2020-2021学年吉林省延边州九年级(上)期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年吉林省延边州九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（共6小题）.

1.（2分）观察下列图形，是中心对称图形的是（）

B

Ag©©

2.（2分）下列说法正确的是（）

A.通常加热到100℃时，水沸腾是随机事件

B.掷一次骰子，向上一面的点数是6是不可能事件

C.任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件

D.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件

3.（2分）抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标是（）

A.（1,3）B.（-1,3）C.（1,-3）D.(3,-1)

4.（2分）如图，四边形A8CD内接于。。，A8为。。的直径，，点C为％弧BD的中点,

若ND48=40°,则NABC的度数是（）

-O

5.（2分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-3,4）,以点O为圆心，以

则点A的横坐标为（）

C.-4D.-5

6.（2分）如图，若〃V0,Z?>0,C<0,则抛物线的大致图象为（）

二、填空题（共8小题）.

7.若2是方程尤2-。=0的一个根，则c的值为.

8.在平面直角坐标系中，点（-3,4）关于原点对称的点的坐标是.

9.抛物线y=2N+8x+Mz与x轴只有一个公共点，则机的值为.

10.10件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产

品的概率是.

11.如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是.

12.某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高40=8米，母线45=10米，

则该圆锥的侧面积是平方米（结果保留TT）.

13.如图，线段经过O。的圆心，AC,3。分别与相切于点C,D.若AC=3O=1,

NA=45°,则而的长度为.

14.如图，将RtzXABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到点2的对应点。恰好

落在边上，若AC=®ZB=60°,则的长为.

E

W\

°cD60^5°

三、解答题（每小题5分，共20分）

15.（5分）解方程：（尤+1）（x+2）=2x+4.

16.（5分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1,2,3,随机

摸取一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取

出的小球的标号的和等于4的概率.

17.（5分）央广网2020年11月24日消息，贵州省宣布最后的9个贫困县脱贫.其中某

县某果农2017年的年收入为2万元，由于党的精准扶贫的相关政策的落实，2019年年收

入增加到4.5万元，求平均每年年收入的增长率.

18.（5分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图.与矩形

ABCD的边BC,分别相切和相交（E,尸是交点）,已知EF=CD=8,求。0的半

径.

四、解答题（每小题7分，共28分）

19.（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AQB三个顶点的坐标分别为。（0,0）、

4（-2,3）、2（-4,2）,将△AOB绕点。逆时针旋转90°后，点A、0、B分别落

在点A'、O'、处.

（1）在所给的直角坐标系尤Oy中画出旋转后的O'B'；

（2）求点8旋转到点"所经过的弧形路线的长.

y

1B

20.(7分)如图，已知四边形ABC。内接于圆。，连结8。，ZBAD=105°,NDBC=15°.

(1)求证：BD=CD-

(2)若圆。的半径为3,求的长.

21.(7分)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主

干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支？

22.(7分)如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)、8(4,4)、C(6,2).

(1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心〃的坐标为；

(2)这个圆的半径为；

(3)直接判断点。(5,-2)与OM的位置关系.点。(5,-2)在(填

23.(8分)“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力.某

厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个.如果每增加一条生产线，

每条生产线就会比原来少生产20个口罩，设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产

口罩y个.

(1)直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；

(2)设该厂每天可以生产口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条

生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？

24.(8分)ZkABC与△COE都是等边三角形，连接A。、BE.

(1)如图①，当点、B、C、。在同一条直线上时，则NBCE=度；

(2)将图①中的△(7£)£■绕着点C逆时针旋转到如图②的位置.求证：AD=BE；

(3)在将△(?£>£1绕点C旋转的过程中，当点A、C、E在一条直线上时，若CD=2BC

=4,请直接写出BE的长.

25.(10分)有一根直尺短边长4cm,长边长10C〃Z,还有一块锐角为45°的直角三角形纸

板，它的斜边长为16。〃，如图甲，将直尺的短边。E与直角三甬形纸板的斜边AB重合，

且点。与点A重合.将直尺沿射线A8方向平移，如图乙，设平移的长度为xcv",且满

足0WxW12,直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2.

(1)当x=0aw时，S=;当无=12c机时，S=.

图甲图乙图丙

26.(10分)如图，直线y=--^r+2交y轴于点A,交x轴于点C,抛物线y=-1-炉+61+。

24

经过点A,点C,且交无轴于另一,点、B.

(1)直接写出点A,点8,点C的坐标及抛物线的解析式；

(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M,求四边形ABCM面积的最大值及此时点M

的坐标;

(3)将线段。4绕工轴上的动点尸(m,0)顺时针旋转90°得到线段OzA',若线段

OrA'与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求机的取值范围.

参考答案

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1.（2分）观察下列图形，是中心对称图形的是（）

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

2、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

。、不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故选：C.

2.（2分）下列说法正确的是（）

A.通常加热到100℃时，水沸腾是随机事件

B.掷一次骰子，向上一面的点数是6是不可能事件

C.任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件

D.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件

解：A、通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，故本选项说法错误；

8、掷一次骰子，向上一面的点数是6是随机事件，故本选项说法错误；

C、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故本选项说法错误；

。、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，本选项说法正确；

故选：D.

3.（2分）抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标是（）

A.（1,3）B.（-1,3）C.（1,-3）D.（3,-1）

解：抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标是（1,3）.

故选：A.

4.（2分）如图，四边形ABC。内接于。。，为。。的直径，点C为劣弧8。的中点,

若NZMB=40°,则N42C的度数是（）

D

A.140°B.40°C.70°D.50°

解：连接AC,

:点C为劣弧8。的中点，Z£)AB=40°,

AZCAB=^DAB=20°,

\"AB为O。的直径，

AZACB=90a,

：.ZABC=90°-20°=70°,

故选：C.

5.（2分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-3,4）,以点。为圆心，以

。尸长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标为（）

解：•・•点尸坐标为（-3,4）,

•**OP={（-3）2+4』5，

•・•点A、尸均在以点。为圆心，以。尸为半径的圆上,

：.OA=OP=5f

•点A在x轴的负半轴上,

...点A的横坐标是-5.

故选：D.

6.（2分）如图，若aVO,b>0,c<0,则抛物线>=办2+6无+<:的大致图象为（）

抛物线的开口方向向下,

故第三个选项错误;

Vc<0,

；.抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，

故第一个选项错误；

：。<0、b>0,对称轴为->0,

2a

・••对称轴在y轴右侧，

故第四个选项错误.

故选：B.

二、填空题（每小题3分，共24分）

7,若2是方程12一。=0的一个根，则c的值为4.

解：根据题意，将x=2代入方程N-c=O,得：4-c=0,

解得。=4,

故答案为：4.

8.在平面直角坐标系中，点（-3,4）关于原点对称的点的坐标是（3,-4）

解：点（-3,4）关于原点对称的点的坐标是（3,-4）.

故答案为：（3,-4）.

9.抛物线y=2N+8x+机与x轴只有一个公共点，则m的值为8.

解：，・,抛物线与x轴只有一个公共点，

△=0,

b2-4«c=82-4X2Xm=0;

••8.

故答案为：8.

10.10件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产

品的概率是——.

—10―

解：从中任意抽取1件检验，则抽到不合格产品的概率是1：10=^-.

故答案为：—.

10

11.如果将抛物线y=N向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是y=x?+3.

解：抛物线y=N向上平移3个单位得到y=N+3.

故答案为：y=N+3.

12.某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高4。=8米，母线AB=10米，

则该圆锥的侧面积是60n平方米（结果保留it）.

解：：4。=8米，A8=10米，：,OB=6<,

圆锥的底面周长=2XitX6=12n米，

S——Zr——X12nX10=60it米\

22

故答案为60n.

13.如图，线段AB经过。。的圆心，AC,BD分别与。。相切于点C,D.若AC=BZ）=1,

解：连接OC、OD,

VAC,3。分别与OO相切于点C,D.

：.OC.LAC,OD±BD,

VZA=45°,

AZAOC=45°,

：.AC=OC=1,

\-AC=BD=l,OC=OD=1,

：.OD=BDf

：.ZBOD=^5°,

：.ZCOD=180°-45°-45°=90°,

14.如图，将RtAABC绕点A按顺时针旋转一定角度得至qRtAADE,B的对应点D恰好

落在3C边上，若AC=M，ZB=60°,则的长为1.

解：•・•直角△A8C中，AC=M，ZB=60°,

：.AB=——与——=噌=1,BC=——与——=71"=2

tanZABC夷sinZABC长

又・.・AZ)=A3,ZB=60°,

・・・△A3。是等边三角形，

：.BD=AB=\,

：.CD=BC-BD=2-1=1.

故答案是：1.

三、解答题（每小题5分，共20分）

15.（5分）解方程：（尤+1）（x+2）=2x+4.

解：原方程可变为：（x+1）（尤+2）=2（x+2）.

即（x+2）（x-1）=0,

解得：尤=-2或1.

16.（5分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1,2,3,随机

摸取一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取

出的小球的标号的和等于4的概率.

解：画树状图得：

开始

123

z4\/T\/N

123123123

则共有9种等可能的结果，两次摸出的小球标号的和等于4的情况有3种，

Q1

所以两次取出的小球的标号的和等于4的概率为一=—.

93

17.（5分）央广网2020年11月24日消息，贵州省宣布最后的9个贫困县脱贫.其中某

县某果农2017年的年收入为2万元，由于党的精准扶贫的相关政策的落实，2019年年收

入增加到4.5万元，求平均每年年收入的增长率.

解：设平均每年年收入的增长率为尤，

依题意得：2（1+x）2=4.5,

解得：Xi=0.5=50%,X2—-2.5（不合题意，舍去）.

答：平均每年年收入的增长率为50%.

18.（5分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图.与矩形

ABCD的边BC,分别相切和相交（E,尸是交点）,已知EF=CD=8,求。。的半

径.

D

:o:

解：由题意，OO与8c相切，记切点为G,作直线OG,分别交A。、劣弧前于点H、/,

再连接OF,

在矩形ABCD中,AD//BC,

\'IG±BC,

：.IG±AD,

.•.在OO中，FH=^EF=4,

设O。的半径为r,则OH=8-r,

在RtZsOFH中，产-(8-厂)2=42,

解得r=5.

故。。的半径为5.

四、解答题(每小题7分，共28分)

19.(7分)如图，在平面直角坐标系xOy中，△AO8三个顶点的坐标分别为。(0,0)、

A(-2,3)、B(-4,2),将△AOB绕点。逆时针旋转90°后，点A、0、B分别落

在点A'、O'、B，处.

(1)在所给的直角坐标系xOy中画出旋转后的O'B'；

(2)求点8旋转到点夕所经过的弧形路线的长.

解：（1）如图；

(2)易得：OB=q22+r=2V^；

裕的弧长二喷

1OU

_90.几,2娓

180

=加，

所以点2旋转到点3所经过的弧形路线的长为J向.…（7分）

20.（7分）如图，已知四边形ABC。内接于圆。，连结3。，ZBAD=105°,NDBC=15°.

(1)求证：BD=CD-

（2）若圆。的半径为3,求BC的长.

【解答】（1）证明：•.•四边形ABC。内接于圆。，ZBAD=105°,

NC=180°-105°=75

VZZ)BC=75°,

，NDBC=NC,

：.BD=CD-,

(2)解：连接08、OC,

VZDBC=ZC=75°,

.,.ZBDC=180°-75°-75°=30°,

由圆周角定理得，ZBOC=60°,

为等边三角形,

:・BC=OB=3.

21.(7分)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主

干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支？

解：设每个支干长出元个小分支，则l+x+N=91,

解得：xi=9,xi=-10(舍去),

答：每个支干长出9个小分支.

22.(7分)如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)、5(4,4)、C(6,2).

(1)经过A、B、。三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为(2,0)；

(2)这个圆的半径为遥_；

(3)直接判断点。(5,-2)与的位置关系.点。(5,-2)在G)M内(填内、

外、上).

解：(1)如图，圆心M的坐标为(2,0)；

(2)VA(0,4),M(2,0),

•MA=r2,+4"2^/^,

即的半径为2代；

(3)-：D(5,-2),M(2,0),

DM=7(5-2)2+22=V13.

■:尺(2代,

.•.点。在OM内.

故答案为(2,0)；2代；内.

23.(8分)“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力.某

厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个.如果每增加一条生产线，

每条生产线就会比原来少生产20个口罩，设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产

口罩y个.

(1)直接写出y与x之间的函数关系式及自变量尤的取值范围；

(2)设该厂每天可以生产口罩w个，请求出w与龙的函数关系式，并求出增加多少条

生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？

解：(1)根据题意得y=500-20无(0WxW25且x为整数)；

(2)根据题意，w=(10+x)(500-20x)

=-20x2+300x+5000

15

=-202+6125,

；-20<0且x为整数，

；.x=7或x=8时，vv取得最大值，最大值为6120,

答：增加7条或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为6120个.

24.(8分)ZVlBC与△CDE都是等边三角形，连接A。、BE.

(1)如图①，当点8、C、。在同一条直线上时，则N8CE=120度;

(2)将图①中的△CDE绕着点C逆时针旋转到如图②的位置.求证：AD=BE；

(3)在将见绕点C旋转的过程中，当点A、C、E在一条直线上时，若CD=2BC

=4,请直接写出BE的长.

E

E

解：(i)•.•△CDE都是等边三角形,

:.NDCE=60°,

,:点、B、C、。在同一条直线,

:.NBCE+NDCE=180°,

AZBC£=180°-NOCE=120°,

故答案为:120;

(2):△ABC与△CDE都是等边三角形，

C.BC^AC,CE=CD,NAC8=NZ)CE=60°,

ZACB+ZACE=NDCE+NACE,

：.NBCE=ZACD,

在△BCE和△AC£)中，

，BC=AC

，ZBCE=ZACD,

,CE=CD

：./\BCE^/\ACD(.SAS'),

：.BE^AD-

(3)VCD=2BC=4,

：.BC^2,

,：ZVIBC是等边三角形，

A60°,AC=8C=2,

,.•△CDE是等边三角形，CZ)=4,

；.CE=CD=4,

当点E在C4的延长线上时，如图③,

过点8作8G_LAC于G,则NCBG=/NA8C=30°,

在RtZiCBG中，NCBG=30。,BC=2,

：.CG=^AB=\,

根据勾股定理得，BG=、后,

：.EG=CE-CG=4-1=3,

在RtABGE中，

根据勾股定理得，B£=7BG2+EG2=7（V3）2+32=2V3；

当点E在AC的延长线上时，如图④，

过点8作8H_LAC于”，则NC8”=/NABC=3（r,

在RtZsCBH中，NCBH=3Q°,BC=2,

：.CH=—AB=l,

2

根据勾股定理得，BH=M,

EH=CE+CH=4+1=5,

在RtABHE中，

根据勾股定理得，BE-VBH2+EH2=V（V3）2+52=2V7：

即满足条件的BE的长为2舍或2夜.

0'E

图④

ED

六、解答题(每小题10分，共20分)

25.(10分)有一根直尺短边长4c1,长边长100%还有一块锐角为45°的直角三角形纸

板，它的斜边长为16c机，如图甲，将直尺的短边。E与直角三角形纸板的斜边43重合，

且点。与点A重合.将直尺沿射线A3方向平移，如图乙，设平移的长度为xa%且满

尺0WxW12,直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm1.

(1)当x=0aw时，S—Scm2；当x=12c»z时，S—Scm2.

(2)当0<x<8(如图乙、图丙)，请用含尤的代数式表示S.

(3)是否存在一个位置，使重叠部分面积为280〃2?若存在求出此时x的值.

解：(1)当尤=0c加时，S=4X4+2=8c机2；

当x=12c〃z时，5=4X44-2=8cm2.

故答案为：Scm2;80"2.

(2)①当0VxV4时，

VACAB为等腰直角三角形，

NCAB=45°,

：./\ADG和△AEP都是等腰直角三角形，

'.AD—DG—x,AE—EF—x+4,

梯形GDE/的面积=Lx(GD+EF)XDE=—X(x+x+4)X4=4.r+8,

22

②如图所示：过点C作CM-LAB于点M.

/I"

DMEB

图丙

当4<x<8时，

梯形GDMC的面积=」(GD+CM)XDM

2

=—(x+8)(8-x)

2

=--^-x2+32,

梯形CMEF的面积=▲(EF+CM)XME

2

=^-[16-(x+4)+8][(x+4)-8]

=—(20-尤)(尤-4)

2

=-—x2+12x-40,

2

S=梯形G£)MC的面积+梯形CMEF的面积=(-工2+32)+(-工2+i2x-40)=-无2+12X

22

-8.

，4x+8(0<x<4)

综合以上可得，S=。

-X2+12X-8(4<X<8)

(3)当x—4时，S—