第十七章勾股定理本章小结人教版数学八年级下册

本章小结第十七章勾股定理▶考点1

勾股定理及其应用典例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为(

)A．26 B．18 C．20 D．21C考点梳理典例2一架长5m的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底BO＝3m．如果梯子的顶端沿墙下滑1m，梯子的底端在水平方向也滑动1m吗？用所学知识，论证你的结论．解：梯子的底端也滑动1

m．证明如下：在Rt△AOB中，BO＝3，AB＝5，

在Rt△DCO中，OC＝3，DC＝5，

∴BD＝4－3＝1，即梯子底端也滑动1

m．典例3已知等腰三角形底边上的高为4，周长为16，求这个三角形的面积．

解：如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的高，答图设BD＝x．∵△ABC的周长为16，

在Rt△ABD中，AB2＝BD2＋AD2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3．∴BC＝2BD＝2×3＝6．

是

A典例6由四条线段AB，BC，CD，DA所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？解：如图，连接AC．答图答：在该空地上种植草皮共需4

800元．

∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，

∵AB＝13，BC＝12，∴52＋122＝132，即AC2＋BC2＝AB2．∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．

∴200×24＝4

800(元)．

证明：设AB＝4a，则AB＝AD＝CD＝BC＝4a．

∴DF＝CF＝2a，BE＝3a，CE＝a．

∵AF2＋EF2＝25a2，AE2＝25a2，∴AF2＋EF2＝AE2．∴△AEF是直角三角形，∠AFE＝90°．∴AF⊥EF．

C课堂检测2．如图，数轴上的点A表示的数是－1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为

．

3．已知命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”，则它的逆命题为“________________________

”，该逆命题是

命题(填“真”或“假”)．

假等，那么这两个三角形全等如果两个三角形的面积相

答：旗杆在离底部6

m处的位置断裂．∴(16－x)2＝x2＋82，解得x＝6．∵AC2＝AB2＋BC2，AB＝x，AC＝16－x，BC＝8，在Rt△ABC中，∴AC＝16－x．∵AB＝x，AB＋AC＝16，解：如图，设旗杆在离底部x

m的位置断裂．答图5．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯内，设筷子露出在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是(

)A．0≤h≤12 B．12≤h≤13C．11≤h≤12 D．12≤h≤24C6．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的面积是

．

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7．一副直角三角尺按如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，求CD的长．解：如图，过点B作BM⊥FD于点M．答图在Rt△DEF中，∠F＝90°，∠E＝45°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°．∴AB＝2AC＝20，

∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．

∴∠EDF＝45°．在Rt△BMD中，∠BMD＝90°，∴∠DBM＝90°－∠EDF＝45°．

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是(

)A．a＝1.5，b＝2，c＝3 B．a＝7，b＝24，c＝25C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝3，b＝4，c＝5A章末检测

D3．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，则下列式子成立的是(

)A．a2＋b2＝c2

B．a2＋c2＝b2

C．a2＋b2＝2c2

D．b2＋c2＝a2A4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2＋BC2＋AC2的值为(

)A．24 B．18 C．12 D．9B

C6．如图，一艘轮船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以12海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行．在离开港口2小时后，两船相距(

)A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里D7．如图，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则以AB为边长的正方形的面积为(

)A．36 B．64 C．40 D．100D

D9．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是(

)A．3cm B．5cm C．6cm D．8cmD

B二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11．已知△ABC中，BC＝4，AB＝5，∠C＝90°，则AC＝

．

12．如图，一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有

米．

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3

13．如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB＝40米，BC＝30米，则走这条近路AC可以少走

米．

20

14．如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于点E，DE＝3，S△DAC＝6，则∠ACB的度数等于

．

90°15．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行

米．

10

16．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝

．

1

三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，三角形的三边分别为a，b，c．(1)若a＝5，b＝12，求c的值；(2)已知c＝25，b＝15，求a．解：(1)∵∠C＝90°，a＝5，b＝12，

∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°．(3)∵252＝202＋152，即AB2＝AC2＋BC2，∴AB＝AD＋DB＝16＋9＝25．18．

如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．(1)求DC的长；(2)求AB的长；(3)求∠ACB的度数．(2)在Rt△ACD中，AC＝20，CD＝12，

解：(1)∵CD⊥AB，BC＝15，DB＝9，

∵∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，∴AD2＝AE2＋DE2＝42＋42＝32．∴∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE＝4米．∵∠DAE＝45°，19．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离DE＝4米，求点A到墙壁BC的距离．解：在Rt△DAE中，

四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)20．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．(1)判断△ACD的形状，并说明理由；(2)求四边形ABCD的面积．

∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°．∴AC2＋CD2＝AD2．AD2＝12＋52＝26．CD2＝22＋22＝8，由题意，得AC2＝32＋32＝18，解：(1)△ACD为直角三角形，理由如下：(2)在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝90°，

21．如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上．求折痕AD的长．

∴BE＝AB－AE＝13－5＝8．由折叠的性质，得AE＝AC＝5，设CD＝x，则DE＝x，BD＝12－x．∴∠AED＝∠C＝90°．∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°．∴52＋122＝132，即

AC2＋CB2＝AB2．∵AC＝5，AB＝13，BC＝12，解：如图，折叠后点C与AB上的点E重合，连接DE．答图

在Rt△AOB中，根据勾股定理，得解：使用安全．理由如下：∵BD＝0.8

m，∴OD＝1.5－0.8＝0.7(m)．在Rt△COD中，根据勾股定理，得

五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)23．

台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)海港C受台风影响吗？为什么？

∴海港C受台风影响．∵以台风中心为圆心周围250

km以内为受影响区域，∴△ABC是直角三角形．∴AC2＋BC2＝AB2．∵AC＝300

km，BC＝400

km，AB＝500

km，如图，过点C作CD⊥AB于点D．解：(1)海港C受台风影响．理由如下：答图

23．

台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(2)若台风移动的速度为20km/h