中考数学面积问题压轴题

中考数学面积问题压轴题挑战中考数学压轴题三§2.2由面积产生的函数关系问题图形运动的过程中,求面积随某个量变化的函数关系,是中考数学的热点问题.计算面积常见的有四种方法,一是规则图形的面积用面积公式;二是不规则图形的面积通过割补进行计算;三是同高(或同底)三角形的面积比等于对应边(或高)的比;四是相似三角形的面积比等于相似比的平方.前两种方法容易想到,但是灵活使用第三种和第四种方法,可以使得运算简单.一般情况下,在求出面积S关于自变量x的函数关系后,会提出在什么情况下(x为何值时),S取得最大值或最小值.关于面积的最值问题,有许多经典的结论.1.周长一定的矩形,当正方形时,面积最大.2.面积一定的矩形,当正方形时,周长最小.3.周长一定的正多边形,当边数越大时,面积越大,极限值是圆.4.如图1,锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y,AD=x,当点D是AB的中点时,面积y最大.5.如图2,点P在直线AB上方的抛物线上一点,当点P位于AB的中点E的正上方时,△PAB的面积最大.6.如图3,△ABC中,∠A和对边BC是确定的,当AB=AC时,△ABC的面积最大.图1图2图3例82016年淮安市中考第27题如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=-QUOTEx2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(-4,0).(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标;(2)点D的坐标为(0,4),点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连结CD、CF,以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF.设平行四边形CDEF的面积为S.①求S的最大值;②在点F的运动过程中,当点E落在该二次函数的图象上时,请直接写出此时S的值.请打开几何画板文件名“16淮安27”,拖动点F在第一象限内的抛物线上运动,观察△CDF的面积随点F变化的函数图象,可以体验到,当点F的横坐标为3时,△CDF的面积最大;当点F的横坐标为7时,点E落在抛物线上.1.把点F的横坐标x设为自变量,用x表示△CDF的面积.2.连结OF“割补”△CDF比较简便.3.如果设点F的坐标为(m,n),根据FE与CD平行且相等,通过坐标平移可以表示点E的坐标,再把点F、E的坐标分别代入抛物线的解析式,联立方程组求m的值.例92016年吉林省中考第26题如图1,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,以OB为边向上作等边三角形AOB,抛物线l:y=ax2+bx+c经过O、A、B三点.(1)当m=2时,a=,当m=3时,a=;

(2)根据(1)中的结果,猜想a与m的关系,并证明你的结论;(3)如图2,在(1)的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等腰直角三角形时,a与n的关系式为;

(4)利用(2)、(3)中的结论,求△AOB与△APQ的面积比.图1图2请打开几何画板文件名“16吉林26”,拖动点B运动,可以体验到,虽然△AOB和△APQ的形状保持不变,但是抛物线的二次项系数a在改变.观察m随a、n随a变化的图象,可以体验到,m、n都是a的反比例函数.1.点A和点B的坐标可以用m表示,那么设抛物线的顶点式或交点式,可以用m表示抛物线的解析式.2.点Q的坐标可以用m、n表示,代入抛物线的解析式可以得到m、n的关系.例102017年金华市中考第24题如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=4,OC=3.动点P从点C出发,沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动;同时,动点Q从点O出发,沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P、Q的运动时间为t秒.(1)当t=1秒时,求经过O、P、A三点的抛物线的解析式;(2)当t=2秒时,求tan∠QPA的值;(3)当线段PQ与线段AB相交于点M,且BM=2AM时,求t的值;(4)连结CQ,当点P、Q在运动过程中,记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.请打开几何画板文件名“17黄冈24”,拖动点Q由点O向右运动,可以体验到,△CQP与矩形OABC重叠部分的形状依次是△CQP、四边形CQMB和△CBN.1.第(1)题:设交点式比较简便,代入点P的坐标求二次项系数a就好了.2.第(2)题:点P恰好与点B重合,∠QPA就在直角三角形中.3.第(3)题:根据“8字型”相似列方程,为第(4)题提供方法依据.4.第(4)题:分三种情况讨论.例122017年绵阳市中考第25题如图,已知△ABC中,∠C=90°,点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动,到达点B停止运动.在点M的运动过程中,过点M作直线MN交AC于点N,且保持∠NMC=45°,再过点N作AC的垂线交AB于点F,连结MF.将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF.已知AC=8cm,BC=4cm.设点M的运动时间为t(s),△ENF与△ANF重叠部分的面积为y(cm2).(1)在点M的运动过程中,能否使得四边形MNEF为正方形?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由;(2)求y关于t的函数解析式及相应的t的取值范围;(3)当y取得最大值时,求sin∠NEF的值.请打开几何画板文件名“17绵阳25”,拖动点M运动,观察y随t变化的函数图象,可以体验到,当重