2025届新高考数学精准突破复习 空间位置关系的判断与证明

2025届新高考数学精准突破复习空间位置关系的判断与证明考情预览

明确考向1.[空间线线位置关系](2021·浙江卷)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则(

)A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1√解析:法一连接AD1(图略),则易得点M在AD1上,且AD1⊥A1D.因为AB⊥平面AA1D1D,A1D⊂平面AA1D1D,所以AB⊥A1D,又AD1∩AB=A,AD1,AB⊂平面ABD1,所以A1D⊥平面ABD1,又D1B⊂平面ABD1,所以A1D与D1B异面且垂直.在△ABD1中,由中位线定理可得MN∥AB,所以MN∥平面ABCD.易知直线AB与平面BB1D1D成45°角,所以MN与平面BB1D1D不垂直,所以选项A正确.故选A.2.[空间平面的平行与垂直](2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(

)A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D√解析:如图,对于选项A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,从而EF⊥平面BDD1,又EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故选项A正确;对于选项B,因为平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以由选项A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故选项B错误;对于选项C,由题意知直线AA1与直线B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC不平行,故选项C错误;对于选项D,连接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1,所以平面A1C1D与平面B1EF不平行,故选项D错误.故选A.(1)求证:EF∥平面ADO;(2)若∠POF=120°,求三棱锥P-ABC的体积.4.[空间面面垂直的判定](2023·全国甲卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.(1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(1)证明:因为A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以A1C⊥BC.因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC,又A1C,AC⊂平面ACC1A1,A1C∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又因为BC⊂平面BB1C1C,所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高.(2)解:如图,过点A1作A1O⊥CC1,垂足为O,因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1,A1O⊂平面ACC1A1,所以A1O⊥平面BB1C1C,所以A1O为四棱锥A1-BB1C1C的高.考法聚焦

讲练突破热点一空间点、线、面的位置关系判断空间直线、平面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断,解决问题.(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、正四面体等模型中观察线、面的位置关系,并结合有关定理进行判断.典例1

(1)(2023·河南焦作模拟)设m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是(

)A.若m⊂α,n∥β,α⊥β,则m⊥nB.若m∥α,α∩β=n,则m∥nC.若α∩β=l,α⊥β,m⊂α,m⊥l,m∥n,则n⊥βD.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α∥β√解析:(1)若m⊂α,n∥β,α⊥β,则m与n的位置关系可能是平行、相交或异面,故A错误;若m∥α,α∩β=n,则m与n的位置关系可能是平行或异面,故B错误;若α∩β=l,α⊥β,m⊂α,m⊥l,则m⊥β,因为m∥n,所以n⊥β,故C正确;因为m⊥n,m⊥α,n∥β,所以α与β相交或平行,故D错误.故选C.(2)(2023·浙江绍兴模拟预测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是线段CD1上的动点,则(

)A.AP∥平面BC1D B.AP∥平面A1BC1C.AP⊥平面A1BD D.AP⊥平面BB1D1√解析:(2)如图,连接AD1,AC,A1C1,A1B,BC1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,由AA1与CC1平行且相等得四边形ACC1A1是平行四边形,则A1C1∥AC,又AC⊄平面A1BC1,A1C1⊂平面A1BC1,得AC∥平面A1BC1,同理AD1∥平面A1BC1,而AD1,AC是平面AD1C内两条相交直线,因此有平面AD1C∥平面A1BC1,又AP⊂平面AD1C,所以AP∥平面A1BC1.故选B.(1)根据定理判断空间线面位置关系,可以举反例,也可以证明,要结合题目灵活选择.(2)求角时,可借助等角定理先利用平行关系找到这个角,然后把这个角放到三角形中去求解.热点训练1

(1)(2022·四川泸州模拟)已知O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心O关于平面A1B1C1D1的对称点,则下列说法中正确的是(

)A.O1C1与A1C是异面直线B.O1C1∥平面A1BCD1C.O1C1⊥ADD.O1C1⊥平面BDD1B1√解析:(1)连接A1C,AC1,交于点O,连接A1C1,B1D1,交于点P.连接AC,BD,A1B,D1C,O1O.由题可知,O1在平面A1C1CA上,所以O1C1与A1C共面,故A错误;在四边形OO1C1C中,O1O∥C1C且O1O=C1C,所以四边形OO1C1C为平行四边形,所以O1C1∥OC.因为OC⊂平面A1BCD1,O1C1⊄平面A1BCD1,所以O1C1∥平面A1BCD1,故B正确;由正方体的性质可得A1C1⊥B1D1,因为O1B1=O1D1,所以O1P⊥B1D1,又因为O1P∩A1C1=P,O1P,A1C1⊂平面O1A1C1,所以B1D1⊥平面O1A1C1,又O1C1⊂平面O1A1C1,所以B1D1⊥O1C1,又因为B1D1∥BD,所以BD⊥O1C1,而AD与BD所成角为45°,显然O1C1与AD不垂直,故C错误;显然O1C1与O1B1不垂直,而O1B1⊂平面BDD1B1,所以O1C1与平面BDD1B1不垂直,故D错误.故选B.(2)(多选题)(2023·广东广州统考三模)如图,在矩形AEE1A1中,点B,C,D与点B1,C1,D1分别是线段AE与A1E1的四等分点,且AA1>AB.若把矩形AEE1A1卷成以AA1为母线的圆柱的侧面,使线段AA1,EE1重合,则(

)A.直线AB1与DC1异面B.直线AB1与CD1异面C.直线B1C1与平面CDD1垂直D.直线CD1与平面ADC1垂直√√解析:(2)对于A,因为点B,C,D与点B1,C1,D1分别是线段AE与A1E1的四等分点,取O,O1分别为下底面和上底面的圆心,根据对称性可知直线AB1∥DC1,故A不正确;对于B,连接CD1,直线AB1与CD1既不平行也不相交,故直线AB1与CD1为异面直线,故B正确;对于C,因为点B,C,D与点B1,C1,D1分别是线段AE与A1E1的四等分点,连接DD1,D1C,DC,BC,AB,AD,BB1,A1C1,A1B1,BD,由圆柱的性质知,DD1∥CC1,DD1=CC1,所以四边形D1DCC1为平行四边形,所以DC∥D1C1,同理BC∥B1C1,因为BD为圆O的直径,所以CD⊥BC,即DC⊥B1C1,又因为DD1⊥底面A1B1C1,B1C1⊂底面A1B1C1,所以DD1⊥B1C1,DD1∩DC=D,DD1,DC⊂平面CDD1,所以B1C1⊥平面CDD1,故C正确;热点二空间平行、垂直关系的证明(1)平行关系及垂直关系的转化(2)利用向量证明空间位置关系①利用向量证明平行问题.a.线线平行:方向向量平行.b.线面平行:平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直.c.面面平行:两平面的法向量平行.②利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法.线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直典例2如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,M为AB的中点,N为B1C1的中点,H是A1B1的中点,P是BC1与B1C的交点,Q是A1N与C1H的交点.(1)求证:A1C⊥BC1;证明:(1)法一连接AC1(图略),在直三棱柱ABC-A1B1C1中,有AA1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以AA1⊥AB.又∠BAC=90°,则AB⊥AC,因为AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面ACC1A1,所以AB⊥平面ACC1A1.因为A1C⊂平面ACC1A1,所以AB⊥A1C.因为AC⊂平面ABC,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AC,又AC=AA1=2,所以四边形AA1C1C为正方形,所以A1C⊥AC1.因为AB∩AC1=A,AB,AC1⊂平面ABC1,所以A1C⊥平面ABC1,因为BC1⊂平面ABC1,所以A1C⊥BC1.(2)求证:PQ∥平面A1CM.证明:(2)法一连接BH,MH.在正方形AA1B1B中,M为AB的中点,H为A1B1的中点,所以BM∥A1H且BM=A1H,所以四边形BMA1H是平行四边形,所以BH∥A1M.因为BH⊄平面A1CM,A1M⊂平面A1CM,所以BH∥平面A1CM.又H为A1B1的中点,所以四边形AA1HM是矩形,所以MH∥AA1且MH=AA1.因为AA1∥C1C且AA1=C1C,所以MH∥CC1,MH=C1C,所以四边形MHC1C为平行四边形,所以C1H∥CM.因为C1H⊄平面A1CM,CM⊂平面A1CM,所以C1H∥平面A1CM,因为C1H∩BH=H,C1H⊂平面BHC1,BH⊂平面BHC1,所以平面BHC1∥平面A1CM,又PQ⊂平面BHC1,所以PQ∥平面A1CM.(1)证明线线平行的常用方法:①三角形的中位线定理等平面几何中的定理;②平行线的传递性;③线面平行的性质定理;④面面平行的性质定理;⑤线面垂直的性质定理.(2)证明线线垂直的常用方法:①等腰三角形三线合一等平面几何知识;②勾股定理的逆定理;③利用线面垂直证线线垂直.热点训练2

(2023·广东深圳模拟预测)在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足AE