2024年高考数学随机过程与时间序列分析历年真题

2024年高考数学随机过程与时间序列分析历年真题Ⅰ.选择题（共15小题，每小题3分，共45分）从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。1.设随机过程Xt如下：Xt为第t年的高考数学成绩（t为正整数），已知X1=90，且对于任意s≤t，Xt与Xs不相关。则X4的期望值为A.90B.92.5C.95D.97.52.已知时间序列Xt满足Xt+1=0.8Xt+Zt，其中Zt为均值为0，方差为1的正态随机变量。若X0=2，求X2的数学期望。A.0B.1C.2D.33.时间序列{Xt}列是平稳时间序列，其均值为3，自相关系数ρ(1)=0.5，求期望µ。A.1.5B.2C.2.5D.34.随机过程Xt为时间序列{Et}的线性平滑，其中Et为均值为0，方差为1的白噪声序列。已知X0=1，X1=3，X2=2，则X3的期望为A.2B.2.5C.3D.3.55.已知时间序列Xt满足Xt=0.5Xt-1+2+Zt，其中Zt是均值为0，方差为1的正态随机变量序列。若X1=3，求X4的条件数学期望。A.4B.5C.6D.76.时间序列{Xt}是一个二阶自回归序列，其期望为0，自相关系数ρ(1)=0.7，ρ(2)=−0.5，求X2的方差。A.0B.0.5C.1D.1.57.随机过程Xt与时间序列{Et}的滑动平均相关，其中Et为白噪声序列，已知X1=3，X2=4，X3=5，X4=6，X5=7。求X5对应的Et值。A.1B.2C.3D.48.设Xt是平稳时间序列{Et}的滑动平均序列，其中Et为白噪声序列。已知X1=2，X2=4，X3=6。求X5对应的Et值。A.4B.5C.6D.79.时间序列{Xt}是一个AR(1)序列，其期望为3，自相关系数ρ(1)=0.8，已知X3=5，求X4的条件数学期望。A.3.8B.4C.4.2D.4.410.随机过程Xt为时间序列{Et}的线性滑动平均系列，其季度均值为2，季度变动的方差为1，已知X1=1，X2=3，X3=4。求X5对应的Et值。A.1B.2C.3D.411.时间序列{Xt}满足Xt+1=0.6Xt+Zt，其中Zt是白噪声序列。已知X0=2，求X3的条件方差。A.0.36B.0.48C.0.6D.0.7212.设随机过程Xt如下：Xt=3X0+Zt，其中Zt为白噪声序列。已知X0=5，X4=23。求E(Z3)的值。A.2B.4C.6D.813.已知时间序列{Xt}是二阶自回归序列，其期望为2，自协方差函数γ(1)=1，γ(2)=0.5，求E(X2X4)。A.4.5B.5C.5.5D.614.时间序列{Xt}满足方程Xt=2Xt-1-Xt-2+Et，其中Et是白噪声序列。已知X1=2，X2=3，求E(X3)的值。A.3B.3.5C.4D.4.515.设随机过程Xt如下：Xt=2Xt-1-Xt-2+Zt，其中X0=1，X1=2，Zt是白噪声。求X3的方差。A.1B.1.5C.2D.2.5Ⅱ.计算题（共2小题，每小题10分，共20分）1.设时间序列{Xt}为一个移动平均序列，满足Xt=2Et+3Et-1+5Et-2，其中Et为白噪声序列，试求X2的期望和方差。解答过程：X2=2E2+3E1+5E0期望E(X2)=2E(E2)+3E(E1)+5E(E0)由于白噪声序列的期望为0，即E(Et)=0，所以E(X2)=0+0+5*0=0方差Var(X2)=Var(2E2+3E1+5E0)由于白噪声序列的方差为1，即Var(Et)=1，所以Var(X2)=Var(2E2+3E1+5E0)=2^2*Var(E2)+3^2*Var(E1)+5^2*Var(E0)=4*1+9*1+25*1=4+9+25=38所以X2的期望为0，方差为38。2.已知时间序列{Xt}满足条件Xt=0.7Xt-1+0.2Xt-2+Et，其中Et为白噪声序列，X0=2，X1=4。求X3的条件方差。解答过程：由已知条件可得：X3=0.7X2+0.2X1+E3条件方差Var(X3|X2,X1)=Var(0.7X2+0.2X1+E3)由于白噪声序列的方差为1，且X2和X1为已知的值，所以方差Var(X3|X2,X1)=Var(0.7X2+0.2X1+E3)=Var(0.7X2)+Var(0.2X1)+Var(E3)=0.7^2*Var(X2)+0.2^2*Var(X1)+1=0.49*Var(X2)+0.04*Var(X1)+1根据给定条件X0=2，X1=4，可知X2=0.7X1+0.2X0+E2=0.7*4+0.2*2+E2=2.8+0.4+E2=3.2+E2将X2带入条件方差公式可得：方差Var(X3|X2,X1)=0.49*Var(X2)+0.04*Var(X1)+1=0.49*Var(3.2+E2)+0.04*4+1=0.49*Var(E2)+0.04*4+1=0.49*1+0.04*4+1=0.49+0.16+1=1.65因此，X3的条件方差为1.65。总结：本篇文章通过15道选择题和2道计算题，考察了高考数学中关于随机过程与时间序列分析