【数学】第八章立体几何全章复习讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章立体几何初步立体几何初步全章复习第一部分多面体的认识知识点一柱、锥、台、球的结构特征1、棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。2、棱锥：几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。3、棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点4、圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。5、圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。6、圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点③侧面展开图是一个弓形。7、球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。典例1、如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是()A.（1）是圆台B.（2）是圆台 C.（3）是圆锥 D.（4）是圆台随堂练习：下列说法正确的是()A.圆锥的底面是圆面，侧面是曲面B.用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥C.一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱D.圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交典例2、下列平面图形中，通过围绕定直线l旋转可得到如图所示几何体的是()A.B.C. D.随堂练习：如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A.该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B.该几何体有12条棱、6个顶点C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形典例3、下列说法中正确的个数是()①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥.A.0 B.1 C.2 D.3随堂练习：（多选）下列说法正确的是()A.多面体至少有四个面 B.平行六面体六个面都是平行四边形C.长方体,正方体都是正四棱柱 D.棱台的侧面都是梯形知识点二空间几何体的直观图1、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系（尽可能使更多的点在坐标轴上）②建立斜坐标系，使=450（或1350）③画对应图形：在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；典例4、下列说法正确的是()A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行随堂练习：如图所示一平面图形的直观图，则此平面图形可能是()A. B. C. D.2、直观图与原图形的面积关系：典例5、如图，在中，，若的水平放置直观图为，则的面积为（）A． B． C． D．随堂练习：1、如图，的斜二侧直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为()A.2 B.4C. D.2、已知水平放置的按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，求原的面积。

第二部分多面体的表面积和体积知识点一棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积几何体侧面积说明棱柱＝ChC为棱柱的底面周长，h为棱柱的高棱锥=C为棱锥的底面周长，h为棱锥的斜高棱台＝EQ\F(1,2)(c+)hc,分别为棱台的上、下底面周长，h为棱台的斜高几何体表面积说明棱柱＝Ch+2sC为棱柱的底面周长，h为棱柱的高,S为棱柱的底面积棱锥=+SC为棱锥的底面周长，h为棱锥的斜高，S为棱锥的底面积棱台＝EQ\F(1,2)(c+)h+S+c,分别为棱台的上、下底面周长，h为棱台的斜高S，分别为棱台的上、下底面面积正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。、总结：1、将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.2、棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.典例1、棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于()A．1∶9B．1∶8C.1:6D.1:5典例2、若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．eq\f(2,\r(3))D．eq\f(\r(3),2)随堂练习：如图，已知正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．知识点二圆柱、圆锥、圆台的侧面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)总结：对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解1、求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式.但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的.2、在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.3、这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题.4、圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系S圆柱侧＝2πrleq\o(→,\s\up7(r′＝r))S圆台侧＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up7(r′＝0))S圆锥侧＝πrl.典例3、如图所示,该几何体是一棱长为4cm的正方体,若在其中一个面的中心位置上,挖一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形洞,则挖洞后几何体的表面积是cm2.(π取3.14)随堂练习：已知圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,求圆台的表面积.知识点三棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱＝ShS为棱柱的底面积，h为棱柱的高棱锥V棱锥＝eq\f(1,3)ShS为棱锥的底面积，h为棱锥的高棱台V棱台＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hS′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高总结：1、等底、等高的两个棱柱的体积相同.2、等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系：等底、等高棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S))V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0))V＝eq\f(1,3)Sh.4、求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积.典例4、已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),6)D．eq\f(\r(3),4)随堂练习：1、如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)随堂练习：2、如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为.典例5、四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是()A．eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)B．eq\f(1,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)C．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)D．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x＋y)随堂练习：正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面面积为780cm2．求其体积.知识点四圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱＝Sh＝πr2h圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋eq\r(S′))h＝eq\f(1,3)π(r2＋rr′＋r′2)h圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h总结：1、等底、等高的两个圆柱的体积相同.2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.3、圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系V＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S))V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0))V＝eq\f(1,3)Sh.4、求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积.典例6、若一飞行昆虫被长为12cm的细绳绑在房间两垂直墙面与天花板形成的交点处,则飞行昆虫活动范围的体积为 ()A.144πcm3 B.288πcm3C.576πcm3 D.864πcm3随堂练习：如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于()A.πB.2π C.4π D.8π典例7、将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为()A.6cm B.6cmC.2cmD.3cm随堂练习：如图所示,一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,其中有一个高为xcm的内接圆柱.(1)试用x表示圆柱的侧面积.(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?最大是多少?知识点五球的表面积和体积.1、球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径).2、球的体积公式V＝eq\f(4,3)πR3.总结：1、从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数.2、利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.典例8、球的体积是eq\f(32π,3)，则此球的表面积是()A．12πB．16πC．eq\f(16π,3)D．eq\f(64π,3)典例9、一平面截一球得到直径为2eq\r(5)cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是()A．12πcm3B．36πcm3C．64eq\r(6)πcm3D．108πcm3随堂练习：一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为是多少？第三部分空间点、直线、平面之间的位置关系知识点一、平面的概念1、概念：几何里所说的“平面”是从生活中的物体中抽象出来的，是无限延展的．2、平面的画法：①水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图a.②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图b.3、表示法：可以用希腊字母α，β，γ等来表示；用两个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的相对的顶点)来表示；用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的四个顶点)来表示典例1、如图所示，用符号语言可表示为（）A．，， B．，，C．，，， D．，，，知识拓展：平面概念的理解及特点1、平面是一个只描述而不定义的原始概念，它是由平时生活中常见的平面抽象出来的，是理想的，是无限延展的，是无厚薄、大小的．2、要注意平面具有如下特点：①平面是平的；②平面是没有厚度的；③平面是无限延展而没有边界的；④平面是由空间的点、线组成的无限集合；⑤平面图形是空间图形的重要组成部分．典例2、下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽为20m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为________．(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是________．随堂练习：下列四种说法正确的是________．①平面的形状是平行四边形；②任何一个平面图形都可以表示平面；③平面ABCD的面积为100cm2；④空间图形中，后作的辅助线都是虚线．知识点二平面的基本性质1、公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；符号语言表述：，，，；图形语言表述：注：公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，；图形语言表述：注：公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．公理2的推论：①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②过两条相交直线，有且只有一个平面；③过两条平行直线，有且只有一个平面.3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；符号语言表述：且；图形语言表述：注：公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.典例3、下列命题中正确的是（）A．过三点确定一个圆B．两个相交平面把空间分成四个区域C．三条直线两两相交，则确定一个平面D．四边形一定是平面图形随堂练习：以下说法中，正确的个数是（）①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；③首尾依次相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3典例4、下列说法中正确的是（）A．空间三点可以确定一个平面B．梯形一定是平面图形C．若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合D．两组对边都相等的四边形是平面图形随堂练习：下列命题正确的是（）①三点确定一个平面；②圆上三点确定一个平面；③圆心与圆上的两点确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面A．①② B．②③ C．②④ D．③④典例5、三个平面可以把空间分成n个部分，在下列选项中，n的值正确的有（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个2、证明三线共点问题(1)证明三线共点常用的方法:先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.(2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法:①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线.②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.典例5、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点．典例6、如图，在三棱锥中，分别是的中点，点在上，点在上，且有.试判定直线的位置关系.随堂练习：如图，四面体A－BCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．3、线共面问题(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．典例7、证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内．随堂练习、已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面．知识点三直线与直线的位置关系位置关系共面情况有无公共点相交在同一平面内有且只有一个公共点平行在同一平面内没有公共点异面不同在任何一个平面内没有公共点典例8、如图所示，用符号语言可表述为（）A．，， B．，，C．，，， D．，，，随堂练习：如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是（）A．B．C． D．典例9、（多选）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．四边形一定是平面图形随堂练习：如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b的位置关系可能是（）A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直典例10、如图，空间四边形中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且.求证：三条直线、、交于一点.随堂练习：如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上.3、证明两条直线平行及角相等的方法(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；②利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)由公理4可以想到，平面几何中的有些结论推广到空间仍然是成立的，但有些平面几何的结论推广到空间是错误的．因此，要把平面几何中的结论推广到空间，必须先经过证明．(3)空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．典例11、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.随堂练习：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.4、求两条异面直线所成角的方法平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．注：平移直线得出的角不一定恰好是所求角，因此要说明此角是异面直线所成的角或是其补角．典例12、在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（）A． B． C． D．随堂练习：在四面体中，且，、分别为、的中点，那么异面直线与所成的角等于（）．A．B．C． D．典例13、如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．随堂练习：在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成的角的大小．知识点四直线与平面的位置关系有三种情况：位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内有无数个公共点直线a与平面α相交有且只有一个公共点直线a与平面α平行无公共点说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示典例14、空间四边形的对角线分别为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B． C． D．1随堂练习：如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中判断下列位置关系：（1）AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是_______；（2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．知识点五平面与平面的位置关系：位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行无公共点两平面相交有无数个公共点，这些点在一条直线上1、平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。简记为：线面平行，则面面平行.符号：典例15、在四棱台中，平面与平面的位置关系是（）A．相交B．平行C．不确定D．异面随堂练习：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交.第四部分直线和平面的平行知识点一直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号：注：1、利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2、证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．典例1、能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b2、证明线面平行的方法、步骤(1)利用判定定理判断或证明直线与平面平行的关键是在已知平面α内找一条直线b和已知直线a平行．即要证直线a与平面α平行，先证直线a与直线b平行．即由立体向平面转化．(2)证明线面平行的一般步骤：①在平面内找一条直线；②证明线线平行；③由判定定理得出结论．(3)在与中点有关的平行问题中，常考虑中位线定理．典例2、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE.随堂练习：如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且eq\f(AM,SM)＝eq\f(DN,NB).求证：MN∥平面SBC.3、直线与平面平行的综合问题的解题策略直线与平面平行的判定定理应用广泛，常与三视图、棱柱、棱锥等知识综合设计题目，有时也会与翻折问题综合，其解决方法一般是先确定直观图，再利用直观图中的线线平行去证线面平行．典例3、一个多面体的三视图及直观图如图所示，M，N分别是A1B，B1C1的中点．求证：MN∥平面ACC1A1.典例4、如下图(1)，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF与平面ABCD相交，连接部分线段后围成一个空间几何体，如下图(2)．求证：BE∥平面ADF.随堂练习：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：A1B1平面DEC1.知识点二直线和平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行，则线线平行.符号:知识拓展：利用线面平行的性质定理解题的步骤典例5、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.典例6、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.随堂练习：如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM．知识点三平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。简记为：线面平行，则面面平行.符号：典例7、如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC//AB，求证：平面PAB//平面EFG.2、线线平行、线面平行与面面平行的转化(1)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．此即为面面平行判定定理的推论产生的依据．(2)在转化为线面平行证面面平行时，首先观察面内已有的直线是否平行，若不平行，再利用条件有针对性地构造平面找出平行直线．例8、已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.随堂练习：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.3、三角形重心性质在解题中的应用(1)要证明平面MNG∥平面ACD，主要是充分利用三角形重心的性质找出与平面平行的直线．(2)求两个三角形的面积比，实质是求两个三角形对应边的平方比．典例9、如图，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△DCA.随堂练习：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.2、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。简记为：面面平行，则线线平行.符号：补充：平行于同一平面的两平面平行；夹在两平行平面间的平行线段相等；两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；典例10四面体如图所示，过棱的中点作平行于，的平面，分别交四面体的棱于点．证明：四边形是平行四边形．随堂练习：如图，在三棱锥中，，，分别是，，的中点．是上一点，连接，是与的交点，连接，求证：．3、线面、面面平行的判定与性质的综合应用典例11、如图所示，矩形和矩形中，，点M，N分别位于上，且，矩形可沿任意翻折．（1）求证：当F，A，D不共线时，线段总平行于平面．（2）“不管怎样翻折矩形，线段总和线段平行，”这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立．典例12、如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：（1）EG平面BB1D1D；（2）平面BDF平面B1D1H.随堂练习：如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，．求证：（1）平面；（2）平面平面．第五部分直线和平面的垂直知识点一直线与平面垂直判断⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。简记为：线线垂直，则线面垂直.符号：性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号：性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行符号：推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．符号语言：a∥b,a⊥α，⇒b⊥α典例1、线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是()A．平行B．垂直C．在平面α内D．无法确定随堂练习：如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，不能保证该直线与平面垂直的是____(填序号)．①平行四边形的两条对角线；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．典例2、如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A,B的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC⊥平面A1AC．随堂练习：如图所示，是边长为的正六边形所在平面外一点，，在平面内的射影为的中点.证明.知识点二直线与平面垂直的性质定理1、基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：2、性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：典例3、如图所示，平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈平面α，AB⊥l，垂足为B，C∈平面β，若AB＝3，BC＝4，则AC＝________.随堂练习：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD相交于O，A1C1与B1D1相交于O1，则OO1与平面A1B1C1D1的位置关系是________．知识点三平面与平面垂直的判定⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直简记为：线面面垂直，则面面垂直.符号：推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。典例4、如图，空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么图中互相垂直的平面有________．随堂练习：在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是()A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β典例5、已知是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上任一点．求证:平面⊥平面.知识拓展：1、确定二面角的平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．2．求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．典例6、四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.求：(1)二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)二面角B－PA－D的平面角的度数；(3)二面角B－PA－C的平面角的度数．随堂练习：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．3、用定义证明两个平面垂直的步骤利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个平面互相垂直．典例7、如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.随堂练习：如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.4、证明面面垂直的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”．(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．典例8、如图所示，在四面体A－BCD中，CB＝CD，AD⊥BD.且E，F分别是AB，BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.随堂练习：如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB.5、折叠问题：即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量．典例9、如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；(2)求二面角P－AD－E的大小．随堂练习：如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.知识点四平面与平面垂直的性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。简记为：面面垂直，则线面垂直.证明线线平行的方法①三角形中位线②平行四边形③线面平行的性质④平行线