2022-2023学年江西省吉安市吉州区部分学校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省吉安市吉州区部分学校联考高二（下）期

末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，U是全集，集合4B是集合U的两个子集，则图中阴

影部分所表示的集合是（）

A.4r（C®

B.Bn"）

C"）n（QB）

D.QUnB）

2.已知Zi，z26C,kil=|z2|=1,|zt+z2\=则|Z]-Z2|=（）

A.1B.OC.AT3D.2

3.己知（小+言产的展开式中的各项系数之和为32,则展开式中的常数项为（）

A.5B.10C.20D.1

4.已知椭圆C：刍+必=i（a>1）,凡,尸2为两个焦点，P为椭圆C上一点，若△PF/2的周长

为

%贝H

ua-

23C3D5

A.2-4-

5.若点4（42-1）在抛物线y+p/=o上，则该抛物线的准线方程为（）

A.y=JB.y=1C.x=JD.x=£

6.己知斜三棱柱ABC—4/1G所有棱长均为2,=乙%"=2点E、F满足荏=

；矶，BF=^BC,贝U|衲=（）

A.V-6B.V-5C.2D.V-2

7.已知等比数列｛即｝的前n项和为耳，若一ai<a2<a「则（）

A.｛5｝为递减数列B.｛an｝为递增数列

C.数列｛S"有最小项D.数列｛S”｝有最大项

8.若％6（1,+8）时，关于x的不等式axaTbix-e*W0恒成立，贝1Ja的取值范围为（）

A.（-8》B.（―8,e]C.（0,i]D.ge]

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列计算正确的是（）

A.（e"=—eTB.

C.（sE2%）'=2cos2xD.（IgxY=|

10.已知数列｛a九｝是公比为q的等比数列，且%，%，的成等差数列，则9=（）

A1B1C1D1

-2-2-

11.已知/''（X）为函数f（x）的导函数，右函数y=f'（久）-1

的图象大致如图所示，则（）

A.f（久）有3个极值点

B.x=-4是/（久）的极大值点

C.%=0是〃久）的极大值点

D./（%）在（0,4）上单调递增

12.已知等比数列｛an｝前n项和为%,且S2=4%,a?是%+1与义。3的等差中项，数列｛与｝满

足bn=a“Sn，数列｛加｝的前n项和为6，则下列结论正确的是（）

n

A.数列｛an｝的通项公式为与=2-3“TB.=3-1

C.数列｛6n｝是等比数列D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知随机变量f〜N（0«2）,且尸（f>1）=0.4,贝f<0）=.

14.已知数列｛a九｝中，Q]=3,%=6,。n+2=%i+l—则。2020=,

2

15.已知双曲线C：号―f=1的实轴端点分别为42，点P是双曲线上异于4，4另一

4

点，贝UP4与P4的斜率之积为.

16.已知a>0,函数/(x)=I^acosx+靖在(0,+8)上存在两个极值点，则a的取值范围为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知△ABC的三个顶点分别为4(3,-4),B(6,0),C(—5,2).

(1)求边AC上的高BD所在直线的方程；

(2)求边AC上的中线BE所在直线的方程.

18.(本小题12.0分)

某市为了解该市小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了50名小学生，统计了

他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图，如图所示.

频率

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

30405060708090时间/分钟

(1)由频率分布直方图估计小学生课外活动时间的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点

值代替)；

(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t(分钟)近似服从正态分布N(〃,13.42),其中〃为

样本中课外活动时间的平均数用频率估计概率，在该市随机抽取10名学生，记课外活动时间

在(35.7,75.9］内的人数为X,求X的数学期望(精确到0.1).

参考数据：当t服从正态分布N(A，时，。<tW〃+。)=0.6827,P(〃一2。<tW〃+

2<7)=0.9545,P(/i—3(T<t<n+3<7)=0.9973.

19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，P41底面ABCD,AB1AD,BC//AD,PA=AB=BC=2,

AD=4,E为棱PD的中点，F是线段PC上一动点.

(1)求证：平面PBC_L平面P4B；

(2)若直线BF与平面4BCD所成角的正弦值为殍时，求平面4EF与平面4DE夹角的余弦值.

20.(本小题12.0分)

k

在数列｛即｝中，a3=3,a4+a8=12,且即+1=2an->2).设尻为满足k<an<2

的与的个数.

(1)求与，为的值；

?九_1

(2)设％=——，数列｛c九｝的前几项和为加,对任意的几6N+，不等式3根2一4m<6(T+1)

Dn^n+1n

恒成立，求TH的取值范围.

21.(本小题12.0分)

已知4(2,0),8(-2,0)分别是椭圆。：捻+3=1(a>。>0)长轴的两个端点，C的焦距为

2.M(3,0),N($0),P是椭圆C上异于2,B的动点，直线PM与C的另一交点为D,直线PN与C

的另一交点为E.

(1)求椭圆C的方程；

(2)证明：直线。E的倾斜角为定值.

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=(1+；)伍尤+(1,aeR.

(1)若〃久)在(0,+8)上是增函数，求a的取值范围；

(2)若〃久)在［l,e］上的最小值h(a)>3a+3,求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由已知中阴影部分在集合8中，而不在集合4中，

故阴影部分所表示的元素属于B,不属于4(属于4的补集)，

即(CM)nB,

故选：B.

由已知中U为全集，A,B是集合U的子集，及图中阴影，分析阴影部分元素满足的性质，可得答

案.

本题考查的知识点是Perm图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解

答本题的关键，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：因为Z],z2eC,㈤=㈤=1,|z[+Z2I=

则可设Z1=cosa+is讥a,z2=cos(i+isinp,a,/?e[0,2TT),

22

所以|z1+z2\=7(cosa+cos{3}+(sina+sin/?)=J2+2cos(a-/)=

_1

所以2+2cos(a—S)=3,则cos(a—£)=,,

所以忆1—Z2I=\cosa—cosR+i(sina—=-J(cosa—cosp)2+(sina—sin^)2

=J2-2cos(a-P)=J2—2xI=1-

故选：A.

由题意可设Zi=cosa+is讥a,z2=cosfi+isinp,a,/?e[0,2TT),然后根据%+Z2I的模以及余

弦的和角公式化简得出cos(a-/?)的值，进而可以求解.

本题考查了复数模的求解，涉及到余弦的两角和与差的三角函数公式，考查了学生的运算求解能

力，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：令X=1可得(/+七)n的展开式的各项系数之和为2n=32,

n=5,

故其展开式的通项公式为Tr+1=很.久1。-全，令10-|丁二0,求得丁=4,

可得常数项为：党=5,

故选：A.

先求出二项式展开式的通项公式，再令》的幕指数等于0,求得r的值，即可求得展开式中的常数项

的值.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某

项的系数，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：设椭圆C的焦距为2c,则c2+l=a2,

APFi3的周长为2a+2c=4,解得c=|,a=|,

故选：D.

根据椭圆的方程可得a，b,c的关系，结合椭圆定义可得的周长为2a+2c,列方程求解即

可.

本题考查了椭圆焦点三角形的周长，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：由题意可得一l+px2=0,解得p=T，

所以抛物线的标准方程为：/=—2y,

所以准线方程为：y=；.

故选：A.

将点的坐标代入抛物线的方程可得p的值，进而求出抛物线的标准方程，可得准线方程.

本题考查抛物线的方程的求法及性质的应用，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：=EA+AB+JF=AB+^（AC-AB）-AE=^AB+-AE,

・••斜三棱柱ABC-a®6所有棱长均为2,乙生48=乙4〃C=（

点E、F满足荏=^M，BF=^BC,

--->21--->21>2..>21,,,>,>

・•.EF+-AC+AE+-AB-AC-AB-AE-AC-AE

111

+++XXXX2

2-2-2-

\EF\=C，

故选：D.

1

+

先利用空间向量的线性运算得到前=2--AE,再利用空间向量的求模公式求解即可.

本题考查空间向量的线性运算，空间向量的求模公式，是中档题.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的单调性的判断，通项公式以及数列的最大项问题，属于综合题.

由已知分析等比数列的公比范围，然后结合通项公式以及厮与治的关系分析｛S"的单调性，结合

选项可求.

【解答】

解：由一的<a?<的可得的>0,所以

U1

因为一出<。2得q=宾>一1，

n-1

所以一1<q<1,an=q,

因为S九=%+劭+…+

当0<qVl时，an>0,数列｛S九｝递增，即数列｛S"有最小项Si，没有最大项；

当-l<qV0时，的>0,a2<0,a3>0,%<。，…所以数列｛S"摆动，且。1+。2>0，

。3+。4=(。1+的阳？>0,…所以S九最小项S2，没有最大项.

故选：C.

8.【答案】B

【解析】解：由。％。一1仇％—<0,可得伍％<xex,Wflxalnxa<xex,

alnx：ax

&?lnxe<xeJ

设/(%)=xe",贝(伍%。)</(%)在(1,+8)上恒成立，

又/'(%)=e%+xex=(%+l)ex,

则函数f(%)在(-8,-1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

且当％<0时，/(x)<0,当X>0时，/(%)>0,

当时，由于％€(L+8),贝!Ja①％40,

止匕时仇%)<0,/(x)>0,满足/(切无。)<f(%)在(1,+8)上恒成立;

当a>0时，由于XG(1,+oo),贝!Jabi%>0,

要使f(仇%0)</(%)在(1,+8)上恒成立，

则需"%。<x,即a<意在(1,+8)上恒成立，

设。(久)=意,％>1，则"。)=

团％{lnx)

易知当xe(l,e)时，g'(x)<0,9(久)单调递减，当xe(e,+8)时，“(久)>0,g(x)单调递增，

则aWg(x)mi"=g(e)=e,

综上，实数a的取值范围为(-8,0.

故选：B.

设/(久)=xe*,问题可转化为/'(伍%。)W/(久)在(1,+8)上恒成立，根据函数/(久)的单调性和取值

情况，分aW0和a>0讨论即可得出答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查同构思想及分离变

量思想，考查运算求解能力，属于中档题.

9【答案】AC

【解析】解：4选项，(e~x)'=-ex,故4选项正确；

8选项，(；y=—1，故B选项错误；

C选项，(s讥2x)'=2cos2x,故C选项正确；

D选项，((国乃'=焉1.故。选项错误；

故选：AC.

根据导数的运算法则对选项逐一判断即可.

本题主要考查导数的运算法则，属于基础题.

10.【答案】AD

【解析】解：由题意，a2+a3=2a4,由等比数列通项公式可得。2(1+q)=2。2(?2,

由于等比数列每一项都不是0,故2q2—1—q=0,

即(2q+l)(q-1)=0,解得q=—或q=1.

故选：AD.

根据等比数列的通项公式结合等差中项列方程求解.

本题主要考查了等差数列的性质及等比数列的通项公式的应用，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：将［0)-1的图象向上平移1个单位，

得r(x)的图像，结合图像：

%6(—8,—4)时,f'(x)>0,/(x)递增,

x6(—4,0)时，f'(x)<0,f(x)递减,

x6(0,4)时，f'(x)>0,/(x)递增,

x6(4,+8)时，f(x)<0,/(久)递减；

故％=-4和久=4是函数f(x)的极大值点，x=0是函数/(%)的极小值点,

故A正确，8正确，C错误，。正确.

故选：ABD.

根据导函数的符号，求出函数f(x)的单调区间，从而判断各个选项.

本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查导数的应用，是基础题.

12.【答案】ABD

【解析】解：由于等比数列｛厮｝前n项和为%,且S2=4的,

所以的+a2=4a1，整理得a2=3%,所以数列的公比q=3；

由于a2是的+1与的等差中项，

1

故2-+1+-

^22整理得6al=%+1+2的，解得的=2.

故册=2x3"t,故A正确；

所以%=岑3=3兀一1，故8正确；

“3—1

nnTl

由于数列｛%｝满足%=an-Sn=2x3tx(3-1)=2X32-1-2x3f

...乎=2X3：：-2X3二:=空0不为常数,故数列｛与｝不是等比数列，故C错误；

%—12x3—2x33—1

七=2x(3+33+35+…+32^T—2(1+3+32+33+•••+3"一】)

3(1—9")1(1-3")3

=?x'_J_2x」中…)—)，

+12

油+i=1&+1—1),Tn-1s„+1=|(9«-l)-(3"-l)-i(3"-1)=|(3"-|)-|>

7(3-|)2-^=0,故。正确.

433

故选：ABD.

利用已知可求得首项与公比，再结合每个选项逐项运算可判断正确性.

本题考查等比数列的性质，考查前几项和公式的求法，属于中档题.

13.【答案】0.1

【解析】解：因为J〜N(0,o2),所以正态曲线的对称轴为久=0,

因为21)=0.4,所以P(f<-1)=0.4,

所以P(-l<f<0)=<0)-P(f<-1)=0.5-0.4=0.1.

故答案为：0.1.

根据随机变量f服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性即可求出概率.

本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.

14.【答案】-3

【解析】解：由题意知a?=a2-%=3,a4=a3-a2=-3,

6X5=04=6，06=0504=3,

。7=。6—。5=3,CLQ—。7—。6=6,

09—CLQ—CL7=3,010=09—08二—3，

易知｛an｝是周期为6的数列，

。2020=04=-3.

故答案为：-3.

计算数列的前几项，可得数列的最小正周期为6,计算可得所求值.

本题主要考查数列的递推式，属于基础题.

15.【答案】

4

2

【解析】解：设PQo.yo)，y0*0,且乎—据=1，力式―2,0),4(2,0)，

则部41=您，皿2=热，

所以跖人.心心=鼻•鼻=秃=),

J1右人2x0+2x0-2xg-44

所以P4与P4的斜率之积为J,

4

故答案为：P

2

设P点坐标，根据直线的斜率公式结合乎-据=1,即可求得P&与P4的斜率之积.

本题考查双曲线的性质，双曲线的第三定义，考查kpA4PA=[=e2-l的应用，结论需要记

住，在小题中可以直接应用，属于基础题，

16.【答案】(e*,e竽]

【解析】解：函数/(%)=，五acos%+e%在(0,+8)上存在两个极值点，

等价于/'(%)=—Hasinx+ex=0在(0,+8)上有2个不同的实根(变号)，

1

即0(%)=sinx•的图象与直线y=不无在(0,+8)上有2个不同的交点(变号)，

求出g'(x)=(cosx—sinx)e~x,

当尤e(2/OT—¥，2/OT+B)(keZ)时，g'(x)>0,

当xe(2kn+.,2kn+y)(fceZ)时g'(x)<0,

所以g(x)在(2/OT-号,2/OT+j)(/ceZ)上单调递增,

44

在(2/CTT+2/CTT+EZ)上单调递减.

可画出g(%)=sinx•的草图如图：

要保证直线y=全(。＞0)在(0,+8)上有2个不同的交点(变号)，

只需9的靖)今殍e-久\〈号e舞

冗

―可rZ得Hae(e4,e97Tr].

故答案为：(流居.

函数/(%)=yl~~2acosx+u”在(0,+8)上存在两个极值点，等价于/(%)=—V-2asinx+ex=0在

(0,+8)上有2个不同的实根(变号)，即g(x)=sinx■联工的图象与直线y=7无在(0,+8)上有2个

不同的交点(变号)，数形结合即可得答案.

本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题.

—4—27

17.【答案】解：(1)由题意得七。=­=一中且4加,^AC=一1，

所以册0=

则边力C上的高BD所在直线的方程为y=[(%—6),化简得4久-3y-24=0；

(2)由题知4C的中点E(—所以金£=，

则边AC上的中线BE所在直线的方程为y=；(久-6),化简得久一7y-6=0.

【解析】(1)由两点式斜率公式求出4C斜率，利用垂直关系得BD的斜率，代入点斜式即可求解;

(2)求出点E的坐标为(-1,-1),由两点式斜率公式求出BE的斜率，代入点斜式即可求解.

本题主要考查了直线的一般方程，属于基础题.

18.【答案】解：(1)平均数为：10(35x0.005+45x0.015+55x0.02+65x0.03+75x0.02+

85x0,01)=62.5；

(2)〃=62.5,<7=13.4,

止匕时〃—2。=62.5—2X13.4=35.7,〃+。=62.5+13.4=75.9,

所以P(35.7<t<75.9)=-2d<t<M=。9545；0.6827=08186,

止匕时X〜B(10,0.8186),

则E(X)=10x0.8186«8.2.

【解析】(1)由题意，根据频率直方图所给信息以及平均数公式进行求解即可；

(2)先利用正态曲线的对称性求出P(35.7<t<75.9),再结合二项分布的性质进行求解即可.

本题考查二项分布及其应用，考查了逻辑推理和运算能力.

19.【答案】（1）证明：•••ABLA。，BC//AD,.-.BC1AB,

又P41平面力BCD,BCu平面ABCD,•••BC1PA,

PAHAB=A,PA,ABu平面PHB,BC1平面P48,

又BCu平面PBC,平面PBC1平面PAB.

(2)解：•••PA_L底面力BCD,ABIAD,：.AB,AD.AP两两互相垂直.

以4为坐标原点，分另1J以AB、AD,力P所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0)、8(2,0,0)、C(2,2,0)、0(0,4,0)>E(0,2,l)、P(0,0,2),

设而=XPC=4(2,2,—2)=(2A,22,-22).

则丽=丽+即=(24—2,24,2—24)，其中0<A<1,

平面A8CD的一个法向量为过=(0,0,1),

・•・直线BF与平面力BCD所成角的正弦值为?，

•­•|cos<u,BF>I=等a=12-2%二

|u||BF|J2(2A-2)2+4A2=~，解得4

于是F为PC的中点，即

设平面4EF的法向量为记=(x,y,z),屈=(0,2,1),行=(1,1,1)，

m.AE=2y=0，取丫=匕得方=(口一见,

由+z

m•AF=x+y+z=0

而平面4DE的一个法向量为元=(1,0,0),

.•・平面4EF与平面ADE夹角的余弦值为|cos(而制=署氏=煮=?

【解析】(1)证明出BC1平面P4B,利用面面垂直的判定定理可证得结论成立;

(2)以点力为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面角的正弦求出点F的坐标，再

利用空间向量求夹角的余弦作答.

本题考查平面与吗垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角,

是中档题.

20.【答案】解：⑴因为即+i=2an-an_i(n>2),

所以册+1--«n-l(n之2),即数列是等差数列，

设数列｛即｝的公差为d,

由器：:12,得吃+42fn；3解得的=d=l,

+他=1，(2%+10a=12'

所以=71,

因为瓦是满足k<an<2k的a”的个数，

所以尻=2上—k+1,

所以£(2=3,£>3=6.

2n—111

(2)由(1)得‘Cn=(2j+i)(2"+if)=7^1—

所以&=G-勺+(Aa+-+(2^1-=|-

设/'(X)—2n+1—n,

所以f(n+1)-/(n)=2n+1-1>0,即/(")递增,

所以7；递增，

故7n

1

2

因为对任意几£N+，3m—4m<6(Tn+1)恒成立，所以37n2—47n<6x(-+1)恒成立，整理得

3m2—4m—7<0恒成立,

即(3m-7)(m+1)<0恒成立，解得-1<m<p

所以小的取值范围是［-1』.

【解析】(1)由递推式判断｛&J是等差数列，利用等差通项公式求的和d,进而得到厮=71,结合

已知可得尻=2左-/c+1,再写出对应项，即可；

(2)利用裂项求和法，可得：^上，研究数列单调性求7；最小值，再结合恒成立问题求参

乙z—n

数范围即可.

本题考查数列的通项公式与前几项和的求法，熟练掌握等差数列的定义、通项公式与裂项求和法是

解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)由题意，a=2,2c=2,c=1,

■■■b2=a2—c2=3.

•••椭圆C的方程为。+4=1.

43

(2)证明：设POo/o)，。(%21)，<(>2，'2)，则3就+4%=12.

yn4

①当直线PN的斜率存在时，其方程为y=-^4(X-3),

x0-3

代入椭圆C的方程，整理得［3(久0—1)2+4犬］——密久+警—12(久0—§2=0.

__等―_32%=4%

"X0久1-3(比-#+4%-52-24XO-6.5-3—

直线PM的方程为y=已。-3),代入椭圆C的方程，

22

整理得［3(%o—3)+4yH_24y耘+36据—12(%0—3)=0.

•久+久=24羽=24羽=4羽

22

"03(x0-3)+4y239-18x06.5-3x0,

因此久1=久2，此时DE1X轴，即直线DE的倾斜角为今

②当直线PN的斜率不存在时，其方程为X=g,此时Xo='

12-3就

由①知Xo+x2=