2022-2023学年八专题11.8 一元一次不等式全章六类必考压轴题专题13.1 期中期末专项复习之平面图形的认识（二）二十五大必考点（举一反三）（苏科版）含解析

2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题13.1平面图形的认识（二）二十五大必考点【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1同位角、内错角、同旁内角的判断】 1【考点2三线八角中的截线问题】 3【考点3根据平行线的判定与性质进行证明】 4【考点4直线旋转中的平行线的判定】 6【考点5与垂线有关的角度计算或证明】 7【考点6利用平行线的判定与性质计算角度】 9【考点7平行线的性质在生活中的应用】 10【考点8利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 12【考点9平行线的运用（单一辅助线）】 13【考点10平行线的运用（多条辅助线）】 15【考点11平行线在折叠问题的运用】 17【考点12平行线在三角尺中的运用】 18【考点13平行线中的规律问题】 20【考点14平行线中的转角问题】 22【考点15与角平分线有关的三角形内角和问题】 24【考点16利用平行线的判定与性质证明三角形中角度关系】 26【考点17与平行线有关的三角形内角和问题】 27【考点18与折叠有关的三角形内角和问题】 29【考点19三角形的三边关系的运用】 30【题型20三角形的中线、高、角平分线】 31【题型21多边形的内角和与外角和】 32【题型22生活中的平移现象】 32【题型23图形的平移】 33【题型24利用平移的性质求解】 34【题型25利用平移解决实际问题】 35【考点1同位角、内错角、同旁内角的判断】【例1】（2022·河南新乡·七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（

）A．∠1和∠2是同旁内角 B．∠1和∠3是对顶角C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是内错角【变式1-1】（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（

）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角【变式1-2】（2022·河北保定·七年级期末）如图所示，下列说法错误的是()A．∠C与∠1是内错角B．∠2与∠3是内错角C．∠A与∠B是同旁内角D．∠A与∠3是同位角【变式1-3】（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b−c的值是____________【考点2三线八角中的截线问题】【例2】（2022·四川省广元市宝轮中学七年级期末）如图，已知∠1和∠2是内错角，则下列表述正确的是（

）A．∠1和∠2是由直线AD、AC被CE所截形成的B．∠1和∠2是由直线AD、AC被BD所截形成的C．∠1和∠2是由直线DA、DB被CE所截形成的D．∠1和∠2是由直线DA、DB被AC所截形成的【变式2-1】（2022·山东济宁·七年级期末）如图，∠ABD与∠BDC是（

）形成的内错角A．直线AD、BC被直线BD所截 B．直线AB、CD被直线BD所截C．直线AB、CD被直线AC所截 D．直线AD、BC被直线AC所截【变式2-2】（2022·甘肃·陇西县巩昌中学七年级期末）如图，∠2与∠3是直线______、____被第三条直线_____所截形成的_______．【变式2-3】（2022·全国·七年级）如图所示，从标有数字的角中找出：(1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角.(2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角.(3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角.【考点3根据平行线的判定与性质进行证明】【例3】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．证明：∵∠1=∠2（已知），∴______∥______（________________________）．∴∠A=∠BED（_____________________________）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代换）．∴______∥______（__________________________）．∴∠B=∠C（______________________________）．【变式3-1】（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校七年级期末）如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，HN是∠(1)如果GM是∠BGE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和HN的位置关系；证明：∵AB∥∴∠BGE＝______（两直线平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分线，∴______＝______=∵HN是∠DHG的平分线∴______＝______=∴∠MGE＝∠NHG（等量代换）∴GM和HN的位置关系是______，（___________________）．(2)如果GM是∠AGH的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明）(3)如果GM是∠BGH的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM与HN又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明．【变式3-2】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下结论：①AB∥EF；②2∠1−∠4=90°；③2∠3−∠2=180°；④∠3+12【变式3-3】（2022·广东·广州市第四中学七年级期末）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．(1)求证：∠B＝∠D；(2)如图2，点E在线段AD上，点G在线段AD的延长线上，连接BG，∠AEB＝2∠G，求证：BG是∠EBC的平分线；(3)如图3，在(2)的条件下，点E在线段AD的延长线上，∠EDC的平分线DH交BG于点H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度数．【考点4直线旋转中的平行线的判定】【例4】（2022·河南洛阳·七年级期末）如图所示是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC=28°，则在玩跷跷板时，小明坐在A点处，他上下最大可以转动的角度为（

）A．28° B．56° C．62° D．84°【变式4-1】（2022·山东临沂·七年级期末）如图将木条a，b与c钉在一起，∠1=75°，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转了35°，∠2是（

）A．25° B．35° C．40° D．50°【变式4-2】（2022·云南昆明·七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（A．15° B．30° C．45° D．75°【变式4-3】（2022·湖南永州·七年级期末）如图，直线l1∥l2，现将一个含30°角的直角三角板的锐角顶点B放在直线l2上，将三角板绕点B旋转，使直角顶点C落在l1与l2之间的区域，边AC与直角l1相交于点A．65° B．75° C．85° D．80°【考点5与垂线有关的角度计算或证明】【例5】（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）如图，已知∠1=∠C，∠2=∠3，FG⊥AC于G，你能说明BD与AC互相垂直吗？【变式5-1】（2022·安徽合肥·七年级期末）请补充完整下列推理过程及证明过程中的依据．如图，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．试证明：解：因为DG//所以∠2=∠BAD（____________）．因为∠1=∠2（已知），所以______（等量代换），所以EF//所以∠EFB=______（两直线平行，同位角相等）因为EF⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（____________）．所以∠ADF=90°（等量代换），所以______（垂直的定义）．【变式5-2】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，AB⊥AC，垂足为A，∠1=30°，∠B=60°．（1）AD与BC平行吗？为什么？（2）根据题中的条件，能判断AB与CD平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加一个条件，使它们平行（不必说明理由）．【变式5-3】（2022·全国·七年级）已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．①依题意补全图形；②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．【考点6利用平行线的判定与性质计算角度】【例6】（2022·福建福州·七年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，EF与DG交于点O，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．(1)判断DE与BC的位置关系，并证明；(2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度数．【变式6-1】（2022·河南漯河·七年级期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；(2)判断BE与CD的位置关系，并证明你的猜想．【变式6-2】（2022·广东湛江·七年级期末）如图所示，已知射线CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分(1)证明：OC∥(2)求∠EOB的度数；(3)若平行移动AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由．【变式6-3】（2022·北京密云·七年级期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．(1)如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．①依据题意，补全图1；②直接写出∠BOE的度数．(2)如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当∠AOB=α0°<α≤180°时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含α的代数式表示∠OCD与∠BFH【考点7平行线的性质在生活中的应用】【例7】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图线段AB和CD表示两面镜子，且直线AB∥直线CD，光线EF经过镜子AB反射到镜子CD，最后反射到光线GH.光线反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论：①直线EF平行于直线GH；②∠FGH的角平分线所在的直线垂直于直线AB；③∠BFE的角平分线所在的直线垂直于∠4的角平分线所在的直线；④当CD绕点G顺时针旋转90时，直线EF与直线GH不一定平行，其中正确的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③【变式7-1】（2022·江苏宿迁·七年级期末）实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜MN,NP，一束光线AB射在其中一块MN上，经另外一块NP反射，两束光线会平行吗？若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明【变式7-2】（2022·浙江杭州·七年级期末）（1）若组成∠1和∠2的两条边互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度数．（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB,EF与上拉杆CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB=25°时，点H，D，B在同一直线上，求∠H的度数．【变式7-3】（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学七年级期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心．（1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间；（2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ；（3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？【考点8利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】【例8】（2022·河北唐山·七年级期末）己知三角形ABC，EF∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线(1)如图1，若点F在边BC上，直接写出∠BAC与∠EFD的数量关系；(2)若点F在边BC的延长线上，（1）中的数量关系还成立吗？若成立，给子证明；若不成立，又有怎样的数量关系，请在备用图中画出图形并说明理由．【变式8-1】（2022·湖北襄阳·七年级期末）如图，已知AM∥BN，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分∠ABP与∠PBN，分别交射线AM于点C，(1)若∠A=50°，求∠CBD的度数；(2)在点P的运动过程中，∠BPA与∠BDA的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BPA与∠BDA的数量关系；(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，探究∠ABC与∠DBN的数量关系，并证明你的结论．【变式8-2】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知：直线AB∥CD，经过直线AB上的定点P的直线EF交CD于点O，点M，N为直线CD上的两点，且点M在点O右侧，点N的左侧时，连接PM，PN，满足(1)如图1，若∠MPO=25°，∠MNP=50°，直接写出∠COP的度数为：______．(2)如图2，射线PQ为∠MPE的角平分线，用等式表示∠NPQ与∠POM之间的数量关系，并证明．【变式8-3】（2022·湖北孝感·七年级期末）在三角形ABC中，点D在线段AC上，DE∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点D作FG⊥FD交射线CB于点(1)如图1，点F在线段BE上，①用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并说明理由；②如图，求证：∠ABC+∠BFG−∠EDF=90°；(2)当点F在线段AE上时，依题意，在图2中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．【考点9平行线的运用（单一辅助线）】【例9】（2022·四川德阳·七年级期末）已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I−∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．【变式9-1】（2022·广东梅州·八年级期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．(1)如图1，若CE∥OA，EF∥MN，∠NDE＝45°，求α的度数；(2)若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，如图2，当DF∥OA，且α＝60°时，证明：CE∥OA．【变式9-2】（2022·陕西西安·八年级期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，(1)在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1=120°，说明理由；(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当AC平分∠BAM时，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并证明．【变式9-3】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°．(1)证明：MN∥(2)如图2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE＝2∠CBT，试判断∠CAE与∠(3)如图3，若∠ACB＝45°，点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE＝4∠CBT，直接写出∠CAE：∠CAN的值．【考点10平行线的运用（多条辅助线）】【例10】（2022·云南普洱·七年级期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N．(1)请你直接写出：∠CAF＝_____°，∠EMC＝______°．(2)若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．(3)请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．【变式10-1】（2022·湖北武汉·七年级期末）直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分(1)如图1，若BP∥CE，求证：(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．【变式10-2】（2022·广东·新丰县教育局教研室七年级期末）细观察，找规律．（1）下列各图中的MA1与①图①中的∠A②图②中的∠A③图③中的∠A④图④中的∠A⑤第⑩个图中的∠A⑥第n个图中的∠A（2）下列各图中AB//①图甲中∠B、∠C、∠BEC的数量关系是______．②图乙中∠B，∠E，∠G，∠F，∠C的数量关系是______．③图丙中∠B，∠E，∠F，∠G，∠H，∠M，∠C的数量关系是______．【变式10-3】（2022·北京师范大学附属实验中学分校七年级期末）已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且80−2α＋|β﹣40|＝0(1)α＝，β＝；直线AB与CD的位置关系是；(2)如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中∠FPN【考点11平行线在折叠问题的运用】【例11】（2022·山东潍坊·七年级期末）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD//BC，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（

）A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=90° C．∠1−∠2=30° D．2∠1−3∠2=30°【变式11-1】（2022·山东·滕州市龙泉街道滕东中学七年级期末）如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=(

)A．60° B．70° C．80° D．90°【变式11-2】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，将三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE.试说明：DE∥BC．【变式11-3】（2022·江苏·常州市第二十四中学七年级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：；所有与∠C相等的角：．

(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度数；②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．【考点12平行线在三角尺中的运用】【例12】（2022·浙江宁波·七年级期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC=45°，∠DAC=30°．接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒15°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t=______________秒时，三角板A′CD【变式12-1】（2022·河北·青县教育局教研室七年级期末）把一副直角三角尺按如图方式摆放，点C与点E重合，BC边与EF边都在直线l上，若直线MN∥AC，且MN经过点D，则∠CDN=_________；【变式12-2】（2022·四川达州·八年级期末）一副三角板ADE和ABC按如图1所示放置，点B在斜边AD上，其中∠E＝∠BAC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°．现将三角板ADE固定不动，三角板ABC绕点A顺时针旋转α0°<α<180°，使两块三角板至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD【变式12-3】（2022·江苏苏州·七年级期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上，∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°．小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒6°的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第____秒时，边AB与边DE平行．【考点13平行线中的规律问题】【例13】（2022·山东泰安·期末）如图，AB∥CD，点(1)如图1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，则∠AEC=____________；(2)如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；(3)①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；②如图4，若设∠E=m，∠BAF=1n∠FAE，∠DCF=1n∠FCE，请直接用含【变式13-1】（2022·山东烟台·七年级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．问题解决：（1）如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线I上运动，当点P在线段MN上运动时（不与点M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时．请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系；（3）如图3，AB∥CD，点P是AB、CD之间的一点（点P在点A、C右侧），连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q．若∠APC＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC的度数．【变式13-2】（2022·四川·树德中学七年级期末）（1）如图①，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，（2）如图②，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，（3）如图③，已知AB∥CD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？【变式13-3】（2022·北京市第一零一中学温泉校区七年级期末）喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．如图1，纸条的一组对边PN∥QM（纸条的长度视为可延伸），在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM＝α．如图2，将纸条作第一次折叠，使BM′与BA在同一条直线上，折痕记为解决下面的问题：（1）聪明的小白想计算当α＝90°时，∠BR1N′的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图3，PN∥QM，A，B分别在PN,QM上，且∠ABM＝90°，由折叠：BR1平分_________，（2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条（如图4），是否有可能使AM′′⊥BR1？如果能，请直接写出此时（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<α≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使BM′与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使BM′与BR①第二次折叠时，∠BR2N②第n次折叠时，∠BRnN【考点14平行线中的转角问题】【例14】（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期末）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为α（旋转角0∘(1)如图2，当旋转角满足0∘<α≤60∘时，请写出∠(2)如图3，当旋转角满足60∘<α≤120∘时，请写出∠(3)当DE//BC时请直接写出旋转角的度数．【变式14-1】（2022·福建泉州·七年级期末）现有一块含30°角的直角三角板AOB，其直角顶点O在直线l上，将三角板AOB绕着点O按逆时针方向旋转∠2的度数（0°<∠2<360°）．请你解决下列问题：(1)当∠2的度数为多少时，AB∥(2)如右图，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，试探究：图中提供的字母或数字能表示的所有角（不包含该图中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，试写出所有相等的角，并说明理由；若不存在，请举例说明．【变式14-2】（2022·河南·漯河市郾城区郾城初级中学七年级期末）如图1，已知PQ∥MN，点A，B分别在MN，PQ上，且∠BAN=45°，射线AM绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转（速度是a°/秒），射线BP绕点B顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转（速度是b°/秒）、且a、b满足a−3+(1)a=_____________，b=____________；(2)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒（t<60），两条旋转射线交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，求∠BAC与∠BCD的数量关系；(3)若射线BP先旋转20秒，射线AM才开始旋转，设射线AM旋转时间为t秒（t<160），若旋转中AM∥BP，求t的值．【变式14-3】（2022·浙江湖州·七年级期末）如图1，已知直线AB∥CD，∠CMN=60∘，射线ME从MD出发，绕点M以每秒a度的速度按逆时针方向旋转，到达MC后立即以相同的速度返回，到达MD后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线NF从NA出发，绕点N以每秒b度的速度按逆时针方向旋转，到达NB后停止运动，此时ME也同时停止运动．其中a，(1)求a，b的值；(2)若NF先运动30秒，然后ME一起运动，设ME运动的时间为t，当运动过程中ME∥NF时，求(3)如图2，若ME与NF同时开始转动，在ME第一次到达MC之前，ME与NF交于点P，过点P作PQ⊥ME于点P，交直线AB于点Q，则在运动过程中，若设∠NME的度数为m，请求出∠NPQ的度数（结果用含m的代数式表示）．【考点15与角平分线有关的三角形内角和问题】【例15】（2022·江苏·涟水县麻垛中学七年级阶段练习）【认识概念】如图1，在△ABC中，若∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则AD，AE叫做∠BAC的“三分线”．其中，AD是“近AB三分线”，AE是“远AB三分线”．【理解应用】(1)在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，若∠A的三分线AD与∠B的角平分线(2)如图2，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC的近AB三分线和∠ACB近AC三分线，若BO⊥CO，求∠A的度数；【拓展应用】(3)如图3，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC的远BC三分线和∠ACB远BC三分线，且∠A＝m°，直线PQ过点O分别交AC、BC于点P、Q，请直接写出∠1﹣∠2的度数（用含【变式15-1】（2022·江苏扬州·七年级期末）如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平线，∠A=40º，∠BPC=________．【变式15-2】（2022·全国·八年级专题练习）（1）如图1，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是．（2）如图2，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠EBC和∠FCD，则∠P的度数是．（3）如图3，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度数．【变式15-3】（2022·广东韶关实验中学七年级期中）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．(1)如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；(2)如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数．(3)如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝12∠ECH请直接写出∠MNB与∠A【考点16利用平行线的判定与性质证明三角形中角度关系】【例16】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知：三角形ABC和同一平面内的点D．(1)如图①，点D在BC边上，DE∥BA交AC于点E，DF∥AC交AB于点F若∠EDF=85°，则∠A的度数为______；(2)如图②，点D在BC的延长线CM上，DF∥CA交BA延长线于点F，DE在∠FDM内部，若∠EDF=∠BAC，试说明DE∥BA；(3)如图③，点D是三角形ABC外部的一个动点，过点D画DE∥BA交直线AC于点E，画DF∥CA交直线AB于点F，请用等式直接表示∠EDF与∠BAC之间的关系．【变式16-1】（2022·山东烟台·期末）如图，点D、E、F分别在三角形ABC的三条边上，点G在DF上，若∠1+∠2=180°，∠3=∠B，DE与BC所在的直线存在什么位置关系？请详细说明理由．【变式16-2】（2022·吉林·前郭县一中七年级期末）两个三角形ABC和DEC中，∠ACB=∠CDE=90°，∠A=60°，∠DCE=∠E=45°．(1)当AB∥DC时，如图①，求(2)当CD与CB重合时，如图②，判断DE与AC的位置关系，并说明理由．(3)如图③，当AB∥EC时，求【变式16-3】（2022·广东·佛山市顺德区勒流育贤实验学校七年级期末）知识延展：三角形的一边和另一边的反向延长线组成的角叫三角形的外角，如∠ACD是三角形的外角．容易说明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，如图可得：∠ACD=∠A十∠B．请你用所学的知识和延展知识解决如下问题：(1)如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大小：(2)如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；(3)如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠AEC、∠ADC、∠ABC之间是否存在某种等量关系？若存在，请你得出结论，说明理由；若不存在，请说明理由．【考点17与平行线有关的三角形内角和问题】【例17】（2022·辽宁盘锦·七年级期末）（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度数；（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，∠AMP的角平分线与∠CNP的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为多少？请说明理由；（3）问题拓展：如图3，AB∥CD，点P在射线OM上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记∠PAB=α，∠PCD=β，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．【变式17-1】（2022·山东德州·七年级期中）如图所示，DE∥BC，∠1=∠3，(1)求证：FG⊥AB．(2)若∠3=45°，求∠ADE的度数．【变式17-2】（2022·江苏南通·七年级期末）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与射线CD交于点(1)如图1，点E在线段AD上运动．①若∠B=60°，∠ACB=30°，则∠EGC=______°；②若∠A=80°，求∠EGC的度数；(2)若点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠A之间的数量关系，请直接写出答案．【变式17-3】（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．(1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________(2)若∠A=50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；(3)若∠A=x°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代数式表示）；(4)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数．【考点18与折叠有关的三角形内角和问题】【例18】（2022·江苏·睢宁县桃园中学七年级期中）如图所示，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=70°，将纸片沿着MN折叠，使C，D分别落在直线AB上的C′，D′处，则∠AMD′+∠A．50° B．60° C．70° D．80°【变式18-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，在AC边上取点D，使得AD=AB，连接BD．点E、F分别为AD、BD边上的点，且∠DEF=48°，将△DEF沿直线EF翻折，使点D落在AB边上的点G处，若GF//BC，则∠C的度数为_______．【变式18-2】（2022·全国·八年级课时练习）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，连接AB．（1）如图1，已知AC，BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，①点A，B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小．②如图2，将ΔABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，记作点C′，则∠ABO=_______°；如图3，将ΔABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，记作点C′′，则∠ABO=（2）如图4，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线交其延长线交于E，F，在ΔAEF中，如果有一个角是另一个角的32倍，求∠ABO【变式18-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图1，三角形ABC中，∠A=58°,∠B=90°,∠C=32°．点E是BC边上的定点，点D在AC边上运动．沿DE折叠三角形CDE，点C落在点G处．（1）如图2，若DE//AB，求∠ADG的度数．（2）如图3，若EG//AB，求∠ADG的度数．（3）当三角形DEG的三边与三角形ABC的三边有一组边平行时，直接写出∠CDG的度数【考点19三角形的三边关系的运用】【例19】（2022秋·湖北黄石·八年级黄石十四中校考期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，6cmC．2cm，3cm，4cm D．2cm，3cm，5cm【变式19-1】（2022春·河南郑州·七年级校考期中）设a，b，c是△ABC的三边，化简：a+b−c−【变式19-2】（2022秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）用3cm、5cm、7cm、9cm、11cm的五根木棒可组成不同的三角形的个数是（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【变式19-3】（2022秋·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期中）已知一个三角形的三边长分别为2a，a−1，5，求整数a的值．【题型20三角形的中线、高、角平分线】【例20】（2022春·福建厦门·七年级厦门双十中学校考期末）在△ABC中，AD、AE、AF分别是它的高线、角平分线和中线，则下列说法中错误的是（）A．BF=CF B．∠ACD+∠CAD=90° C．AD≤AE D．S【变式20-1】（2022春·内蒙古包头·七年级包头市第二十九中学校考期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD上的一点，AE=2ED，且S△ABC=122，则【变式20-2】（2022春·河北石家庄·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线AB=9cm,AC=12cm，BC=15(1)△ABE的面积；(2)AD的长度；(3)△ACE与△ABE的周长的差．【变式20-3】（2022秋·安徽合肥·八年级统考期中）如图，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成70和【题型21多边形的内角和与外角和】【例21】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，六边形ABCDEF中，CD∥AF，∠D=∠A，AB⊥BC，∠C=120°，∠E=80°，则∠F的度数为（A．120° B．125° C．130° D．140°【变式21-1】（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为2021°，这个角的大小是_____________．【变式21-2】（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期末）如图，小亮从点A出发，沿直线前进15米后向左转30°，再沿直线前进15米，又向左转30°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，共走了_____米．【变式21-3】（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）若一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为1:5，则该正多边形的内角和的度数为________．【题型22生活中的平移现象】【例22】（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）下列现象中属于平移的是（

）①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④汽车雨刷的运动A．①② B．②③ C．①②④ D．②【变式22-1】（2022春·重庆璧山·七年级校联考期中）今年4月，被称为“猪儿虫”的璧山云巴正式运行．云巴在轨道上运行可以看作是（

）A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃【变式22-2】（2022春·湖北宜昌·七年级统考期末）如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从点A出发爬到点B，只考虑路径、时间、路程等因素，下列结论正确的为（

）A．乙比甲先到 B．甲比乙先到C．甲和乙同时到 D．无法确定哪只蚂蚁先到【变式22-3】（2022春·广东广州·七年级统考期末）如图，人民公园内一块长方形草地上原有一条1m宽的笔直小路，现要将这条小路改造成弯曲小路，小路的上边线向下平移1m就是它的下边线，那么改造后小路的面积（A．变大了 B．变小了 C．没变 D．无法确定【题型23图形的平移】【例23】（2022春·内蒙古兴安盟·七年级统考期末）2022年，中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（

）A． B．C． D．【变式23-1】（2022春·全国·七年级期末）下列汽车标志中可以看作是由某图案平移得到的是（

）A． B． C． D．【变式23-2】（2022春·八年级单元测试）观察下列五幅图案，在②③④⑤中可以通过①平移得到的图案是（

）A．② B．③ C．④ D．⑤【变式23-3】（2022春·广东深圳·八年级校考期中）下列图案可以看作某一部分平移后得到的是（）A． B． C． D．【题型24利用平移的性质求解】【例24】（2022春·广东江门·七年级统考期末）如图，长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形EFGH，则阴影部分的面积为（

）A．30 B．32 C．36 D．40【变式24-1】（2022春·全国·七年级专题练习）如图，直角三角形ABC的周长为2021，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与BC平行，则这5个小直角三角形周长的和为_________．【变式24-2】（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）如图，将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置，若∠CAB=55°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为______．【变式24-3】（2022春·广东韶关·七年级统考期中）如图，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（

）A．18 B．16 C．12 D．8【题型25利用平移解决实际问题】【例25】（2022春·北京西城·七年级北京市西城外国语学校校考期中）如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是________平方米．【变式25-1】（2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯__米．【变式25-2】（2022春·全国·七年级专题练习）如图（单位，m），一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路（每条石子路间距均匀），请你求出草坪（阴影部分）的面积．【变式25-3】（2022春·全国·七年级专题练习）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度）在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到A′B′在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线A′B′问题解决：(1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分：(2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2，则S1=平方单位；并比较大小：S(3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是平方单位．（用含a，b的式子表示）专题13.1平面图形的认识（二）二十五大必考点【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1同位角、内错角、同旁内角的判断】 1【考点2三线八角中的截线问题】 4【考点3根据平行线的判定与性质进行证明】 6【考点4直线旋转中的平行线的判定】 13【考点5与垂线有关的角度计算或证明】 16【考点6利用平行线的判定与性质计算角度】 20【考点7平行线的性质在生活中的应用】 26【考点8利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 32【考点9平行线的运用（单一辅助线）】 39【考点10平行线的运用（多条辅助线）】 46【考点11平行线在折叠问题的运用】 56【考点12平行线在三角尺中的运用】 60【考点13平行线中的规律问题】 65【考点14平行线中的转角问题】 74【考点15与角平分线有关的三角形内角和问题】 81【考点16利用平行线的判定与性质证明三角形中角度关系】 89【考点17与平行线有关的三角形内角和问题】 95【考点18与折叠有关的三角形内角和问题】 105【考点19三角形的三边关系的运用】 112【题型20三角形的中线、高、角平分线】 114【题型21多边形的内角和与外角和】 118【题型22生活中的平移现象】 120【题型23图形的平移】 122【题型24利用平移的性质求解】 124【题型25利用平移解决实际问题】 127【考点1同位角、内错角、同旁内角的判断】【例1】（2022·河南新乡·七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（

）A．∠1和∠2是同旁内角 B．∠1和∠3是对顶角C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是内错角【答案】A【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可．【详解】A.∠1和∠2是邻补角，故此选项错误；B.∠1和∠3是对顶角，此选项正确；C.∠3和∠4是同位角，此选项正确；D.∠1和∠4是内错角，此选项正确；故选A.【点睛】此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角，

同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义.【变式1-1】（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（

）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角【答案】D【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．【变式1-2】（2022·河北保定·七年级期末）如图所示，下列说法错误的是()A．∠C与∠1是内错角B．∠2与∠3是内错角C．∠A与∠B是同旁内角D．∠A与∠3是同位角【答案】B【分析】根据同位角，同旁内角，内错角的定义可以得到A、C、D是正确的，∠2与∠3是邻补角，不是内错角．【详解】A、∠C与∠1是内错角，故本选项正确；B、∠2与∠3是邻补角，故本选项错误；C、∠A与∠B是同旁内角，故本选项正确；D、∠A与∠3是同位角，故本选项正确．故选B．【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的概念，比较简单．【变式1-3】（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b−c的值是____________【答案】6【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义分别得到a，b，c的值，即可求解．【详解】∵同位角有：∠8与∠4，∠5与∠1，∠7与∠3，∠6与∠2，∠4与∠9，∠7与∠9，共6对；内错角有：∠7与∠1，∠6与∠4，∠5与∠9，∠2与∠9，共4对，同旁内角有：∠7与∠4，∠6与∠1，∠1与∠9，∠6与∠9共4对，∴a=6，b=4,c=4，∴a+b−c=6，故答案是：6．【点睛】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握它们的定义，是解题的关键．【考点2三线八角中的截线问题】【例2】（2022·四川省广元市宝轮中学七年级期末）如图，已知∠1和∠2是内错角，则下列表述正确的是（

）A．∠1和∠2是由直线AD、AC被CE所截形成的B．∠1和∠2是由直线AD、AC被BD所截形成的C．∠1和∠2是由直线DA、DB被CE所截形成的D．∠1和∠2是由直线DA、DB被AC所截形成的【答案】B【分析】根据内错角的定义进行判断即可求解．【详解】解：如图，∠1和∠2是由直线AD、AC被BD所截形成的内错角．故选：B【点睛】本题考查了内错角的判断，熟知内错角的定义是解题关键，弄清哪两条直线被第三条直线所截才能形成内错角是解题关键．【变式2-1】（2022·山东济宁·七年级期末）如图，∠ABD与∠BDC是（

）形成的内错角A．直线AD、BC被直线BD所截 B．直线AB、CD被直线BD所截C．直线AB、CD被直线AC所截 D．直线AD、BC被直线AC所截【答案】B【分析】根据内错角的定义即可完成．【详解】由图知，∠ABD与∠BDC是直线AB、CD被直线BD所截形成的内错角故选：B【点睛】本题考查了内错角的识别，两条直线被第三条直线所截，若两个角在两条截线之间，且在被截线的两旁，则称这对角为内错角，掌握内错角的含义是正确识别内错角的关键．【变式2-2】（2022·甘肃·陇西县巩昌中学七年级期末）如图，∠2与∠3是直线______、____被第三条直线_____所截形成的_______．【答案】

AB

AC

BD

同旁内角【分析】根据同旁内角的定义即可判断．【详解】由同旁内角的概念可知：如图所示，∠2与∠3是直线AB，AC被直线BD所截而成的同旁内角；故答案为：AB；AC；BD；同旁内角；【点睛】本题考查了同旁内角的定义，熟悉掌握同旁内角的定义是解题的关键．【变式2-3】（2022·全国·七年级）如图所示，从标有数字的角中找出：(1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角.(2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角.(3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角.【答案】(1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角是∠2和∠5；(2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角是∠1和∠7；(3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角是∠3和∠4【分析】根据两条直线被第三条直线所截，所形成的角中，两角在两条直线的中间，第三条直线的两旁，可得内错角，两角在两直线的中间，第三条直线的同侧，可得同旁内角，两角在两条直线的同侧，第三条直线的同侧，可得同位角.【详解】解：(1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角是∠2和∠5.(2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角是∠1和∠7.(3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角是∠3和∠4.【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成F形，内错角的边构成Z形，同旁内角的边构成U形．【考点3根据平行线的判定与性质进行证明】【例3】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．证明：∵∠1=∠2（已知），∴______∥______（________________________）．∴∠A=∠BED（_____________________________）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代换）．∴______∥______（__________________________）．∴∠B=∠C（______________________________）．【答案】DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等【分析】先通过已知条件证明DE∥AF，再由两直线平行同位角相等和等量代换证出AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等得出∠B=∠C．【详解】证明：∵∠1=∠2（已知），∴DE∥AF（同位角相等，两直线平行）．∴∠A=∠BED（两直线平行，同位角相等）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代换）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．故答案为：DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．【变式3-1】（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校七年级期末）如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，HN是∠(1)如果GM是∠BGE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和HN的位置关系；证明：∵AB∥∴∠BGE＝______（两直线平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分线，∴______＝______=∵HN是∠DHG的平分线∴______＝______=∴∠MGE＝∠NHG（等量代换）∴GM和HN的位置关系是______，（___________________）．(2)如果GM是∠AGH的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明）(3)如果GM是∠BGH的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM与HN又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明．【答案】(1)∠DHG；∠BGM；∠MGE；∠DHN；∠NHG；GM∥HN；同位角相等，两直线平行；(2)成立(3)不成立，GM⊥HN．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BGE=∠DHG，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠MGE=∠NHG，再利用平行线的判定即可；（2）根据平行线的性质可得∠AGH=∠DHG，，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠HGM=∠NHG，再利用平行线的判定即可；（3）设GM与HN交于点P，根据平行线的性质可得∠BGH+∠DHG=180°，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠HGM+∠NHG=90°，然后利用三角形内角和定理可求出∠GPH=90°即可解答．（1）证明：∵AB∥CD∴∠BGE＝∠DHG（两直线平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分线，∴∠BGM＝∠MGE＝12∠BGE∵HN是∠DHG的平分线∴∠DHN＝∠NHG＝12∠DHG∴∠MGE＝∠NHG（等量代换）∴GM和（2）解：（1）中的结论还成立，理由如下：∵AB∥CD，∴∠AGH=∠DHG，∵GM是∠AGH的平分线，∴∠AGM=∠HGM=∠AGH，∵HN是∠DHG的平分线，∴∠GHN=∠DHN=∠DHG，∴∠HGM=∠NHG（等量代换）∴GM∥HN．（3）（3）（1）中的结论不成立，GM⊥HN，理由：如图：设GM与HN交于点P，∵AB∥CD，∴∠BGH+∠DHG=180°，∵GM是∠BGH的平分线，∴∠BGM=∠HGM=12∠BGH，∵HN是∠DHG的平分线，∴∠GHN=∠DHN=12∠DHG，∴∠HGM+∠NHG=12∠BGH+12∠DHG=90°，∴∠GPH=180°-（∠HGM+∠NHG）=90°∴【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．【变式3-2】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下结论：①AB∥EF；②2∠1−∠4=90°；③2∠3−∠2=180°；④∠3+12【答案】①②③④【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．【详解】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥EF，故①正确；∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠2=180°，∴2∠1+∠2=180°（1），∵AC⊥CE，∴∠2+∠4=90°（2），∴（1）-（2）得，2∠1-∠4=90°，故②正确；∵AB∥EF，∴∠BAE+∠3=180°，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠BAE，∴∠1+∠3=180°，∴2∠1+2∠3=360°（3），∵2∠1+∠2=180°（1），（3）-（1）得，2∠3-∠2=180°，故③正确；∵CD∥EF，∴∠CEF+∠4=180°，∴∠3+∠AEC+∠4=180°，∵AE⊥CE，∴∠1+∠AEC=90°，∴∠AEC=90°-∠1，∴∠3+∠4-∠1=90°，∵2∠1-∠4=90°，∴∠1=45°+12∴∠3+12综上，正确的结论有：①②③④．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．【变式3-3】（2022·广东·广州市第四中学七年级期末）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．(1)求证：∠B＝∠D；(2)如图2，点E在线段AD上，点G在线段AD的延长线上，连接BG，∠AEB＝2∠G，求证：BG是∠EBC的平分线；(3)如图3，在(2)的条件下，点E在线段AD的延长线上，∠EDC的平分线DH交BG于点H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度数．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)57°【分析】（1）根据平行线的性质得到∠A+∠B=180°，进而推出∠C+∠B=180°，即可证明AB∥CD，得到∠A+∠D=180°，据此即可证明结论；（2）先由平行线的性质得到∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE，进而推出∠EBG=∠CBG=∠G，即可证明BG是∠EBC的平分线；（3）设∠GDH=∠HDC=α，设∠EBG=∠CBG=β，根据平行线的性质推出66°+2β+2α=180°，则α+β=57°，过点H作HP∥AB交AG于P，得到∠PHB+∠ABH=180°，推出∠DHP=∠HDC=α，则∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°即α+∠BHD+66°+β=180°，∠BHD=57°；（1）解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠B=∠D；（2）解：∵AD∥BC，∴∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE，∵∠AEB=2∠G，∴∠CBE=2∠G，∴∠EBG+∠CBG=2∠G，∴∠EBG=∠CBG=∠G，∴BG是∠EBC的平分线；（3）解：∵DH是∠GDC的平分线，∴∠GDH=∠HDC，设∠GDH=∠HDC=α，∵AD∥BC，∴∠BCD=∠GDC=2α，设∠EBG=∠CBG=β，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABE+∠EBC+∠BCD=180°，∴66°+2β+2α=180°，∴α+β=57°，过点H作HP∥AB交AG于P，∴∠PHB+∠ABH=180°，∵AB∥CD，∴CD∥HP，∴∠DHP=∠HDC=α，∴∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°即α+∠BHD+66°+β=180°，∴∠BHD=57°；【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．【考点4直线旋转中的平行线的判定】【例4】（2022·河南洛阳·七年级期末）如图所示是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC=28°，则在玩跷跷板时，小明坐在A点处，他上下最大可以转动的角度为（

）A．28° B．56° C．62° D．84°【答案】B【分析】此题可以构造平行线，根据平行线的性质进行分析计算．【详解】解：如图所示，过点O作DE∥AC，则有∠1=∠OAC=28°而∠2=∠1，所以，上下最大可以转动的角度为∠2=∠1=56°．故选：B．【点睛】本题是一道生活问题，将其转化为关于平行线的问题，解题关键是利用“两直线平行,同位角相等”解答．【变式4-1】（2022·山东临沂·七年级期末）如图将木条a，b与c钉在一起，∠1=75°，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转了35°，∠2是（

）A．25° B．35° C．40° D．50°【答案】C【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【详解】解：如图，根据题意得，∠1=75°，∠AOB=35°，∴∠AOC=∠1-∠AOB=40°，当∠2=∠AOB时，a∥b，∴∠2=40°，故选：C．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．【变式4-2】（2022·云南昆明·七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（A．15° B．30° C．45° D．75°【答案】A【分析】过点D作DM∥AB，则AB∥DM∥EF，由平行线的性质得出∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，则可求出答案．【详解】解：过点D作DM∥AB，则AB∥DM∥EF，∴∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，∴∠BDE=∠BDM+∠EDM=30°+45°=75°，∴∠CDF=90°-∠BDE=90°-75°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【变式4-3】（2022·湖南永州·七年级期末）如图，直线l1∥l2，现将一个含30°角的直角三角板的锐角顶点B放在直线l2上，将三角板绕点B旋转，使直角顶点C落在l1与l2之间的区域，边AC与直角l1相交于点A．65° B．75° C．85° D．80°【答案】A【分析】过A作CE∥l1，得到CE∥l1∥l2，根据平行线的性质得出∠3，进而求得∠4，再根据平行线的性质可求出答案．【详解】解：过C作CE∥l1，∵l1∥l2，∴CE∥l1∥l2，∴∠3=∠1=35°，∴∠4=90°-∠3=55°，∴∠2=180°-∠4-∠ABC=180°-55°-60°=65°．故选：A．【点睛】题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．【考点5与垂线有关的角度计算或证明】【例5】（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）如图，已知∠1=∠C，∠2=∠3，FG⊥AC于G，你能说明BD与AC互相垂直吗？【答案】见解析【分析】根据∠1＝∠C，得ED∥BC，所以∠2＝∠DBC，再由∠2＝∠3，得∠DBC＝∠3，所以BD∥FG，即可得FG⊥AC．【详解】证明：∵∠1=∠C，∴ED∥BC，∴∠2=∠DBC，∵∠2=∠3，∴∠DBC=∠3∴BD∥FG，∵FG⊥AC，∴BD⊥AC．【点睛】本题综合考查了平行线的性质及判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．【变式5-1】（2022·安徽合肥·七年级期末）请补充完整下列推理过程及证明过程中的依据．如图，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．试证明：解：因为DG//所以∠2=∠BAD（____________）．因为∠1=∠2（已知），所以______（等量代换），所以EF//所以∠EFB=______（两直线平行，同位角相等）因为EF⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（____________）．所以∠ADF=90°（等量代换），所以______（垂直的定义）．【答案】两直线平行，内错角相等；∠1=∠BAD；AD；同位角相等，两直线平行；∠ADB；垂直的定义；AD⊥BC【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．【详解】解：因为DG//所以∠2=∠BAD（两直线平行，内错角相等），因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠BAD（等量代换），所以EF//所以∠EFB=∠ADB（两直线平行，同位角相等），因为EF⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（垂直的定义），所以∠ADF=90°（等量代换），所以AD⊥BC（垂直的定义），故答案为：两直线平行，内错角相等；∠1=∠BAD；AD；同位角相等，两直线平行；∠ADB；垂直的定义；AD⊥BC．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.【变式5-2】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，AB⊥AC，垂足为A，∠1=30°，∠B=60°．（1）AD与BC平行吗？为什么？（2）根据题中的条件，能判断AB与CD平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加一个条件，使它们平行（不必说明理由）．【答案】（1）平行，理由见解析；（2）不能，可添加CD⊥AC．【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到结论；（2）根据平行线的判定定理，即可得到结论．【详解】（1）平行．理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠1=30°，∴∠BAD=∠BAC+∠1=120°．∵∠B=60°，∴∠B+∠BAD=60°+120°=180°，∴AD∥BC；（2）不能判断AB与CD平行，添加CD⊥AC即可判断AB与CD平行．∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∴AB∥CD．【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”，是解题的关键．【变式5-3】（2022·全国·七年级）已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．①依题意补全图形；②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)∠DGF=180°-12α【分析】（1）①根据要求作出图形即可．②过点C作CT∥MN．利用平行线的性质和判定以及垂线的性质解决问题．（2）∠DGF=180°-12α．利用（1）中基本结论可得∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，再利用角平分线的定义及邻补角的性质即可求解．(1)解：