专题03 函数的单调性（五大考点）（原卷版）

专题03函数的单调性思维导图核心考点聚焦考点一：利用导数求函数的单调区间考点二：函数图象与导函数图象的关系考点三：已知单调性求参数的取值范围考点四：判断、证明函数的单调性考点五：含参数单调性讨论情形一：函数为一次函数情形二：函数为准一次函数情形三：函数为二次函数型1、可因式分解2、不可因式分解型情形四：函数为准二次函数型知识点一、函数的单调性与导数的关系导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上单调递增；②若，则在这个区间上单调递减；③若恒有，则在这一区间上为常函数．反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．知识点诠释：1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减．2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）．即在某区间上，在这个区间上单调递增；在这个区间上单调递减，但反之不成立．3、在某区间上单调递增在该区间；在某区间上单调递减在该区间．在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：，，，而在R上递增．4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数．5、注意导函数图象与原函数图象间关系．知识点二、利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法设函数在区间内可导，（1）如果恒有，则函数在内单调递增；（2）如果恒有，则函数在内单调递减；（3）如果恒有，则函数在内为常数函数．知识点诠释：（1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则．（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或．知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定的单调区间．或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号．知识点诠释：1、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集．2、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确．讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；考点剖析考点一：利用导数求函数的单调区间例1．（2024·河南省直辖县级单位·高二校考期末）的单调增区间为.例2．（2024·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是.例3．（2024·福建漳州·高二漳州三中校考）函数的增区间为．变式1．（2024·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）函数的单调递减区间为.考点二：函数图象与导函数图象的关系例4．（2024·高二课时练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

例5．（2024·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考）已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（

）A． B．C． D．例6．（2024·四川乐山·高二校考）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）

A． B．C． D．变式2．（2024·内蒙古乌兰察布·高二校考阶段练习）已知是函数的导数．若的图象如图所示，则的图象最有可能是（

）

A．

B．

C．

D．

考点三：已知单调性求参数的取值范围例7．（2024·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．例8．（2024·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（

）A． B． C． D．例9．（2024·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．m>1变式3．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考）若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（

）A．1 B． C．3 D．变式4．（2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．考点四：判断、证明函数的单调性例10．（多选题）（2024·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）下列函数在定义域上为增函数的有（

）A． B．C． D．例11．（2024·全国·高二随堂练习）讨论函数在区间内的单调性．例12．（2024·高二课时练习）已知函数．讨论的单调性．变式5．（2024·河南省直辖县级单位·高二校考）已知，且，证明函数在内是减函数．考点五：含参数单调性讨论情形一：函数为一次函数例13．（2024·全国·高二专题练习）已知函数，求函数的单调区间．例14．（2024·四川眉山·高二校考）已知函数．(1)若在上单调递增，求的取值范围．(2)求的单调区间.例15．（2024·甘肃武威·高二统考）已知函数.(1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；(2)求函数的单调区间．变式6．（2024·高二课时练习）已知函数，其中，.讨论函数的单调性；情形二：函数为准一次函数例16．（2024·云南师大附中模拟预测）已知函数，其中．讨论的单调性；例17．（2024·云南师大附中高三阶段练习）已知函数．讨论的单调性；例18．（2024·高二课时练习）已知函数设是的导函数，讨论函数的单调性；情形三：函数为二次函数型1、可因式分解例19．（2024·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；例20．（2024·广东江门·高二校考）已知函数．(1)当时，求函数的单调增区间．(2)当时，讨论函数的单调性．例21．（2024·河北沧州·高二校考阶段练习）讨论函数的单调性例22．（2024·高二课时练习）已知函数．求函数的单调区间．2、不可因式分解型例23．（2024·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性．变式7．（2024·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知函数.(1)在上是增函数，求a的取值范围；(2)讨论函数的单调性．变式8．（2024·高二课时练习）讨论函数的单调性．情形四：函数为准二次函数型例24．（2024·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知函数.(1)证明:，有；(2)设，讨论的单调性.例25．（2024·福建泉州·统考模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性.例26．（2024·全国·高二专题练习）已知函数，其中，．求函数的单调区间；过关检测一、单选题1．（2024·陕西西安·高二校考期末）函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．2．（2024·河北沧州·高二校考阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．3．（2024·重庆江北·高二重庆十八中校考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2024·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）函数在区间上是单调减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2024·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2024·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考）已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（

）A．

B．

C．

D．

7．（2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

8．（2024·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·高二课时练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（

）A．在区间上是减函数B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数D．在区间上是增函数10．（2024·山东淄博·高二校考阶段练习）已知，下列说法正确的是（

）A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为C．在处的切线方程为 D．的单调递增区间为11．（2024·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）设函数，都是单调函数，其导函数分别为，，令，则下列说法中一定正确的是（

）A．若，，则单调递增 B．若，，则单调递增C．若，，则单调递减 D．若，，则单调递减12．（2024·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，，，且，若，则实数的可能取值为（

）A． B． C．1 D．2三、填空题13．（2024·上海·高二校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为．14．（2024·高二课时练习）函数在上的单调递增区间为.15．（2024·江苏镇江·高二校考阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是．16．（2024·北京海淀·高二统考期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是．四、解答题17．（2024·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）已知函数，且.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间.18．（2024·浙江杭州·高二杭州市