双曲线及其标准方程（6大题型）精讲

双曲线及其标准方程重点：1、掌握双曲线的定义；2、掌握定义法和待定系数法求双曲线的标准方程。难点：理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题。一、双曲线的定义1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.2、焦点：两个定点、3、焦距：两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为.4、双曲线就是下列点的集合：．5、要点注意：（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；（2）若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。二、双曲线的标准方程焦点位置焦点在轴焦点在轴图形标准方程焦点坐标、、的关系三、待定系数法求双曲线标准方程的方法四、由双曲线标准方程求参数范围1、对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线.2、对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线.3、已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。五、求双曲线中的焦点三角形面积的方法（1）=1\*GB3①根据双曲线的定义求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；=3\*GB3③通过配方，利用整体的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面积。（2）利用公式求得面积；（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题。题型一双曲线定义的理解与应用【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（）A．射线B．直线C．椭圆D．双曲线的一支【答案】A【解析】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线.故选：A.【变式11】（2023·全国·高三专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，因此满足，的动点P的轨迹均不是双曲线，满足的动点P的轨迹是双曲线的右支，而满足的动点P的轨迹才是双曲线．故选：B．【变式12】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（）A．当时，点的轨迹为一直线B．当时，点的轨迹为一射线C．当时，点的轨迹不存在D．当时，点的轨迹是双曲线【答案】AB【解析】对于A选项，当时，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A对；对于B选项，当时，，则点的轨迹是一条射线，且射线的端点为，方向为轴的正方向，B对；对于C选项，当时，，则点的轨迹是一条射线，且射线的端点为，方向为轴的负方向，C错；对于D选项，当时，，且，所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，D错.故选：AB.【变式13】（2023·全国·高二专题练习）双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（）A．1或21B．14或36C．2D．21【答案】D【解析】设双曲线的左右焦点分别为，不妨设，根据双曲线的定义知|，所以或，而，，双曲线右支上一点，，则，则点到右焦点的距离为，当时，取得最小值，最小值为2，故不成立，舍去，满足要求，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选：D题型二求双曲线的标准方程【例2】（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程．（1）焦点在轴上，，经过点；（2）经过、两点．（3）过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，因此，双曲线的标准方程为.（2）设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线方程可得，解得，因此，双曲线的标准方程为.（3）由题意知，椭圆的焦点坐标为，所以可设双曲线标准方程为，其中，代入点可得，联立解得；所以双曲线标准方程为.【变式21】（2024·全国·高三专题练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，又动点满足，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，则有，动点的轨迹方程为．故选：A．【变式22】（2023·江苏·高二假期作业）下列选项中的曲线与共焦点的双曲线是（）A．B．1C．1D．1【答案】D【解析】双曲线的焦点在x轴上，半焦距，对于A，方程，即，是焦点在x轴上的双曲线，而半焦距为，A不是；对于B，C，方程、都是焦点在y轴上的双曲线，BC不是；对于D，方程是焦点在x轴上的双曲线，半焦距为，D是.故选：D【变式23】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在椭圆中，由题知，解得，所以椭圆的焦点为，，因为曲线上的点到，的距离的差的绝对值等于8，且，所以曲线是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，所以曲线的虚半轴长为，故的标准方程为：.故选：A.题型三由双曲线的标准方程求参数【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】方程可化为：，由方程表示的焦点在y轴的双曲线，得，解得.故选：C.【变式31】（2023·全国·高二专题练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】由题意得，解得，即.故选：A.【变式32】（2023秋·江苏无锡·高二校考阶段练习）若方程所表示的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是.【答案】和【解析】由题意可知，，解得：，此时双曲线的焦点在轴，，，那么，则它的焦点坐标是和.【变式33】（2023秋·江苏无锡·高二校考阶段练习）（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）A．当时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则【答案】BC【解析】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，D错误．故选：BC.题型四双曲线的焦点三角形问题【例4】（2021秋·广东深圳·高二校考期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（）A．B．tC．2tD．4t【答案】B【解析】设，，不妨设交点P在第一象限，分别为左右焦点，则①，②，，可得①②2：，∴是直角三角形，①②：，．故选：B【变式41】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由双曲线得出.因为，所以.作于C，则C是AB的中点.设，则由双曲线的定义，可得.故，又由余弦定理得，所以，解得.故选：C【变式42】（2023秋·高二课时练习）设点P在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于.【答案】22【解析】由题意知，，又，∴，，故的周长为，故答案为：22【变式43】（2023·全国·高二专题练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，点是双曲线上一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在双曲线中，，，则，根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则．因为，所，．在中，，①在中，是中点,则，两边平方可得，所以②所以,,．故选：A.题型五与双曲线有关的轨迹问题【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知动圆M与两圆和都外切，则动圆M的圆心轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．抛物线D．前三个答案都不对【答案】B【解析】题中两圆分别记为圆以及圆，设动圆圆心为，半径为r，则，于是为定值，因此动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支，故选：B.【变式51】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，若四边形（为原点）的面积为4，则动点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域，所以点到直线的距离，到直线的距离，，即.所以动点M的轨迹方程：.故选：C.【变式52】（2023·全国·高二专题练习）已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，所以有，由圆，得，该圆的半径，因为点在圆上运动时，所以有，于是有，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线，所以，，可得，所以，所以点的轨迹方程为.故选：B．【变式53】（2023·全国·高二专题练习）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆N：的圆心为，半径为，且设动圆的半径为，则，即.即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，故动圆圆心P的轨迹方程是故选：A题型六双曲线中的距离和差最值【例6】（2023春·四川成都·高二校考期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点，当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，从而，又为定值，所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），故选：B.【变式61】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得双曲线焦点在轴上，，，，所以下焦点，设上焦点为，则，根据双曲线定义：，在上支，，,在中两边之差小于第三边，，,.故选：D.【变式62】（2023