函数的奇偶性（原卷版）2

5.4函数的奇偶性【考点梳理】考点一：函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．考点二：函数奇偶性的定义1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．考点三：奇(偶)函数的定义域特征奇(偶)函数的定义域关于原点对称．重难点：奇偶性的应用考点四：用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．考点五：奇偶性与单调性若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．【题型归纳】题型一：函数奇偶函数的判断1．（2022秋·江苏南京·高一校考期末）下列函数中，既是奇函数，又在上为增函数的是（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏·高一宿迁中学校考期中）下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（

）A． B． C． D．3．（2023·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)．题型二：利用奇偶性求函数的解析式4．（2022秋·江苏南京·高一南京市雨花台中学校考期中）已知是定义在上的偶函数，当时，，则时，（

）A． B．C． D．5．（2022秋·江苏扬州·高一校考期中）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（

）A． B． C． D．6．（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期中）已知函数是上的偶函数，当时，(1)当时，求函数的解析式；(2)用单调性定义证明函数在区间上是单调增函数.题型三：抽象函数的奇偶性问题7．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（

）A． B．C． D．8．（2022·江苏·高一专题练习）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．9．（2021·高一单元测试）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若已知，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．题型四：奇偶性函数的应用10．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．11．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．12．（2023秋·江苏南通·高一统考期末）已知函数的定义域为为偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．题型五：奇偶性求解不等式问题13．（2022秋·江苏扬州·高一统考期中）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围为（

）A． B．C． D．14．（2022秋·江苏南京·高一南京市雨花台中学校考期中）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．15．（2022秋·江苏常州·高一华罗庚中学校考期中）偶函数的定义域为，且对于任意，均有成立，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．题型六：奇偶性的对称问题16．（2022秋·江苏常州·高一统考期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程的所有根之和等于（

）A． B． C．0 D．217．（2022秋·江苏宿迁·高一校考期中）函数的定义域为R，为偶函数，且，当x[0，1]时.若，则=（

）A． B． C． D．18．（2019秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期中）函数y＝f(x)在区间[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．题型七：函数的奇偶性与单调性解综合问题19．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数.(1)求实数的值；(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.20．（2022秋·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且(1)确定函数的解析式；(2)用定义证明在上单调递减;(3)求函数在的值域.21．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知定义在上的函数恒有，当时，，且.(1)判断的奇偶性；(2)若对所有的恒成立，求实数m的取值范围.【双基达标】一、单选题22．（2023秋·江苏南通·高一统）设函数的定义域为为奇函数是为偶函数的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件23．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）对于定义在上的函数，下列说法正确的是（

）A．若，则函数是增函数B．若，则函数不是减函数C．若，则函数是偶函数D．若，则函数不是奇函数24．（2023秋·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）设是定义在上的奇函数，则＝（

）A． B． C． D．25．（2023春·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．26．（2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考期末）定义在上的偶函数，当时，，则的解集是（

）A． B．C． D．27．（2023秋·江苏连云港·高一校考期末）已知函数，若对任意的实数x，恒有成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．28．（2022秋·江苏连云港·高一期末）已知a∈R，函数的图象经过点．(1)求实数a的值；(2)判断的奇偶性并证明；(3)判断在区间上的单调性并证明．29．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数为奇函数.(1)用函数单调性的定义证明：在区间上是单调递增；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；【高分突破】一、单选题30．（2022秋·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）已知函数，当时，，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．31．（2022秋·江苏苏州·高一苏州中学校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，成立，当时，，若对任意的，都有，则的最大值是（

）A． B． C． D．32．（2022秋·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（

）A． B．C． D．33．（2022秋·江苏泰州·高一统考期中）已知f（x）为偶函数，且函数g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，） B．（﹣∞，1） C．（，+∞） D．（1，+∞）34．（2022秋·江苏南通·高一统考期中）已知定义在的函数是奇函数，且对任意两个不相等的实数，都有.则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题35．（2023秋·江苏南通·高一统考期末）奇函数与偶函数的定义域均为，在区间上都是增函数，则（

）A．B．在区间上是增函数，在区间上是减函数C．是奇函数，且在区间上是增函数D．不具有奇偶性，且在区间上的单调性不确定36．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知是定义在上的函数，且对于任意实数恒有．当时，．则（

）A．为奇函数B．在上的解析式为C．的值域为D．37．（2023春·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）定义在R上的函数满足，函数为偶函数，且当时,,则（

）A．的图像关于点对称B．的图像关于直线对称C．的值域为D．的实数根个数为638．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（

）A．函数值域为B．函数是偶函数C．函数在上单调递增D．函数图象关于直线对称三、填空题39．（2023秋·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期末）已知定义在上的函数满足，当时，，则.40．（2022秋·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为.41．（2023秋·高一课时练习）已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，则、、的大小关系为．42．（2023·江苏·高一专题练习）已知是上的奇函数，且，若对任意给定的实数，均有恒成立，则的解集为．43．（2022·江苏·高一期末）定义域为的函数满足条件：①，，恒有；②；③，则不等式的解集是.四、解答题44．（2023·江苏·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数．(1)判断在定义域上的单调性，并证明；(2)解不等式：；(3)若对成立，求实数的取值范围．45．（2023·江苏·高一专题练习）已知是定义在区间上的奇函数且为增函数，.(1)求的值；(2)解不等式；(3)若对所有、恒成立，求实数的取值范围.46．（2023秋·江苏扬州·高一期末）若函数是定义在上的奇函数.(1)求函数的解析式；(2)用定义证明：函数在上是递减函数；(3)若，求实数t的范围.47．（2022秋·江苏宿迁