高等数学 课件 3.4泰勒公式及其应用_第1页
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第三章微分中值定理及导数的应用3.4泰勒公式及其应用目录二、几个初等函数的麦克劳林公式一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用举例一、泰勒公式的建立当一个函数f(x)相当复杂时,为了计算它在一点x=x0时，是比高阶的无穷小.附近的函数值或描绘曲线f(x)在一点P(x0,f(x0))附近的形状时,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式函数近似表示f(x)且当一、泰勒公式的建立假定f(x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到这样,对Pn(x)

求各阶导数,然后分别代入以上等式得即得(n+1)阶的导数，并且要求满足条件：一、泰勒公式的建立把所求得的系数代入得其次证明是较显然,Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，且据此重复使用洛必达法则，可推得高阶无穷小一、泰勒公式的建立时，是比高阶的无穷小.即当Rn(x)于是f(x)可表示其中是较的高阶无穷小.一、泰勒公式的建立定理

泰勒(Taylor)中值定理有①其中②则对于任一

如果f(x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，其中

一、泰勒公式的建立公式①称为f(x)按(x-x0)的幂展开的公式②称为拉格朗日型余项.

n

阶泰勒公式.

二、几个初等函数的麦克劳林公式上述公式

称为f(x)的麦克劳林(Maclaurin)公式.在泰勒公式中令则有：其中其中

公式

称为拉格朗日型余项.

公式

称为佩亚诺型余项

.二、几个初等函数的麦克劳林公式故例1

求函数解:因为的n阶麦克劳林展开式.所以二、几个初等函数的麦克劳林公式令n=2m-1，于是有例2

求函数解:因为的n阶麦克劳林展开式.所以令n=2m，于是有二、几个初等函数的麦克劳林公式类似地,可得二、几个初等函数的麦克劳林公式

作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分

作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分二、几个初等函数的麦克劳林公式例4

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