2024年中考数学第一次模拟试卷（苏州卷）（全解全析）

年中考第一次模拟考试（苏州卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．的绝对值是（）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．【详解】解：的绝对值是2，即．故选：A．2．若分式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．且【答案】B【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能为0求解即可得．【详解】解：∵分式有意义，，解得，故选：B．3．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法是解题的关键．根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法可进行排除选项．【详解】A．，原计算错误，故不符合题意；B．，原计算正确，故符合题意；C．，原计算错误，故不符合题意；D．，原计算错误，故不符合题意；故选：B．4．某轮滑队所有队员的年龄只有，，，，（岁）五种情况，其中部分数据如图所示，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，熟悉条形统计图，掌握中位数，众数的相关概念是解答本题的关键．根据题目，利用众数和中位数的定义，得到这组数据的中位数为：，众数是，由此得到答案．【详解】解：由题图中数据可知：小于的人有人，大于的人也有人，这组数据的中位数为：，队员年龄的唯一的众数与中位数相等，众数是，即年龄为的人最多，岁的队员最少有人，故选：．5．如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线交于点，过点作，交于点，若，，则（）A．85° B．75° C．60° D．55°【答案】D【分析】本题考查作图-基本作图、平行线的性质，㠇练掌握平行线的性质是解答本题的关键．由题意可得为的角平分线，，则可得根据三角形外角性质可得，平角性质可得再结合三角形内角和定理可列出方程，进而可得出答案．【详解】由题意可得为的角平分线，，，，，

，故选：D．6．一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了求圆锥侧面积；利用圆锥侧面展开图的弧长底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长．【详解】解：底面半径为3，则底面周长，侧面展开图是半圆，则母线长，圆锥的侧面积是故选：B．7．如图在平面直角坐标系中，，且，则点B的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．过点B作轴于点C，过点A作轴于点D，、相交于点E，证明，据此求解即可．【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作轴于点D，、相交于点E．∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴点B的坐标是，故选：B．8．如图，四边形是菱形，边长为，．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿射线的方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点运动到达点时，点也立刻停止运动，连接．的面积为，点运动的时间为秒，则能大致反映与之间的函数关系的图像是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查函数的图象与解析之间的联系，解决问题的关键在于弄清图形的变化情况，结合勾股定理，给出面积的表达式，即可解题．【详解】解：①当在上时，作，如图所示：由题知，，，，，则，解得，故，②当在上时，即时，，③当在上不与重合，且Q在上时，作，如图所示：，，，，则，④当Q在延长线上时，．故选：B．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）9．稀土是制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关数据表明，我国已探明稀土储量约万吨，居世界第一位，将数万用科学记数法可表示为．【答案】【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．【详解】解：万即大于1，用科学记数法表示为，其中，，∴万用科学记数法表示为，故答案为：．10．比较大小：（填“”“”或“”）【答案】【分析】此题主要考查了有理数大小，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：，，，．故答案为：．11．分解因式．【答案】【分析】题目主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式及完全平方公式分解因式是解题关键．【详解】解：故答案为：．12．如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解是．【答案】【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图象的交点的横坐标就是方程的解即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：由图象得：方程的解是，故答案为：．13．中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长为，“直边长”为，“下圆弧”的长为，则（用含，的式子表示）．【答案】【分析】本题考查弧长公式，根据题意，作出图形，数形结合，利用弧长公式表示出，，找到两者之间的关系即可得到答案，熟记弧长公式是解决问题的关键．【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示：，；，，故答案为：．14．如图，已知，，与的面积和为10，则的长为．【答案】【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．如图，过点A作于点H，过点D作于点K．证明，推出，设，，构建方程组求出，可得结论．【详解】解：如图，过点A作于点H，过点D作于点K．，，，，，，，，，又，，，设，与的面积和为10，即，，在中，,即，则有，，．故答案为：．15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为．【答案】/【分析】本题考查了求余弦，连接，根据勾股定理和勾股定理逆定理，推出，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解．【详解】解：连接，∵，∴，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，故答案为：．16．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为该图象在第一象限内的一点，过点作直线的平行线，交轴于点．若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为．【答案】【分析】根据题意，可以先求出点的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程．【详解】解：∵二次函数，∴当时，当时，，∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，设直线的函数解析式为，，即直线的函数解析式为，∵，点在抛物线上且在第一象限，∴设点的坐标为，设直线的解析式为，，解得，∴直线的解析式为，令且，解得，此时直线的解析式为，当时，∴点横坐标最大值是，∴点经过的路程为：，故答案为：．三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（4分）17．计算：．【详解】原式（4分）18．解方程：．【详解】解：，去分母，化为整式方程得：，即，解得，经检验，是原分式方程的解．（8分）19．解方程组和不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：(1)(2)解不等式组【详解】（1）解：，得：③，得：，解得：，把代入②得：，解得：，∴原方程组的解为：；（2）解：解不等式①，得，解不等式②，得把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：所以原不等式组解集为．（8分）20．某校为了解本校七年级学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：(1)此次调查中样本容量为_______；在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为_______；(2)补全条形统计图；(3)该校七年级共有学生400人，请估计该校七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数．【详解】（1）解：由题知，（人），，故答案为：80，．（2）解：（人），（3）解：（人），答：七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数约为180人．（8分）21．北京时间2023年12月27日14时50分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座19-22星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定从“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”四个模块中各自随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为、、、．(1)小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为_____；(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选择不同模块的概率．【详解】（1）解：小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为，故答案为：；（2）树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选择不同模块的结果有12种，小明和小亮选择不同模块的概率．（8分）22．如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上．(1)求证：；(2)若为中点，，求的长．【详解】（1）四边形是矩形，，，．，，．四边形是菱形，，，，；（2）连接，四边形是菱形，，．为中点，．，，，四边形是平行四边形，．四边形是矩形，，，．（8分）23．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围；(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，﹣2；∴A，B；把A、B的坐标代入得；解得；∴一次函数的解析式为．（2）∵；由图象可知，当时，．（3）∵一次函数为；∴D；∵A，∴；∴，设点P的坐标为：，；∴，；当P在直线下方时，如图1，则；；解得；∴点P．当P在直线AB的上方时，如图2，则；；解得；∴点P；综上可得：点P的坐标为：或．（8分）24．如图，是的直径，点在上，点在外，连接，若；(1)求证：是的切线；(2)已知，点是的中点，过点作，交于点，若的半径为10，，求的长.【详解】（）证明：连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，∵是半径，∴是的切线；（2）解：设与相交于点F，过点E作于点G，如图所示：∵，，点是的中点，∴，∴，∵，∴，∴，由可设，根据勾股定理可知，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（8分）25．杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，作为今年我国举办的最为盛大的赛事，是向世界展示中国形象、传播中国文化的重要窗口．宁夏枸杞作为几千年来备受推崇、药食同源的滋补上品，小小的红果凝聚和传承着宁夏这片土地上，珍贵的历史记忆和宝贵的精神财富，已然成为宁夏独特的地域符号、主导产业和文化象征，不但为宁夏社会经济发展作出了积极贡献，也为助力“健康中国”跑出了“加速度”．在宁夏一特产专卖店销售某种枸杞，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售可增加千克，若该专卖店销售这种枸杞要想平均每天获利元，请回答：(1)为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克枸杞应降价多少元？(2)根据市场需求，该店将售价定为多少出售，每天可获取最大利润，最大利润是多少？【详解】（1）解：设每千克枸杞应降价元，根据题意，得，化简，得

，解得．为尽可能让利于顾客，赢得市场，，答：每千克枸杞应降价元；（2）设每千克枸杞应降价元，每天获得利润为元，根据题意得：，，当时，有最大值，最大值为，此时售价为元，该店将售价定为元出售，每天可获取最大利润，最大利润是元．（8分）26．已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点与点．(1)求抛物线的表达式；(2)点在线段下方的抛物线上，过点作的平行线交线段于点，交轴于点．①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结，当时，求的正切值；②如果，求点的坐标．【详解】（1）解：∵直线经过点与点则当；∴∴解得；（2）解：①如图：∵，且两点关于抛物线的对称轴对称，∴，则∵∴轴则∵过点作的平行线交线段于点，交轴于点．∴则∵轴交于两点（点在点的左侧），∴∴，∴∵则的正切值等于；②设，的解析式为∴把代入得解得∵过点作的平行线交线段于点，交轴于点∴设的解析式为把代入得∴令，即当解得则把代入得∴∵过点作轴，过点作轴，∴∴∵∴∵，，∴，∴解得∵点在线段下方的抛物线上，∴（舍去）∴．把代入∴∴点的坐标（10分）27．【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，为上的动点，当