2023北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习-第四章　对数运算与对数函数综合拔高练

2023北师大版新教材高中数学必修第一册

第四章对数运算与对数函数

综合拔IWJ练

五年高考练

考点1对数的运算

1.(2021全国甲文,6)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表

测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数

记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则

其视力的小数记录法的数据约为(弋国之L259)()

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

2.(2021天津,7)若2a=5b=10厕泊=()

A.-lB.lg7

C.lD.logylO

考点2对数型函数的性质

3.(2017山东,1)设函数y二代二^的定义域为A,函数y=ln(l-x)的定义域为B,则

ADB=()

A.(l,2)B.(l,2]

C.(-2,l)D.[-2,l)

4.(2017课标全国1,9)已知函数g)=皿x+ln(2-x)JJUJ()

A.f(x)在(0,2)单调递增

B.f(x)在(0,2)单调递减

C.y=f(x)的图象关于直线x=l对称

D.y=f(x)的图象关于点(L0)对称

5.(2017课标全国口,8)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()

A.(-oo,-2)B.(-oo,l)

C.(l,+oo)D.(4,+oo)

6.(2018江苏,5)函数£仅)二河/，的定义域为.

7.(2018课标全国印,16)已知函数f(x)=ln(VT不淳-x)+l,f(a)=4,则f(-a)=_.

考点3函数值(对数值)的大小比较

8.(2021全国新高考口,7)已知a=log52,b=log83,c=|,!Ji!J()

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

9.(2020天津理,6)设a=30-7,b=G)“：c=logo.708则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

10.(2019课标全国IH,11)设f(x)是定义域为R的偶函数且在(0,+⑼单调递减则

()

A.f(log3^>f(2-I)>f(2-|)

B.f(Iog3^>f(2-t)>f(2-|)

C.f(2-1)>f(2-|)>f(log3|)

D.f(2'l)>f(2-1)>f(log3^

11.(2020全国m理,12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=logi38贝!]

()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

12.(2018课标全国印[2)设a=logo.203b=log20.3JJUJ()

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

三年模拟练

应用实践

1.(2020河北保定期末)〃馆5末1)3-J(lg2-1)2=()

A.2lg5B.O

C.-lD.-2lg5

2.(2022安徽十校联盟联考)已知aTogsZ.bME/uO.7%则a,b,c的大小关

系为()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

3.(多选)(2021浙江温州期末)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=loga(x-

b),g(x)=bxa的图象可能是(

y

4.(2022陕西宝鸡中学期中)若函数丫=1。92仅2郎+3可在(2,+8)上单调递墙则

实数a的取值范围为()

A.[-4,4]B.(-4,4)

C.(-oo,41D.(-oo,4)

5.(2020河南平顶山期中)已知f(x)是偶函数且在［0,+8)上是减函数若f(|g

刈才(1)厕乂的取值范围是()

A.(Q)B.(0,1)U(10,+CO)

C.(Q。)D.(o焉)U(l,+8)

6.(2021四川顶级名校期中)已知函数f(x)=严盘?°二^3,若函数丫=烟的图

象与直线y=m有三个不同的交点，其横坐标依次为X1,X2,X3,且X1<X2<X3,则

m

(XlX2+l)-X3的取值范围是()

A.(-3,-l)B.(0,2)

C.(-l,3)D.(3,0)

7.(2020河南郑州期末)已知函数f(x)=log3(x+kFT)+券在［-k,k］(k>0)上的

最大值和最小值分别为M和m厕M+m=()

A.4B.2

C.lD.0

8.(2021江西南昌外国语学校期中)函数f(x)=log4"log鱼(2x)的值域

为.

9.(2020浙江台州椒江期中)定义区间［xi,X2］的长度为X2-xi.若函数y二|log2x归勺

定义域为［a,b］,值域为［0,3］,则区间匕⑼长度的最大值为.

(3-a)x+a-l,x<1,

10.(2020江苏南通期末)已知函数f(x)=./2,匚、、1若f(x)在R上

J°ga1%-ax十4—L

是增函数,则实数a的取值范围是.

11.(2022北京东城期末)设函数f(x)=loga(|x|+l)(a>l)厕f(x)是(填

"奇函数"或"偶函数")；若忏仅)={%眼热T>0),则当T=：时，函数fT(x)的

值域为.

12.已知函数f(x)=loga(x+a)(a>0且awl),g(x)=f(x)-f(-x).

⑴判断并证明函数g(x)的奇偶性；

(2)若x£[m,n]时，函数g(x)的值域是[logamjogan],求整数a的最小值.

13.(2020陕西咸阳实验中学期末)如图,过函数f(x)=logcx(c>l)的图象上的两点

A,B作x轴的垂线，垂足分别为M(a,0),N(b,0)(b>a>l),线段BN与函数

g(x)=logmx(m>c>l)的图象交于点C,且AC与x轴平行.

⑴当a=2,b=4,c=3时,求实数m的值；

⑵当b=a2时，求蓝常的最小值;

⑶已知h(x)=ax,cp(x)=bx,xi,X2为区间(a,b)内任意两个变量，且xi<X2,求

证:h(f(X2))<(p(f(xi)).

迁移创新

14.(2021河南安阳一中月考)已知函数y=f(x),若对于给定的正整数k,f(x)在其定

义域内存在实数xo,使得f(xo+k)=f(xo)+f(k)厕称此函数f(x)为"保k值函数”.

⑴若函数f(x)=2x为"保1值函数"，求xo的值；

⑵①试判断函数f(x)=x+：是不是"保k值函数"，若是，求出k的值;若不是，请说

明理由；

②试判断函数f(x)=ln3是不是"保2值函数"，若是，求出实数a的取值范围；

若不是，请说明理由.

本章达标检测见增分测评卷P7

答案与分层梯度式解析

第四章对数运算与对数函数

综合拔同J练

五年高考练

1.C将L=4.9代入L=5+lgV,得4.9=5+lgV,

1

即lgV=-0.1=-^=lglow,

1

「•其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.

2.C/2a=5b=10,..3=109210^=109510,

•户嬴+^Tg2+ig5=ig10=1.

3.P由4-x2“,解得-24x42,由l-x>0,解得x<L-AnB={x卜2Vx<1}.故选D.

4.6?函数f(x)=lnx+ln(2-x)=ln［x(2-x)］，其中0<x<2厕函数f(x)是由y=ln

t,t(x)=x(2-x)复合而成的油复合函数的单调性可知,x£(0,l)时,f(x)单调递

增,x£(1,2)时,f(x)单调递减厕A、B选项错误;t(x)的图象关于直线x=l对称，即

t(x)=t(2-x)厕f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=l对称，故C选项正确,D选

项错误.故选C.

5.P由x2-2x-8>0可得x>4或x<-2,

所以XG(-oo,-2)U(4,+oo),

令u=x2-2x-8,

则u=x2-2x-8在x£(-8,-2)上单调递减，在x£(4,+8)上单调递增.

又因为y=lnu在u£(0,+8)上单调递增，

所以y=In(x2-2x-8)在x£(4,+⑼上单调递增.故选D.

6.答案［2,+8)

解析由题意得黑/3解得x>2,

即函数f(x)的定义域为2+8).

7.答案-2

解析易知f(x)的定义域为R,设g(x)=ln(VIT^-x),则g(-x)=ln(VT+^+x)=-g(x),

又g(x)的定义域为R,关于原点对称/.g(x)为奇函数，

・•.g(a)+g(-a)=O,又f(a)=g(a)+Lf(-a)=g(-a)+L;f⑶+f(-a)=2,又f(a)=4,/.f(-

a)=2-4=-2.

11

8.C,.Iog52<log552=1=log882<log83,/.a<c<b.

9.P由函数y=3x单调递增，函数y=logo.7X(x>0)单调递减可知

a=30-7>3°=l,b=Q)08=30-8>30-7=a,c=logo,70.8<logo,70.7=l,gPc<l<a<b^

选D.

ior•「f(x)是定义域为R的偶函数，

/.f(-x)=f(x).

'f(iog3i)=f(-log34)=f(log34).

23

,.log34>log33=l,H1>2-3>2-2>0,

23

.•.Iog34>2_3>2_2>0.

•」f(x)在。+8)上单调递减,

32

.•.f(2》f(2号>f(log34)=f(嗨》.故选C.

11.Aa=Iogs3G(0,l),b=Iogs5G(0,1),IJ1!]

*器=国3.-8<(一)«号)、L，a<b.

又•••134<85/.135<13x85,两边同取以13为底的对数得Iogi3135<logi3(13x85),

即Iogi38

又<8。.8x55<85两边同取以8为底的对数得log8(8x5^)<logsS^&P

Iog85<^/.b<^.

综上所述c>b>a,故选A.

12.Ba+b=logo.20.3+log20.3=鼠+骑l=(lg3-1)

因为lg2-l<0,lg2>0,lg3-l<0,lg4-l<0,

所以(Ig3-1)•意金<0,即a+b<0.

ab=logo.20.3-log20.3=g^-^i

_(Ig3-1)2<0

"(lg2-l)lg2,

二h_G*h)—(lg3-l)2_(lg3-l)(lg4-l)

()一(Ig2-l)lg2(Ig2-l)lg2

=('l»q3-Jl()Ig2--l)^lg2^<0'z

所以ab<a+b<0.

三年模拟练

1.13原式=lg50-l-(l-lg2)=lg50-2+lg2=0,故选B.

2.A•.•logsl<log52<log5V5,/.0<a<0.5.

,七二弱岛二logo.70.1>logo.70.7,.,.b>1.

,.0.71<0.703<0.7°,/.0.7<c<l,/.a<c<b.

3AC选项A中，根据题中图象知f(x)在定义域上单调递增，所以a>L又f(x)的

图象过点(2,0),所以b=l,所以g(x)=l,故A符合；

选项B中，由g(x)的图象可知a>l,0<b<L所以函数f(x犯勺图象应由y=logax的

图象向右平移b个单位长度得到，故B不符合；

选项C中，由f(x)的图象知0<a<l且0<b<L由g(x)的图象知0<a<l且

0<b<1故C符合.

选项D好，由f(x)血图象知由g(x)的图象知a=0,故D不符合.故选AC.

4.A根据题意得仁-2，解得-44a44.

5c:Kx)是偶函数且在[0,+8)上是减函数，

・•・f(x)在(-*0)上是增函数.

若f(lgx)>f(l)则lgx|<l,gp-l<lgx<l,

解彳鼠<x<10.

故选C.

6.A作出函数f(x)=[l^x|，o<x<3,的图象及直线y=m,如图所示,

因为函数y=f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点，所以0<m<l,

S-log3Xi=log3X2=-X3+4=m得xiX2=Lx3=4-m,

所以(XlX2+l)m-X3=2m-4+m.

设h(m)=2m-4+m,me(0,l),

因为h(m)在(0,1)上单调递增，

所以

即。仅2+1尸~3的取值范围为(-3,-1),故选A.

7.B-.-f(x)=log3(x+V^TT)+^-,

=Iog3(-x++篇,

・•.f(x)+f(-x)=2,.•.函数f(x)在定义域内既不是奇函数,又不是偶函数.令g(x)=f(x)-l,

则g(x)+g(-x)=f(x)-l+f(-x)-l=O,「.g(x)在定义域［-k,k］(k>0)内为奇函数设g(x)

的最大值为t则最小值为的最大值为M=t+1,最小值为m=-

t+l,/.M+m=2.

8.答案［4+8)

W［Qog2X)2+log2x］W(］°g2x+JW，

解析因为f(x)=log4^log历(2刈=若•霏

所以所以性故函数f(x)的值域为舟+8).

9.答案-

解析由题知函数y=|log2x出勺定义域为［a,b］,值域为［0,3］,要使区间［a,b］的长度

最大则-34log2X43,解得j4x48,

故区间［a,b］长度的最大值为

10.答案(i,|］

解析因为函数f(x)在R上是增函数，

所以y=(3-a)x+a-l在区间(-8,1)上是增函数且y=loga8-ax+为在区间［L+8)

上也是增函数.

由函数y=(3-a)x+a-l在(-8,1)上是增函数，

得3-a>0=a<3.①

对于函数y=loga(/-ax+芝),X£［L+8),

令u=x2-ax+卜(年了+竽.

当0<a<l时,31,所以u=x2-ax+2在［L+8)上是增函数

又y=logaii为定义域内的减函数，

所以根据复合函数"同增异减"可得0<a<l时，函数y=loga(一一ax+»在区间

［1,+8)上是减函数，不符合题意，舍去；

当a>l时，要使函数丫=1。92(久2m+9为定义域内的增函数,只需函数u=x2-

ax+卜(x-if+噌在［L+8)上也是增函数，又对数函数的真数大于0,

(-<1,

所以2]>解得a<2.

眸a+弓>0,

又a>l,所以l<a42.②

由①②得l<a42.

因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)的图象在衔接点处的函数值应满足3-a+a-

2

l<loga(i-a+^),

即a2+a孚0,解得-|4av|.

所以实数a的取值范围是

11.答案偶函数(-8吊U[o.)

解析因为冈+121>0恒成立，所以f(x)的定义域为R,关于原点对称，

又f(-x)=loga(|-x|+1)=loga(|x|+1)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.

因为冈+H,a>L所以f(x)=loga(|x|+l)>0,

若T三厕由题意可得当f(x)C时,斤仅)=f(x)q故0"T(X)《

当f(x)>^,fT(x)=-f(x)<-i.

综上，函数fT(x)的值域为(9弓u隹).

12.解析Q)函数g(x)为奇函数证明如下：

函数g(x)=f(x)-f(-x)=loga(x+a)-loga(a-x),

•,•{2>o,°->--a<x<a^

二•函数g(x)的定义域为(-a,a).

又g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x),

二•函数g(x)为奇函数.

⑵由logam<logan及x£[m,n],得n>m>0,a>l,

由⑴知,g(x)=loga(x+a)-loga(a-x)=loga鬻,

令u=也=-1-在厕u在区间[m,n]内单调递增，

CL-XX-CL

又y=logau(a>l)为增函数/.函数g(x)在区间[m,n]内单调递增，且值域是

[logam,logan],

m+a

10=i1m

p(m)=10gam,gnlga—°ga-

•b(n)=logan,[log。詈=iogan,

<m+a

二黑一’在区间(0⑶上有解，

——=n

Ia-n

即方程岩二X在区间(0⑶上有两个不同的实数根，

即方程x2+(l-a)x+a=0在区间(0,a)上有两个不同的实数根，

令h(x)=x2+(l-a)x+a,

2=(l-a)2-4a>0,__

则0<_<a,.卜<3-2夜或a>3+2也

旗0)=a>0,飞>:

[h(a)=2a>0,,

/.a>3+2V2,

又a是整数,」.amin=6.

13解析⑴由瞿意得A(2,log32),B(4,log34),C(4,logm4).

/AC与x轴平行,「.logm4