2022-2023学年江苏省苏州市统招专升本数学自考真题(含答案)

2022-2023学年江苏省苏州市统招专升本数

学自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

已知函数/（.r）=c。©在闭区间［0,24上满足罗尔定理.那么在开区间（0,2储内使

得等式/'（S）=0成立的£值是（）

A.£B.KC.OD.2K

2.

某事件的概率是0.2.如果实验5次，则该事件（）

A.至少出现1次B.一定出现5次

C.一定会出现1次D.出现的次数不确定

3.

下列等式正确的是()

A.金r〃x)dx=/(6)B.；［/(x)dx=/(x)

dxJodxJx

dftdfCCSXA

c.~f/(x)dr=/(/)D.—J/(Odz=/(cosx)

dt%dxJ。

曲线y=9-'在（-1,1）处的切线方程是（）

A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0

C.2x+y+3=0D.2x—y+3=0

5.

设函数3,=/（.r）在区间（0,2）内具有二阶导数，若.r€（0.1）时，/'（.r）<0；

£(1,2)时,/'(l)>0,则)

A./(I)是函数/(x)的极大值

B.是曲线.y=/(.r)的拐点

C./(1)是函数/(了)的极小值

D.点不是曲线y=f(JC)的拐点

6.

)

7.

.设D={(H，>y)II才IW2.|_y1},则,didy=()

D

A.8B.4C.2D.0

8.

已知函数/(x)在区间[0,打(a>0)上连续，/(0)>0,且在(0,a)上恒有/(.r)>0.

设S1=]/(1)&丁,§2=Cl/(0),51与52的关系是()

A.51v52B.51=52

C.S]>$2D.不确定

9.

微分方程毕=电些空些的通解是()

axy

A.y2=cos2x+CB.y2=sin。+CC.y=sin2j?+CD.y=cos2x+C

10.

曲线y=O；光+8的渐近线共有(只考虑水平和垂直渐近线)()

X,十4x

A.1条B.2条C.3条D.4条

11.

已知函数/(2N—1)的定义域为[0,1].则函数/(x)的定义域为()

A.由11B.[1,1]C.[0,1]D.1,2J

12.

函数y=—.T+lg"'"的定义域是

4

A.[0,1]B.(0,4]

C.(0.1>(J<1«4]D.[O.+m)

13.

设/(/)在［4,6］上可导,且f(i)〉0,若夕Cr)=/⑺他则下列说法正确的是

0

)

A.夕(i)在［a,6］上单调减少B.*)在［a,6］上单调增加

C.小力在［a㈤上为凹函数D.^r)在口㈤上为凸函教

14.

「1+ln.r,

-------d.r=)

Jix

o_3

A-lB-7

c--

3

15.

当了f0时，与工不等价的无穷小量是

A.2JCB.sinxC.e"1D.ln(l+x)

16.

设f(N)=sin2",则H=o是f(H)的()

x

A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点

17.

已知函数f(z)=cosz在闭区间［0,2月上满足罗尔定理,那么在开区间(0,2#内使得

等式/(£)=0成立的£值是()

A.孑B.KC.OD.2K

18.

若/为〃阶方阵，则［乂|=(),其中k为常数.

A.kAB.左/C.硝闻D.砌闻

19.

r\T=COS/,

曲线1在f=子处的法线方程为)

\y=sin2f

A.父=考B.y=1

C.?=N+1D.?=N-1

20.

.若，(工)连续.则下列等式正确的是()

A.Jd/(J?)=/(JC)B.dj/(jr)d.r=/(.r)

C.Jx(j')dx=/(ef)D.dJ/(a'2)djr=f(V)di

21.

,设函数Z=1+飙和)且函数w可导.则芸=()

22

A.一力+叼(①y)B.-B+冲(“)

C.一抬+叫'5)D.一芸+冲’5)

22.

当才-0时.下列无穷小量与ln(l+2.r)等价的是()

A.xB.J.rC./D.sin2x

23.

下列函数在7-»0时与兴为等价无穷小的是()

A.2J-B.2J-1C.ln(l+2j)D.zsins

24.

'Z+J-

/(/)d/=JT”，则/(.r)=)

B.(、r—1)eJC.(x+2)e"D.ref

25.

oo

.幕级数»"+Dk的收敛区间为()

n=1

A.(03)B.(—8,+8)

C.(-Ul)D.(-1,0)

26.

已知/(x)+C=「inxdx,则/技=()

A.0B.1C.sinxD.cosx

27.

设/(x)是连续函数，则［f⑺山是()

A./(x)的一个原函数B./(.r)的全体原函数

C.2.r•/(P)的一个原函数D.2.r•/(T2)的全体原函数

28.

设Jf(w)dz=we*+C,则/(x)=()

A.xeTB.x—xeT

C.ze'十工D.(工十De”

29.

设函数八则/(")=()

2G(1十G"2石

30.

当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是

A.P(C)=P(AB)B.P(C)=P(A+B)

C.P(C)P(A)+P(B)-1D.P(C)<P(A)+P(B)-1

二、填空题（20题）

已知limxsinN=4,则a=

31.18X

q011、

1的秩

矩阵A=&(4)=

0111

1-20,

(1、

(210)3=

1

33.

34.

fsin.r+e2aj—1,

------------，j-0n»

设/(%)=v'在i=0处连续，则a=

a,①=0

寨级数£（2”+DZ・的收敛域为

35.

二阶线性齐次微分方程/+27-3y=0的通解为

36.

37.曲面z-ez+2到=3在(1,2,0)处的切平面方程为一

设/(.r)是连续函数.则dl/(T)dT=

38.、

积分I—T—dw=

39.Jalruz-

40设3'=e"COS/M•则dy=

设函数/（土）

=d，则f(JT)=

42.

如果f(1)有连续导数"(力)=5,/(a)=3,则ff(x)dx—

名不定积分丝2-----------

/(jr)=；-■—y+/f/(1)"，则//(jr)d^-

44.1十1JoJo

辕级数£（一0"2”

X”的收敛域为

w2+1

45.n=\

46.

由方程xy+Iny=1确定的隐函数x=jc（y）的微分di=

47设3则》⑴=

48.

要使函数/（］）=—1---3—T在z=1处连续•应补充定义/（1）=

1-1.厂—1

49函数/（：）=.的周期是.

当〃f8时Iim〃sin‘=1,则级数»出上的敛散性为

三、计算题（15题）

51.

计算1/dzdy,其中D是由y=l,y=x,y=2,x=0所围成的闭区域.

D

52.

计算曲线积分Z=£（^2+y>d.r+（z+/；）dy.其中L为从点0（0.0）经过点A（l,0）

到点5（1,1）的一段折线.

“r.­11x31x3x5Ix3x5x7...

判别无穷级数一+——+--------+------------+…的敛散性。

33x63x6x93x6x9x12

53.

54.

已知函数之=/（x.y）由方程q—>一.r+_y=0所确定，求全微分de.

DO

试确定幕级数Z与r的收敛域并求出和函数.

f

求lim——--redt.

、r-*01-p1J0

56.

求不定积分d.r

.rln.r-inlnx

57.

将函数fW=Z-T-展开成麦克劳林级数.

58.3r

试确定寨级数X/三的收敛域并求出和函数.

59.«=«"十

60.

x=acost,案和修

确定了函数y=y(・r).求

1y=6sinZ

61.

(<\r2+八0&i40.5.

设X为随机变量.其密度函数为力(I)=J

\o.其他.

试求：(1)常数门

(2)P(X&！).

■J

62.

„_n.J2zd2zd2za"

设函数2=n、'3和3一秒十o2‘求正‘诉'而“'斤.

求极限lim.=)尸5工

63.，je—1

64.

求曲线y=sirtr,》=COSJT与直线x=0,x=所困成的平面图形的面积.

求微分方程y-y-=e’的通解.

65.

四、证明题(10题)

66.

设平面图形D由曲线工=26,)=，二三与直线3=1围成，试求：

(1)平面图形D的面积；

(2)平面图形D绕工轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

证明不等式e"＞犬.

67.

68.

设平面图形。由曲线工=203=，=G与直线.y=1围成，试求：

(1)平面图形D的面积；

(2)平面图形。绕7轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

69.

设八工)在区间［0,a］上连续，证明：「/(f)di=21

J-aJ0

70.

谦敬f⑺在M上殿拼册于0,1］上的髓I/⑴蛹

0<f⑴41,证明:在［0,1］上至少有一点&使得/（f）=&

71.

设函数/（J）在闭区间［0,1］上连续，在开区间（0,1）内可导，且/（0）==0,

JT

证明至少存在一点EG（O，D,使得/“）-/（，=0.

证明方程工'-2/+工+1=0在（-1.1）内至少有一个实根.

72.

73.

求函数/（x）=g-的麦（马）克劳林展开式，并由此证明V—=1.

X）七伽+1）!

证明:方程V-4x2+1=0在区间（0,1）内至少有一个根.

74.

证明：当0<1<1时.（工-2）ln（l—彳）>2x.

75.

五、应用题（10题）

76.

过点（1,0）作抛物线¥=的切线，求这条切线、抛物线及才轴所围成的平面图

形绕了轴旋转一周形成的旋转体的体积V.

77.

某企业生产某种产品，其固定成本为3万元，每多生产一百件产品，成本增加2万

元；总收入R（单位：万元）是产量q（单位：百件）的函数，R（q）=5q-^q2,

问：当产量为何值时，利润最大？最大利润是多少？

78.

现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形.折做成

无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱的容积最大？

79.

某公司主营业务是生产自行车,而且产销平衡,公司的成本函数C(.r)=40000+200/—

0.002V,收入函数R(.r)=350.r-0.004/,则生产多少辆自行车时，公司的利润最大？

80.

某公司主营业务是生产自行车,而且产销平衡，公司的成本函数=40000+2OO.r-

0.002/.收入函数R1)=350①一0.004/,则生产多少辆自行车时，公司的利润最大？

81.

设一数&素=(1+2//(1),其中/(1)在［-2,5］具有二阶导数」士/(5)=0,

证E肚存在fJ-2,5),使尸"匕)=0.

82.

求由抛物线歹=工2与直线y=x所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转一周

所形成的旋转体的体积.

83.

求曲线段y一丁2(0《了・1)上一■点处的切线.使该切线与直线y=0,工=1和曲线

,=三所围成图形的面积最小.

84.

求IU邑=1,>+歹=2口7=0所围区域在第一象限部分且上

7；"+二2

85.

将周长为2力的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体.矩形的边长各为多少时•才可

使圆柱体的体积最大？

六、综合题(2题)

86.

.过坐标原点作曲线y=e，的切线/.切线/与曲线y=e，及y轴围成的平面图形记为

G.求：

切线/的方程；

87.平面图形D的面积；

参考答案

1.B

［答案］B

【精析】/(X)=COSK,=—sini,令/Z(T)=—sinj-=0,0<x<2K,可得

z=k*即f=n.

2.D

【精析】事件发生的概率为0.2,即一次实验该事件发生的可能性为0.2,也就是说一

次实验该事件可能发生，也可能不发生，那么5次试验中每次该事件发生不发生都不能

确定.故应选D.

3.B

【评注】本题考查积分上限函数的求导：£^/(/)dz=/S(x)/(x)-/®(x)W(x)・

.f/(“粒=仇总:小粒=-总"(”融^£/(^=/0>

j/(x)dx=f(/)»£°51f(/)d/=/(cosx)-(-sinx)>所以只能选C.

4.D

D

【评注】函数y=/(x)在点x=x。处的切线方程为：y-/(Xo)=/'(Xo)(x-Xo),对于曲

线/(x)=e,-t而言，因为1)=2,所以切线方程为：y-l=2(x+l),即2x-y+3=0.

5.B

函数/（i）在（0.1）上为凸，在（1,2）上为凹，故应为函数/（.r）的

拐点•故应选B.

6.B

O什1-97-2o

【精析】limH+—\+二）•lim（1+=）=e?.故应选B.

HIL8LIfl）8\〃/

7.A

【精析】因为『心心等于积分区域的面积，而区域D为矩形区域，其面积为8.故应选A.

［）

8.C

【精析】由/'（彳）>0在（0,。）上恒成立知八工）在（0.。）严格单调增加.由题意知.存

在fC使得si=jf（z）dz=a.,由于0VSVa,则f（0）Vf（目Vf（a）,

又/（0）>0,所以a•/（e）>a/（0>=sz•即$>”•本题选C.

9.B

【精析】原方程可变为ydy=Jsigdr,两边积分得y=-G=sin晨一C.

10.C

［答案］C

【精析】因为y=f（工）=♦二代+8=Q,2）丫；4）=1,所以y=1

是曲线的水平渐近线=8,lim/（.r）=8,从而JT=O,M=4是曲线的垂直

j--0j-4

渐近线,故选C.

11.B

12.B

匚答案］B

【精析】在/尸；中..r£l.在1g邑三士中.星三士>0.即0<工<3.所以函数

,1,1

的定义域为（0,4］.故选B.

13.C

【精析】《⑴=/（i）,，⑴=/'（1）〉0,所以人/）在［*6］内是凹的，因为所给条

件不能确定/⑴与。的关系.故不能确定阿）在皿］上的单调性.

14.A

(1+ln.r)2r

【精析】原式=<1—ln^?)d(1+iru)==■•故应选A.

2

15.A

［答案］A

【精析】lim^=2,所以2］是工的同阶但非等价无穷小,故选A.

16.B

因lim红红=lim典在•2=2,故I=0是/(x)的可去间断点，故选B.

jt-*oJE』-►oLJC

17.B

【精析】f(i)=COSE,，(彳)=—siirr,令f(x)=-sinx=。，0V彳＜2穴，可得①=几，

即f=K.

D

1RD【评注】方阵行列式的性质.

lo.U

19.A

［答案］A

［精析］半=一，半=0.

djr—smfcLr,=：

切线斜率£=。，故法线方程为％=cost=§.故应选A.

T2

20.D

［d/(.r)=/(.r)+C,A错,dj/(幻&r=/(工)心,错.|/(.r)clr=/(.r)+C,C错，

D正确.

?=一9+/(◎)•1y=一8+冲(a3).故应选D.

21.D3r「3JT

【精析】因为当彳f。时sin2.r〜2.r,ln(l+2.r)〜2i,

22.D所以当1fo时ln(1+2.r)〜sin2i,故应选D.

23.D

，炷m1•2工2J-12-rln2

【精析】lim-y=co,hm——5-=krm—=oo,

x-oxJ-OXz->0Lx

,2

rln(l+2x)..2JCI.Tsini1.x.山、生八

lim--------石---------lim—r=oo,iim———=lim下=1,故选D.

0XT->0Xif0Xi—0JC

24.A

方程两边对工求导，得/(2+工)=e-+工eZ+L所以/(H)=/+(工一2)M,

/(x)=e'+c’+(JC—2)e，=xeJ.

25.C

［答案1C

【精析】lim2=lim。=1,故收敛半径K=1.收敛区间为(-1*1).

26.B

【评注】等式两边同时关于x求导，应用公式：虫更巴=/（x），便可得到/,（x）=smx.

dr

所以答案选民

27.C

［答案1C

CT2尸2

【精析】(|/(f)ck)'=2］/(二）.即/⑺山是2z•/（〉）的一个原函数.

【精析】两边同时求导，得/（久）=（X+l）e］.故选D.

Z9o8.Un

［答案］C

【精析】令x2=£.贝|八，)=—5-z.EP/(x)=—

1+771+G

___1

所以，（工）=2G-----------------•故选

(1+V7)22a1+43m

29.C

30.C

［答案］C

【精析】由题意知P(AB)WP(C).又有P(A+B)=P(A)+P(B)—P(AB)<1.

所以P(A)+P(B)-1<P(AB)<P(C).故应选C.

31.4

32.

3

3

"ioir‘io】r‘1011、

01-1001-1001-10

【评注】因为Zf->=B，所以

011100210021

101-3f*1-2-I、0000,

由R（8）=3及初等变换不改变矩阵的秩，得尺（4）=3.

［答案］⑸

li

【精析】（210）3=1X2+3X1+1X0=（5）.

,、1

33.⑸

34.

-1

［答案］—1

【精析】/（Z）在工=0处连续,则lim血士之一!=/（0）,gplim迎工土£"一』

lim包"+Iini------=1+2a=a,以=-1.

j--»0«r-»0JC

35.

（-1,1）

【精析】p=lim|%l|=lim件若=1,收敛半径R=^=l,故幕级数收敛区间为

r

gIanI8/〃十1p

8

（一1，D，又当了=一1时，幕级数为X（一1尸（2”+1）,发散；当才=1时，解级数为

U—1

七（2〃+1）,发散，故哥级数的收敛域为（-1,1）.

If=1

36.

*=+Qe'（a,Q为任意常数）

［答案］?=Cef+C\e«GC为任意常数）

【精析】已知微分方程的特征方程为产+2「-3=0,得特征根外：=一3.曰=1.

故微分方程的通解为y=C,ev+Ge，.其中GC为任意常数.

37.

2x+y-4=0

【评注】Mxj,z）=z-e工+2孙，在（1,2,0）处（好，更，蛆］=（4,2,0），所以此点处

dxdydz

的切平面方程是4（x-l）+2（y-2）+0（z-0）=0.

［答案］/'⑺心

【精析】根据不定积分的性质知=/'（了）（1了.

Ill11L7'\A'C

【精析】——(1.1'=，—dim=InIn.r|iC.

In.r

40.

(acoslu'—bsinbadi

dy=•a•cosbx+e"(—sin/xr)•b]dx=[ae"cos历'—/7e^sin&rJd.r

=(acos&r—hsinbx)d、T・

=*,/（X）=3，r（#）

【精析】/（"有连续导数.则八一是连续函数,故由牛顿-莱布尼茨公式得

Cbb

/（j）dj=八7）=f（b）-/（«）=5-3=2.

(l+ln.r)20H

2014

【精析】<1+hr严3d(1+lar)=(型当一

上、

+C.

44.

兀

T

riri

【精析】定积分/（z）d.z•是一个常数，设I/（攵）心=A,等式两端同时在区间[0,1]

J0Jo

上积分得

flfl1fl

A=一^（Lr+Ar3&r,

J0Jo1~TXJo

iri

即A=arctanr+A13dl.

oJo

未考一-一g卷#一

即A=f+

44

7t

Jo3

45.

卜弱

解析：考查第级数的收敛域.收敛半径R;=[,当工=±1时级数都收敛,

_22.22

故收敛域为.

_22.

46.

-：尸d,

【精析】两边同时对3求导.得丁+5孚+：

0,即（.“+l）dy+yd.r=0,

ayv

所以dx=—dy.

3

47.

5"c"

【精析】y=E',3/=5e5r,/=52e5r,--,yH,=5ne5r.

48.

x

~2

【精析】/J)=^7一整了=弓三^==.要使/(x)在了=1处连续，则

=/(1)•即'=/⑴=!.

1>11+1z

49.

lOffi

【精析】e工的基本周期为28,故函数f(z)的周期为竿=10m

~5

50.发散

.1

1sm-

【精析】当〃f8时.lim〃sin—=lini——=1.又0V-・sin—>。,故级数

fl1Hfl

n

和级数玄[•敛散性相同，显然£[■发散•则七sin[发散.

1it-11i

51.

积分区域如图所示，

»•,,

=呼

/1、1

=(e—1)•—yd：」Z__________.

2-OX

_3(e-1)

2•

52.

【精析】1=L^2->)diH(w+\/^y)dyIL(w?IN)d#十(\r+7V)dy

=JC2dj-+I(1+G)d)=$3+(y+,#)[

J0J

=2.

53.

【精析】由题意可知，此无穷级数的通项公式为

(2n-l)!!

Cl=----------------

”3"."！，

则

a⑵z+l)!!3"川

lini—=lim

f3，m+l)!(2D!!

0I1

|*J力F1

hni-------

53(7?+1)

3

由比值审敛法可知，p==-<l,所以此无穷级数收敛.

/3

54.

【精析】令F(x.y.z)=xz—yz—w+y,

贝l1FM=之-1•Fy=­之+1•F)=w-y■

因此dz=------dx+------dy.

x—yx—y

55.

]

【精析】p=lim吐=lim上=1.故收敛半径扭=1,

tlnft-»OO1

n+1

mf•为收敛级数.

当1、=i时,级数为X

H=0

oo

当*=1时.级数为X为发散级数,

仁"+1

故原级数的收敛域为［-1,D.

.於…工击一+尹//…+4+…

什】

='(w+:+《+乎+…+〃)

x\434+l+…

令仆)=£()一也=

5=Liyd/=L—ln(1—x),

故£di=—皿口，]6[—1,1)且]工0

.当才=0时，和为1.

£〃+11

()「、口

---l-n---1--—---1---,.ruei_—1,1)且.rr/no,

B|1S(.r)=J1

J,1=0.

56.

*.r,f.r,,

也

“Ide'At洛必达法则2।

【精析】lim-yerd/=lim。,--lim—...........-lime7=-1.

,L0]——u0,r-*0-T.r。I,r-0

57.

'dw_'d(Inr)令/=一『■_d£_

J.rIDT•Inln.rJIn.r,Inin.2-tInr

=fcKlnr)=ln।lnZ|+c

vlnZ

=In|Inln.r|+C.

58.

/(-r)=3-.=3g(T)(H

11<1)

3

=X卡/(I.V3).

IJ

59.

]

【精析】p=lim=lim=1.故收敛半径H=1,

w-*oo14nlt-*OO1

〃+1

当1=—i时.级数为£三耳•为收敛级数•

8

当z=1时.级数为2为发散级数，

仁”+1

故原级数的收敛域为[-i・D.

S(.r)=22——=1+工_+仁+4__^------H-----1----

"=on+1234〃+1

。+…+1、，廿】

4〃+1

故2壬=一叫3'才"一】⑴且才"当“。时.和为1,

,1e[-1,1)且yro,

即S(J)=

w=0.

60.

【精析】半=但"=——皿，

d.r—asm/a

2

dv_b11=_且1=_b

da'asin2?—asinta2sin3Za2sin3/

61.

【精析】(1)1=p(.r)(h'

00.5，8

p(x)d.r+/>(j')d.r+/>(j')cl.r

—800.5

1.1

=1241T,

则r=21；

•_1+09

(2)P(X<—)=/>(/)dr=/)(.r)diIp(.r)dr

1O/-co-on0

=i(21,rI.r)d,r=(7.户%)广工

0\/)Io.)4

62.

63.

i-Q2一w)sin5ii-Q‘一K)5W「一2、-

lim----------；----=lim-----：------=hm5(r—it)=—on.

LOe—1LOSInrLO

64.

【精析】在区间「0,费］上两曲线交点的横坐标为工=子，

L4

r孑A伊

S=(COSJC-sinx)dx+(sinx-cosx)dx

JoJf

X步

=(COSJT»sinjr)+(—sinx—COST)

=(V2-1)-(1-72)=2(72-1).

65.

【精析】方程对应二阶常系数齐次微分方程的特征方程为户一厂一2=0,

解得厂1=2.米=-1,

2j

则对应齐次方程y"y'-2）=0的通解为丫=C,e-C2e

f（z）=e，"=1不是特征方程的根.故设原方程特解为=Ae，.

则（旷）'=Ae，，（y，）”=Ae。

代人原方程可得Ae，-Ae「一2Ae，==e，,解得A=——,

故原方程的通解为N=Cl7+Czer—a

2e

66.

【精析】平面图形D区域如图所示.、八X=*

⑴S=[(2\[y-y2)d>=(2♦+)—一/

Jood

_

(2)VJ-=7r|[1-(，-十五jEl-⑴孙------__>

\'-102x

=*(工+罚]V)]；=7T8K_217t

~2~5~而.

67.

【证明】两边取对数，并将冗换为1,得辅助函数.

设/(jr)=elni-I,(父)=--1.

尤

当z>e时J'(i)V0.则/(T)在[e,+8)时单调减小，

/(1)</(e)=0,取1=7：)>e,/(7T)<C0.

即7tc<e".

68.

【精析】平面图形。区域如图所示.丫,x=*

⑴S=[(2G—力dy=(2•+J

/-2_

(2)V]=TT|[1—(vJr)Jdx十穴JEl-灯(]d/»

、，-102t

=”(1+狎；1位一盖)1=7T।8灾_217t

~2~5~TT