2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列三系列专题12.2 二次根式的乘除【九大题型】（举一反三）（苏科版）含解析

2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列专题12.2二次根式的乘除【九大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1求字母的取值范围】 1【题型2二次根式乘除的运算】 1【题型3二次根式的符号化简】 2【题型4最简二次根式的判断】 3【题型5化为最简二次根式】 3【题型6已知最简二次根式求参数】 4【题型7分母有理化】 4【题型8比较二次根式的大小】 5【题型9分母有理化的应用】 5【知识点1二次根式的乘除法则】①二次根式的乘法法则：a∙②积的算术平方根：a∙③二次根式的除法法则：ab④商的算术平方根：ab【题型1求字母的取值范围】【例1】（2022春•赵县校级月考）若要使等式xx−8=xx−8成立，则x的取值范围是【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(x−3)⋅(−x−2)=3−x⋅x+2，使等式成立的x的取值范围是【变式1-2】（2022秋•南岗区期末）能使等式x−2x=x−2A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足2x2−x3=x•2−x，则【题型2二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）5827•827•3（2）2112÷【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：223m÷1【变式2-2】（2022•青浦区校级月考）计算：35xy【变式2-3】（2022•浦东新区校级月考）化简：2bab【题型3二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x−yx2A．y B．−y C．−y D．【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式a−A．−1a B．1a C．−【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x）1x−2A．x−2 B．2−x C．﹣22−x D．−【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b）−1a−b根号外的因式移到根号内结果为【知识点2最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【题型4最简二次根式的判断】【例4】（2022秋•浦东新区校级月考）在25、aba、18x、x2−1、0.6【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．48 B．14 C．ab D．【变式4-2】（2022秋•玉田县期末）下列各式：①25②2n+1③2b4④0.1y是最简二次根式的是【变式4-3】（2022春•建昌县期末）在二次根式12、12、30、x+2，40x2，x【题型5化为最简二次根式】【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）A．2 B．58 C．28 D．1【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1）3（2）32（3）4【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1）275（2）−abc【变式5-3】（2022秋•安岳县期末）x2−1xy−y化成最简二次根式是【题型6已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若a是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣4 B．32 C．2 【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2m+n−2和33m−2n+2都是最简二次根式，则m＝，n＝【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4a+b与a−b23的被开方数相同，则a+b＝【知识点3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7分母有理化】【例7】（2022秋•曲阳县期末）把3a12abA．4b B．2b C．12b【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：（1）132=；（2）112=；（3）【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（）A．a+b和a−b B．−a和aC．5−2和−5+2【变式7-3】（2022•宝山区校级月考）分母有理化：2【题型8比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22−3，b=1a，则A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=15−2，b＝2+5，则A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式【变式8-2】（2022春•长兴县期中）二次根式25，25，A．25＜25＜25 B．【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小比较a+1a+2【题型9分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−解决问题：（1）4+7的有理化因式可以是，232分母有理化得（2）计算：①11+②已知：x=3−13+1，y=3+13【变式9-1】（2022•潮南区模拟）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：2+32−3=(2+3)(2+3)(2+3)(2−3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7−4−7，可以先设x=4+7−4−7，再两边平方得A．3﹣22 B．3+22 C．42 D．3【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：12（1）将12+1分母有理化可得（2）关于x的方程3x−12=【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将a±2b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=b，则将a±2b将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如53，23，23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：5323+1还可以用以下方法化简：请根据材料解答下列问题：（1）3−22=；4+23=（2）化简：23专题12.2二次根式的乘除【九大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1求字母的取值范围】 1【题型2二次根式乘除的运算】 2【题型3二次根式的符号化简】 3【题型4最简二次根式的判断】 5【题型5化为最简二次根式】 6【题型6已知最简二次根式求参数】 7【题型7分母有理化】 8【题型8比较二次根式的大小】 10【题型9分母有理化的应用】 11【知识点1二次根式的乘除法则】①二次根式的乘法法则：a∙②积的算术平方根：a∙③二次根式的除法法则：ab④商的算术平方根：ab【题型1求字母的取值范围】【例1】（2022春•赵县校级月考）若要使等式xx−8=xx−8成立，则x的取值范围是【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x的不等式组求出答案．【解答】解：∵等式xx−8∴x≥0x−8＞0则x的取值范围是：x＞8．故答案为：x＞8．【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(x−3)⋅(−x−2)=3−x⋅x+2，使等式成立的x的取值范围是【分析】根据二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出答案．【解答】解：∵(x−3)⋅(−x−2)=∴3−x≥0x+2≥0解得：﹣2≤x≤3．故答案为：﹣2≤x≤3．【变式1-2】（2022秋•南岗区期末）能使等式x−2x=x−2A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：x−2≥0x＞0解得：x≥2，故选：D．【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足2x2−x3=x•2−x，则【分析】依据二次根式被开方数大于等于0和a2=a（【解答】解：∵原式=(2−x)x2=∴x≥0且2﹣x≥0．解得：0≤x≤2．故答案为：0≤x≤2．【题型2二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）5827•827•3（2）2112÷【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可．（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝5×8（2）原式＝2×1【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：223m÷1【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：原式＝2×62＝128m＝82m．【变式2-2】（2022•青浦区校级月考）计算：35xy【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，∴y≥0，∴原式=35xy3•（=−94x=−94xy•（−5=15【变式2-3】（2022•浦东新区校级月考）化简：2bab【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式=2b•（﹣b）ab•（32a＝﹣3a2b÷3ab＝﹣3a2b×（−b＝a2b2×＝abab．【题型3二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x−yx2A．y B．−y C．−y D．【分析】根据被开方数大于等于0求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0，【解答】解：∵−y∴y＜0，∵xy＞0，∴x＜0，∴x−y故选：D．【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式a−A．−1a B．1a C．−【分析】根据二次根式的性质先判断a的符号，然后再进行计算．【解答】解：由题意可知−1∴a＜0，∴a−1a3故选：D．【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x）1x−2A．x−2 B．2−x C．﹣22−x D．−【分析】根据二次根式的性质得出x﹣2的符号，进而化简二次根式得出即可．【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，则原式=−(x−2故选：D．【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b）−1a−b根号外的因式移到根号内结果为−【分析】先根据二次根式成立的条件得到−1a−b＞0，则a﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b﹣a）−1a−b，然后利用二次根式的性质得到−【解答】解：∵−1∵a﹣b＜0，∴原式＝﹣（b﹣a）−1a−b=−故答案为−b−a【知识点2最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【题型4最简二次根式的判断】【例4】（2022秋•浦东新区校级月考）在25、aba、18x、x2−1、0.6中，最简二次根式是ab【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：aba、x故答案为：aba、x【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．48 B．14 C．ab D．【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A、48=43，故AB、14是最简二次根式，故B符合题意；C、ab=abD、4a+4=2a+1，故D故选：B．【变式4-2】（2022秋•玉田县期末）下列各式：①25②2n+1③2b4④0.1y是最简二次根式的是【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【解答】解：②2n+1③2b4故答案为：②③．【变式4-3】（2022春•建昌县期末）在二次根式12、12、30、x+2，40x2，x【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可．【解答】解：二次根式12、12、30、x+2，40x2，x2+y2故答案为：3【题型5化为最简二次根式】【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）A．2 B．58 C．28 D．1【分析】先把B、C、D化成最简二次根式，再找被开方数不同的项．【解答】解：∵2是最简二次根式，58=102，28=27，∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D．故选：C．【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1）3（2）32（3）4【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．【解答】解：（1）3100（2）32=42（3）4x【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1）275（2）−abc【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．【解答】解：（1）原式=27（2）当b，c同为正数时，原式=−abc当b，c同为负数时，原式=−abc2×（−当c＝0时，原式＝0．【变式5-3】（2022秋•安岳县期末）x2−1xy−y化成最简二次根式是±【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简求解．【解答】解：原式=(x−1)(x+1)①当y＞0时，上式=②当y＜0时，上式=−y(x+1)故答案是：±y(x+1)y【题型6已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，故答案为：2．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若a是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣4 B．32 C．2 【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；B选项，32C选项，2是最简二次根式，故该选项符合题意；D选项，8=22故选：C．【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2m+n−2和33m−2n+2都是最简二次根式，则m＝1，n＝【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：∵若2m+n−2和3∴m+n−2=13m−2n+2=1解得：m＝1，n＝2，故答案为：1；2．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4a+b与a−b23的被开方数相同，则a+b＝8【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．【解答】解：由题意，得：a−b=24a+b=23解得：a=5∴a+b＝8．【知识点3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7分母有理化】【例7】（2022秋•曲阳县期末）把3a12abA．4b B．2b C．12b【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；∴3a12ab故选：D．【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：（1）132=26；（2）112=36【分析】根据分母有理化的一般步骤计算即可．【解答】解：（1）13（2）112（3）102故答案为：26；36；【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（）A．a+b和a−b B．−a和aC．5−2和−5+2【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．【解答】解：A.a+b•a−b=(a+b)(a−b)，因此a+b和a−b不是有理化因式，故选项B．−a•a=−a，所以−a和aC．（5−2）（−5+2）＝﹣（5−2）2D．（xa+yb）•（xa+yb）＝（xa+yb）2，因此xa+yb和xa+故选：B．【变式7-3】（2022•宝山区校级月考）分母有理化：2【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案．【解答】解：原式==(=10=(=3=10【题型8比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22−3，b=1a，则A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b【分析】本题考查二次根式，先求出b的值，再与a比较得出结果．【解答】解：∵a＝22−∴b=1a=所以a＞b．故选：B．【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=15−2，b＝2+5，则A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式【分析】求出a与b的值即可求出答案．【解答】解：∵a=15−2=5∴a＝b，故选：A．【变式8-2】（2022春•长兴县期中）二次根式25，25，A．25＜25＜25 B．【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：∵25=105，∴25故选：C．【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小比较a+1a+2【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．【解答】解：a+1∴a+1【题型9分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−解决问题：（1）4+7的有理化因式可以是4−7，232分母有理化得（2）计算：①11+②已知：x=3−13+1，y=3+13【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；②将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．【解答】解：（1）4+7的有理化因式可以是4−7，23故答案为：4−7；（2）①原式=2−1+3②∵x=3−13+1=2−3∴x2+y2＝7﹣43+7+43【变式9-1】（2022•潮南区模拟）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：2+32−3=(2+3)(2+3)(2+3)(2−3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7−4−7，可以先设x=4+7−4−7，再两边平方得A．3﹣22 B．3+22 C．42 D．3【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：设x=8+4两边平方得x2=(8+43∵8+43∴x＞0，∴x＝22，原式=6−=(6−=9−623＝3﹣22+2＝3．故选：D．【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：12（1）将12+1分母有理化可得2（2）关于x的方程3x−12=11+【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．【解答】解：（1）12故答案为：2−（2）3x−13x−13x−13x−12=6x﹣1＝﹣1+996x＝311，x=11故答案为：112【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将a±2b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=b，则将a±2b将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如53，23，23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：5323+1还可以用以下方法化简：请根据材料解答下列问题：（1）3−22=2−1；4+23（2）化简：23【分析】（1）根据材料一和完全平方公式即可得出答案；（2）根据材料二将每一个式子分母有理化，并合并同类二次根式可得出答案．【解答】解：（1）∵3﹣22=2+1﹣22=（2−∴3−22∵4+23=3+1+23=（3+∴4+23故答案为：2−1，3（2）2=2(3−1)=3−1+5＝﹣1+2n+1专题12.3二次根式的加减【八大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1同类二次根式的判断】 1【题型2求同类二次根式中的参数】 1【题型3二次根式的加减运算】 2【题型4二次根式的混合运算】 3【题型5已知字母的值化简求值】 3【题型6已知条件式化简求值】 4【题型7二次根式的新定义运算】 4【题型8二次根式的应用】 4【知识点1同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1同类二次根式的判断】【例1】（2022春•西华县期末）下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（）A．3与32 B．6与12 C．5与75 D．12与27【变式1-1】（2022春•郯城县期中）下列根式中，与6x不是同类二次根式的是（）A．x6 B．6x C．16x【变式1-2】（2022春•肥城市期中）若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这样的二次根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是（）A．8与32 B．45与20 C．27与75 D．24与80【变式1-3】（2022春•河西区校级月考）下列各式中与a+b是同类二次根式的是（）1a(a+b)2 B．133(a+b) 【题型2求同类二次根式中的参数】【例2】（2022春•怀远县期中）已知二次根式−x−2（1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围；（2）已知−x−2为最简二次根式，且与52为同类二次根式，求【变式2-1】（2022秋•仓山区校级期末）如果最简二次根式3a+8与12−a是同类二次根式，那么3a的值为．【变式2-2】（2022春•西华县期末）先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题：如果16(2m+n)和m−n−1m+7在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m、n解：因为16(2m+n)与m−n−1m+7所以m−n−1=216(2m+n)=m+7即解得m=问：（1）以上解是否正确？答．（2）若以上解法不正确，请给出正确解法．【变式2-3】（2022春•孟村县期中）若最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11（1）求x，y的值；（2）求x2【知识点2二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3二次根式的加减运算】【例3】（2022春•普兰店区期中）计算：（1）18（2）7a8a−4【变式3-1】（2022春•高密市校级月考）计算：（1）0.25+925（2）0.01−1100（3）45【变式3-2】（2022秋•浦东新区期中）化简：8ab−b2ab−ab【变式3-3】（2022秋•浦东新区期末）计算下列各式：（1）5（2）12（3）27a（4）23【题型4二次根式的混合运算】【例4】（2022春•安庆期末）计算：（1）48÷3+215×（2）（−12）﹣2﹣（﹣1）【变式4-1】（2022春•岳池县期中）计算：2×63+（3−2）【变式4-2】（2022春•天心区校级期中）计算：（1）（20+5+（2）18−92−3+【变式4-3】（2022秋•昌江区校级期末）（a+b−aba+b）÷（【题型5已知字母的值化简求值】【例5】（2022秋•如东县期末）已知x＝1−3，求代数式（4+23）x2+（1−3）x+8【变式5-1】（2022秋•杨浦区期中）计算与求值．已知a=12+3【变式5-2】（2022春•容县校级月考）已知a＝2，b＝3，求式子a3【变式5-3】（2022秋•天河区校级月考）已知x=12021−2020，则xA．0 B．1 C．2020 D．2021【题型6已知条件式化简求值】【例6】（2022秋•虹口区校级期中）已知x−ba=2−x−ab，且a+【变式6-1】（2022春•阳信县期中）已知x−69−x=x−69−x，且x为奇数，求（1+【变式6-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）若三个正数a，b，c满足a+4ab+3b﹣2bc−c＝0，则a+【变式6-3】（2022春•芝罘区期末）若实数a，b满足（a+b）（a+b−2）＝3，则a【题型7二次根式的新定义运算】【例7】（2022春•郧阳区期中）对于任意的正数m，n定义运算*为：m*n=m−n(m≥n)m【变式7-1】（2022春•江岸区校级月考）对于实数a、b作新定义：a@b＝ab，a※b＝ab，在此定义下，计算：（43−32）@12−（75−4【变式7-2】（2022秋•内江期末）我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a+b；当a≤b时，a△b＝a﹣b，其它运算符号的意义不变，计算：（3△2）﹣（23△32）＝．【变式7-3】（2022秋•厦门期末）若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．（1）3与是关于1的平衡数，5−2与（2）若（m+3）×（1−3）＝﹣5+33，判断m+3【题型8二次根式的应用】【例8】（2022春•定州市校级月考）2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为243m、宽为128m．（1）求该长方形土地的周长；（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：6≈【变式8-1】（2022春•岱岳区期末）在一个边长为（23+35）cm的正方形的内部挖去一个长为（23+10）cm，宽为（6【变式8-2】（2022春•广丰区校级期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．（1）求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．【变式8-3】（2022秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为13+1米，宽为13（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）专题12.3二次根式的加减【八大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1同类二次根式的判断】 1【题型2求同类二次根式中的参数】 3【题型3二次根式的加减运算】 4【题型4二次根式的混合运算】 6【题型5已知字母的值化简求值】 7【题型6已知条件式化简求值】 9【题型7二次根式的新定义运算】 11【题型8二次根式的应用】 12【知识点1同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1同类二次根式的判断】【例1】（2022春•西华县期末）下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（）A．3与32 B．6与12 C．5与75 D．12与27【分析】化简二次根式，判断被开方数是否相同即可得出答案．【解答】解：A选项，3与42不是同类二次根式，故该选项不符合题意；B选项，6与23不是同类二次根式，故该选项不符合题意；C选项，5与53不是同类二次根式，故该选项不符合题意；D选项，23与33是同类二次根式，可以合并，故该选项符合题意；故选：D．【变式1-1】（2022春•郯城县期中）下列根式中，与6x不是同类二次根式的是（）A．x6 B．6x C．16x【分析】根据同类二次根式的概念进行分析排除，即几个最简二次根式的被开方数相同，则它们是同类二次根式．【解答】解：A、x6=1B、6x=1C、16x=1D、6+x与6x不是同类二次根式，故选：D．【变式1-2】（2022春•肥城市期中）若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这样的二次根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是（）A．8与32 B．45与20 C．27与75 D．24与80【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．根据定义逐个判断可知答案为D【解答】解：∵24=26，80=4∵5≠6，∴24与80不是同类二次根式，故选：D．【变式1-3】（2022春•河西区校级月考）下列各式中与a+b是同类二次根式的是（）A．1a(a+b)2 B．133(a+b)【分析】根据同类二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A、1a(a+b)B、133(a+b)=C、a+b2=2a+2bD、9a+b=3故选：D．【题型2求同类二次根式中的参数】【例2】（2022春•怀远县期中）已知二次根式−x−2（1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围；（2）已知−x−2为最简二次根式，且与52为同类二次根式，求【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出x﹣2≥0，求出不等式的解集即可；（2）先求出52=1210【解答】解：（1）要使−x−2有意义，必须x即x≥2，所以使得该二次根式有意义的x的取值范围是x≥2；（2）52所以x﹣2＝10，解得：x＝12，这两个二次根式的积为−10【变式2-1】（2022秋•仓山区校级期末）如果最简二次根式3a+8与12−a是同类二次根式，那么3a的值为3．【分析】根据最简二次根式及同类二次根式概念作答．【解答】解：由题意得3a+8＝12﹣a，解得a＝1，当a＝1时3a=故答案为：3．【变式2-2】（2022春•西华县期末）先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题：如果16(2m+n)和m−n−1m+7在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m、n解：因为16(2m+n)与m−n−1m+7所以m−n−1=216(2m+n)=m+7即解得m=问：（1）以上解是否正确？答不正确．（2）若以上解法不正确，请给出正确解法．【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同，故要分两种情况讨论．（2）分两种情况讨论：被开方数相同和化简后被开方数相同．【解答】解：（1）不正确；（2）∵16(2m+n)与m−n−1m+7∴m−n−1=22m+n=m+7或m−n−1=216(2m+n)=m+7解得m=5n=2或m=5547故答案为：不正确．【变式2-3】（2022春•孟村县期中）若最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11（1）求x，y的值；（2）求x2【分析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；（2）根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解．【解答】解：（1）根据题意知3x−10=22x+y−5=x−3y+11解得：x=4y=3（2）当x＝4、y＝3时，x2【知识点2二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3二次根式的加减运算】【例3】（2022春•普兰店区期中）计算：（1）18（2）7a8a−4【分析】（1）首先化简二次根式，进而利用二次根式加减运算法则计算得出答案；（2）首先化简二次根式，进而利用二次根式加减运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）18＝32−4＝0（2）7a8a＝7a×22a−4a2×2a4a＝14a2a−a2a+7＝20a2a．【变式3-1】（2022春•高密市校级月考）计算：（1）0.25+925（2）0.01−1100（3）45【分析】（1）先去绝对值符号，根据数的开方法则计算出各数，再由有理数的加减法则进行计算即可；（2）先根据数的开方法则计算出各数，再由有理数的加减法则进行计算即可；（3）先把各式化为最简二次根式，再合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝0.5+35＝1.9；（2）原式＝0.1−1＝﹣0.01；（3）原式＝45+35−22＝75+22【变式3-2】（2022秋•浦东新区期中）化简：8ab−b2ab−ab【分析】本题较简单，分别将各二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝22ab=2ab【变式3-3】（2022秋•浦东新区期末）计算下列各式：（1）5（2）12（3）27a（4）23【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式=5−=−2（2）原式＝23−2=4（3）原式＝33a=11（4）原式＝2xx+6xy+＝xx+7xy【题型4二次根式的混合运算】【例4】（2022春•安庆期末）计算：（1）48÷3+215×（2）（−12）﹣2﹣（﹣1）【分析】（1）先利用二次根式的乘除法则运算，再利用完全平方公式计算，然后合并即可；（2）根据负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质计算．【解答】解：（1）原式=48÷3+215＝4+26−11﹣4＝﹣7﹣26；（2）原式＝4﹣1×1﹣4+5＝4﹣1﹣4+5＝4．【变式4-1】（2022春•岳池县期中）计算：2×63+（3−2）【分析】利用乘法公式展开，化简后合并同类二次根式即可．【解答】解：2×63+（3−2）＝2+3﹣43+4﹣2+2＝7﹣23【变式4-2】（2022春•天心区校级期中）计算：（1）（20+5+（2）18−92−3+【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果；（2）原式各项后，计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝（4+1+5）−8−5=3（2）原式＝32−322−（1+2）+1+（2−1）=【变式4-3】（2022秋•昌江区校级期末）（a+b−aba+b）÷（【分析】先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解答】解：原式==a+b=a+b=−a【题型5已知字母的值化简求值】【例5】（2022秋•如东县期末）已知x＝1−3，求代数式（4+23）x2+（1−3）x+8【分析】将x＝1−3【解答】解：当x＝1−3原式＝（4+23）×（1−3）2+（1−3）2＝（4+23）×（4﹣23）+4﹣23+8＝16﹣12+4﹣23+8＝8+63．【变式5-1】（2022秋•杨浦区期中）计算与求值．已知a=12+3【分析】首先关键a的值求得1a=2+3，a﹣1＝1−3＜【解答】解：∵a=1∴a＝2−3∴1a=2+3，a∴a=(a−1＝a﹣1+＝1−3+＝3．【变式5-2】（2022春•容县校级月考）已知a＝2，b＝3，求式子a3【分析】根据题目中a、b的值可以求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：∵a＝2，b＝3，a3=aab＝（a﹣1+ab）ab＝（2﹣1+2×3）×＝76．【变式5-3】（2022秋•天河区校级月考）已知x=12021−2020，则xA．0 B．1 C．2020 D．2021【分析】把已知的条件进行分母有理化，再把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【解答】解：∵x=1∴x=2021∴x6﹣22020=x4(x2=x4=x4=x＝x−=2021=2020故选：C．【题型6已知条件式化简求值】【例6】（2022秋•虹口区校级期中）已知x−ba=2−x−ab，且a+【分析】解方程得出x＝2，再分母有理化，化简得出原式＝4x+2，最后代入求出即可．【解答】解：x−ba=2b（x﹣b）＝2ab﹣a（x﹣a），bx+ax＝（a+b）2，∵a+b＝2，∴2x＝4，∴x＝2，∴x+1=(＝x+1﹣2x(x+1)+x+x+1+2x(x+1)＝4x+2＝4×2+2＝10．【变式6-1】（2022春•阳信县期中）已知x−69−x=x−69−x，且x为奇数，求（1+【分析】先根据二次根式的乘除法则求出x的值，再把原式进行化简，把x的值代入进行计算即可．【解答】解：∵x−69−x∴x−6≥09−x＞0解得6≤x＜9．又∵x是奇数，∴x＝7．∴（1+x）•x＝（1+x）(x−1)(x−4)＝（1+x）x−4∴当x＝7时，原式＝（1+7）7−4＝26．【变式6-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）若三个正数a，b，c满足a+4ab+3b﹣2bc−c＝0，则a+【分析】直接将原式凑成平方差公式，即可得出答案正数．【解答】解：a+4ab+3b﹣2bc−(a∵a，b，c是正数，∴a+2∴a+∴a+故答案为：1．【变式6-3】（2022春•芝罘区期末）若实数a，b满足（a+b）（a+b−【分析】求出（a+b）2﹣2（a+b）﹣3＝0，再分解因式（a+b−【解答】解：∵实数a，b满足（a+b）（∴（a+b）2﹣2（∴（a+b−∵a+∴a+∴a+故答案为：3．【题型7二次根式的新定义运算】【例7】（2022春•郧阳区期中）对于任意的正数m，n定义运算*为：m*n=m−n(m≥n)m【分析】结合有理数的大小比较和新定义运算法则及二次根式的加减法运算法则先算小括号里面的，然后再算加法．【解答】解：∵3＞2，8＜12，∴原式＝（3−2）+（=3−2+2＝33+故答案为：33+【变式7-1】（2022春•江岸区校级月考）对于实数a、b作新定义：a@b＝ab，a※b＝ab，在此定义下，计算：（43−32）@12−（75−4【分析】利用新定义：a@b＝ab，a※b＝ab求解即可．【解答】解：（43−32）@12−＝（233−62）×23＝（4﹣32）﹣3＝1﹣32．故答案为：1﹣32