0解得：12＜故答案为：12＜【变式1-3】（2022春•永新县期末）已知点P（3+2a，2a+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在第二象限，且a为整数，则关于x的分式方程2x−ax+1=3的解是x【分析】根据P关于原点对称点在第一象限，得到P横纵坐标都小于0，求出a的范围，确定出a的值，代入方程计算即可求出解．【解答】解：∵P（3+2a，2a+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在第二象限，且a为整数，∴3+2a＞02a+1＜0解得：−32＜a＜−当a＝﹣1时，所求方程化为2x+1x+1解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解，则方程的解为﹣2．故答案为x＝﹣2【知识点2旋转的定义】在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。【知识点3旋转的性质】旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。【题型2利用旋转的性质求角度】【例2】（2022春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为140°．【分析】设∠BOC＝α，根据旋转前后图形不发生变化，易证△COD是等边△OCD，从而利用α分别表示出∠AOD与∠ADO，再根据等腰△AOD的性质求出α．【解答】解：设∠BOC＝α，根据旋转的性质知，△BOC≌△ADC，则OC＝DC，∠BOC＝∠ADC＝α．又∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠CDO＝60°，∵OD＝AD，∴∠AOD＝∠DAO．∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，解得α＝140°．故答案是：140°．【变式2-1】（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（）A．90° B．60° C．45° D．30°【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．∵点B′恰好落在CA的延长线上，∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．故选：B．【变式2-2】（2022•天津一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在边AB上，将△ADC绕点A逆时针旋转40°，得到△AD'B，且D'，D，C三点在同一条直线上，则∠ACD的大小为（）A．20° B．30° C．40° D．45°【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D＝70°，∠D'AC＝80°，即可求∠ACD的度数．【解答】解：∵将△ADC绕点A逆时针旋转40°得到△AD′B，∴∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'∴∠AD'D=12×（180°﹣40°）＝70°，∠D'AC＝∠BAC∴∠ACD＝180°﹣∠AD'D﹣∠D'AC＝30°；故选：B．【变式2-3】（2022•城步县模拟）如图，P为等边三角形ABC内一点，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，则以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．5：6：7【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△ADC，显然有△ADC≌△APB，连PD，则AD＝AP，∠DAP＝60°，得到△ADP是等边三角形，PD＝AP，所以△DCP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，得到∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，这样可分别求出∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，即可得到答案．【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△ADC，显然有△ADC≌△APB，连PD，∵AD＝AP，∠DAP＝60°，∴△ADP是等边三角形，∴PD＝AP，∵DC＝PB，∴△DCP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，∴∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，∴∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，∴以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为2：3：4．故选：B．【题型3利用旋转的性质求线段长度】【例3】（2022春•仪征市期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（）A．1 B．2 C．3 D．3【分析】连接AC、AF，证明△ACF为等边三角形，求得AC便可得出结果．【解答】解：连接AC、AF，由旋转性质得，AC＝AF，∠CAF＝60°，∴△ACF为等边三角形，∴AC＝CF，∵AC=2∴CF=2故选：B．【变式3-1】（2022春•如皋市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则B′B的长为（）A．23 B．5 C．25【分析】根据旋转的性质并利用勾股定理进行求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴根据勾股定理得：AB=A由旋转的性质可知，AC＝AC'＝3，BC＝B'C'＝4，∴BC'＝AB﹣AC'＝5﹣3＝2，∴BB'=B′C2故选：C．【变式3-2】（2022•东莞市校级一模）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（）A．35 B．1255 C．95【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，∴AB=A∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝45，∵点E为BO的中点，∴OE=12BO∴OE＝A′O＝4，过点O作OF⊥A′B′于F，如图，S△A′OB′=12×45•解得：OF=8在Rt△EOF中，EF=O∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，∴A′E＝2EF＝2×4∴B′E＝A′B′﹣A′E=45故选：B．【变式3-3】（2022春•和平区期末）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD＝4，BC＝2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（）A．23 B．27 C．3或7 D．23或27【分析】分两种情况：①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，根据△ABC与△CDE都是等边三角形，CD＝4，BC＝2，可得AE＝AB，∠AEB＝∠ABE＝30°，在Rt△ABM中，可得BM=3，从而BE＝2BM＝23；②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，在Rt△BCN中，CN=12BC＝1，BN=3CN=3，在Rt△BNE中，【解答】解：①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，如图：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，CD＝4，BC＝2，∴AE＝CE﹣AC＝4﹣2＝2，∠BAC＝60°，∴AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝30°，在Rt△ABM中，AM=12AB＝1，BM=3∴BE＝2BM＝23；②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，如图：在Rt△BCN中，CN=12BC＝1，BN=3∴NE＝CE+CN＝4+1＝5，在Rt△BNE中，BE=BN2综上所述，线段BE的长为23或27，故选：D．【题型4旋转中的坐标与图形变换】【例4】（2022秋•黄石期末）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）【分析】运用中点坐标公式求答案．【解答】解：设C（m，n），∵线段AB与线段CD关于点P对称，点P为线段AC、BD的中点．∴a+m2=5−3∴m＝2﹣a，n＝﹣b，∴C（2﹣a，﹣b），故选：B．【变式4-1】（2022秋•本溪期末）如图，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣4，2） B．（﹣23，4） C．（﹣23，2） D．（﹣2，23）【分析】如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m，利用勾股定理构建方程求出m，可得结论．【解答】解：如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m，∵AH2＝OA2﹣OH2＝AB2﹣BH2，∴42﹣m2＝（27）2﹣（6﹣m）2，∴m＝2，∴AH=42−∴A（2，23），∴将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（﹣23，2），【变式4-2】（2022秋•西湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，△MNP绕原点逆时针旋转90°得到△M1N1P1，若M（1，﹣2），则点M1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）【分析】如图，连接OM，OM1，过点M作MH⊥y轴于点H，过点M1作M1T⊥x轴于点T．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：如图，连接OM，OM1，过点M作MH⊥y轴于点H，过点M1作M1T⊥x轴于点T．∵M（1，﹣2），∴MH＝1，OH＝2，∵∠MOM1＝∠POT，∴∠MOH＝∠M1OT，∵∠MHO＝∠M1TO＝90°，OM＝OM1，∴△MHO≌△M1TO（AAS），∴MH＝M1T＝1，OH＝OT＝2，∴M1（2，1），故选：C．【变式4-3】（2022•新抚区模拟）如图，Rt△AOB的斜边AO在y轴上，OB=3，∠AOB＝30°，直角顶点B在第二象限，将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转120°后得到△A′OB'，则A点的对应点AA．（3，﹣1） B．（1，−3） C．（2，0） D．（3【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝1，再利用旋转的性质得到OB′＝OB=3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，然后利用第四象限点的坐标特征写出点A【解答】解：如图，在Rt△OAB中，∵∠BOA＝30°，∴AB=33OB∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OA′B'，∴OB′＝OB=3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO∴点A′的坐标为（3，﹣1）．故选：A．【知识点4利用旋转性质作图】旋转有两条重要性质：任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的