河南省焦作市高三第四次模拟考试数学（文）试题

2018届河南省焦作市高三第四次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由集合，所以，故选B．2．复数（为虚数单位）在复平面内关于虚轴对称的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】因为，所以其关于虚轴对称的点应为，此时位于第一象限，故选A．3．已知变量和的统计数据如下表：345672.5344.56根据上表可得回归直线方程为，据此可以预测当时，的估计值为A.6.4B.6.25C.6.55D.6.45【答案】C【解析】由题意知，得将点代入，解得，所以当时，，故选C．4．设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由，得，又由，得，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．5．已知，则下列不等式中成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为，则，，，所以A、B、D是错误的，因为为单调递减函数，所以成立，故选C．6．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且（为坐标原点），则的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由抛物线的对称性，不妨设，抛物线的焦点为，因为，所以，解得，所以的面积为，故选A．7．执行如图所示的程序框图，如果输出结果为，则输入的正整数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】执行如图所示的程序框图，可得：第一次循环，不满足判断条件；第二次循环，不满足判断条件；第三次循环，不满足判断条件；第四次循环，满足判断条件，此时输出，所以，故选B．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是由个圆柱和半个圆锥的组合而成的组合体，其中圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，所以其体积为，故选C．9．函数图象的相邻对称轴之间的距离为，则下列结论正确的是（）A.的最大值为1B.的图象关于直线对称C.的一个零点为D.在区间上单调递减【答案】D【解析】因为的相邻的对称轴之间的距离为，所以，得，即，所以的最大值为，所以A错误；当时，，所以，所以不是函数的对称轴；由，当时，，所以不是函数的一个零点，所以C是错误的；当时，单调递减，所以D是正确的，故选D．10．在非等腰中，内角，，所对的边分别为，，，，则（）A.B.1C.2D.【答案】C【解析】因为，所以，由正弦定理可得由余弦定理得，即，即因为，所以，故选C．11．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如图所示，作平面于点，连接，因为，易得，四边形为矩形，，在中，由余弦定理，代入整理得，设三棱锥外接球的半径为，由得，即，所以球的表面积为，故选A．点睛：本题考查了有关球的组合体问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，球心与截面圆心的连线垂直截面，同时球的半径，小圆的半径和球心到截面的距离满足勾股定理，求得球的半径，即可求解求得表面积与体积．12．已知函数，若方程有三个不同的根，，，则（）A.0B.2C.6D.3【答案】D【解析】由题意，易知为奇函数，而相当于函数向右平移一个单位，在向上平移个单位，所以的图像关于点对称，而所表示的直线也关于点对称，所以方程的三个根中有一个为，另外两个关于对称，所以，故选D．点睛：本题考查了函数与方程的应用，其中解答中把方程的三个实数根，转化为函数的图象的三个交点，借助函数的图象变换，得到两个根函数的图象都过点，且关于点对称是解答的关键，着重考查了数形结合思想和分析、解答问题的能力．二、填空题13．已知，则__________．【答案】.【解析】因为，令，得，解得．14．设，满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】.【解析】作出不等式组表示的可行域，如图所示的的内部（及边界），易得，因为表示可行域内一点与点连线的斜率，由图象可知，当取点时，目标函数取得最大值，目标函数的最大值为．15．在平行四边形中，为的中点，交于点，，则__________．【答案】.【解析】因为，所以，因为，所以，所以,所以，所以．点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的方程，不等式等问题问题，然后利用函数与方程的有关知识来解决．16．已知双曲线：的右焦点为，点是上位于第一象限内的一点，连接（为坐标原点）并延长交于点，连接并延长交于点，若，的渐近方程为，则__________．【答案】.【解析】因为的渐近线方程为，所以，又，所以，取的左焦点，连接，由双曲线的对称性可知为矩形，设，则，,在中，由，解得，所以，在中，，解得．点睛：本题考查了双曲线的几何性质的应用问题，其中双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是；③双曲线的顶点到渐近线的距离是，同时解答圆锥曲线时，要注意曲线的对称性的应用，本题着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．三、解答题17．已知为等差数列，且，前4项的和为16，数列满足，，且数列为等比数列.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）,.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设的公差为，列出方程组，求得，得到数列的通项公式，再设的公比为，解得，进而得到数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，可采用分组求和的方法求的数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）设的公差为，因为，前4项的和为16，所以，，解得，，所以.设的公比为，则，所以，得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以.18．某教育主管部门到一所中学检查高三年级学生的体质健康情况，从中抽取了名学生的体质测试成绩，得到的频率分布直方图如图1所示，样本中前三组学生的原始成绩按性别分类所得的茎叶图如图2所示.（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）估计该校高三学生体质测试成绩的平均数和中位数；（Ⅲ）若从成绩在的学生中随机抽取两人重新进行测试，求至少有一名男生的概率.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由茎叶图可知分数在的有人，进而求解的值；（Ⅱ）根据数据平均数的计算公式，即可求得的值．（Ⅲ）两名男生分别记为，，四名女生分别记为，，，，列举出从中任取两人的基本事件的总数，即可利用古典概率的概率计算公式求解概率．试题解析：（Ⅰ）由茎叶图可知分数在的有4人，所以，，，解得.（Ⅱ），由，得.（Ⅲ）两名男生分别记为，，四名女生分别记为，，，，从中任取两人共有，，，，，，，，，，，，，，，，共15种结果，至少有一名男生的结果有，，，，，，，，，共9种结果，所以至少有一名男生的概率为.19．如图，梯形与矩形所在平面相互垂直，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四棱锥的侧面积.【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由直线和平面平行的判定定理，证得平面和平面，再利用面面平行的判定定理，得到平面平面，进而证得平面.（Ⅱ）由（1），过点作交于点，连接，得：，求德和，再得，求得，再由，所以，求得，求和得到几何体的表面积．试题解析：（Ⅰ）因为，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又因为，所以平面平面，因为平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，，所以平面，∴，，过点作交于点，连接，因为，，，易求得：，所以，，因为，，，∴平面，所以，，由，，得平面，所以，因为，所以，，所以四棱锥的侧面积为.20．已知椭圆：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，的中点在圆上，求（为坐标原点）面积的最大值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）1.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，，得，，代入椭圆的方程，再由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积得，求得的值，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，得到，当直线的斜率存在时，设:，联立方程组，求得，求得中点的坐标，代入圆的方程，得，再由弦长公式和点到直线的距离公式，即可得到的表达式，即可求解面积的最大值．试题解析：（Ⅰ）由题意知，得，，所以，由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4，得，所以，，椭圆的标准方程为.（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，令，得，，当直线的斜率存在时，设:，，，，由，得，则，，所以，，将代入，得，又因为，原点到直线的距离，所以.当且仅当，即时取等号.综上所述，面积的最大值为1.点睛：点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21．已知.（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）当在处的切线与平行时，关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导数，分和两种情况讨论，即可得到函数的单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得，把不等式即，得在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到实数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，当时，，所以在上单调递减，当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由，得，不等式即，得在上恒成立.设，则.设，则，在区间上，，则函数递增，所以，所以在区间上，，函数递减.当时，，而，所以，因为在上恒成立，所以.点睛：本题主要考查导数求解函数的单调区间，利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(3)利用导数研究函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用．22．[选修44：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知，直线与曲线交于，两点，若，求的值.【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数，即可得到直线的普通方程，在利用极坐标与直角坐标的互化，即可得到直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，求得，进而得到，再由题设，即可求解的值．试题解析：（Ⅰ）由消去参数，得，由，，得直线的极坐标方程为，由，得，由，代入，得.（Ⅱ）将直线的参数方程与的直角坐标方程联立并整理得，设点，分别对应参数，，则，恰为上述方程的根，由可得，得.则，，所以，由，得，即，解得或（舍去）.故.23．[选修45：不等式选讲]已知.（Ⅰ）