高考数学（理）高分计划一轮狂刷练第2章函数导数及其应用22a

[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·衡阳四中月考)函数y＝f(x)在区间[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2))) B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(1) D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))答案B解析因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，又函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，所以函数y＝f(x)在区间[2,4]上单调递减．因为f(1)＝f(3)，eq\f(7,2)>3>eq\f(5,2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(3)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))).故选B.2．(2017·武汉调研)若函数f(x)＝ax＋1在R上递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的增区间是()A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．(4，＋∞) D．(－∞，4)答案B解析∵f(x)＝ax＋1在R上递减，∴a<0.而g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a.∵a<0，∴在(－∞，2)上g(x)递增．故选B.3．若函数y＝loga(x2＋2x－3)，当x＝2时，y>0，则此函数的单调递减区间是()A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)答案A解析当x＝2时，y＝loga(22＋2×2－3)＝loga5，∴y＝loga5>0，∴a>1.由复合函数单调性知，单调递减区间需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3>0，,x<－1，))解之得x<－3.故选A.4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g(x)＝eq\f(fx,x)在区间(0，＋∞)上一定()A．有最小值 B．有最大值C．是减函数 D．是增函数答案A解析∵f(x)＝x2－2ax＋a在(0，＋∞)上有最小值，∴a>0.∴g(x)＝eq\f(fx,x)＝x＋eq\f(a,x)－2a在(0，eq\r(a))上单调递减，在(eq\r(a)，＋∞)上单调递增．∴g(x)在(0，＋∞)上一定有最小值．故选A.5．(2018·太原模拟)已知f(x)＝x2－cosx，则f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小关系是()A．f(0)<f(0.6)<f(－0.5)B．f(0)<f(－0.5)<f(0.6)C．f(0.6)<f(－0.5)<f(0)D．f(－0.5)<f(0)<f(0.6)答案B解析∵f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，∴f(x)是偶函数．∴f(－0.5)＝f(0.5)．又∵f′(x)＝2x＋sinx，当x∈(0,1)时，f′(x)>0.∴f(x)在(0,1)上是增函数，∴f(0)<f(0.5)<f(0.6)，即f(0)<f(－0.5)<f(0.6)．故选B.6．(2018·贵阳模拟)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－2⊕x，x∈[－2,2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12答案C解析由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1<x≤2时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.故选C.7．(2018·天津质检)已知f(x)为R上的减函数，则满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－1)))>f(1)的实数x的取值范围是()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)答案D解析∵f(x)为R上的减函数，∴由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－1)))>f(1)得eq\f(1,x－1)<1.解得x<1或x>2.∴x的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．故选D.8．已知a>0，设函数f(x)＝eq\f(2018x＋1＋2010,2018x＋1)(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝()A．2018B．2019C．4028D．4027答案C解析由题意得f(x)＝eq\f(2018x＋1＋2010,2018x＋1)＝2018－eq\f(8,2018x＋1).∵y＝2018x＋1在[－a，a]上是单调递增的，∴f(x)＝2018－eq\f(8,2018x＋1)在[－a，a]上是单调递增的，∴M＝f(a)，N＝f(－a)，∴M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4036－eq\f(8,2018a＋1)－eq\f(8,2018－a＋1)＝4028.故选C.9．(2017·集宁期末)函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(－2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案B解析∵当a＝0时，f(x)＝eq\f(1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上单调递减，故a＝0舍去，∴a≠0，此时f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)＝eq\f(ax＋2＋1－2a,x＋2)＝a＋eq\f(1－2a,x＋2)，又因为y＝eq\f(1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上单调递减，而函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上单调递增，∴1－2a<0，即a>eq\f(1,2).故选B.10．(2018·山西联考)若函数f(x)＝log0.2(5＋4x－x2)在区间(a－1，a＋1)上递减，且b＝lg0.2，c＝20.2，则()A．c<b<aB．b<c<aC．a<b<cD．b<a<c答案D解析f(x)定义域为{x|－1<x<5}，令u＝5＋4x－x2，y＝log0.2u，u(x)在(－1,2)上单调增，且y＝log0.2u为单调减函数，由复合函数单调性知f(x)在(－1,2)上为减函数，(a－1，a＋1)⊆(－1,2)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≤2，,a－1≥－1))⇒0≤a≤1，又由于b＝lg0.2<0，所以a>b，c＝20.2>20＝1，c>a>b.故选D.二、填空题11．(2017·山东济宁模拟)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1x－2a，x<2，,logax，x≥2))(a>0且a≠1)在R上单调递减，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析因为函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1x－2a，x<2，,logax，x≥2))(a>0且a≠1)在R上单调递减，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1<0，,0<a<1，,loga2≤a－1×2－2a))⇒eq\f(\r(2),2)≤a<1，即实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).12．已知函数f(x)的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若g(x)＝－x＋m＋ex的保值区间为[0，＋∞)，则m的值为________．答案－1解析由定义知，g(x)＝－x＋m＋ex保值区间为[0，＋∞)，又∵g′(x)＝－1＋ex≥0，∴g(x)为在[0，＋∞)上的增函数．∴当x＝0时，g(0)＝0，即m＋1＝0，∴m＝－1.13．(2017·济南期中)已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为________．答案(－∞，16]解析∵函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)在x∈[2，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＝2x－eq\f(a,x2)＝eq\f(2x3－a,x2)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立，∴a≤2×23＝16.∴实数a的取值范围为(－∞，16]．14．(2018·濮阳模拟)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．给出下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．答案②③④解析对于①，若f(x)＝x2，则f(x1)＝f(x2)时x1＝x2，或x1＝－x2，故①错误；对于②，f(x)＝2x是R上的增函数，当f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，故②正确；对于③，由单函数的定义，可知其逆否命题：f(x)为单函数，x1，x2∈A且若x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)为真命题，故③正确；对于④，假若f(x1)＝f(x2)时，有x1≠x2，这与单调函数矛盾，故④正确．三、解答题15．(2017·衡阳联考)已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解(1)证明：设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，且f(0)＋f(0)＝f∴f(0)＝0，又f(－3)＋f(3)＝f(－3＋3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.16．已知函数f(x)＝a－eq\f(1,|x|).(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．解(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－eq\f(1,x)，设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,x2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,x1)))＝eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x2－x1,x1x2)>0，∴f(x)在(