导数与函数的单调性（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练

第10讲导数与函数的单调性

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一、知识梳理

1.函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

/(x)>0危)在(a,b)上单调递增

函数夕=/(x)在区间

r(x)<o危)在(a,b)上单调递减

(a,6)上可导

/W=o/(X)在(a,加上是常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域;

第2步，求出导函数/(x)的雯点；

第3步，用/(x)的零点将大x)的定义域划分为若干个区间，列表给出/(x)在各区

间上的正负，由此得出函数_y=Ax)在定义域内的单调性.

二、考点和典型例题

【典例1】不含参函数的单调性

1.(2022・湖北•房县第一中学模拟预测)已知函数="言，不等式，卜2)>〃》+2)

的解集为()

A.(-°°,—l)U(2,+oo)B.(-1,2)

C.2)U(l,+°°)D.(—2,1)

2.(202卜西藏•林芝市第二高级中学高三阶段练习(理))函数/(x)=(x-3)e、的单调增区

间是()

A.(-℃,2)B.(0,3)C.(14)D.(2,+co)

3.(2022•河南•模拟预测(文))已知函数/卜)的导函数为尸(x),若对任意的xeR,都

有/(x)>/'(x)+2,且"1)=2022,则不等式〃x)-2020ei<2的解集为()

A.(0,+e)B.-a),-]C.D.(-00,1)

4.(2022•浙江金华•模拟预测)已知函数/(x)=x"Inx-bx(x〉0,。。0力eR)

(1)当6=0时，讨论/(x)的单调区间；

2—ci1

⑵当a<0时，若/(x)有两个零点芭,通，且占<丫2，求证：----<x,<------

1—acab

5.(2022•河南•模拟预测(文))已知函数〃x)=/-「(x>0),(a>0且a").

⑴当a=2时，求/(X)的单调区间；

(2)若函数Mx)=/(x)-l有两个零点，求.的取值范围.

【典例2】含参函数的单调性

1.(2022・四川绵阳•二模(文))若x=2是函数〃x)=x2+2S-2)x-4〃lnx的极大值点，

则实数。的取值范围是()

A.S，-2)B.(-2,+co)C.(2,+oo)D.(-2,2)

2.(2021・湖北•应城市第一高级中学高三阶段练习)已知函数/(x)=x-lnx-l,若不等式

/(x)2a(x-l)2在区间(0,1］上恒成立，则实数。的取值范围为()

A.1-咫；B.C.(；，+8)D,g,+8)

3.(2021•黑龙江绥化•高三阶段练习(理))已知/(x)=u+ln(x+l),则下列说法正确

的是()

A.当。>0时，/")有极大值点和极小值点B.当a<0时，〃x)无极大值点和极小值点

C.当。>0时，“X)有最大值D.当"0时，〃x)的最小值小于或等于0

4.(2022•全国•模拟预测)(多选题)己知切€2"+(5-2)6"-。=旌2'+(加-2)巴则

()

A.当加e(-l,0),a,6e(-oo,0)时，a>b

B.当用e(T,0),a,be(-oo,0)时，a<b

C.当加e(l,2),a,b£(0,+<»)时，a>b

D.当阳£（1,2）,a,b£（0,+oo）时，a<b

5.（2022・广东佛山•三模）已知函数〃x）=ln（x+l）-g-l,其中x>0,aeR.

X

（1）讨论/（X）的单调性；

⑵当。=2时，X。是/（X）的零点，过点Hxo，ln（x0+1））作曲线y=ln（x+l）的切线/,试证明

直线/也是曲线^=。川的切线.

【典例3】根据函数的单调性求参数

1.（2022•福建南平・三模）对任意的士,超€（1,3],当不<x?时，芭-々-?历土>0恒成立,

则实数。的取值范围是（）

A.[3,+oo）B.（3,+8）C.[9,+oo）D.（9,+<»）

2.（2022・全国•高三专题练习）若函数/（x）=log.（xLax）（。>0且在区间

卜;内单调递增，则a的取值范围是（）

A-[?0B.[川C.0+8）D,（用

3.（2020•天津市第八中学高三期中）若函数y=d+x2+mx+l是/;上的单调函数，则实数

m的取值范围是（）.

A.\8,；B.；,+8）C.[8,；）D.],+8）

4.（2018・浙江•模拟预测）若定义在R上的函数〃x）满足"0）=0,且〃x）的导函数/（X）

的图象如图所示，记a=l/(T)l+|/(l)|,尸=1/⑴|+|/(-1)|,则()

a>PC.a<fiD.a=2。

5.（2022•山东省淄博实验中学高三期末）已知函数f（x）=e-、（x+l）

⑴求函数/(X)的极值；

⑵设％,右为两个不等的正数，且/21皿-/|1鹏=4-2，若不等式1"+/tln，2>0恒成立,

求实数2的取值范围.

【典例4】函数单调性的应用

1.(2022•全国•模拟预测)已知函数/。)=卜*-1|+©+1有两个不同的零点，则实数。的

取值范围是()

A.(-8,-e)B.(7,-e]C.(-e,0)D.(-e,+8)

2.(2022・全国•模拟预测)若关于x的不等式如生也上在(0,+8)上恒成立，则

e

实数机的取值范围为()

A.(7,0]B.(-00,-e]

C.S，e]D.(-oo,-l]

3.(2022・全国•模拟预测)己知函数=若/©)+/(办)<0有解，则实数。的

取值范围为()

A.(0,+句B.(-8,-e)C.[-e,0]D.(-oo,-e)u(0,+oo)

4.(2022•山东威海•三模)己知函数〃x)=21nx-x+-

X

3

(1)当。=1时，求“X)的单调区间：

(2)若/(x)有两个极值点占,马,且演<三，从下面两个结论中选一个证明.

①一wy

2

②/(工2)<§〃+21n2—2